2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)分層設(shè)計(jì)全國(guó)I卷練習(xí)：第二層專題四專題過(guò)關(guān)檢測(cè)概率、隨機(jī)變量及其分布列

1、專題過(guò)關(guān)檢測(cè)一、選擇題A組一一“6+3+3”考點(diǎn)落實(shí)練b.31 TOC o 1-5 h z 1. （2019貴州省適應(yīng)性考試）在2018中國(guó)國(guó)際大數(shù)據(jù)產(chǎn)業(yè)博覽會(huì)期間，有甲、乙、丙、 丁 4名游客準(zhǔn)備到貴州的黃果樹瀑布、梵凈山、萬(wàn)峰林三個(gè)景點(diǎn)旅游，其中每個(gè)人只能去 一個(gè)景點(diǎn)，每個(gè)景點(diǎn)至少要去一個(gè)人，則游客甲去梵凈山旅游的概率為（）1A.42C-D.；3解析：選B 4名游客去三個(gè)景點(diǎn)，每個(gè)景點(diǎn)至少有一個(gè)人， 可以先將其中2名游客“推 綁在一起”作為“一個(gè)人”，再將“三個(gè)人”安排到三個(gè)景點(diǎn)去旅游，共有 C2A3=6X6 = 36（種）方案.游客甲去梵凈山旅游， 若梵凈山再?zèng)]有其他 3名游客去旅游，則

2、有C3A2=3X： =6（種）方案，若“乙、丙、丁”中有1人也去了梵凈山旅游，則有 A3=6（種）方案，所以游 客甲去梵凈山旅游共有 12種方案.所以游客甲去梵凈山旅游的概率 P = 32 = 1.故選B.2.（2019江西八所重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考）小華的愛(ài)好是玩飛鏢，現(xiàn)有如圖所示的由 兩個(gè)邊長(zhǎng)都為 2的正方形ABCD和OPQR構(gòu)成的標(biāo)靶圖形，如果O正好是正 方形ABCD的中點(diǎn)，而正方形OPQR可以繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn).若小華隨機(jī)向標(biāo)靶投 飛鏢，一定能射中標(biāo)靶，則他射中陰影部分的概率是（）1A.；31D.7解析：選D 如圖，記 OP交AB于H , OR交BC于G.當(dāng)H不為AB 的中點(diǎn)時(shí)，過(guò) O分別作 OE，AB

3、于E , OF，BC于F ,貝U / OEH = / OFG= 90,又O正好是正方形 ABCD的中點(diǎn)，所以 OE=OF, / EOF =90,又/GOH = 90,所以/ GOF = / EOH ,所以 OEH和OFG全等，所以陰影部分白面積與正方形OEBF1的面積相等，所以陰影部分的面積為標(biāo)靶面積的7.當(dāng)H為AB的中點(diǎn)時(shí)，陰影部分的面積為 TOC o 1-5 h z 11，標(biāo)靶面積的7.所以小華射中陰影部分的概率為7,故選d.小趙、小錢、小孫、小李到4個(gè)景點(diǎn)旅游，每人只去一個(gè)景點(diǎn)，設(shè)事件A= 4個(gè)人去的景點(diǎn)不相同，事件B= 小趙獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)”，則 P(A|B)=()2A.95%D5解析：

4、選A 小趙獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)共有4X3X3X 3= 108種可能性，4個(gè)人去的景點(diǎn)不242向的可能性有 A4=4X 3X 2X 1 = 24 種，P(A|B)=-=g.4.投籃測(cè)試中，每人投 3次，至少投中2次才能通過(guò)測(cè)試.已知某同學(xué)每次投籃投中 的概率為0.6,且各次投籃是否投中相互獨(dú)立，則該同學(xué)通過(guò)測(cè)試的概率為()A. 0.648B.0.432C. 0.36D.0.312解析：選A 3次投籃投中2次的概率為P(k=2) = C3x0.62X(1 0.6),投中3次的概 率為 P(k=3)=0.63,所以通過(guò)測(cè)試的概率為 P(k=2) + P(k=3)=C2 x 0.62x (1 0.6)+ 0

5、.63 = 0.648.某群體中的每位成員使用移動(dòng)支付的概率都為p,各成員的支付方式相互獨(dú)立.設(shè)X為該群體的10位成員中使用移動(dòng)支付的人數(shù)，DX=2.4, P(X = 4)P(X=6),則p=(A. 0.7B.0.6C. 0.4D.0.3解析：選B由題意可知，10位成員中使用移動(dòng)支付的人數(shù)X服從二項(xiàng)分布，即 XB(10, p),所以 DX = 10p(1 p) = 2.4,所以 p=0.4或 0.6.又因?yàn)?P(X = 4)P(X=6),所以 C%p4(1 p)60.5,所以p=0.6.(2019武漢市調(diào)研測(cè)試)為了提升全民身體素質(zhì)，學(xué)校十分重視學(xué)生體育鍛煉.某校 籃球運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行投籃練習(xí)，他前

6、一球投進(jìn)則后一球投進(jìn)的概率為*他前一球投不進(jìn)則后一13球投進(jìn)的概率為1.若他第1球投進(jìn)的概率為4,則他第2球投進(jìn)的概率為()A3解析：選B設(shè)該籃球運(yùn)動(dòng)員投進(jìn)第個(gè)球投不進(jìn)的概率為1 Pn -1 ,則他投進(jìn)第n-1(n2, nCN*)個(gè)球的概率為 Pn-i,第n-1 n 個(gè)球的概率為 Pn=3Pn 1+(1 Pn 1)= 1+-1Pn TOC o 1-5 h z 444 211X -=-42n 1111一 Pn -2= P1-22一 1, 1*5，- Pn= 2+(n C N ), . P2=8.故選 B.二、填空題(2019石家莊市模擬(一)已知實(shí)數(shù)xC0, 10,則x滿足不等式x2-4x+3

7、0的概 率為.解析：二.不等式x24x+3W0的解集為1, 3,所以若xC0, 10,則x滿足不等式 x2-4x+30的概率為15答案：15我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想 是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和，如 30= 7+ 23.在不超過(guò)30的素?cái)?shù)中， 隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的概率是 .解析：不超過(guò)30的所有素?cái)?shù)為 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,共10個(gè)，隨 機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，共有 C20 = 45種情況，而和為 30的有7+23, 11 + 19, 13+17這3 種情況，,所求概率為

8、2=2.(2019山東煙臺(tái)期中)為了解高三復(fù)習(xí)備考情況，某校組織了一次階段考試.若高三 全體考生的數(shù)學(xué)成績(jī)近似服從正態(tài)分布N(100, 17.52).已知成績(jī)?cè)?17.5分以上(含117.5分)的學(xué)生有80人，則此次參加考試的學(xué)生成績(jī)不超過(guò)82.5分的概率為 ;如果成績(jī)大于135分的為特別優(yōu)秀，那么本次數(shù)學(xué)考試成績(jī)特別優(yōu)秀的大約有 人.(若X N(%(T2),則 P(廣 0X w + 4=0.68, P(2oX 什 2 o) 0.96)解析：因?yàn)閿?shù)學(xué)成績(jī) x服從正態(tài)分布 N(100, 17.52),則P(100-17.5x100+17.5) = P(82.5x117.5)=0.68,所以此次參

9、加考試的學(xué)生成績(jī)不超過(guò)82.5分的概率 P(x82.5) =1 P (82.5x117.5).210.6820.16.又 P(100- 17.5X 2x100+ 17.5X 2)= P(65x135)=1 P(6警135)J-；96 = 0.02.又P(x 117.5)= 0.16,則本次考試數(shù)學(xué)成績(jī)特別優(yōu)秀的人數(shù)大約是* 0.02 = 答案：0.16 10 三、解答題10. (2019唐山*II擬)甲、乙兩位工人分別用兩種不同工藝生產(chǎn)同一種零件，已知尺寸在223, 228(單位：mm)內(nèi)的零件為一等品，其余為二等品.甲、乙當(dāng)天生產(chǎn)零件尺寸的莖葉圖如圖所示:甲乙3 913 4 5 7 8 0

10、21個(gè)零件，求抽取的 2個(gè)零件等(1)從甲、乙兩位工人當(dāng)天所生產(chǎn)的零件中各隨機(jī)抽取 級(jí)互不相同的概率；(2)從工人甲當(dāng)天生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取3個(gè)零件，記這3個(gè)零件中一等品數(shù)量為 X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解：(1)由莖葉圖可知，甲當(dāng)天生產(chǎn)了10個(gè)零件，其中4個(gè)一等品，6個(gè)二等品；乙當(dāng)天生產(chǎn)了 10個(gè)零件，其中5個(gè)一等品，5個(gè)二等品. .4X 5+ 6X 5 1 TOC o 1-5 h z 所以抽取的2個(gè)零件等級(jí)互不相同的概率P= 110X 102(2)X 可取 0, 1, 2, 3. C0C3 1 C4c61P(X=01石小wx而=2；P(X=21存=行；P(X=31俞=30.X的分布列為X

11、0123P1131621030所以隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0X：+1X：+2X* + 3*2=6.621030 511.為調(diào)查大學(xué)生這個(gè)微信用戶群體中每人擁有微信群的數(shù)量，現(xiàn)從某市大學(xué)生中隨 機(jī)抽取300位同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果如下：微信群0至5個(gè)6至10個(gè)11至15個(gè)16至20個(gè)20個(gè)合數(shù)量以上計(jì)頻數(shù)09090 x15300頻率00.30.3yz1(1)求x, y, z的值；(2)以這300人的樣本數(shù)據(jù)估計(jì)該市的總體數(shù)據(jù)且以頻率估計(jì)概率，若從全市大學(xué)生量很大)中隨機(jī)抽取3人，記X表示抽到的是微彳t群個(gè)數(shù)超過(guò)15的人數(shù)，求X的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差.解：(1)由已知得 0+90+90 + x

12、+ 15= 300,解得x= 105,所以y=105300= 0.35, z= 3=0.05.300(2)依題意可知，微彳t群個(gè)數(shù)超過(guò)15的概率為P =105+15 2=3005-X的所有可能取值為0,1, 2, 3.依題意得，XB-23, 5-,2所以 P(X=k)=C - 53 k(k=0, 1, 2, 3).所以X的分布列為X0123P2754368125125125125所以 E(X)=3x| = 6, 5 52. 218D(X)=3X5X 1-5=25-12. (2019合肥市第二次質(zhì)量檢測(cè))某種大型醫(yī)療檢查機(jī)器生產(chǎn)商，對(duì)一次性購(gòu)買機(jī)器的客戶，推出 2種超過(guò)質(zhì)保期后2年內(nèi)的延保維修優(yōu)

13、惠方案,方案一：交納延保金 7 000元，在延保的2年內(nèi)可免費(fèi)維修 2次，超過(guò)2次每次收取維修費(fèi)2 000元；方案二：交納延保金 10 000元，在延保的2年內(nèi)可免費(fèi)維修 4次，超過(guò)4次每次收取 維修費(fèi)1 000元.某醫(yī)院準(zhǔn)備一次性購(gòu)買2臺(tái)這種機(jī)器.現(xiàn)需決策在購(gòu)買機(jī)器時(shí)應(yīng)購(gòu)買哪種延保方案，為此搜集并整理了 50臺(tái)這種機(jī)器超過(guò)質(zhì)保期后延保 2年內(nèi)維修的次數(shù)，得下表：維修次數(shù)0123臺(tái)數(shù)5102015以這50臺(tái)機(jī)器維修次數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器維修次數(shù)發(fā)生的概率.記X表示這2臺(tái)機(jī)器超過(guò)質(zhì)保期后延保的 2年內(nèi)共需維修的次數(shù).(1)求X的分布列;(2)以方案一與方案二所需費(fèi)用(所需延保金及維修費(fèi)用之和)的

14、期望值為決策依據(jù)，醫(yī)院選擇哪種延保方案更合算？解：(1)X的所有可能取值為 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. TOC o 1-5 h z 111- 11c 1p(X= 0) = X P(X= 1)=x - X2=一,P(X 0) 10 10 1001 10 52511 21一 3p(X=2)=5x5+5xw E(Y2), .該醫(yī)院選擇延保方案二較合算.B組一一大題專攻強(qiáng)化練1. (2019廣州市綜合檢測(cè)(一)為了引導(dǎo)居民合理用電，國(guó)家決定實(shí)行合理的階梯電價(jià),居民用電原則上以住宅為單位(一套住宅為一戶).階梯級(jí)別第一階梯第二階梯第三階梯月用電范圍/度0, 210(210, 400(400

15、, +8)某市隨機(jī)抽取10戶同一個(gè)月的用電情況，得到統(tǒng)計(jì)表如下:居民用電戶編號(hào)12345678910用電量/度538690124132200215225300410(1)若規(guī)定第一階梯電價(jià)每度0.5元，第二階梯超出第一階梯的部分每度0.6元，第三階梯超出第二階梯的部分每度0.8元，試計(jì)算某居民用電戶用電410度時(shí)應(yīng)交電費(fèi)多少元？(2)現(xiàn)要從這10戶家庭中任意選取 3戶，求取到第二階梯電量的戶數(shù)的分布列與期望.(3)以表中抽到的10戶作為樣本估計(jì)全市居民用電，現(xiàn)從全市中依次抽取 到k戶用電量為第一階梯的可能性最大，求 k的值.10戶,若抽解：(1)210 X 0.5+(400 210) X 0.

16、6+(410 400) X 0.8= 227(元).(2)設(shè)取到第二階梯電量的戶數(shù)為E,可知第二階梯電量的用戶有 3戶，則E可取0, 1,2, 3,C370)=瓦=萬(wàn)，C2C3 21 1)=4?C7C27P(E= 2)=6=40_C313)=0=120,故E的分布列為0123P7_2171244040120.E($=0 x；7-+ 1 x 21+ 2x -7;+ 3x -1- = 79244040120 10.(3)設(shè)從全市中抽取310尸的用電量為第一階梯的有 XL,則XB 10,-,可知 P(X=k)=C(010- k(k=0, 1, 2, 3,，10),23 kC105k 2 10- k5

17、k 2 10- k50101 35k-19-k5，2 11-k5，當(dāng)k= 6時(shí)用電量為第一階梯的可能性最大,k= 6.2. (2019昆明市質(zhì)量檢測(cè))某地區(qū)為貫徹習(xí)近平總書記關(guān)于“綠水青山就是金山銀山”A, B, C,經(jīng)引種試的理念，鼓勵(lì)農(nóng)戶利用荒坡種植果樹.某農(nóng)戶考察三種不同的果樹苗驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，引種樹苗A的自然成活率為0.8,引種樹苗B,C的自然成活率均為p(0.7 p200 000,則有 n699.所以該農(nóng)戶至少引種 700棵B種樹苗，就可獲利不低于20萬(wàn)元.(2019濟(jì)南市高三模擬)某客戶準(zhǔn)備在家中安裝一套凈水系統(tǒng)，該系統(tǒng)為三級(jí)過(guò)濾， 使用壽命為十年.如圖所示，兩個(gè)一級(jí)過(guò)濾器采用并聯(lián)安裝，

18、二級(jí)過(guò)濾器與三級(jí)過(guò)濾器為串聯(lián)安裝.其中每一級(jí)過(guò)濾都由核心部件濾芯來(lái)實(shí)現(xiàn)，在使用過(guò)程中，一級(jí)濾芯和二級(jí)濾芯都需要不定期更換（每個(gè)濾芯是否需要更換相互獨(dú)立），三級(jí)濾芯無(wú)需更換，若客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時(shí)購(gòu)買濾芯，則一級(jí)濾芯每個(gè)80元，二級(jí)濾芯每個(gè) 160元.若客戶在使用過(guò)程中單獨(dú)購(gòu)買濾芯，則一級(jí)濾芯每個(gè)200元，二級(jí)濾芯每個(gè) 400元.現(xiàn)需決策安裝凈水系統(tǒng)的同時(shí)購(gòu)濾芯的數(shù)量，為此參考了根據(jù)100套該款凈水系統(tǒng)在十年使用期內(nèi)更換濾芯的相關(guān)數(shù)據(jù)制成的圖表，其中圖是根據(jù)200個(gè)一級(jí)過(guò)濾器更換的濾芯個(gè)數(shù)制成的柱狀圖，表是根據(jù)100個(gè)二級(jí)過(guò)濾器更換的濾芯個(gè)數(shù)制成的頻數(shù)分布表.二級(jí)濾芯更換頻數(shù)分布表二級(jí)濾芯更

19、換的個(gè)數(shù)56頻數(shù)6040以200個(gè)一級(jí)過(guò)濾器更換濾芯的頻率代替1個(gè)一級(jí)過(guò)濾器更換濾芯發(fā)生的概率,以100個(gè)二級(jí)過(guò)濾器更換濾芯的頻率代替1個(gè)二級(jí)過(guò)濾器更換濾芯發(fā)生的概率.(1)求一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級(jí)濾芯總個(gè)數(shù)恰好為30的概率；(2)記X表示該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的一級(jí)濾芯總數(shù)，求 X的分布列及 數(shù)學(xué)期望；(3)記m, n分別表示該客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時(shí)購(gòu)買的一級(jí)濾芯和二級(jí)濾芯的個(gè) 數(shù).若m+n = 28,且n C 5 , 6,以該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購(gòu)買各級(jí)濾芯所需總費(fèi) 用的期望為決策依據(jù)，試確定m, n的值.解：(1)由題意可知，若一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更

20、換的各級(jí)濾芯總個(gè)數(shù)恰好為30,則該套凈水系統(tǒng)中的兩個(gè)一級(jí)過(guò)濾器均需更換12個(gè)濾芯，二級(jí)過(guò)濾器需要更換6個(gè)濾芯.設(shè)“一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級(jí)濾芯總個(gè)數(shù)恰好為30”為事件A.因?yàn)橐粋€(gè)一級(jí)過(guò)濾器需要更換12個(gè)濾芯的概率為 0.4,二級(jí)過(guò)濾器需要更換6個(gè)濾芯的概率為0.4,所以P(A)=0.4X 0.4X 0.4=0.064.(2)由柱狀圖可知，一個(gè)一級(jí)過(guò)濾器需要更換的濾芯個(gè)數(shù)為10,11, 12的概率分別為0.2,0.4, 0.4.由題意可知 X可能的取值為 20, 21, 22, 23, 24,P(X= 20)= 0.2 X 0.2=0.04, P(X= 21)=0.2X 0.4X 2

21、= 0.16,P(X= 22)=0.4X 0.4+0.2X 0.4X 2=0.32,P(X= 23)= 0.4 X 0.4X 2=0.32, P(X = 24) = 0.4X 0.4= 0.16.所以X的分布列為X2021222324P0.040.160.320.320.16E(X)=20X 0.04+ 21X 0.16+22X 0.32+23X 0.32+24X 0.16=22.4.(3)若 m = 22, n=6,設(shè)該客戶在十年使用期內(nèi)購(gòu)買一級(jí)濾芯所需總費(fèi)用為丫1(單位：元)，則Y11 7601 9602 160P0.520.320.16E(Y1)= 1 760 X 0.52+ 1 960

22、 X 0.32+2 160 X 0.16= 1 888.設(shè)該客戶在十年使用期內(nèi)購(gòu)買二級(jí)濾芯所需總費(fèi)用為丫2(單位：元),則Y2=6X160 =960, E(Y2)= 1 X 960= 960.所以該客戶在十年使用期內(nèi)購(gòu)買各級(jí)濾芯所需總費(fèi)用的期望為E(Y1)+E(Y2) = 1 888 + 960=2 848.若m=23, n=5,設(shè)該客戶在十年使用期內(nèi)購(gòu)買一級(jí)濾芯所需總費(fèi)用為Z1(單位：元),Z11 8402 040P0.840.16E(Zi)= 1 840X 0.84+2 040X 0.16= 1 872.設(shè)該客戶在十年使用期內(nèi)購(gòu)買二級(jí)濾芯所需總費(fèi)用為Z2(單位：元)，則Z28001 200P0.60.4E(Z2)= 800X 0.6+ 1 200X 0.4= 960.所以該客戶在十年使用期內(nèi)購(gòu)買各級(jí)濾芯所需總費(fèi)用的期望為E(Z1)+E(Z2)= 1 872 +960=2 832.因?yàn)?2 832 2)份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗(yàn).若檢驗(yàn)結(jié)果為 陰性，這k份的血液全為陰性，因而這 k份血液樣本只要檢驗(yàn)一次就夠了，如果檢驗(yàn)結(jié)果 為陽(yáng)性，為了明確這 k份血液究竟哪幾份為陽(yáng)性，就要對(duì)這k份再逐份檢驗(yàn)，此時(shí)這k份