2平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角教、學案

1、2. 4.2 平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角一、教材分析本課的地位及作用：平面向量數(shù)量積的坐標表示， 就是運用坐標這一量化工具表達向量 的數(shù)量積運算，為研究平面中的距離、垂直、 角度等問題提供了全新的手段。它把向量的數(shù) 量積與坐標運算兩個知識點緊密聯(lián)系起來，是全章重點之一。二.教學目標.學會用平面向量數(shù)量積的坐標表達式，會進行數(shù)量積的運算。理解掌握向量的模、 夾角等公式。能根據(jù)公式解決兩個向量的夾角、垂直等問題。. (1)通出問題，把問題的求解與探究貫穿整堂課，學生在自主探究中發(fā)現(xiàn)了結論 (2)通過對向量平行與垂直的充要條件的坐標表示的類比，教給了學生類比聯(lián)想的 記憶方法。.經(jīng)歷根據(jù)平面向

2、量數(shù)量積的意義探究其坐標表示的過程，體驗在此基礎上探究發(fā)現(xiàn) 向量的模、夾角等重要的度量公式的成功樂趣，培養(yǎng)學生的探究能力、創(chuàng)新精神、三、教學重點難點重點：平面向量數(shù)量積的坐標表示 難點：向量數(shù)量積的坐標表示的應用四、學情分析此之前學生已學習了平面向量的坐標表示和平面向量數(shù)量積概念及運算，但數(shù)量積是用長度和夾角這兩個概念來表示的，應用起來不太方便，如何用坐標這一最基本、 最常用的工具來表示數(shù)量積，使之應用更方便，就是擺在學生面前的一個亟待解決的問題。因此， 本節(jié)內(nèi)容的學習是學生認知發(fā)展和知識構建的一個合情、合理的“生長點”。所以，本節(jié)課采取以學生自主完成為主，教師查漏補缺的教學方法。因此結合中學

3、生的認知結構特點和學生實 際。我將本節(jié)教學目標確定為：1、理解掌握平面向量數(shù)量積的坐標表達式，會進行數(shù)量積的運算。理解掌握向量的模、 夾角等公式。能根據(jù)公式解決兩個向量的夾角、垂直等問題2、經(jīng)歷根據(jù)平面向量數(shù)量積的意義探究其坐標表示的過程，體驗在此基礎上探究發(fā)現(xiàn)向量的 模、夾角等重要的度量公式的成功樂趣，培養(yǎng)學生的探究能力、創(chuàng)新精神。五、教學方法.實驗法：多媒體、實物投影儀。.學案導學：見后面的學案。.新授課教學基本環(huán)節(jié)：預習檢查、總結疑惑-情境導入、展示目標-合作探究、精 講點撥-反思總結、當堂檢測-發(fā)導學案、布置預習。六、課前準備.學生的學習準備：預習學案。.教師的教學準備：多媒體課件制作

4、，課前預習學案，課內(nèi)探究學案，課后延伸拓展 學案。七、課時安排：1課時八、教學過程(一)預習檢查、總結疑惑檢查落實了學生的預習情況并了解了學生的疑惑，使教學具有了針對性。(二)情景導入、展示目標。創(chuàng)設問題情景，引出新課a與b的數(shù)量積 的定義？向量的運算有幾種？ 應怎樣計算？出示學習目標：1、理解掌握平面向量數(shù)量積的坐標表示、向量的 夾角、模的 公式.2、 兩個向量垂直的坐標表示3、運用兩個向量的數(shù)量積的坐標表示初步解決處理有關長度垂直的幾個問題.(三)合作探究，精講點撥探究一：已知兩個非零向量a=(x i,x 2),b=(x 2,y 2),怎樣用a與b的坐標表示數(shù)量積 a - b呢？2. .

5、2a b=(xi,y i) (x 2,y 2)=(x ii+y ij) (x 21+y 2j)=x 1X21 +xiy2i - j+x 2yi - j+y iy2j =xiX2+yiy2即：兩個向量的數(shù)量積等于它們對應坐標的乘積的和師生：學生回答提出的問題，教師點評學生：合作探索提出的問題。教師：巡視輔導學生，解決遇到的困難，估計學生對正交單位基向量i,j的運算可能有困難，點撥學：i2=1,j 2=1,i - j=0師生：學生展示探究結果，教師給予點評設計意圖：回顧平面向量數(shù)量積的意義，為探究數(shù)量積的坐標表示做好準備。創(chuàng)設情境激發(fā)學生的學習興趣，出示學習目標使學生了解本課的任務問題引領，培養(yǎng)學

6、生的探索研究能力探究二：探索發(fā)現(xiàn)向量的模的坐標表達式若a=(x,y),如何計算向量的模|a|呢？若A(x1,x2),B(x 2,y 2),如何計算向量 AB的模兩點A B間的距離呢?AB = (x2 -x1)2 (y2 - y1)2,教師提出問題學生：獨立思考探究合作交流讓學生展示探究的結論，教師總結設計意圖：在向量數(shù)量積的坐標表示基礎上，探索發(fā)現(xiàn)向量的模例1、如圖，以原點和A(5, 2)為頂點作等腰直角 OAB使/B= 90,求點B和向量aB 的坐標.解：設 B點坐標(x, y),則 OB = ( x, y), AB = ( x-5, y-2)OB AB ，x(x5) + y(y-2) =

7、0 即：x + y2 -5x - 2 y = 0又.|OB| = | AB |.x2 + y2 = ( x-5)2 + (y2)2 即：10 x + 4 y = 29 TOC o 1-5 h z 2 22- 人x + y -5x 2y = 0J0 x +4y =292或J237y1 = 一y2 =2L273X1 = Tx2 = T73、_ 3 737 -73. .8點坐標(，_ )或(，)；AB =(-，一)或(一,) HYPERLINK l bookmark11 o Current Document 222 2222 2評述：用向量的垂直關系的坐標表示作為此題的突破點。變式：已知 a+b=2

8、i-8j,a -b= -8i+16j,則ajb探究三：向量夾角、垂直、坐標表不設a,b都是非零向量，a=(x1,y1),b(x 2,y 2),如何判定a b或計算a與b的夾角呢?1、向量夾角的坐標表示XiX2yy2.x; y:、x22 - y222、aba - b=0 x1x2+y1y2=03、a / b X .2-x 2y1=0學生：獨立思考、探究，合作交流，師生：讓學生展示探究的結論，教師總結提醒學生a, b與a / b坐標表達式的不同設計意圖：在向量數(shù)量積的坐標表示基礎上兩向量垂直，兩向量夾角的坐標表達式例2在ABC4 AB=(2, 3) , AC =(1 , k),且 ABC勺一個內(nèi)角

9、為直角，求 k值.3解：當 A = 90 時，AB AC = 0 , . .2X1 +3X k = 0. . k =-2當 B = 90 時，AB BC = 0, BC = AC -AB= (12, k-3) = ( 1, k-3)當 C = 90 耐，AC BC = 0 , .-1 + k(k = 0.k =322X( -1) +3 x( k-3) = 0(1) ka + bWa 一 3b 垂直?評述：熟練應用向量的夾角公式。變式：已知，a =(1,2), b =(3,2),當k為何值時,(2)ka +b與a - 3b平行嗎？平行時它們是同向還是反向?（四）反思總結，當堂檢測。教師組織學生反

10、思總結本節(jié)課的主要內(nèi)容，并進行當堂檢測。設計意圖：引導學生構建知識網(wǎng)絡并對所學內(nèi)容進行簡單的反饋糾正。（課堂實錄）（五）發(fā)導學案、布置預習。我們已經(jīng)學習數(shù)量積的坐標運算。 模。夾角。下節(jié)學習平面向量應用舉例這節(jié)課后大家可以 先預習這一部分，著重體會向量是一種處理幾何問題。 物理問題的工具增強應用意識提高解 題能力九、板書設計平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角（一）平面向量數(shù)量積的坐標表示二、平面向量的模例1:1、概念強調(diào) （1）記法例2:“規(guī)定”三、平面向量數(shù)量積的夾角十、教學反思.教學方法：結合本節(jié)教材淺顯易懂，又有前面平面向量的數(shù)量積和向量的坐標表示 等知識作鋪墊的內(nèi)容特點， 兼顧高一學生

11、已具備一定的數(shù)學思維能力和處理向量問題的方法 的現(xiàn)狀，我主要采用“誘思探究教學法”，其核心是“誘導思維，探索研究”，其教學思想是“教師為主導，學生為主體，訓練為主線的原則，為此，我通過精心設置的一個個問題，激發(fā)學生的求知欲，積極的鼓勵學生的參與，給學生獨立思考的空間，鼓勵學生自主探索，最終在教師的指導下去探索發(fā)現(xiàn)問題， 解決問題。在教學中，我適時的對學生學習過程給予評 價，適當?shù)脑u價，可以培養(yǎng)學生的自信心，合作交流的意識，更進一步地激發(fā)了學生的學習興趣，讓他們體驗成功的喜悅。.教學手段：利用多媒體輔助教學，可以加大一堂課的信息容量，極大提高學生的學習興趣。卜一、學案設計（見下頁）2.4.2平面

12、向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角課前預習學案一、預習目標：預習平面向量數(shù)量積的坐標表達式，會進行數(shù)量積的運算。了解向量的模、夾角等公式。二、預習內(nèi)容：.平面向量數(shù)量積(內(nèi)積)的坐標表示 .引入向量的數(shù)量積的坐標表示，我們得到下面一些重要結論：(1)向量模的坐標表示：能表示單位向量的模嗎？(2)平面上兩點間的距離公式：向量a的起點和終點坐標分別為 A(xi, yi) , B(x2, y2)AB=(3)兩向量的夾角公式 cosg = .向量垂直的判定(坐標表不)4.向量平行的判定(坐標表示) 三、提出疑惑同學們，通過你的自主學習，你還有哪些疑惑，請把它填在下面的表格中疑惑點疑惑內(nèi)容課內(nèi)探究學案一、學

13、習目標學會用平面向量數(shù)量積的坐標表達式，會進行數(shù)量積的運算。 掌握兩個向量共線、 垂直的幾何判斷，會證明兩向量垂直，以及能解決一些簡單問題學習重難點：平面向量數(shù)量積及運算規(guī)律.平面向量數(shù)量積的應用二、學習過程(一)創(chuàng)設問題情景，引出新課a與b的數(shù)量積 的定義？向量的運算有幾種 ？應怎樣計算？(二)合作探究，精講點撥探究一：已知兩個非零向量a=(x i,x 2),b=(x 2,y 2),怎樣用a與b的坐標表示數(shù)量積a - b呢？2.a b=(x i,y i) - (x 2,y 2)=(x 11+y ij) - (x 21+y 2j)=x 1X21 +xiy2i - j+X2yii教師：巡視輔導學

14、生，解決遇到的困難，估計學生對正交單位基向量困難，點撥學生：i2=i,j 2=i,l - j=0探究二：探索發(fā)現(xiàn)向量的模的坐標表達式j+y iy2j 2=xix2+yiy2i,j的運算可能有若a=(x,y),如何計算向量的模|a|呢?若A(xi,x2),B(x 2,y 2),如何計算向量 AB的模兩點A B間的距離呢?例i、如圖，以原點和A(5 , 2)為頂點作等腰直角 OAB使/B= 90 的坐標.,求點B和向量AB,I 4 -I 444變式：已知 a+b=2i-8j,a b=8i+i6j,貝Ua_b探究二：向量夾角、垂直、坐標表不設a,b都是非零向量，a=（x i,yi）,b（x 2,y

15、2）,如何判定ab或計算a與b的夾角a,b呢?1、向量夾角的坐標表不2、abxiX2+yiy2=03、a / b X iy2-x 2y i=0例2在ABC中，AB=（2, 3）, AC =（i , k）,且 ABC勺一個內(nèi)角為直角， 求k值.變式：已知，a =（1,2）, b =（一3,2）,當k為何值時，（i） ka +b與a3b垂直?,I,一c, 十/八口 4（2）ka +b與a - 3b平行嗎？平行時它們是同向還是反向？（三）反思總結（四）當堂檢測.已知| a|=1 , | b|= J2 ,且（a-b）與a垂直，則a與b的夾角是（ ）A.60B.30 C.135 D. 4 5.已知| a

16、|=2 , | b|=1 , a與b之間的夾角為 ,那么向量m=%4b的模為（）A.2B.2 3C.6D.123、a=（5,-7）,b=（-6,-4）,求 a 與 b 的 數(shù)量積4、設 a=(2,1),b=(1,3), 求 a b 及 a 與 b 的夾角5、已知向量a=(-2,-1),b=( 入，1)若a與b的夾角為鈍角,則入取值范圍是多少？1.已知 a =(M,3),b 二課后練習與提高 TOC o 1-5 h z (5,6)則3 a -4a b=()A.23B.57C.63D.832.已知a(3,4),b=(5,12)則at b夾角的余弦為()A. 63 B. 、, 65 C.D.21313954T M 5 . a=(2,3),b=(2,4)，則(a+b )a-b)=。J .c 口 4, Lr.已知 a= (2,1 )b= (K,3 出a _L b 貝U X=。. a=( 4,7);b=(5,2)則 a b= ： = N -3b )a+2b )=.與a= (3,4)垂直的單位向量是 4 3、A(二，二)B.5 5/4 3- 43、D.(,)或(,-)5 555. a=(2,3),b=(-3,5)則a在b方向上的投影為.A(1,2),B(2,3),C(2,0) 所以 LI ABC 為()A.直