2019-2021年高考數(shù)學(xué)（理）真題匯編——專題07 平面解析幾何（選擇題、填空題）（教師版）

1、專題07 平面解析幾何(選擇題、填空題)1.【2021北京高考真題】雙曲線過點，且離心率為，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )A.B.C.D.【答案】A【分析】分析可得，再將點代入雙曲線的方程，求出的值，即可得出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】，則，則雙曲線的方程為，將點的坐標(biāo)代入雙曲線的方程可得，解得，故，因此，雙曲線的方程為.故選：A.2.【2021北京高考真題】已知圓，直線，當(dāng)變化時，截得圓弦長的最小值為2，則( )A.B.C.D.【答案】C【分析】先求得圓心到直線距離，即可表示出弦長，根據(jù)弦長最小值得出【詳解】由題可得圓心為，半徑為2，則圓心到直線的距離，則弦長為，則當(dāng)時，弦長取得最小值為，解得.

2、故選：C.3.【2021全國高考真題】已知，是橢圓：的兩個焦點，點在上，則的最大值為( )A.13B.12C.9D.6【答案】C【分析】本題通過利用橢圓定義得到，借助基本不等式即可得到答案.【詳解】由題，則，所以(當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立).故選：C.【點評】橢圓上的點與橢圓的兩焦點的距離問題，常常從橢圓的定義入手，注意基本不等式得靈活運用，或者記住定理：兩正數(shù)，和一定相等時及最大，積一定，相等時和最小，也可快速求解.4.【2021浙江高考真題】已知，函數(shù).若成等比數(shù)列，則平面上點的軌跡是( )A.直線和圓B.直線和橢圓C.直線和雙曲線D.直線和拋物線【答案】C【分析】首先利用等比數(shù)列得到等式，然

3、后對所得的等式進(jìn)行恒等變形即可確定其軌跡方程.【詳解】由題意得，即，對其進(jìn)行整理變形：，所以或，其中為雙曲線，為直線.故選：C.【點評】關(guān)鍵點點睛：本題考查軌跡方程，關(guān)鍵之處在于由題意對所得的等式進(jìn)行恒等變形，提現(xiàn)了核心素養(yǎng)中的邏輯推理素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)，屬于中等題.5.【2021全國高考真題(理)】已知是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且，則C的離心率為( )A.B.C.D.【答案】A【分析】根據(jù)雙曲線的定義及條件，表示出，結(jié)合余弦定理可得答案.【詳解】因為，由雙曲線的定義可得，所以，；因為，由余弦定理可得，整理可得，所以，即.故選：A【點評】關(guān)鍵點睛：雙曲線的定義是入手點，利用余弦定理建

4、立間的等量關(guān)系是求解的關(guān)鍵.6.【2021全國高考真題(理)】設(shè)是橢圓的上頂點，若上的任意一點都滿足，則的離心率的取值范圍是( )A.B.C.D.【答案】C【分析】設(shè)，由，根據(jù)兩點間的距離公式表示出，分類討論求出的最大值，再構(gòu)建齊次不等式，解出即可.【詳解】設(shè)，由，因為，所以，因為，當(dāng)，即時，即，符合題意，由可得，即；當(dāng)，即時，即，化簡得，顯然該不等式不成立.故選：C.【點評】本題解題關(guān)鍵是如何求出的最大值，利用二次函數(shù)求指定區(qū)間上的最值，要根據(jù)定義域討論函數(shù)的單調(diào)性從而確定最值.7.【2021全國高考真題】已知點在圓上，點、，則( )A.點到直線的距離小于B.點到直線的距離大于C.當(dāng)最小時，

5、D.當(dāng)最大時，【答案】ACD【分析】計算出圓心到直線的距離，可得出點到直線的距離的取值范圍，可判斷AB選項的正誤；分析可知，當(dāng)最大或最小時，與圓相切，利用勾股定理可判斷CD選項的正誤.【詳解】圓的圓心為，半徑為，直線的方程為，即，圓心到直線的距離為，所以，點到直線的距離的最小值為，最大值為，A選項正確，B選項錯誤；如下圖所示：當(dāng)最大或最小時，與圓相切，連接、，可知，由勾股定理可得，CD選項正確.故選：ACD.【點評】結(jié)論點睛：若直線與半徑為的圓相離，圓心到直線的距離為，則圓上一點到直線的距離的取值范圍是.8.【2020年高考全國卷理數(shù)】已知A為拋物線C：y2=2px(p0)上一點，點A到C的焦

6、點的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，則p=A.2B.3C.6D.9【答案】C【解析】設(shè)拋物線的焦點為F，由拋物線的定義知，即，解得.故選：C.【點晴】本題主要考查利用拋物線的定義計算焦半徑，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸思想，是一道容易題.9.【2020年高考全國卷理數(shù)】已知M：，直線：，為上的動點，過點作M的切線，切點為，當(dāng)最小時，直線的方程為A.B.C.D.【答案】D【解析】圓的方程可化為，點到直線的距離為，所以直線與圓相離.依圓的知識可知，四點四點共圓，且，所以，而，當(dāng)直線時，此時最小.即，由解得，.所以以為直徑的圓的方程為，即，兩圓的方程相減可得：，即為直線的方程.故選：D.【點評】本題主要考查直線

7、與圓，圓與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，以及圓的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和數(shù)學(xué)運算能力，屬于中檔題.10.【2020年高考全國卷理數(shù)】設(shè)為坐標(biāo)原點，直線與拋物線C：交于，兩點，若，則的焦點坐標(biāo)為A. B. C. D. 【答案】B【解析】因為直線與拋物線交于兩點，且，根據(jù)拋物線的對稱性可以確定，所以，代入拋物線方程，求得，所以其焦點坐標(biāo)為，故選：B.【點評】該題考查的是有關(guān)圓錐曲線的問題，涉及到的知識點有直線與拋物線的交點，拋物線的對稱性，點在拋物線上的條件，拋物線的焦點坐標(biāo)，屬于簡單題目.11.【2020年高考全國卷理數(shù)】11.設(shè)雙曲線C：(a0，b0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率

8、為.P是C上一點，且F1PF2P.若PF1F2的面積為4，則a=A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】A【解析】，根據(jù)雙曲線的定義可得，即，即，解得，故選：A.【點評】本題主要考查了雙曲線的性質(zhì)以及定義的應(yīng)用，涉及了勾股定理，三角形面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題.12.【2020年高考全國卷理數(shù)】若過點(2，1)的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線的距離為A.B.C.D.【答案】B【解析】由于圓上的點在第一象限，若圓心不在第一象限，則圓與至少與一條坐標(biāo)軸相交，不合乎題意，所以圓心必在第一象限，設(shè)圓心的坐標(biāo)為，則圓的半徑為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.由題意可得，可得，解得或，所以圓心的坐標(biāo)為或，圓心到直線的距

9、離均為；圓心到直線的距離均為圓心到直線的距離均為；所以，圓心到直線的距離為.故選：B.【點評】本題考查圓心到直線距離的計算，求出圓的方程是解題的關(guān)鍵，考查計算能力，屬于中等題.13.【2020年高考全國卷理數(shù)】設(shè)為坐標(biāo)原點，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點，若的面積為8，則的焦距的最小值為A.4B.8C.16D.32【答案】B【解析】，雙曲線的漸近線方程是，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點不妨設(shè)為在第一象限，在第四象限，聯(lián)立，解得，故，聯(lián)立，解得，故，面積為：，雙曲線，其焦距為，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，的焦距的最小值：.故選：B.【點評】本題主要考查了求雙曲線焦距的最值問題，解題關(guān)鍵是掌握雙

10、曲線漸近線的定義和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值時，要檢驗等號是否成立，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.14.【2020年高考天津】設(shè)雙曲線的方程為，過拋物線的焦點和點的直線為.若的一條漸近線與平行，另一條漸近線與垂直，則雙曲線的方程為A. B. C. D.【答案】D【解析】由題可知，拋物線的焦點為，所以直線的方程為，即直線的斜率為，又雙曲線的漸近線的方程為，所以，因為，解得.故選：.【點評】本題主要考查拋物線的簡單幾何性質(zhì)，雙曲線的幾何性質(zhì)，以及直線與直線的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.15.【2020年高考北京】已知半徑為1的圓經(jīng)過點，則其圓心到原點的距離的最小值為A.

11、4B. 5C. 6D. 7【答案】A【解析】設(shè)圓心，則，化簡得，所以圓心的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)在線段上時取得等號，故選：A.【點評】本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題.16.【2020年高考北京】設(shè)拋物線的頂點為，焦點為，準(zhǔn)線為.是拋物線上異于的一點，過作于，則線段的垂直平分線A. 經(jīng)過點B. 經(jīng)過點C. 平行于直線D. 垂直于直線【答案】B【解析】如圖所示：.因為線段的垂直平分線上的點到的距離相等，又點在拋物線上，根據(jù)定義可知，所以線段的垂直平分線經(jīng)過點.故選：B.【點評】本題主要考查拋物線的定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.17.【2020年高考浙江】已知點O(0，0)

12、，A(2，0)，B(2，0).設(shè)點P滿足|PA|PB|=2，且P為函數(shù)圖象上的點，則|OP|=A.B.C.D.【答案】D【解析】因為，所以點在以為焦點，實軸長為，焦距為的雙曲線的右支上，由可得，即雙曲線的右支方程為，而點還在函數(shù)的圖象上，所以，由，解得，即.故選：D.【點評】本題主要考查雙曲線的定義的應(yīng)用，以及二次曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力，屬于基礎(chǔ)題.18.【2020年新高考全國卷】已知曲線.A.若mn0，則C是橢圓，其焦點在y軸上B.若m=n0，則C是圓，其半徑為 C.若mn0，則C是兩條直線【答案】ACD【解析】對于A，若，則可化為，因為，所以，即曲線表示焦點在軸上

13、的橢圓，故A正確；對于B，若，則可化為，此時曲線表示圓心在原點，半徑為的圓，故B不正確；對于C，若，則可化為，此時曲線表示雙曲線，由可得，故C正確；對于D，若，則可化為，此時曲線表示平行于軸的兩條直線，故D正確；故選：ACD.【點評】本題主要考查曲線方程的特征，熟知常見曲線方程之間的區(qū)別是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).19.【2019年高考全國卷理數(shù)】已知橢圓C的焦點為，過F2的直線與C交于A，B兩點.若，則C的方程為A.B.C.D.【答案】B【解析】法一：如圖，由已知可設(shè)，則，由橢圓的定義有.在中，由余弦定理推論得.在中，由余弦定理得，解得.所求橢圓方程為，故選B.法二：由已知可設(shè)

14、，則，由橢圓的定義有.在和中，由余弦定理得，又互補，兩式消去，得，解得.所求橢圓方程為，故選B.【名師點睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸的能力，很好地落實了直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng).20.【2019年高考全國卷理數(shù)】若拋物線y2=2px(p0)的焦點是橢圓的一個焦點，則p=A.2 B.3 C.4 D.8【答案】D【解析】因為拋物線的焦點是橢圓的一個焦點，所以，解得，故選D.【名師點睛】本題主要考查拋物線與橢圓的幾何性質(zhì)，滲透邏輯推理、運算能力素養(yǎng).解答時，利用拋物線與橢圓有共同的焦點即可列出關(guān)于的方程，從而解出，或者利用檢驗排除的方法，如時，拋物線焦點為(

15、1，0)，橢圓焦點為(2，0)，排除A，同樣可排除B，C，從而得到選D.21.【2019年高考全國卷理數(shù)】設(shè)F為雙曲線C：的右焦點，為坐標(biāo)原點，以為直徑的圓與圓交于P，Q兩點.若，則C的離心率為A. B. C.2D.【答案】A【解析】設(shè)與軸交于點，由對稱性可知軸，又，為以為直徑的圓的半徑，又點在圓上，即.，故選A.【名師點睛】本題為圓錐曲線離心率的求解，難度適中，審題時注意半徑還是直徑，優(yōu)先考慮幾何法，避免代數(shù)法從頭至尾運算繁瑣，準(zhǔn)確率大大降低，雙曲線離心率問題是圓錐曲線中的重點問題，需強化練習(xí)，才能在解決此類問題時事半功倍，信手拈來.解答本題時，準(zhǔn)確畫圖，由圖形對稱性得出P點坐標(biāo)，代入圓的方

16、程得到c與a的關(guān)系，可求雙曲線的離心率.22.【2019年高考全國卷理數(shù)】雙曲線C：=1的右焦點為F，點P在C的一條漸近線上，O為坐標(biāo)原點，若，則PFO的面積為A.B.C.D.【答案】A【解析】由，又P在C的一條漸近線上，不妨設(shè)為在上，則，故選A.【名師點睛】本題考查以雙曲線為載體的三角形面積的求法，滲透了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).采取公式法，利用數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸和方程思想解題.忽視圓錐曲線方程和兩點間的距離公式的聯(lián)系導(dǎo)致求解不暢，采取列方程組的方式解出三角形的高，便可求三角形面積.23.【2019年高考北京卷理數(shù)】已知橢圓(ab0)的離心率為，則A.a2=2b2B.3a2=4b2

17、C.a=2bD.3a=4b【答案】B【解析】橢圓的離心率，化簡得，故選B.【名師點睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，屬于容易題，注重基礎(chǔ)知識基本運算能力的考查.由題意利用離心率的定義和的關(guān)系可得滿足題意的等式.24.【2019年高考北京卷理數(shù)】數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線C：就是其中之一(如圖).給出下列三個結(jié)論：曲線C恰好經(jīng)過6個整點(即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點)；曲線C上任意一點到原點的距離都不超過；曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3.其中，所有正確結(jié)論的序號是A.B.C.D.【答案】C【解析】由得，所以可取的整數(shù)有0，1，1，從而曲線恰好經(jīng)過(0，1)，(0，1)，(

18、1，0)，(1，1)， (1，0)，(1，1)，共6個整點，結(jié)論正確.由得，解得，所以曲線上任意一點到原點的距離都不超過. 結(jié)論正確.如圖所示，易知，四邊形的面積，很明顯“心形”區(qū)域的面積大于，即“心形”區(qū)域的面積大于3，說法錯誤.故選C.【名師點睛】本題考查曲線與方程曲線的幾何性質(zhì)，基本不等式及其應(yīng)用，屬于難題，注重基礎(chǔ)知識基本運算能力及分析問題、解決問題的能力考查，滲透“美育思想”.將所給方程進(jìn)行等價變形確定x的范圍可得整點坐標(biāo)和個數(shù)，結(jié)合均值不等式可得曲線上的點到坐標(biāo)原點距離的最值和范圍，利用圖形的對稱性和整點的坐標(biāo)可確定圖形面積的范圍.25.【2019年高考天津卷理數(shù)】已知拋物線的焦點

19、為，準(zhǔn)線為，若與雙曲線的兩條漸近線分別交于點和點，且(為原點)，則雙曲線的離心率為A.B.C.D.【答案】D【解析】拋物線的準(zhǔn)線的方程為，雙曲線的漸近線方程為，則有，.故選D.【名師點睛】本題考查拋物線和雙曲線的性質(zhì)以及離心率的求解，解題關(guān)鍵是求出AB的長度.解答時，只需把用表示出來，即可根據(jù)雙曲線離心率的定義求得離心率.26.【2019年高考浙江卷】漸近線方程為xy=0的雙曲線的離心率是A.B.1C.D.2【答案】C【解析】因為雙曲線的漸近線方程為，所以，則，所以雙曲線的離心率.故選C.【名師點睛】本題根據(jù)雙曲線的漸近線方程可求得，進(jìn)一步可得離心率，屬于容易題，注重了雙曲線基礎(chǔ)知識、基本計算

20、能力的考查.理解概念，準(zhǔn)確計算，是解答此類問題的基本要求.部分考生易出現(xiàn)理解性錯誤.27.【2021全國高考真題】已知為坐標(biāo)原點，拋物線：()的焦點為，為上一點，與軸垂直，為軸上一點，且，若，則的準(zhǔn)線方程為_.【答案】【分析】先用坐標(biāo)表示，再根據(jù)向量垂直坐標(biāo)表示列方程，解得，即得結(jié)果.【詳解】拋物線： ()的焦點，P為上一點，與軸垂直，所以P的橫坐標(biāo)為，代入拋物線方程求得P的縱坐標(biāo)為，不妨設(shè)，因為Q為軸上一點，且，所以Q在F的右側(cè)，又，因為，所以，所以的準(zhǔn)線方程為故答案為：.【點評】利用向量數(shù)量積處理垂直關(guān)系是本題關(guān)鍵.28.【2021全國高考真題(理)】已知雙曲線的一條漸近線為，則C的焦距為

21、_.【答案】4【分析】將漸近線方程化成斜截式，得出的關(guān)系，再結(jié)合雙曲線中對應(yīng)關(guān)系，聯(lián)立求解，再由關(guān)系式求得，即可求解【詳解】由漸近線方程化簡得，即，同時平方得，又雙曲線中，故，解得(舍去)，故焦距故答案為：4【點評】本題為基礎(chǔ)題，考查由漸近線求解雙曲線中參數(shù)，焦距，正確計算并聯(lián)立關(guān)系式求解是關(guān)鍵29.【2021北京高考真題】已知拋物線，焦點為，點為拋物線上的點，且，則的橫坐標(biāo)是_；作軸于，則_.【答案】5 【分析】根據(jù)焦半徑公式可求的橫坐標(biāo)，求出縱坐標(biāo)后可求.【詳解】因為拋物線的方程為，故且.因為，解得，故，所以，故答案為：5，.30.【2021浙江高考真題】已知橢圓，焦點，若過的直線和圓相切

22、，與橢圓在第一象限交于點P，且軸，則該直線的斜率是_，橢圓的離心率是_.【答案】 【分析】不妨假設(shè)，根據(jù)圖形可知，再根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系即可求出；再根據(jù)橢圓的定義求出，即可求得離心率.【詳解】如圖所示：不妨假設(shè)，設(shè)切點為，所以， 由，所以，于是，即，所以.故答案為：；.31.【2020年高考全國I卷理數(shù)】已知F為雙曲線的右焦點，A為C的右頂點，B為C上的點，且BF垂直于x軸.若AB的斜率為3，則C的離心率為 .【答案】2【解析】聯(lián)立，解得，所以.依題可得，即，變形得，因此，雙曲線的離心率為.故答案為：.【點評】本題主要考查雙曲線的離心率的求法，以及雙曲線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.32.

23、【2020年高考天津】已知直線和圓相交于兩點.若，則的值為_.【答案】5【解析】因為圓心到直線的距離，由可得，解得.故答案為：.【點評】本題主要考查圓的弦長問題，涉及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和點到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題.33.【2020年高考北京】已知雙曲線，則C的右焦點的坐標(biāo)為_；C的焦點到其漸近線的距離是_.【答案】；【解析】在雙曲線中，則，則雙曲線的右焦點坐標(biāo)為，雙曲線的漸近線方程為，即，所以，雙曲線的焦點到其漸近線的距離為.故答案為：；.【點評】本題考查根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求雙曲線的焦點坐標(biāo)以及焦點到漸近線的距離，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.34.【2020年高考浙江】已知直線與圓和圓均相切，則

24、_，b=_.【答案】；【解析】由題意，到直線的距離等于半徑，即，所以，所以(舍)或者，解得.故答案為：【點晴】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力，是一道基礎(chǔ)題.35.【2020年高考江蘇】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率是 .【答案】【解析】雙曲線，故.由于雙曲線的一條漸近線方程為，即，所以，所以雙曲線的離心率為.故答案為：【點評】本小題主要考查雙曲線的漸近線，考查雙曲線離心率的求法，屬于基礎(chǔ)題.36.【2020年新高考全國卷】斜率為的直線過拋物線C：y2=4x的焦點，且與C交于A，B兩點，則=_.【答案】【解析】拋物線的方程為，拋物

25、線的焦點F坐標(biāo)為，又直線AB過焦點F且斜率為，直線AB的方程為：代入拋物線方程消去y并化簡得，解法一：解得 所以解法二：設(shè)，則，過分別作準(zhǔn)線的垂線，設(shè)垂足分別為如圖所示.故答案為：【點評】本題考查拋物線焦點弦長，涉及利用拋物線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，弦長公式，屬基礎(chǔ)題.37.【2020年高考江蘇】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知，A，B是圓C：上的兩個動點，滿足，則PAB面積的最大值是 .【答案】【解析】設(shè)圓心到直線距離為，則所以令(負(fù)值舍去)當(dāng)時，；當(dāng)時，因此當(dāng)時，取最大值，即取最大值為，故答案為：【點評】本題考查垂徑定理、利用導(dǎo)數(shù)求最值，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.38.【2019年高考浙江卷】

26、已知圓的圓心坐標(biāo)是，半徑長是.若直線與圓C相切于點，則=_，=_.【答案】，【解析】由題意可知，把代入直線AC的方程得，此時.【名師點睛】本題主要考查圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系.首先通過確定直線的斜率，進(jìn)一步得到其方程，將代入后求得，計算得解.解答直線與圓的位置關(guān)系問題，往往要借助于數(shù)與形的結(jié)合，特別是要注意應(yīng)用圓的幾何性質(zhì).39.【2019年高考浙江卷】已知橢圓的左焦點為，點在橢圓上且在軸的上方，若線段的中點在以原點為圓心，為半徑的圓上，則直線的斜率是_.【答案】【解析】方法1：如圖，設(shè)F1為橢圓右焦點.由題意可知，由中位線定理可得，設(shè)，可得，與方程聯(lián)立，可解得(舍)，又點在橢圓上且在軸的上方，求得，所以.方法2：(焦半徑公式應(yīng)用)由題意可知，由中位線定理可得，即，從而可求得，所以.【名師點睛】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的幾何性質(zhì)、圓的方程與性質(zhì)的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合思想，是解答解析幾何問題的重要途徑.結(jié)合圖形可以發(fā)現(xiàn)，利用三角形中位線定理，將線段長度用圓的方程表示，與