第20講 函數(shù)y=Asinωx+φ的圖象及三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用(共5頁(yè))

1、第20講函數(shù)(hnsh)yAsin（x）的圖象及三角函數(shù)模型(mxng)的簡(jiǎn)單應(yīng)用知識(shí)(zh shi)梳理一、五點(diǎn)法畫(huà)函數(shù)yAsin(x)的簡(jiǎn)圖用五點(diǎn)法畫(huà)函數(shù)yAsin(x)一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖，要確定五個(gè)特征點(diǎn)，如下表所示：xeq f(,)eq f(f(,2),)eq f(,)eq f(f(3,2),)eq f(2,)x0eq f(,2)eq f(3,2)2yAsin(x)0A0A0具體做法是：先令_取0，eq f(,2)，eq f(3,2)，2五個(gè)值，求出相應(yīng)的x、y的值，再描點(diǎn)作圖二、函數(shù)yAsin(x)(A0，0)，x0，)表示簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)，幾個(gè)相關(guān)的概念如下表：數(shù)yAsin(x)中各量的物

2、理意義 簡(jiǎn)諧振動(dòng)振幅周期頻率相位初相yAsin(x)(A0，0)ATeq f(2,)feq f(1,T)x三、函數(shù)ysinx的圖象經(jīng)平移變換得到y(tǒng)Asin(x)的圖象的步驟方法一：先畫(huà)出函數(shù)ysinx的圖象，再把正弦曲線向左(右)平移_個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)_的圖象；然后使曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)都變?yōu)樵瓉?lái)的_倍，得到函數(shù)_的圖象；最后把曲線上各點(diǎn)的_變?yōu)樵瓉?lái)的_倍，這時(shí)的曲線就是函數(shù)yAsin(x)的圖象方法二：先畫(huà)出函數(shù)ysinx的圖象，再使曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)都變?yōu)樵瓉?lái)的_倍，得到函數(shù)_的圖象；然后把正弦曲線向左(右)平移_個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)_的圖象；最后把曲線上各點(diǎn)的_變?yōu)樵瓉?lái)的_倍，這時(shí)的曲

3、線就是函數(shù)yAsin(x)的圖象以上兩種方法的區(qū)別：方法一先平移再伸縮，方法二先伸縮再平移特別注意方法二中的平移量疑難辨析1利用函數(shù)yAsin(x)圖象的伸縮與平移變換求解析式(1)在圖象變換時(shí)運(yùn)用“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”兩種途徑，向左或向右平移的單位長(zhǎng)度一樣()(2)要得到函數(shù)ysin2x的圖象，只需把函數(shù)ysineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,3)的圖象向右平移eq f(,3)個(gè)單位長(zhǎng)度()(3)把函數(shù)ysinx的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的eq f(1,2)(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)ysineq f(1,2)x的圖象()2求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間函數(shù)ysin(

4、2x)的遞減區(qū)間是eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4)k，f(,4)k)(kZ)()3求三角函數(shù)的周期函數(shù)y2sineq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)xf(,4)的頻率為eq f(4,)，初相為eq f(,4).()考點(diǎn)一函數(shù)yAsin(x)的圖象及變換例1(1)山東卷 已知向量m(sinx，1)，neq blc(rc)(avs4alco1(r(3)Acosx，f(A,2)cos2x)(A0)，函數(shù)f(x)mn的最大值為6，將函數(shù)yf(x)的圖象向左平移eq f(,12)個(gè)單位，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的eq f(1,2)倍，縱坐標(biāo)不變，得到函

5、數(shù)yg(x)的圖象，則g(x)在eq blcrc(avs4alco1(0，f(5,24)上的值域?yàn)開(kāi) (2) 給出下列六種圖象變換方法：圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的eq f(1,2)；圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍；圖象向右平移eq f(,3)個(gè)單位；圖象向左平移eq f(,3)個(gè)單位；圖象向右平移eq f(2,3)個(gè)單位；圖象向左平移eq f(2,3)個(gè)單位請(qǐng)用上述變換中的兩種變換，將函數(shù)ysinx的圖象變換到函數(shù)ysineq blc(rc)(avs4alco1(f(x,2)f(,3)的圖象，那么這兩種變換正確的標(biāo)號(hào)是_(要求按變換先后順序填上一種你認(rèn)為正確

6、的標(biāo)號(hào)即可)歸納總結(jié)由函數(shù)ysinx(xR)的圖象經(jīng)過(guò)平移變換得到函數(shù)yAsin(x)的圖象，在具體問(wèn)題中，可先平移變換后伸縮變換，也可以先伸縮變換后平移變換，但要注意：先伸縮后平移時(shí)要把x前面的系數(shù)提取出來(lái)變式題 (1)將函數(shù)ysin2x的圖象向左平移(0)個(gè)單位，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則的最小值為_(kāi)(2)設(shè)函數(shù)f(x)eq r(2)2eq r(6)sinxcosx2eq r(2)sin2x(xR)，對(duì)f(x)的圖象作如下變換：先將f(x)的圖象向右平移eq f(,12)個(gè)單位，再將橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)g(x)的圖象，則g(x)_考點(diǎn)(ko din)二函數(shù)yAs

7、in(x)的解析(ji x)式的求法例2函數(shù)(hnsh)yAsin(x)(A0，0，0)的圖象的兩個(gè)相鄰零點(diǎn)為eq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)，0)和eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，0)，且該函數(shù)的最大值為2，最小值為2，則該函數(shù)的解析式為_(kāi)歸納總結(jié)利用圖象求函數(shù)yAsin(x)(A0，0)的解析式主要從以下三個(gè)方面考慮：根據(jù)最大值或最小值求出A的值根據(jù)周期求出的值根據(jù)函數(shù)圖象上的某一特殊點(diǎn)求出的值變式題(1)如圖表示的函數(shù)f(x)Asin(x)(0，0，2)的部分圖象，則解析式為f(x)_(2)已知函數(shù)yAsin(x)m的最大值為4，最小值為0，最小

8、正周期為eq f(,2)，直線xeq f(,3)是其圖象的一條對(duì)稱軸，則下面各式中符合條件的解析式是_y4sineq blc(rc)(avs4alco1(4xf(,6)；y2sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,3)2；y2sineq blc(rc)(avs4alco1(4xf(,3)2；y2sineq blc(rc)(avs4alco1(4xf(,6)2.考點(diǎn)三函數(shù)yAsin(x)的性質(zhì)應(yīng)用例3 湖北卷 已知向量a(cosxsinx，sinx)，b(cosxsinx，2eq r(3)cosx)設(shè)函數(shù)f(x)ab(xR)的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱，其中，為常數(shù)，且eq blc(r

9、c)(avs4alco1(f(1,2)，1).(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)若yf(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)eq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)，0)，求函數(shù)f(x)在區(qū)間eq blcrc(avs4alco1(0，f(3,5)上的取值范圍歸納總結(jié)函數(shù)yAsin(x)(A0，0)的單調(diào)區(qū)間和對(duì)稱性的確定，基本思想是把x看做一個(gè)整體在單調(diào)性應(yīng)用方面，比較大小是一類常見(jiàn)的題目，依據(jù)是同一區(qū)間內(nèi)函數(shù)的單調(diào)性對(duì)稱性是三角函數(shù)圖象的一個(gè)重要性質(zhì)，因此要抓住其軸對(duì)稱、中心對(duì)稱的本質(zhì)，同時(shí)還要會(huì)綜合利用這些性質(zhì)解決問(wèn)題，解題時(shí)可利用數(shù)形結(jié)合思想變式題設(shè)函數(shù)f(x)eq r(3)cos2xsi

10、nxcosxa(00，00，|0)的圖象與y1的圖象的兩相鄰交點(diǎn)間的距離為，要得到y(tǒng)f(x)的圖象，只需把ysinx的圖象()A向右平移eq f(11,12)個(gè)單位長(zhǎng)度B向右平移eq f(5,12)個(gè)單位長(zhǎng)度C向左平移eq f(11,12)個(gè)單位長(zhǎng)度D向左平移eq f(5,12)個(gè)單位長(zhǎng)度課后習(xí)題(xt)（函數(shù)(hnsh)yAsin（x）的圖象及三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單(jindn)應(yīng)用）1給定性質(zhì)：a：最小正周期為；b：圖象關(guān)于直線xeq f(,3)對(duì)稱則下列四個(gè)函數(shù)中，同時(shí)具有性質(zhì)ab的是_ysineq blc(rc)(avs4alco1(f(x,2)f(,6)；ysineq blc(rc)(a

11、vs4alco1(2xf(,6)； ysin|x|；ysineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,6).2若函數(shù)f(x)2sinx(0)在eq blcrc(avs4alco1(f(2,3)，f(2,3)上單調(diào)遞增，則的最大值為_(kāi)3有一種波，其波形為函數(shù)ysineq f(,2)x的圖象，若在區(qū)間0，t上至少有2個(gè)波峰(圖象的最高點(diǎn))，則正整數(shù)t的最小值是_4已知函數(shù)f(x)asin2xcos2x(aR)圖象的一條對(duì)稱軸方程為xeq f(,12)，則a的值為_(kāi)5已知函數(shù)f(x)sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,3)(0)，將函數(shù)yf(x)的圖象向右平移eq f(

12、2,3)個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得圖象與原函數(shù)圖象重合，則的最小值等于()A.eq f(1,3) B3 C6 D96函數(shù)ysin3x的圖象可以由函數(shù)ycos3x的圖象()A向左平移eq f(,2)個(gè)單位得到 B向右平移eq f(,2)個(gè)單位得到C向左平移eq f(,3)個(gè)單位得到 D向右平移eq f(,3)個(gè)單位得到7如果函數(shù)ycos(2x)的圖象關(guān)于點(diǎn)eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,3)，0)中心對(duì)稱，那么|的最小值為()A.eq f(,6) B.eq f(,4) C.eq f(,3) D.eq f(,2)82013課程標(biāo)準(zhǔn)卷 已知0，函數(shù)f(x)sineq blc(rc)(avs

13、4alco1(xf(,4)在eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，)單調(diào)遞減，則的取值范圍是()A.eq blcrc(avs4alco1(f(1,2)，f(5,4) B.eq blcrc(avs4alco1(f(1,2)，f(3,4) C.eq blc(rc(avs4alco1(0，f(1,2) D(0，29函數(shù)f(x)Asin(x)eq blc(rc)(avs4alco1(其中A0，|0，)的圖象如圖所示，則_.112013全國(guó)卷 當(dāng)函數(shù)ysinxeq r(3)cosx(0 x0)的圖象向右平移eq f(,3)個(gè)單位長(zhǎng)度后，與函數(shù)ysineq blc(rc)(avs4alco

14、1(xf(,4)的圖象重合，則的最小值為_(kāi)13若eq f(,4)x0，0，eq f(,2)0，0，eq f(,2)eq f(,2).(1)根據(jù)圖象求函數(shù)yf(x)的解析式；(2)若函數(shù)(hnsh)g(x)feq blc(rc)(avs4alco1(xf(,6)，實(shí)數(shù)(shsh)滿足(mnz)0，且eq iin(,)g(x)dx3，求的值課后習(xí)題答案（函數(shù)yAsin（x）的圖象及三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用）1 2.eq f(3,4) 35 4.eq f(r(3),3)5B6A7A8A9A10.eq f(9,10)11.eq f(5,6)12.eq f(7,4) 13814解：(1)由函數(shù)圖象及函數(shù)模

15、型f(x)Asin(x)知A2；由eq f(2,)Teq f(13,3)eq f(,3)4，得eq f(1,2)，由最高點(diǎn)eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,3)，2)得，eq f(1,2)eq f(4,3)2keq f(,2)(kZ)，eq f(,6)2k(kZ)，又eq f(,2)eq f(,2)，eq f(,6).所求函數(shù)解析式為yf(x)2sineq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)xf(,6)(x0)(2)方法一：將yf(x)2sineq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)xf(,6)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的eq f(1,2)，縱坐標(biāo)

16、不變，得到y(tǒng)g(x)2sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,6)的圖象，eq f(,2)x，eq f(,3)xeq f(,6)eq f(5,6)，當(dāng)xeq f(,6)eq f(,2)，即xeq f(2,3)時(shí)，g(x)有最大值2；當(dāng)xeq f(,6)eq f(5,6)，即x時(shí)，g(x)有最小值1.方法二：將yf(x)2sineq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)xf(,6)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的eq f(1,2)，縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)g(x)2sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,6)的圖象，令txeq f(,6)，函數(shù)y2sint的單

17、調(diào)遞增區(qū)間是eq blcrc(avs4alco1(f(,2)2k，f(,2)2k)，kZ，由eq f(,2)2kxeq f(,6)eq f(,2)2k，得eq f(,3)2kxeq f(2,3)2k，kZ，設(shè)Aeq blcrc(avs4alco1(f(,2)，)，Beq blcrc(avs4alco1(xblc|(avs4alco1(f(,3)2kxf(2,3)2k，kZ)，則ABeq blcrc(avs4alco1(f(,2)，f(2,3)，函數(shù)yg(x)在區(qū)間eq blcrc(avs4alco1(f(,2)，f(2,3)上單調(diào)遞增，同理可得，函數(shù)yg(x)在區(qū)間eq blcrc(avs4a

18、lco1(f(2,3)，)上單調(diào)遞減又geq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)eq r(3)，geq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)2，g()1，函數(shù)yg(x)在eq blcrc(avs4alco1(f(,2)，)上的最大值為2，最小值為1.15解：(1)f(x)ab2cos2xeq r(3)sin2xm2sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,6)m1，函數(shù)f(x)的最小正周期Teq f(2,2).令eq f(,2)2k2xeq f(,6)eq f(,2)2k，kZ，得eq f(,3)kxeq f(,6)k，kZ，故f(x)的單調(diào)增區(qū)間為eq blcrc(avs4alco1(f(,3)k，f(,6)k)，kZ.因此f(x)在0，上的單調(diào)遞增區(qū)間為eq blcrc(avs4alco1(0，f(,6)，eq blcrc(avs4alco1(f(2,3)，).(2)當(dāng)xeq blcrc(avs4alco1(0，f(,6)時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)xeq f(,6)時(shí)，f(x)取得最大值為m3，即m34，解之得m1，m的值為1.【難點(diǎn)突破】16解：(1)由函數(shù)圖象及函數(shù)模型f(x)Asin(x)，知A2；由eq f(1,2)Teq f(7,6)eq f(,6