兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布1

1、第2.3節(jié)兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布(2)為了解決類似的問題,下面我們討論兩個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的分布.一、問題的引入例1 設(shè)兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量X 與Y 的分布律為求隨機(jī)變量 Z=X+Y 的分布律.得因?yàn)?X 與 Y 相互獨(dú)立, 所以解二、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布可得所以結(jié)論三、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布 1. Z=X+Y 的分布由此可得概率密度函數(shù)為由于X 與Y 對(duì)稱, 當(dāng) X, Y 獨(dú)立時(shí),例4 設(shè)兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量 X 與Y 都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,求 Z=X+Y 的概率密度.得說明 有限個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布. 例如，設(shè)X、Y獨(dú)立，都具有正態(tài)分布，則 3X+4Y+1也具有

2、正態(tài)分布.為確定積分限,先找出使被積函數(shù)不為0的區(qū)域 例6 若X和Y 獨(dú)立,具有共同的概率密度求Z=X+Y的概率密度 .解: 由卷積公式也即為確定積分限,先找出使被積函數(shù)不為0的區(qū)域 如圖示:也即于是同理可得故有當(dāng) X, Y 獨(dú)立時(shí),由此可得分布密度為解由公式例7得所求密度函數(shù)得3.極值分布則有故有推廣若 X與Y 相互獨(dú)立同分布且為連續(xù)型隨機(jī)變量,X的分布密度為p(x), 則M與N的分布密度為 上述結(jié)論可以推廣到n維情形,即若設(shè)隨機(jī)變量 相互獨(dú)立同分布,令 則它們的分布函數(shù)分別為 它們的概率密度函數(shù)分別為例1* 設(shè)X,Y獨(dú)立同分布,PX=i=1/3,i=1,2,3,求M=Max(X,Y),N=

3、min(X,Y)的分布律. 解 從而M的分布律為 類似可得N的分布率為 N 1 2 3 P 5/9 1/3 1/9 M 1 2 3 P 1/9 1/3 5/9 從而M的分布律為例2 書上四、小結(jié)1. 離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布律2. 連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布若隨機(jī)變量（X,Y)的概率密度為p(x,y)，則 (4) Z=XY的概率密度為（5）Z=kx+Y,(k0)的概率密度為（6）Z=XY的概率密度為 本 節(jié) 結(jié) 束例1 設(shè)隨機(jī)變量 X 與 Y 相互獨(dú)立,且其分布密度分別為其它.其它.求隨機(jī)變量 Z=2X+Y 的分布密度. 由于 X 與Y 相互獨(dú)立,所以 ( X,Y ) 的分布密度函數(shù)為解備份題隨機(jī)變量 Z 的分布函數(shù)為所以隨機(jī)變量 Z 的分布密度為解例2解例3此時(shí)例9解例1 設(shè)相互獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)變量