空間向量的運算及應(yīng)用教學案含解析理

1、獲取更多免費資料以及真題演練請關(guān)注公眾號：安博志愿規(guī)劃第五節(jié)空間向量的運算及應(yīng)用考綱彳真1.了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標表示.2.掌握空間向量的線性運算及其坐標表示.3.掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標表示，能運用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直.4.理解直線的方向向量及平面的法向量.5.能用向量語言表述線線、線面、面面的平行和垂直關(guān)系.6.能用向量方法證明 立體幾何中有關(guān)線面位置關(guān)系的一些簡單定理.知識全通關(guān)1.空間向量的有關(guān)概念名稱定義空間向量在空間中，具有大小和方向的量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量方向相反且模相等的向量共線向量(

2、或平行向量)表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量共向向量平仃丁同一個平囿的向重2.空間向量的有關(guān)定理(1)共線向量定理：對空間任意兩個向量a, b(bwo), a/b的充要條件是存在實數(shù)入， 使得a=入b.(2)共面向量定理：如果兩個向量a, b不共線，那么向量p與向量a, b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對 (x, y),使p= xa+yb.(3)空間向量基本定理：如果三個向量a, b, c不共面，那么對空間任一向量p,存在有序?qū)崝?shù)組x, y, z,使得p=xa+yb+zc,其中，a, b, c叫做空間的一個基底.3.兩個向量的數(shù)量積(1)非零向量 a, b 的數(shù)量積 a

3、 - b=|a| b|cos a, b.(2)空間向量數(shù)量積的運算律：結(jié)合律：(入a) b=入(a b);交換律：a - b= b - a；分配律：a (b+ c) = a b+ a c.4.空間向量的坐標表示及其應(yīng)用設(shè)a=(ai,a2,a3),b=(bi,b2,b3),向里表小坐標表小數(shù)量積a bab + a2b2+ a3 b共線a=入 b(bw0,入 C R)a1=入 t1,32=入 t)2,a3=入 t)3垂直a - b= 0(aw。，b0)a1b + a2b2 + a3b3 = 0模|a|/a2+ a2+ a2夾角a, b (aw。，bw0)a1b1+ a2b2 + a3b3cos a

4、，bga1+a2+a2 qb2+b2+b25.空間位置關(guān)系的向量表示位直大系向里表小直線l1, 12的方向向量分別為 nb n2l 1 / l 2n1 II n2?m=入n2l 1 -L l 2nn2? m . n2=0直線l的方向向量為 n,平囿a的法向量為ml / an m? n m= 0l _L an n? n=入 m平面a , (3的法向量分別為n, ma / 3n n? n=入 ma _L 3nn? n m= 0常用結(jié)論.對空間任一點 Q若OaxO/V yOBx+y=1),則P, A B三點共線.對空間任一點 O,若0exOAF yO中zOCx + y+z=1),則P, A, B,

5、C四點共面.平面的法向量的確定：設(shè) a, b是平面a內(nèi)兩不共線向量，n為平面a的法向量,n , a = 0, 則求法向量的方程組為n - b = 0.基礎(chǔ)自測.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“，”，錯誤的打“x”)(1)空間中任意兩非零向量a, b共面.()(2)若A B, C, D是空間任意四點，則有 AB+ BO C DA= 0.()(3)設(shè)a, b, c是空間的一個基底，則 a, b, c中至多有一個零向量.()(4)兩向量夾角的范圍與兩異面直線所成角的范圍相同.()答案(1)， (2) V (3) X (4) X.(教材改編)設(shè)u = (2,2 , t), v= (6 ,

6、-4,4)分別是平面 a , 的法向量.若a， ,A. 3C. 5D. 6C . a 3 ,貝U u v= 2X6+2X( 4) + 4t =0,，t = 5.3.（教材改編）在平行六面體 ABCDABCD中，M為AC與BD的交點.若AB= a, AD= b,AA= c,則下列向量中與A.1 i2a+ 2b + c2a+ * + c一 %gb+c112a2b+cBM= BB+ BM= AA+2(AD- AB = c + (ba) = a+,b+c.4.已知 A(1,0,0)B(0,1,0)C（0,0,1）,則下列向量是平面 ABCt向量的是（）A.(-1,1,1)B.(1 ，1,1)C.13D

7、.：3 3設(shè)n = (x, yz）為平面ABC勺法向量,AB= 0,化簡得-x+y=0-x+z=0AO 0,x= y= z.故選 C.5.(教材改編)已知 a= (2,3,1) , b=(4,2,x = 2.2-J6 1 ab, a - b=0,即8 + 6 + x= 0.b=(-4,2,2),| b| =。16+4 + 4 =2/6.課堂題型全突破考點全面,方法簡潔I題型1|空間向量的線性運算1.如圖所示，已知空間四邊形 OABC其對角線為 OB AC M N分別為OA BC的中點,點 G在線段 MN,且 MG= 2GN 若 OG= xO& yO拼zOC 則 x + y+z=56 連接 ON

8、 設(shè) OA= a, OB= b, OC= c, TOC o 1-5 h z 11111則 MN= ON- OMk 2( OBF OC -2OA= 2b+ C 5a,/c12OG= O限 MG= -OAF -MN2312 111111= 2a+3 2b+2c_2a =6a+3b+3c. ,111又OG= xOAFyO跳 zOC 所以 x = g, y=3, z=3,1115因此 x+y+z=6+3+3=6.2.如圖所示，在平行六面體 ABCDA1B1GD中，設(shè)AA=a, AB= b, AD= c, M N, P分別是AA, BG CD的中點，設(shè)用a, b, c表示以下各向量：(1) AR (2)

9、 AN; (3) M印 NG.解(1)因為P是GD的中點,Z ZZ1所以 A鼻 AA+ AD+ DP= a + ANDG1 一1=a+ c+ 2AB= a+ c+ 2b.(2)因為N是BC的中點，1所以 AN= AA+ AB+ BN= a+b+2BC11=a+b+AA a+b+c.22因為M是AA的中點，所以 MP= MAf AP=況 1A+ AP=-1a+ a+c+2b=%+2b+c,1八又 NC= Na CC= Ba AAA -A11 HYPERLINK l bookmark32 o Current Document =A3 AA1 = -c+ a,22所以 MP NC= 1a+2b+c

10、+ a+2c=, +2b+3c.規(guī)律方法用基向量表示指定向量的方法1結(jié)合已知向量和所求向量觀察圖形.2將已知向量和所求向量轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中3利用三角形法則或平行四邊形法則把所求向量用已知基向量表示出來【例1】|題型2|共線（共面）向量定理的應(yīng)用已知E, F, G H分別為空間四邊形 ABCD勺邊AB, BC CD DA勺中點.(1)求證:E, F, G, H四點共面；(2)求證：BD/平面EFGH證明(1)連接 BG EG 貝UEG= EB+ BG_ _ 1 一 一=E打 2 BO BD=EB+ BF+ EH=EF+ EH所以E, F, G, H四點共面. A - A - A -a

11、1111(2)因為 EH= AH- AE= 2AD-2AB= 2( AD- AB=,BD所以EH/ BD又EH?平面EFGH BD?平面EFGH所以BD/平面EFGH規(guī)律方法1證明點共線問題可轉(zhuǎn)化為證明向量共線問題，如證A, B, C三點共線，即證，竟共線，只需證通二A套(A W0)即可.2證明點共面問題，可轉(zhuǎn)化為證向量共面問題.,如證P, A, B, C四點共面，只需證K=*肅+,產(chǎn)中或?qū)臻g任 意一點 o ,有 房二加+工而+于pc或 加一市+歷7芯其中x+y+z=1即可.跟蹤擦習(1)已知a=(入+1,0,2) , b=(6,2 w 1,2入)，若a/b,則入與的值 可以是()A. 2,

12、 1B. 1, 123 2C. 3,2D, 2,2(2)已知 a= (2 , 1,3) , b = ( 1,4 , 2) , c=(7,5 ,入)，若 a, b, c 三向量共面， 則實數(shù)入等于.65A (2) (1) -.-all b, .設(shè) b=xa,x 入 +1=6, 2 1 1 = 0,2x=2 入，1fi =解得 211 =或 2 故選A.入=2,(2),.a與b不共線，故存在實數(shù) x, y使得c=xa+yb,33、=亍2x-y= 7,-x + 4y= 5,3x 2y=入,解得1765了.故填65.【例2】 如圖,|題型3|空間向量的數(shù)量積在平行六面體 ABCEA1B1CD中，以頂點

13、A為端點的三條長度都為 1,且兩兩夾角為60(1)求AC的長；(2)求BD與AC夾角的余弦值.解(1)設(shè)AB= a, AD= b, AA=c,則 | a| = | b| = | c| = 1,o1a, b =b, c =c, a = 60 , a b=b c=c, a= .222221 1 1| AC| =(a+b+c) =a+b+c+2(a b+b c+c a) = 1 + 1+1 + 2x 5+5+3 = 6,.I AC| = 46,即AC的長為班.BD=b+c-a, AC= a+b,. JBD|=/, |ACf, BD . AC= (b+ ca) (a+b) =b2- a2+ a c+

14、b c= 1.BD - AC.cos BD, A。=,1166 .I BD| ACAC與BD夾角的余弦值為,166 .規(guī)律方法1利用向量的數(shù)量積可證明線段的垂直關(guān)系，也可以利用垂直關(guān)系， 通 TOC o 1-5 h z 過向量共線確定點在線段上的位置.2利用夾角公式，可以求異面直線所成的角，也可以求二面角3可以通過|a| =，將向量的長度問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的問題求解跟蹤揀習 如圖，已知直三棱柱 ABCABG,在底面 ABC43, CA= CB= 1, Z BCA= 90 , 棱AA=2, M N分別是AB, AA的中點.(1)求BN勺模;(2)求 cosBA, CB 的值；(3)求證：AB

15、CiM解(1)如圖，以點C作為坐標原點 Q CA CB, CC所在直線分別為x軸，y軸，z軸, 建立空間直角坐標系.由題意得 B(0,1,0), N(1,0,1),所以|BN=1-0 2+0-1 2+1-0=,3.(2)由題意得 Ai(1,0,2), B(0,1,0), q0,0,0), B(0,1,2),所以 BA= (1 , 1,2) , CB= (0,1,2),BA CB= 3, | BA| = = BA . CB =曙. I BA| CB|(3)證明：由題意得G(0,0,2),AB=( 1,1 , 2)15, 0 ，所以AB-G 岫 2 + 2+。=0,所以 AB, GM,即 AB,

16、CM|堰型4|利用向量證明平行與垂直問題【例3】 如圖所示，在四棱錐 P-ABC由，PCL平面ABCD PC= 2,在四邊形 ABCD/B= / C= 90 , AB= 4, CD= 1,點 M在 PB, PB= 4PM P*平面 ABC瞰 30 角，求證：(1) CM/平面 PAD(2)平面PABL平面PAD解(1)證明：由題意知,CB CD CP兩兩垂直，以 C為坐標原點，CB所在直線為x軸，CD所在直線為y軸，CP所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系Gxyz. Pd平面 ABCDPBC PB與平面ABC所成的角, ./ PBC= 30 .PC= 2,BC= 2服 PB= 4, D(

17、0,1,0) , B(23, 0,0) , A(2小,4,0) , R0,0,2) , M喙,0, 3 , DP= (0, 1,2) , DA= (2, 3,0),CM=喙,0, 2 . 設(shè)n= (x, y, z)為平面PAD勺一個法向量,DP- n= 0, 由DA- n= 0,-y + 2z = 0,2x+3y = 0,令 y=2,彳導(dǎo) n=(一小，2,1).一33n CM= 3J3X j- + 2X0+1x 2=0,nCM又 CM?平面 PADCM/ 平面 PAD4yc= 0,即23xc-2z0=0,(2)法一:由(1)知 BA= (0,4,0) , PB= (2 小，0, 2), 設(shè)平面

18、PAB的一個法向量為m (x。，yc, z。)，BA- rr 0, IPB- rr 0,令 xc= 1,得 m= (1,0 ,而.又平面PAD勺一個法向量n=(，3, 2,1),，m n = 1X(憫 +0X2+ #X1= 0,平面PABL平面PAD法二：取AP的中點E,連接BE 則 E(小，2,1) , BE= (-3, 2,1)., PB= ABBEL PA.又BE- DA=(43, 2,1) - (2 4 3,0) =0,BE! DA，BE! DA.又 PAH DA= A,BE!平面 PAD又 B巴平面PAB，平面PABL平面PAD規(guī)律方法1.利用向量法證明平行問題的類型及方法 TOC o 1-5 h z 1證明線線平行：兩條直線的方向向量平行.2證明線面平行：該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直；證明該直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行；證明該直線的方向向量可以用平面內(nèi)的兩個不共線的向量線性表示3證明面面平行：兩個平面的法向量平行2.利用向量法證明垂直問題的類型及方法1證明線線垂直：兩條直線的方向向量的數(shù)量積為0.2證明線面垂直：直線的方向向量與平面的法向量平行3證明面面垂直：根據(jù)面面