博弈論的考試復(fù)習(xí)資料

1、一、簡(jiǎn)答題4, “囚徒的困境”的內(nèi)在根諫是什么？舉出現(xiàn)實(shí)中囚徒的困境的 具體例子。參考答案、“囚徒的困境的內(nèi)在根源是在個(gè)體之間存在行為和利益相互 制約的博弈結(jié)構(gòu)中，以個(gè)體理性和個(gè)體選擇為基礎(chǔ)的分散決策方 式，無(wú)法有效地協(xié)調(diào)各方面的利益，并實(shí)現(xiàn)整體、個(gè)體利益共同的 最優(yōu)。簡(jiǎn)單地說(shuō)廣囚徒的困境”問(wèn)題都是個(gè)體理性與集體理性的 矛盾引起的?，F(xiàn)實(shí)中“囚徒的困境”類(lèi)型的問(wèn)題是很多的口例如廠商之間的 價(jià)格戰(zhàn)惡性的廣告競(jìng)爭(zhēng)，初等、中等教育中的應(yīng)試教育等，其實(shí)都 是“囚徒的困境”博弈的表現(xiàn)形式口2、什么是信號(hào)傳遞博弈？請(qǐng)舉例說(shuō)明。與人，i=1、2,參與人成為信號(hào)發(fā)送者，參與2稱(chēng)為信號(hào)接收者；參與人1的 息參與人

2、2的類(lèi)型是公共信息（即只有一個(gè)類(lèi)型）。5,信號(hào)萌博就一種比較簡(jiǎn)單但有廣泛應(yīng)用意義的不完全型動(dòng)態(tài)博弈。在這個(gè)博弈類(lèi)型是舉例首先“市場(chǎng)進(jìn)入阻舞奔產(chǎn)業(yè)經(jīng)濟(jì)學(xué)！的一個(gè)典型例子許設(shè)想有一個(gè)壟障業(yè)斜設(shè), 在市場(chǎng)上（稱(chēng)為“在位者”）處于優(yōu)勢(shì)地位，另一個(gè)企業(yè)虎視眈眈謀求進(jìn)入（稱(chēng)為“進(jìn)入者”）。在位者若要保持自己的壟斷優(yōu)勢(shì)，就會(huì)想方設(shè)法阻撓進(jìn)入者進(jìn)入。動(dòng)態(tài)博弈通常用博弈樹(shù)表示，如下默許-10, 040 50圖中,進(jìn)入者先選擇行動(dòng)（進(jìn)入或不進(jìn)），在位者然后默許或斗爭(zhēng)，最后的數(shù)字是支付水平。 如進(jìn)入者選擇“進(jìn)入”，在位者選擇默許，支付水平分別為40和50。用不完全信息動(dòng)態(tài)博弈分析“市場(chǎng)進(jìn)入”例子。在這個(gè)博弈中,在位

3、者可能是低成本，也 可能是高成本，進(jìn)入者無(wú)法得知。假設(shè)在位者先行動(dòng)比如說(shuō)定價(jià)。用P表示價(jià)格,那么,P本身可能包含有關(guān)在位者成本函數(shù)的信息，因?yàn)椴煌杀竞瘮?shù)下的最優(yōu)價(jià)格是不一樣的。假 定存在一個(gè)價(jià)格P3,只有低成本企業(yè)才有利可圖，而高成本企業(yè)是不敢模仿這個(gè)價(jià)格的。那么, 精煉貝葉斯均衡是，低成本在位者選擇P3,高成本企業(yè)選擇一個(gè)較高的壟斷價(jià)格;如果進(jìn)入者 觀察到在位者選擇了 P3,就推斷其為低成本，不進(jìn)入;否則，就認(rèn)為在位者是高成本,進(jìn)入。這就 說(shuō)著名的“壟斷限價(jià)模型”。這里，在位者是信號(hào)發(fā)送者，進(jìn)入者是信號(hào)接受者。當(dāng)在位者選擇價(jià)格時(shí)，他知道進(jìn) 入者將根據(jù)自己選擇的價(jià)格判斷自己是高成本還是低成本

4、的概率;進(jìn)入者確實(shí)是根據(jù)觀測(cè)到 的價(jià)格修正對(duì)在位者類(lèi)型的判斷，然后選擇進(jìn)入還是不進(jìn)入。3、“在動(dòng)態(tài)博弈中，因?yàn)楹笮袆?dòng)的博弈方可以觀測(cè)到先行動(dòng)方的選擇，因此，總是有利的?！贝苏f(shuō)法正確嗎？為什么？不正確，因?yàn)樵诓┺闹写嬖谥葎?dòng)優(yōu)勢(shì)和后動(dòng)優(yōu)勢(shì)，所以后行動(dòng)的人不一定總有利， 例如：在斯塔克伯格模型中，企業(yè)可能具有先動(dòng)優(yōu)勢(shì)。4、簡(jiǎn)述不完全信息靜態(tài)博弈由哪些要素構(gòu)成？*完全信息靜態(tài)博弈的要素與結(jié)構(gòu)4類(lèi)型空間參與人知道自己的類(lèi)型和其他人類(lèi)型的概率分布條件概率pi =匕監(jiān)表示參與人i在知道自己類(lèi)型的情況下對(duì)-i類(lèi)型組合七如，t-+15匕）的判斷占類(lèi)型依存戰(zhàn)略空間刀臨）每個(gè)不同類(lèi)型的局中人所能夠選擇的行動(dòng)構(gòu)成的

5、集合類(lèi)型依存支付函數(shù)每一個(gè)不同類(lèi)型的局中人的效用，由白己的類(lèi)型術(shù)登錄-At* 1=1 .-I-. j AA 片r 皿 JU/ J-t- rzzi 血11，兩個(gè)廠商生產(chǎn)一神憲金同質(zhì)的商品,該商品的市場(chǎng)需求函數(shù)為。=1晌一已設(shè)廠商1和廠商2都沒(méi)有固定成本若它們?cè)?相互知道對(duì)方訪際成本的情況下，同時(shí)作出的產(chǎn)決策是分 別生產(chǎn)河單位和的單位口向這兩個(gè)廠商的邊際成本魯是多少?各自的利潤(rùn)是多少?春考答案】報(bào)據(jù)何題的假設(shè)我們知道，兩個(gè)廠商分別生產(chǎn)2。和,3。單& 產(chǎn)量，一定是該靜態(tài)產(chǎn)量博弈的納什均衡產(chǎn)量我勺設(shè)兩個(gè)廠商的邊際成大分別為門(mén)和色，生產(chǎn)的產(chǎn)量分別 為貝和梟，那么該兩個(gè)廠商的利潤(rùn)函數(shù)分別為m = （10

6、0 如一q-i ）饑 一 Ciijt? = （10。如寶） 門(mén)如將兩個(gè)廠商的利潤(rùn)函數(shù)分別對(duì)各自的產(chǎn)里求偏導(dǎo)數(shù)并令偏導(dǎo) 數(shù)為。，可得兩廠商的反應(yīng)函數(shù)為：100 2 = 0把由=20和郛=3。代入上述兩個(gè)反應(yīng)函數(shù)，可解得兩個(gè)廠 商的邊際成本分別為h = 30和t2 2。再把上述產(chǎn)量和邊際成本代入兩個(gè)廠商的利潤(rùn)函數(shù),可得它 們的利潤(rùn)分別為：6.三寡頭市場(chǎng)需求函數(shù)P=100-Q,其中Q是三個(gè)廠商的產(chǎn)之 和，并且已知三個(gè)廠商都有常數(shù)邊際成本2而無(wú)固定成本。如 果廠商1和廠商2先同時(shí)決定產(chǎn)，廠商3根據(jù)廠商1和廠商2 的產(chǎn)決策J可它們各自的產(chǎn)和利潤(rùn)是多少？琴考答案：首先，設(shè)三個(gè)廠商的產(chǎn)最分別為爭(zhēng)、單和敏。三

7、個(gè)J 商的利潤(rùn)函 數(shù)為：?Fi = （100 一 r；j Qi qs ）.i 2gj心=（10Q t/3 一弟q； ）（/2 2q心=（10。一 gi 事 一 q“齊2%根據(jù)逆推歸納法，先分析第二姊段是廠商3的芯擇，將廠商1的利潤(rùn)函數(shù)對(duì)其產(chǎn)量求偏導(dǎo)數(shù)并令其為。得：h 100 一 q它2g* 2 = 0因此廠商3的反應(yīng)函數(shù)為:(98 弟如)/2f+t-Mrit人n -ftp* . -r i a 4 ml,i I - j _-.，一M “一b 與3的反趴 H (100 _ Qi _ q?如)G1 = 號(hào) 也lLj珂=（10。一q s 如）央 一 2少=分別對(duì)%和堡求偏導(dǎo)數(shù)并令為0得，日疳_ 98

8、沖282 _ 98 (/i程2聯(lián)立兩個(gè)方程可解得們=牧=98/3。再代入廠商3的反應(yīng)函數(shù) 得如f 98 切一星）/2 = 98/6口把三個(gè)廠商的產(chǎn)量代入各自的利潤(rùn)函數(shù)，可得三個(gè)廠商的利 潤(rùn)分別為 4 802/9、4 802/9 和 2 401/9。14.某人正在打一場(chǎng)官司,不清律師肯定會(huì)輸請(qǐng)律師后的堵果與 律師的努力程度有關(guān)*僵設(shè)當(dāng)律師努力工作（1QD小時(shí)】時(shí)有 5。%的概率能1,律師不努力工作（1。小時(shí)則只有1S%的概 率能如果訴訟獲勝可得到250萬(wàn)元賠償，失敗則沒(méi)有贈(zèng)侏號(hào)因?yàn)槲蟹綗o(wú)法監(jiān)督律師的工作，因此取方約定根據(jù)蜻果 付費(fèi)贏官司律師可獲賠償金額的W%,失敗則律師一分錢(qián)也 得不到。如果律

9、師的效用函數(shù)為其中m是報(bào)酬是努力小時(shí)數(shù)，且律師有機(jī)會(huì)成本5萬(wàn)元求這個(gè)博弈的 均衡目參考簽案,這是，個(gè)努力成果不確定且不可-監(jiān)督的委托人-代理人博弈 問(wèn)題。但由于本博弈中在律師接受委托后,將按照預(yù)先約定的比 例根據(jù)結(jié)果付費(fèi),因此委托人的選擇比膠簡(jiǎn)單，只需要選擇是否提 出委托。引進(jìn)表示隨機(jī)性的博弈方。，并汁算出不同情況下雙方的效 用和利益,可以得到本博弈的擴(kuò)展形如下(其由博弈方1是委托 人,博弈方2是律師)：由于博弈方0是隨機(jī)選擇，因此我們直接用逆推歸納法從律 師選擇接受委托后是否努方工作的第三階段開(kāi)始分析“根據(jù)努力和不努力兩種情況下贏和輸?shù)母怕?容易算出律師 努力的期望效用是O.SX2O + O

10、_5X(5) = 17.5,不努力的期望 效用是。15X24.5+0,85X(0.5) = 3.25因此在接受委托以后，律師的惟一選擇是努力。回到第二階段律師對(duì)是否接受委托的選擇占由于接受并努力 工作的期望效用17,5大于不接受委托的利益.也就是接受委托的 機(jī)會(huì)成本5萬(wàn)元，因此律弗肯定接受委任，再回到第一階段委托人的選擇，由于委托人可以判斷一旦自 已提出委托，律師一定會(huì)選擇接受并努力工作，因此自己提出委托 的期望利益是0.5X225 + 0,5X0 = 112. 5萬(wàn)元心不提出委托利益 為0“提出委托是必然的選擇.根據(jù)上述分析得到的結(jié)論是，打官司的某人提出委托,律師接 受委托并努力工作,是本博

11、弈的子博弈完美納什均衡，5.一個(gè)工人給一個(gè)老板干活，工資標(biāo)準(zhǔn)是1。0元。工人可以選擇 是否偷懶，老板則選擇是否克扣工資。假設(shè)工人不偷懶有相當(dāng) 于SO元的負(fù)效用，老板想克扣工資則總有借口扣掉60元工 資,工人不偷懶老板有150元產(chǎn)出.而H人偷懶時(shí)老板只有80 元產(chǎn)出，但老板在支付工資之前無(wú)法知道實(shí)際產(chǎn)出，這些情況 是雙方都知道的。請(qǐng)問(wèn)如果老板完全能夠看出工人是否偷懶，博弈屬于哪種類(lèi) 型？用得益矩陣或擴(kuò)展形表示該博弈并作簡(jiǎn)單分析。如果老板無(wú)法看出工人是否偷懶,博弈屬于哪種類(lèi)型？用 得益矩陣或擴(kuò)展形表示并簡(jiǎn)單分析。(1)由于老板在決定是否克扣工資前可以完全清楚工人是否 偷懶，因此這是一個(gè)動(dòng)態(tài)博弈，而

12、且是一個(gè)完全信息的動(dòng)態(tài)博弈。 此外，由于雙方都有關(guān)于得益的充分信息，因此這是一個(gè)完全且完 美信息的動(dòng)態(tài)博弈，該博弈用擴(kuò)展形表示如下：不偷懶(40, 40)(100,-20) (-10, 110)(50, 50)根據(jù)上述得益情況可以看出，在該博弈中偷懶對(duì)工人總是有 利的，克扣對(duì)老板也總是有利的，因此在雙方都只考慮自己的利益 最大化的情況下,該博弈的通常結(jié)果應(yīng)該是工人偷懶和老板克扣。(2)由于老板在決定是杏克扣工資之前無(wú)法清楚工人是否偷 懶，因此該博弈可以看作靜態(tài)博弈中由于雙方仍然都有關(guān)于得益陣表示如下:40,40100.-20-10 J1050,50偷憎不偷懶克扣不克指其實(shí)，根據(jù)該得益矩陣不難得

13、到與上述動(dòng)態(tài)博弈同樣的結(jié)論, 仍然是工人會(huì)選擇偷懶和老板會(huì)選擇克扣。這個(gè)博弈實(shí)際上與囚 徒的困境是相似的口四、兩個(gè)廠商生產(chǎn)相同產(chǎn)品在市場(chǎng)上進(jìn)行競(jìng)爭(zhēng)性銷(xiāo)售。第1個(gè)廠商的成本函 數(shù)為c = q，其中q為廠商1的產(chǎn)量。第2個(gè)廠商的成本函數(shù)為c = cq ，其中q 111222為廠商2的產(chǎn)量，c為其常數(shù)邊際成本。兩個(gè)廠商的固定成本都為零。廠商2的 邊際成本c是廠商2的“私人信息”，廠商1認(rèn)為c在2,32上呈均勻分布。設(shè) 市場(chǎng)需求函數(shù)為P = 4- q1 - q2，其中P為價(jià)格，兩個(gè)廠商都以其產(chǎn)量為純戰(zhàn)略， 問(wèn)純戰(zhàn)略貝葉斯均衡為何？解：給定q2，廠商1的問(wèn)題是max 兀=(P - 1)qq1=(4 -

14、q1 - q2 - 1)q1f3/2(4 一 q 一 q (c) - 1)q dcT121- q2 - q j3/2q (c)dc111 t 22因q2 = q (c)。廠商1不知道c，故目標(biāo)函數(shù)為maxq1=max 3qq1一階條件：3 - 2q - j3/2 q (c)dc = 0(1)得 q =2_Lj3/2q (c)dc122 i 22廠商2的問(wèn)題是：max兀=(P - c)qq2=(4 - q - q - c)q=(4 - c)q - q q - q221 22一階條件：(4 - c) - qT - 2q2 = 0q2(C)=(2)代入式(1)：qi-1 C-qi dc 2 2 i

15、23 - 1 卜/2 4 - q12 2i 2+ J_J3/2 cdc4 i3 + q=143 c得q = 1 代入式(2)： q (c)=若 c = 1,貝U q = q = 1 兀=兀=1若信息是完全的且c = 1 ,則古諾博弈均衡為q = q = 3 這說(shuō)明信息不完全帶來(lái)的高效率。五、試給出下述信號(hào)博弈的純戰(zhàn)略均衡中的混同均衡和分離均衡解：有四種可能：混同均衡t1 - m1, 12 - m1 t T m , t m 分離均衡t T m , t T mt T m , t T m 設(shè)u(m )為接收者看見(jiàn)m時(shí)認(rèn)為發(fā)送者是匕的后驗(yàn)概率?？?t 十 m , t 十 m貝U(m1) = 0.5 ,

16、非均衡路徑上u(m2) = 0,1當(dāng)接收者看見(jiàn)mi，選七的支付為0.5 x 2 + 0.5 x 1 = 1.5選 a2 的支付為 0.5 x 8 + 0.5 x 7 = 7.5 1.5故選a2。當(dāng)接收者看見(jiàn)m2，選a1的支付為u (m ) x 1 + (1 - u (m ) x 5 = 5 - 4u (m )選a2的支付為u (m ) x 7 + (1 - u (m ) x 3 = 3 + 4u (m )當(dāng)t選m，接收者會(huì)選a , t得支付10,要求t不選m，對(duì)u(m )無(wú)要求， TOC o 1-5 h z 121122因t總會(huì)選m。11當(dāng)t選m，接收者會(huì)選a，t得支付3，要求t不選m是不可能

17、的，因t選122222m2是占優(yōu)于選m1的，故此混同均衡七T m1，12 T m不存在。再看混同均衡七T m2，12 T m2此時(shí)u(m ) = 0,1為非均衡路徑上的后驗(yàn)概率，1u(m ) = 0.5當(dāng)接收者看見(jiàn)m2，選a1的支付為0.5 x 1 + 0.5 x 5 = 3選a2的支付為0.5 x 7 + 0.5 x 3 = 5 3故接收者必選a2。當(dāng)接收者看見(jiàn)刀時(shí)，選a1的支付為u (m ) - 2 + (1 - u (m ) -1 = 1 + u (m )111選a2的支付為u (m ) - 8 + (1 - u (m ) - 7 = 7 + u (m ) 1 + u (m )1111故必選a2。這樣，無(wú)論發(fā)送者發(fā)出m1或m2信號(hào)，接收者總選a2，n給定接收者總是選。t會(huì)選m， t會(huì)選m。n故t1 t m2, 12 t m2不是混同均衡?？捶蛛x均衡匕t m1, 1