2014級離散第5章3稱代數(shù)結(jié)構(gòu)G,為群groups如果

1、5-4 群與子群一、群定義5-4.1稱代數(shù)結(jié)構(gòu)為群(groups),如果中運算是封閉的。中運算是可結(jié)合的。中有么元e.（4） 中每一元素x都有x-1。例如，等都是群。例題1 設(shè)R=0,60,120,180,240,300表示在平面上幾何圖形繞形心順時針旋轉(zhuǎn)角度的六種可能情況，設(shè)是R上的二元運算，對于R中任意兩個元素a和b，ab表示平面圖形連續(xù)旋轉(zhuǎn)a和 b得到的總旋轉(zhuǎn)角度。并規(guī)定旋轉(zhuǎn)360等于原來的狀態(tài)，就看作沒有經(jīng)過旋轉(zhuǎn)。驗證是一個群。對于任意的a,b,cR，(ab)c表示將圖形依次旋轉(zhuǎn) a,b和c,而a(bc)表示將圖形依次旋轉(zhuǎn)b,c和a,而總的旋轉(zhuǎn)角度都等于a+b+c(mod 360)，因

2、此， (ab)c=a(bc)。0是幺元。60,180,120的是一個群。分別是300,180 ,240 。因此定義5-4.2 設(shè) 為一群。若 G為有限集，則稱為有限群（finite group）, 此時G的元素個數(shù)也稱G的階(order),記為|G|；否則，稱 為無限群（infinite group）。例題1中所述的就是一個有限群，且|R|=6。例題2 試驗證代數(shù)系統(tǒng)是一個群，這里I是所有整數(shù)的集合，+是普通加法運算。解明顯地，二元運算+在I上是封閉的且是可結(jié)合的。幺元是0。對于任一aA，它的+是一個群，且是一個無限群。是-a。所以I，代數(shù)結(jié)構(gòu)小結(jié)封閉廣群結(jié)合含幺可逆半群獨異點群群獨異點半群廣

3、群由定理5-2.4可知，群中任何一個元素的必定是唯一的。由群中下幾個定理。的唯一性，可以有以定理5-4.1設(shè)為群，那麼當G e時,G無零元。即群中不可能有零元。證明:因當群的階為1時，它的唯一元素是視作幺元e 。設(shè)|G|1 且群有零元。那么群中任何元素xG，都有x = x= e，所以，零元就不存在，與是群的假設(shè)。定理5-4.2設(shè)為群，對于a,bG，必存在xG ，使得關(guān)于x的方程axb，xab都有唯一解證明:1）先證解存在性設(shè)a的a-1，令x = a-1 b（構(gòu)造一個解）ax a （ a-1 b ）（ a a-1 ） b e b b2）再證解唯一性若另有解x1滿足a x1 b ，則a-1 （a

4、x1） a-1 bx1 a-1 b定理5-4.3設(shè)為群，那麼，對任意a,b,cS ab = ac 蘊涵 b = cba = ca 蘊涵 b = cG的所有元素都是可約的因此，群中消去律成立。證明: 設(shè)abac,且a的a-1，則有a-1（ a b ） a-1（ a c ）e b e c b c同理可證第二式。定義5-4.3設(shè)S是一個非空集合，從集合S到S的一個雙射稱為S的一個置換。譬如，對于集合S=a,b,c,d，將a到b，b到d，c一到a，d到c是一個從S到S上的一個一對，這個置換可以表示為abcdbdac即上一行中按任何次序?qū)懗黾现械娜吭?，而在下一行中寫每個對應(yīng)元素的象。定理5-4.4

5、設(shè)為群，那麼，運算表中的每一行或每一列都是群G的元素的置換。證明:先證G中每一個元素只出現(xiàn)一次用反證法：設(shè)a對應(yīng)行有兩個元素b1、b2對應(yīng)的都即ab1ab2c,且b1b2由可約性得b1b2是c,與假設(shè)。再證G中每一個元素必出現(xiàn)一次對于元素aG的那一行，設(shè)b是G中的任意一個元素，由于b=a（a-1b），所以b必定出現(xiàn)在對應(yīng)于a的那一行。再由運算表中任何兩行或兩列都是不相同的。得出要證的結(jié)論。對列的證明過程類似。 定義5-4.4設(shè)為代數(shù)結(jié)構(gòu)，如果存在aG，有a a= a ，則稱 a為等冪元。定理5-4.5 在群中，除幺元e之外，不可能有任何別的等冪元。證明: 因為e e = e ，所以e是等冪元。

6、現(xiàn)設(shè) aG， ae 且 a a= a則有a=ea=(a-1a)a =a-1(aa)=a-1a=e與假設(shè) ae 且。二、子群設(shè)為群。如果為G的定義5-4.5子代數(shù) ，且為一群，則稱為G的子群(subgroups)。定理5-4.6設(shè)為群，為G的子群，那么， 中的幺元e必定也是中的幺元 。證明: 設(shè)中的幺元為e1 ，對于任意一個元素 xSG, 必有e1 x = x = e xe1= e則有定義5-4.6設(shè)為群，為G的子群，如果， S =e或S =G，那么稱為 的平凡子群。例題3 是一個群，設(shè)IE=x|x=2n,nI，證明是的一個子群。證明 (1)對于任意的x,y IE，不妨設(shè)x=2n1,y=2n2,

7、n1,n2I,則x+y=2n1+2n2=2(n1+n2)n1+n2I x+yI而所以即+在IE上封閉。(2)運算+在IE上保持可結(jié)合性。 (3)中的幺元0也在IE中。(4)對于任意的xIE，必有n使得x=2n，而-x=-2n=2(-n)，nI所以-xIE，而x+(-x)=0，因此，是的一個子群。定理5-4.7 設(shè)為群，B為G的非空子集，如果 B是一個有限集,那么,只要運算在B上封閉, 必定是 的子群。證明: 設(shè)任意元素bB，若在B上封閉，則元素b2=bb, b3= b2b, b4= b3b,.,都在B中。由于是有限集，所以必存在正整數(shù)i和j(ij)，使得bi=bjbj-ibi=bi必有即 bj

8、-i是中的幺元。且該幺元也在子集B中。=bbj-i-1可知bj-i-1是b的如果j-i1，則由bj-i，且bj-i-1B ；如果j-i=1，則由bi=bib可知b是幺元，而幺元是以自身為的。因此，必定是 的子群。定理5-4.8設(shè)為群,S為G的非空子集,如果對于任意元素a,bS有ab-1S,那么, 必定是 的子群。分四步證明:1）先證G中的幺元e也是S中的幺元對任意元素aSG, e=a a-1S且ae=ea=a，即e也是S中的幺元。 2）再證S中的每一個元素都有對任意元素aS中， 因為eS，ea-1S ，即a-1S 。所以3）最后證明在S中是封閉的對任意元素a,bS, b-1S, 而b=(b-1)-1ab=a=(