復(fù)變函數(shù)與積分變換第8章Laplace變換課件

1、第8章 Laplace變換Laplace變換是另一種積分變換，它在理論上及各種數(shù)學(xué)物理問(wèn)題中都有重要應(yīng)用. 8.1Laplace變換的概念我們對(duì)某些函數(shù)(t)進(jìn)行適當(dāng)?shù)母脑焓蛊溥M(jìn)行Fourier變換時(shí)克服上述兩個(gè)缺點(diǎn).首先，根據(jù)Heaviside函數(shù)H(t)的特點(diǎn)，乘積(t)H(t)可使積分區(qū)間由(,+)換成(0,+)；其次是指數(shù)衰減函數(shù) 所具有的特點(diǎn)，一般地，乘積 可使其變得絕對(duì)可積. 從而，對(duì)于乘積 ，只要選得適當(dāng)，一般說(shuō)來(lái)，這個(gè)函數(shù)的Fourier變換存在，得其中，f(t)=(t)H(t),s=+i，這就導(dǎo)出了一種新的積分變換Laplace變換. 定義8.1如果在實(shí)變數(shù)t0上有定義的函數(shù)

2、f(t)使積分在s的某一區(qū)域內(nèi)收斂，則此積分所確定的函數(shù)為函數(shù)f(t)的Laplace變換（或稱為像函數(shù)），記為F(s)=Lf(t)=f(s).若F(s)是f(t)的Laplace變換，則稱f(t)為F(s)的Laplace逆變換（或稱為像原函數(shù)），記為f(t)=L1F(s).例8.1求單位階躍函數(shù) 的Laplace變換.解例8.2求函數(shù)f(t)=t的Laplace變換.解例8.3求指數(shù)函數(shù) (k為實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù))的Laplace變換.解由Laplace變換的定義知這個(gè)積分在Re sRe k時(shí)收斂，而且有從上面例子可以看出，Laplace變換存在的條件要比Fourier變換存在的條件弱得多,下面討

3、論Laplace變換的存在問(wèn)題.定義8.2設(shè)函數(shù)f(t)在實(shí)變數(shù)t0上有定義，若存在兩個(gè)常數(shù)M0及0,對(duì)于一切t都有成立，即f(t)的增長(zhǎng)速度不超過(guò)指數(shù)函數(shù)，則稱f(t)為指數(shù)級(jí)函數(shù)，為其增長(zhǎng)指數(shù). 定理8.1（Laplace變換存在定理）若函數(shù)f(t)滿足下列條件： t0的任一有限區(qū)間上分段連續(xù)； f(t)是指數(shù)級(jí)函數(shù).則f(t)的Laplace變換在半平面Re s1上一定存在，在此區(qū)域上積分絕對(duì)收斂而且一致收斂，同時(shí)F(s)為解析函數(shù).在證明過(guò)程中，要用到含參積分一致收斂的一個(gè)充分條件，先敘述如下：若存在函數(shù)(t)使|g(t,s)|內(nèi)是可微的，所以F(s)在Re s內(nèi)是解析的.滿足Lapl

4、ace變換存在定理?xiàng)l件的函數(shù)f(t)在t=0處為有界時(shí)，積分中的下限取0+或0不會(huì)影響其結(jié)果.但當(dāng)f(t)在t=0處包含了函數(shù)時(shí)就需要區(qū)分積分區(qū)間是否包含了t=0這一點(diǎn)，若包含了t=0這一點(diǎn)，常將積分下限記為0，否則記為0+，相應(yīng)的Laplace變換分別記為例8.4求函數(shù)(t)的Laplace變換.解例8.5解下面再看一些例子.例8.6求正弦函數(shù)f(t)=sin kt(k為實(shí)數(shù))的Laplace變換.解利用Laplace變換定義，得例8.7求周期性三角波從上面例子可以得到求周期函數(shù)的Laplace變換的公式：其中，f(t)是以T為周期的且在一個(gè)周期上是分段連續(xù)的周期函數(shù).例8.8求如圖8.1所

5、示的半波正弦函數(shù)fT(t)拉氏變換.解由已知，函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式為 圖8.1 8.2Laplace變換的性質(zhì)利用Laplace變換的定義及查L(zhǎng)aplace變換表可以求一些常見(jiàn)函數(shù)的Laplace變換。(1) 線性性質(zhì)這個(gè)性質(zhì)表明函數(shù)線性組合的Laplace變換（或逆變換）等于各函數(shù)Laplace變換（或逆變換）的線性組合，它的證明只須根據(jù)定義及積分的性質(zhì)即可推出.(2) 原函數(shù)的微分性質(zhì)這個(gè)性質(zhì)使f(t)的微分方程轉(zhuǎn)為F(s)的代數(shù)方程，因此它對(duì)分析線性系統(tǒng)有著重要作用.現(xiàn)在利用它推算一些函數(shù)的Laplace變換.例8.9利用Laplace變換的性質(zhì)求f(t)=cos kt的Laplac

6、e變換。例8.10求f(t)=tm的Laplace變換：(1)m為正整數(shù)；(2)實(shí)數(shù)m1.(3)像函數(shù)的微分性質(zhì)例8.11求函數(shù)f(t)=tekt的Laplace變換.(4)原函數(shù)的積分性質(zhì)(5)像函數(shù)的積分性質(zhì)例8.12求函數(shù) 的Laplace變換.像函數(shù)的積分性質(zhì)常常用于求廣義積分，因?yàn)槔?.13計(jì)算積分 解利用像函數(shù)的積分性質(zhì)，并注意解析函數(shù)的積分與路徑無(wú)關(guān)，得例8.14計(jì)算積分 解由像函數(shù)的積分性質(zhì)，并注意解析函數(shù)的積分與路徑無(wú)關(guān)，得(6)位移性質(zhì)這個(gè)性質(zhì)表明了一個(gè)原函數(shù)乘以指數(shù)函數(shù) 的Laplace變換等于其像函數(shù)作位移a.例8.15這個(gè)性質(zhì)表明時(shí)間函數(shù)f(t)推遲個(gè)單位的Lapla

7、ce變換等于它的像函數(shù)乘以指數(shù)因子es，這個(gè)性質(zhì)在工程技術(shù)中也稱為時(shí)移性.（7）延遲性質(zhì)例8.16求如圖8.2所示的階梯函數(shù)f(t)拉氏變換. 圖8.2(8)相似性質(zhì)因?yàn)楹瘮?shù)f(at)的圖形可由f(t)的圖形沿t軸正向經(jīng)相似變換而得，所以這個(gè)性質(zhì)稱為相似性質(zhì). 例8.17設(shè)Lf(t)=F(s)，求Lf(atb),其中a0,b0.例8.18(9)卷積性質(zhì)在Fourier變換的卷積性質(zhì)中，已給出了兩個(gè)函數(shù)卷積的定義：但在Laplace變換中，只要求f(t)在0,+)有定義即可.因此，在把卷積應(yīng)用于Laplace變換時(shí)，我們總假定當(dāng)t0時(shí)f1(t)=f2(t)=0，這時(shí)，卷積的定義可改變成為下面的形

8、式： 8.3Laplace變換的逆變換定理8.3若函數(shù)f(t)滿足Laplace變換存在定理的條件，Lf(t)=F(s)，則L1F(s)由下式給出這就得到了從像函數(shù)F(s)求它的像原函數(shù)f(t)的一般公式：該公式也稱為L(zhǎng)aplace反演公式，右端的積分稱為L(zhǎng)aplace反演積分,這里的積分路徑是平行虛軸的任一直線Re s=c. 定理8.4例8.19求 的Laplace逆變換.例8.20此題也可用留數(shù)理論來(lái)做.例8.21 8.4Laplace變換的應(yīng)用Laplace變換的重要應(yīng)用之一是解微分方程和積分方程，其解題步驟為對(duì)所給方程施行Laplace變換得到一像函數(shù)的代數(shù)方程；求解該代數(shù)方程得像函數(shù)

9、；對(duì)求出的像函數(shù)施行Laplace逆變換得像原函數(shù)，即為原方程的解.例8.23求方程例8.24求解微分方程y+2y+y=et,y(1)=y(1)=0.例8.25求方程組例8.26例8.27解變系數(shù)微分方程：例8.28解差分方程其中常數(shù)a,h及函數(shù)g(t)為已知，當(dāng)t0時(shí),g(t)=0.解對(duì)方程兩邊取Laplace變換，得當(dāng)k足夠大時(shí),tkh0)的作用沿x軸接近原點(diǎn),同時(shí)受阻尼力 的作用,求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)位移,假設(shè)x(0)=x0，x(0)=v0.解建立質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為 習(xí)題81.用定義求下列函數(shù)的拉氏變換,并用查表的方法來(lái)驗(yàn)證結(jié)果.2.求下列函數(shù)的拉氏變換.3.設(shè)f(t)是以2為周期的函數(shù),且在一個(gè)

10、周期內(nèi)的表達(dá)式為4.求下列函數(shù)的拉氏變換式.5.利用像函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式計(jì)算下列各式.6.利用像函數(shù)的積分公式計(jì)算下列各式.7.利用拉氏變換的性質(zhì)求下列函數(shù)的拉氏變換.8.求下列函數(shù)的拉氏逆變換.9.設(shè)f1(t),f2(t)均滿足拉氏變換存在定理的條件且Lf1(t)=F1(s),Lf2(t)=F2(s),，則乘積f1(t)f2(t)的拉氏變換一定存在，且其中0,Re s+c0.10.求下列函數(shù)的拉氏逆變換（像原函數(shù)），并用另一種方法加以驗(yàn)證.11.求下列函數(shù)的拉氏逆變換.12.試求下列微分方程或微分方程組初值問(wèn)題的解.13.求下列各圖所示周期函數(shù)的拉氏變換.14.計(jì)算下列積分.15.求下列卷積.1

11、6.利用卷積定理證明17.利用卷積定理證明18.試求下列積分方程的解.19.設(shè)在原處質(zhì)量為m的一質(zhì)點(diǎn)在t=0時(shí)，在x方向上受到?jīng)_擊力k(t)的作用，其中k為常數(shù)，假定質(zhì)點(diǎn)的初速度為零，求其運(yùn)動(dòng)規(guī)律.20.某系統(tǒng)的傳遞函數(shù) , 求當(dāng)激勵(lì)x(t)=A sin t時(shí)的系統(tǒng)響應(yīng)y(t). 習(xí)題答案 習(xí)題114.（1）不包含實(shí)軸的上半平面，是無(wú)界的、開(kāi)的單連通區(qū)域；（2）圓(z1)2+y2=16的外部（不包括圓周），是無(wú)界的、開(kāi)的多連通區(qū)域；（3）由直線x = 0與x = 1所圍成的帶形區(qū)域，不包括兩直線在內(nèi)，是無(wú)界的、開(kāi)的單連通區(qū)域；（4）以3i為中心，1與2分別為內(nèi)、外半徑的圓環(huán)域，不包括圓周，是有

12、界的、開(kāi)的多連通區(qū)域；（5）直線x= -1右邊的平面區(qū)域，不包括直線在內(nèi)，是無(wú)界的、開(kāi)的單連通的區(qū)域；（6）由射線=1及=1+構(gòu)成的角形域，不包括兩射線在內(nèi)，即為一半平面，是無(wú)界的、開(kāi)的單連通區(qū)域；（9）是以拋物線y2=12x為邊界的左方區(qū)域（不含邊界），是無(wú)界的、開(kāi)的單連通區(qū)域；（10）是圓(x+6)2+y2=40及其內(nèi)部區(qū)域，是有界的、閉的單連通區(qū)域. 習(xí)題21.12.（1）在直線 上可導(dǎo)，在z平面上處處不解析；（2）在點(diǎn)z=0處可導(dǎo)，在z平面處處不解析；（3）在除原點(diǎn)外的z平面上處處可導(dǎo)，處處解析；（4）在z平面上處處不可導(dǎo)，處處不解析；3.（1）f(z)在z平面上處處可導(dǎo)處處解析,且f

13、(z)=2(z1)(2z2z+3)；（2）f(z)在z平面上處處可導(dǎo)處處解析，且f(z)=3z2+2i；6.（1）命題假，如函數(shù)f(z)=|z|2在點(diǎn)z=0處可導(dǎo)，卻在點(diǎn)z=0處不解析；（2）命題假，如函數(shù)f(z)=|z|2=x2+y2在z平面上處處連續(xù)，除了點(diǎn)z=0外處處不可導(dǎo)；（3）命題假，如函數(shù)f(z)=zRe z=x2+ixy僅在點(diǎn)z=0處滿足CR條件，故f(z)在點(diǎn)z=0處不解析；8.m=1,n=l=3 10.(1)，(2)，(3)正確；(4)，(5)，(6)不正確. 習(xí)題3 習(xí)題41.(1)收斂，極限為1(2)收斂，極限為0(3)發(fā)散(4)收斂，極限為02.(1)收斂，但不絕對(duì)收斂

14、(2)收斂，但不絕對(duì)收斂(3)絕對(duì)收斂(4) 發(fā)散3.（1）2（2）+（3）e 4.下列結(jié)論是否正確？為什么？（1）不對(duì),如 在收斂圓|z|1內(nèi)收斂，但在收斂圓周|z|=1上并不收斂；（2）不對(duì)，如一個(gè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為零,則其和函數(shù)并非解析函數(shù)；（3）不對(duì)，如 在全平面上連續(xù),但它在任何點(diǎn)的鄰域內(nèi)均不能展開(kāi)成Taylor級(jí)數(shù).5.不能，因如 收斂，則由Abel定理其收斂半徑R|02|=2，而|32|=12即z=3在其收斂圓|z2|2內(nèi)，故級(jí)數(shù) 收斂，矛盾.11.(1) z=0,三級(jí)極點(diǎn)；z=i,二級(jí)極點(diǎn)；(2)z=0,一級(jí)極點(diǎn)；(3)z=1,二級(jí)極點(diǎn)；z=1,一級(jí)極點(diǎn)；(4)z=k(k=0,

15、1,2,),一級(jí)極點(diǎn)； (5)z=(2k+1)i(k=0,1,2,),一級(jí)極點(diǎn)；z=i,二級(jí)極點(diǎn)；(6)z=1，本性奇點(diǎn)；(7)z=0，本性奇點(diǎn)；(8)z=0，本性奇點(diǎn)；(9)z=1，本性奇點(diǎn)；(11)z=0，可去奇點(diǎn)；(12)z=1，本性奇點(diǎn)；z=2ki(k=0,1,2,),一級(jí)極點(diǎn).12.（1）z=為其可去奇點(diǎn)；（2）z=為其可去奇點(diǎn)；（3）z=為其二級(jí)極點(diǎn)；13.（1）當(dāng)mn時(shí)，點(diǎn)z0是f(z)+g(z)的maxm,n級(jí)極點(diǎn)，當(dāng)m=n時(shí)，點(diǎn)z0可是f(z)+g(z) 級(jí)不高于m的極點(diǎn)，也可是f(z)+g(z)的可去奇點(diǎn)（解析點(diǎn)）；（2）z=z0是f(z)g(z)的m+n級(jí)極點(diǎn)；（3）對(duì)于f(z)/g(z)，當(dāng)mn時(shí)，z0是mn級(jí)極點(diǎn)；當(dāng)m=n時(shí)，z0是可去奇點(diǎn).14.z=z0是（1）、（2）、（3）的本性奇點(diǎn). 16.不對(duì)，z=2不是f(z)的本性奇點(diǎn)，這是因?yàn)楹瘮?shù)的洛朗展開(kāi)式是在|z2|1內(nèi)得到的，而不是在z=2的圓環(huán)域內(nèi)的洛朗展開(kāi)式