高考數(shù)學(xué)培優(yōu)專題：第12講立體幾何中球的綜合問題

1、公眾號“品數(shù)學(xué)”，一個提供數(shù)學(xué)解題研究，并且提供資料下載的公眾號!第十二講立體幾何中球的綜合問題A組一、選擇題. （2018年高考全國卷I ）已知圓柱的上、下底面的中心分別為。2,過直線的平而截該圓柱所得的截而是面積為8的正方形，則該圓柱的表而積為（）12缶12 兀D. l(hr【答案】B 【解析】:過直線。02的平面截該圓柱所得的截而是面積為8的正方形，所以圓柱的高為 2點，底而圓的直徑為2點，所以該圓柱的表面積為 2x/rx（J5y+2jI/rx2 應(yīng)=12）故選 B.三棱柱ABC - A4G的各個頂點都在球O的球面上，且AB = AC = 1,8C =五,CC、1 TOC o 1-5 h

2、 z 平面A8C。若球。的表面積為3萬，則這個三棱柱的體枳是（）1A. B.63C. -D. 12【答案】C【解 析】AB = AC = lBC = /2,:.ABlAC/. CCl.平 而 ABC，三 棱柱 ABC-AC.內(nèi)接球。，二。為距形BCC的中心，設(shè)球。半徑為r ,則 4江，=3況.二r=正，即OC =r=正，.三棱柱的高。=2J/一（8C = 1 , .三棱22 U ）柱的體積=5吹力= xlxlxl = 1,故選C。223.球。的球面上有四點S,A8,C，其中。,48,。四點共而，AABC是邊長為2的正三角形，而S43_L面ABC,則棱錐S 43c的體積的最大值為（）A.去 B.

3、 /3 C. 2耳D. 4【答案】A【解析】設(shè)球心和AA8C的外心為。，延長CO交AB于點P,則由球的對稱性可知 PDAB.繼而由而548_1_而43c可得尸O_LAA8C所在的平面，所以尸。是三棱錐 的高；再由。,ARC四點共而可知。是AABC的中心，故。尸二個二r二至上，當(dāng)三棱 錐的體積最大時，其高為P。=j（2）2-（E）2 =1 ,故三棱錐的體積的最大值為x-x 22 x 1 =,應(yīng)選 A。 TOC o 1-5 h z 3 43.如圖所示，直四棱柱ABC。A4GA內(nèi)接于半徑為3的半球。，四邊形A5CO為 正方形，則該四棱柱的體枳最大時，43的長為（）A. 1b. 2C. /3d, 2【

4、答案】D【解析】設(shè)AB = x ,則08= =尤叫二:一建，所以直四棱柱的體積為 JI JV = x2J3-x2 ,令 J3-X2 = f，則 %2 =6 2/，則 1/ = (6 2)/ = 一2產(chǎn)+6,故V =一6/+6 = -6-1）（1 + 1）,所以當(dāng)，=1時，即1=2時，體積V最大.故應(yīng)選D.在正三棱錐S A8C中，是SC的中點，且AMJLS3,底面邊長A3 = 2五，則正三棱錐S -ABC的外接球的表而積為（）A. 67B. 12乃 C. 327r D. 36萬【答案】B【解析】根據(jù)三棱錐為正三棱錐，可證明出AC_LSB,結(jié)合SB_LAM,得到SBJ_平面SAC,因 此可得SA、

5、SB、SC三條側(cè)棱兩兩互相垂直.最后利用公式求出外接圓的直徑，結(jié)合球的表 而積公式，可得正三棱錐S-ABC的外接球的表面積.取AC中點，連接BN、SN,.N為AC中點,SA=SC, /.ACSN,同理 AC_LBN, VSNABN=N, .AC_L平而 SBX,SBu 平而 SBX, AAC1SB, Y SB _L AM 且 AC HAM= A,.SB J_平面 SAC=SBSA 且 SBAC,三棱錐S-ABC是正三棱錐，ASA. SB、SC三條側(cè)棱兩兩互相垂直.底面邊長AB = 2，側(cè)棱SA=2,正三棱錐S-ABC的外接球的直徑為：2R = 2也,：.R = 6.正三棱錐S-ABC的外接球的

6、表面積是S=4M?2=i2/r,故選：B.二、填空題6. （2017年天津卷）已知一個正方體的所有頂點在一個球面上，若這個正“方體的表面積為18,則這個球的體積為 .七心.9?！敬鸢浮?【解析】設(shè)正方體邊長為。，則6/=18 = =3 ,l 41 427 9外接球直徑為2R = 3, V =成=兀x= 7i.33827.底面是同一個邊長為。的正三角形的兩個三棱錐內(nèi)接于同一個球，它們頂點的連線為球 的直徑且垂直于底而，球的半徑為R。設(shè)兩個三棱錐的側(cè)而與底面所成的角分別為。、），則tan（a +4）的值是。 4框R【答案】一二一.3a【解析】如下圖所示，右圖為左圖的縱切面圖.S如圖可知，底而443

7、。為正三角形，D為BC的中點，則AD1BC. SDLBC, MD1BC,故ZSDA和ZMDA即為二面角a和夕；設(shè)SM交平而ABC于點P,易知P點在AD上，且為“IBC的重心.SM = 2R, AB = a , AD = a , PA = x a=-a , PD = -xa=a , 23 233 263n七 I。 tana + tan/7 _ PD PD _一 PSM 一 6 一 一 4屬 叫.第_叫竺一尸0尸.加p一p02_P片一二且一 3a PD PDIIT.已知三棱錐P A3C的所有棱長都相等，現(xiàn)沿尸A P&PC三條側(cè)棱剪開，將其表面展開成一個平面圖形，若這個平面圖形外接圓的半徑為27%,

8、則三棱錐尸-ABC的內(nèi)切球的 表面積為：【答案】3萬【解析】三棱錐P-43C展開后為等邊三角形，設(shè)邊長X,則一=22而，則x = 6貶 sin A因此三棱錐P 43C的棱長為3人,三棱錐P A5C的高2行，設(shè)內(nèi)切球的半徑為，PIO4x - xrxS.,HC = S.c x2y/3 , ：. r =,求的表面積S = 4%=3萬.3am匕 3 Jl/ioco.已知球。的表面上有P.A3.C四點，且兩兩互相垂直，若PA = PB = PC = u, 求這個球的表面積和體積解：設(shè)過0.48的平面截球所得截面圓心為POI與球而 另一交點為。.因為P8_LPA ,所以AS是圓O1的直徑，且 AS = J

9、a尸 + BP，=、易.因為 PCJA,PC1PB，所以 PC_L 平而 PAB ,又OO1平面PA8,所以O(shè)OJ/尸。.如圖，過OO.PC作平 而a ,則直線。尸為平而a和平而以8的交線，點O e尸。，連接CO,在圓O中.PC_LP), /CPD為直角,所以CD為圓O的直徑,設(shè)圓。的半徑為R ,在 RtACPD 中，CD = ylPC2PD2 = J3a ,即 2R =方。，所以 /?=叵 ,所 以 25j,k =4 成，=3加 2“球=士冰 = 3三、解答題.棱長為2的正方體容器中盛滿水，把半徑為k?的銅球放入水中剛好被淹沒，然后再 放入一個鐵球，使它淹沒水中，要使流出的水量最多，這個鐵球

10、半徑應(yīng)該為多大?解：過正方體對角線的截而圖如圖所示，AC =26.AO = V5,AS = AO-OS = Ot .設(shè)小球半徑為 r ,tanZCj/lC = =- J2.AS = AQ+OS二6 1 = 揚 +r解得廠=（2 石）。月為所求.過球而上一點P的三條弦PAPB,PC ,滿足ZAP8 = N80C = NCPA = 60 ,PA = PB = PC = & ,求此球的表面積解：由題意知，四面體p-八質(zhì):是球的內(nèi)接正四而體.設(shè)P是 AABC的中心，則球心O在PP上.如圖，連接OCPP，設(shè)球半 徑為 x,則 OP=OC=x ,在自AOPC 中，OP=PP-x 而 TOC o 1-5 h

11、 z PP=PC2-PC1 =6-(xV6)2 =2,故33OP=2-x,CP，2 = 2. =(2-x)2+2, X = - 9 表而積為S =4x(-)2 = 9%22.將半徑為R的四個球，兩兩相切地放在桌面上，求上而一個球的球心到桌面的距離。解：設(shè)四個球心分別為ABC,D,則四而體A-BCD是棱長為2R的正四面體，如圖所示，過A作AHJ面BCD與H,則H為4BCD的中心，連接BH并延長交CD 于 M,連接 AM.則 BM_1CD,AM J_CD且 AM二的 R,HM= = R,9 rz所以AH= R ,故上面一球的球心到桌而距離為 3B組一、選擇題1.已知三棱錐P-A8C ,在底面AA3

12、C中，A8 = l乙4 = 60 ,3C = Q,PA_L 而ABC.PA = 26 則此三棱錐的外接球的表而積為（）A.B. 4/4C.D. 16 n33【答案】D【解析】底而三角形內(nèi)，根據(jù)正弦定理，可得AC=2, A32+8C2 =AC）滿足勾股定理,ZABC= 90, 24 _L底而 ABC,所以 PA_L 8C,那么 BC_L平而 PAB,所以 8C_L PB, 那么直角三角形24cpBC有公共斜邊PC,所以三棱錐的外接球的球心就是PC的中點 。，PC是其外接球的直徑，PC = 4,所以外接球的表而積S = 4成2 =16乃，故選D.如圖，在菱形A8CD中，/84。= 60 ,A4 =

13、 26，石 為對角線8。的中點，將沿8。折起到好瓦）的位置，若ZPEC = 120 ,則三棱錐P 8CQ的外接球的表面積為（）A. 287B. 32萬C. 16%D. 12萬【答案】A【解析】設(shè)M,N分別是等邊三角形PBD、CBD的外心，則QN = 1,NC = 2畫出圖象如下圖所示，由圖象可知，NMQN = 120 ,NOQN=60 ,故 ON = ltan60 =,r=oc=on2+nc2 =VTT4=幣,外接球面積為4ttR2 = 4% 7 = 284.已知三棱錐S - ABC,滿足SA_LSB, SBSC, SC1SA,且SA二SB二SC,若該三棱錐外接球 的半徑為#, Q是外接球上一

14、動點，則點Q到平面ABC的距離的最大值為()645/3A. 3B. 2C. 3D. 3【答案】D【解析】因為三棱錐S-A3C中，SA SB.SB SC,SC SA ,且S4 = S3 = SC,所以三棱錐的外接球即為以S4,S3,SC為長寬高的正方體的外接球，因為該三棱柱外接球的 半徑為6，所以正方體的對角線長為2行，所以球心到平而ABC的距離為 % = ,所以點。到平面ABC的距離的最大值為、行+4 = ，故選D.4.已知從點尸出發(fā)的三條射線PA, PB, PC兩兩成60。角，且分別與球。相切于4, B, C三點.若球。的體積為36兀，則。，尸兩點間的距離為()(A) 3/2(B) 3也(C

15、) 3(D) 6【答案】B【解析】連接OP交平面ABC于。，由題意可得：A43C和M48為正三角形，所以。4 =業(yè)絲=無竺.因為AO_LP。，OAPA ,所以=,所以 33OA AOAD _OP = OA - =6。4.又因為球的體積為36萬，所以半徑。4 = 3,所以。0=36. AOf二、填空題（2017年新課標(biāo)I卷）已知三棱錐S A6C的所有頂點都在球。的球而上，SC是球。的直徑.若平而SC4_L平而SC8, SA = AC, SB = BC,三棱錐S - A8C的體積為9,則球。的表面積為【答案】364【解析】取SC的中點O,連接04, OB,因為 SA = AC, SB = BC,所

16、以 OA_LSC, OB ISC因為平面SAC_L平面SBC,所以平而。4_L平面SBC設(shè)。4 = 所以，所以球的表而積為【解析】取SC的中點0，連接0A.0B ,因為4 = /C；S3=BC,所以04_LSC；08_LSC.因為平面SAC _L平面SBC,所以Q4平面SBC .設(shè)Q4二1/ :.球=；xSq5sc 乂04 = ：乂$乂2yx/乂尸二：尸所以:尸=9 n=3 ,所以球的表面積為4獷=36萬3一個球與一個正三棱柱的三個側(cè)面和兩個底面都相切，已知這個球的體積為止，那么 3這個三棱柱的體積是.【答案】48/3【解析】由題意可得，球的半徑為R = 2,則正三棱柱的高為力= 2R = 4

17、,底面正三角形中 心到各邊的距離為R = 2,所以底面邊長為46,從而所求三棱柱的體積為 V=Sh =乎.（4行）2-4 = 4873.故正確答案為48JJ.若圓錐的內(nèi)切球與外接球的球心重合，且內(nèi)切球的半徑為1，則圓錐的體積為. 【答案】3乃【解析】過圓錐的旋轉(zhuǎn)軸作軸截而，得AABC及其內(nèi)切圓OQ和外切圓。O?,且兩圓同圓心，即ABC的內(nèi)心與外心重合，易得48C為正三角形，由題意。1的半徑為r = l, .ABC的邊長為2, .圓錐的底面半徑為JT,高為3, .V=x/rx3x3 = 3;r.3三、解答題8.已知棱長為3的正四面體A-BCD, E,F分別是棱AB,AC上的點，且AF=2FC,B

18、E=2AE,求四 而體A-EFD的內(nèi)切球的半徑。解：如圖所示，設(shè)四面體A-EFD的內(nèi)切球半徑為r,球心為0,連接0A,0E,0F,0D,則K1-FD = O-AEF + VO-AFD + O-ADE + VO-EH) 四面體 A-EFD 的各面面積為373SED = = ，ADEF各邊邊長分別為3EF= V3 , DF=DE= V7 ,_5后AEH) = T2- V = _yA-EFD 9 v A-BCDA-EFD = _ MS seF + SAFC + SAED + *AEF).2=1廠()+上1 + 2 + 2),所以，=亞，故四面體A-EFD的內(nèi)切球半徑為 2322448V689.已知四

19、面體 P-ABC, PA=4, AC=2V7尸B=BC=2/J/A_L而PBC,求四面體P-ABC的內(nèi) 切球與外接球面積的比。解：由題意，已知。4J_而PBC, PA=4, AC=2J7,PB=BC=2JJ,如圖，由勾股定理得,43 = 2、廳,。=2行,所以妙5。為等邊三角形，AABC為等腰三角形，等邊三角形PBC所在小圓的直徑尸。=二 = 4 ,那么四而體P-ABC的外接球直徑 sin 60I1 反AD=2R=J16 + 16 =4、/1,所以R = 2、, l/p_ABc=Sy8PA = j124 = 4V5,3表面積5 =12、行42 +空12 +1285 = 168.設(shè)內(nèi)切球半徑為r

20、,那么 2424V3 = i-16V3r ,所以故四面體P-ABC的內(nèi)切球半徑與外接球半徑的比 343-4-=.即表面積之比為2。2 拒 1616.球與正四而體的六條棱都相切，則球與正四面體的體積比是多少?解：如圖，設(shè)正四而體棱長為“，球半徑為R,取AB中點E, CD中點F,連接AF,BF,EF,則AF=BF=，:環(huán)_L A3 ,同理可得 2石/_LCD,.石尸是AB,CD的公垂線段，則EF的長是AB.CD的距 離，EF = ylAF-AE? = l-a2-a2 = a ,又由V4 42=V2球與正四面體的六條棱相切，得EF是該球的直徑，即U 4 H34 V2 3 五 3 p 口后4=3成=.

21、乃.二右加7，又嚓四而體= 77.已知正三棱錐P-ABC,點PAB工都在半徑為的球面上，若PA,PB,PC兩兩垂直, 求正三棱錐P-ABC外接球球心到截面ABC的距離解：把正三棱錐補成正方體，如圖所示，可知外接球球心 O為體對角線PD的中點，且PO=JL又P到平面ABC的距離 為 /?，VP-ABC = VB-APC ，則1.11.（2V2）2-/ = l-i-2-2.2,則球心 O 到3 43 23截而ABC的距離為PO=介=E 一、選擇題1.已知A,3,C三點都在以。為球心的球面上，04,08,0。兩兩垂直，三棱錐O A5C4的體積為一，則球。的表而枳為（） 3【答案】B【解析】設(shè)球的半徑

22、為R,由題意。4 = OB = OC = R,可得三棱錐0ABC體枳，411= x /?2xR,解得R = 2,則球的表面積為S=4/rR2=4/rx22=16萬，故選B.3 3 22.三棱錐尸一48c的四個頂點均在半徑為2的球面上，且A8 = 8C = C4 = 2#,平面 R48_L平而ABC,則三棱錐尸一43c的體積的最大值為（）A. 4B. 3C. 4、/JD. 3、/?【答案】B【解析】根據(jù)題意：半徑為2的球而上，且48 = 8。=。1 = 20,83。為截面為大圓上 三角形，設(shè)圓形為。，A3的中點為N, ON = J22-3 = 1, 平面產(chǎn)48,平面482 ,二三棱錐P A5C的

23、體積的最大值時，吶，48,9，平面4?。，08 = jm = 3,二三棱錐P - ABC的體積的最大值為；x $ x（26丫 x= 3.3.己知四面體A8CD的一條棱長為。，其余棱長均為2小，且所有頂點都在表面積為20乃 的球面上，則。的值等于（）A. 36B. 2x/5C. 3&D, 3【答案】A【解析】如圖所示的四面體ABCQ中，設(shè)AC = a,其余的棱長均為2/,取BO的中點E,連接AE,CE,則AE = CE = 3,又所有頂點都在表面積為20乃的球面上，所以球的半徑 為R = B 球心。落在線段“上，且痔=,32_（.）2 =,9_：，在直角OCF中, 則O尸+ R?2=R即（9 2

24、一行）2+（二）2 =62,解得 = 3jJ,故選A.4.在三棱錐A-3C。中，AABC與4BCD都是邊長為6的正三角形，平而ABCL平而BCD, 則該三棱錐的外接球的體積為（）A. 5yl5nB. 60kC. 60JI5兀D. 20 JU?！敬鸢浮緿【解析】取BC的中點為M, E、F分別是正三角形ABC和正三角形BCD的中心，。是該三棱 錐外接球的球心，連接AM、DM、OF、0E、0M OB,則E、F分別在AM、DM上,OFL平面BCD, OE_L平面ABC, OMBC AM_LBC, DMBC,所以NAMD為二而角ABCD的平面角，因為平 而 ABC_L 平面 BCD,所以 AM_LDX,

25、又 AM=DM=3j5,所以 =,AM 二石，所以四3邊形OEMF為正方形，所以0M= y石，在直角三角形OMB中，球半徑0B=JOA/2 + BM?=J（、石尸+ 32=,所以外接球的體積為4力）-=20、/15兀，故選D. 一個倒圓錐形容器，它的軸截面是正三角形，在容器內(nèi)注入水，并放入一個半徑為曠的 鐵球，這時水而恰好和球面相切.問將球從圓錐內(nèi)取出后，圓錐內(nèi)水平面的高是（）A.【答案】B【解析】如圖，作軸截面，設(shè)球未取出時，水而高FC =兀，球取出后，水而高陽=送.,： AC = &，PC - 則以工為底面直徑的圓錐容積為一合笳代二我（遍吟:3尸二3支/，3/ =7就 球取出后，水而下降到

26、E冷，水的體積為匕uLoEH? .尸H =工乜戶H tan 30RFH二上招女 33 ,9又2 = 小運專一嚏，則-rF=34三一二懣？93解得M=而八選B.已知三棱錐S 48C所有頂點都在球。的球而上，且SC_L平面A8C,若SC = AB = AC = , ABAC = 120,則球。的表而積為.【答案】51【解析】A8 = l,AC = l,NB4C = 120,1 -2x1x1x（；） = Q,，三角后形ABC的外接圓直徑2r= 二八。=2, /.r = l, 丁SC_L平面力3cse = LzXQSC為 sin 120等腰三角形，該三棱錐的外接球的半徑/? = Ji + L=q,:該

27、三棱錐的外接球的表面 TOC o 1-5 h z V 42積為S= 4成2 =5乃,因此，本題正確答案是：5萬.三棱錐P A3C中，A3 = Z?C = JTJ,AC = 6,PC_L平面ABC, PC = 2,則該三棱 錐的外接球表面積為（）,25D 2583卜 83A 7TB 7tC. 7rD. 7T3232【答案】D由余弦定理得【解析】由題意得，在AA3C中，因為A3 = 8C = Ji5,AC = 6cosJ加姿2xV15xV155所以sin8 = 2,所以AA3C外接圓的半徑為2，=鑒=金=當(dāng)即T所以球的半徑為A八明卷所以球 可的表面積為5=44/?=44乂一=4，故選。.82.半徑

28、為R的球內(nèi)部裝有4個半徑相同的小球，則小球半徑，的可能最大值為（）.【答案】C【解析】四個小球兩兩相切并且四個小球都與大球相切時，這些小球的半徑最大，以四個小 球球心為頂點的正四面體棱長為2人該正四而體的中心（外接球球心）就是大球的球心， 該正四面體的高為解得“爭,該正四而體的外接球半徑為X：.R = &r + r,2V63 + V6R,故答案為C.二、填空題.如圖，三個半徑都是10cm的小球放在一個半球面的碗中，小球的頂端恰好與碗的上沿處于同于水平面，則這個碗的半徑R是cm1c 105/27【答案】10 + 3【解析】依題意可得碗的球心為o,半徑為r.其它三個球的球心分別是q，ae .這四個點構(gòu)成了一個正三棱錐，其中側(cè)棱表示兩個球內(nèi)切的圓心距關(guān)系.底面長為兩個外切求的圓心 距.所以。LRT0.。&=2。.通過解直角三角形可得g。+竽.故填