惠州市2015屆高三第一次調(diào)研考試(理數(shù))

1、惠州市2015屆高三第一次調(diào)研考試數(shù)學(xué)（理科）本試卷共4頁，21小題，滿分150分?？荚囉脮r(shí)120分鐘。 注意事項(xiàng)：答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號、試室號、座位號填寫在 答題卡上。2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑，如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置 上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要 求作答的答案無效。、選擇題：本大題共 8小題，每小題5分，共40分.在每小題

2、給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1.復(fù)數(shù)（其中i為虛數(shù)單位）的虛部是B. 1i2D. 1i2.已知集合yy x 1,xR, B xx2,則下列結(jié)論正確的是（A 3 A.某學(xué)校高B. 3 BC. AD. A B B、高二、高三年級的學(xué)生人數(shù)分別為90R900、1200人，現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校高中三個(gè)年級的學(xué)生中抽取容量為50的樣本，則應(yīng)從高三年級抽取的學(xué)生人數(shù)為A.15B.20C. 25D. 30.已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若a418a5 ,則 S8A18B. 36C. 54D.在二項(xiàng)式J（x2 一）5的展開式中，含x4的項(xiàng)的系數(shù)是（A.10 xB. 10C. 5D.若某幾何

3、體的三視圖如右圖所示，則此幾何體的體積等于（A 30B.12C. 24D.4*3 3 ,72側(cè)視圖20俯視圖正視圖7,已知x, y都是區(qū)間0,1內(nèi)任取的一個(gè)實(shí)數(shù)，則使得 ysin x的取值的概率是（B.-C.D.228.已知向量a與b的夾角為定義向量積”，且a b是一個(gè)向量，它的長度A. 4 3|a b sinB. 3C.(1,u (u v)二、填空題(本大題共 7小題，分為必做題和選做題兩部分.每小題 5分，滿分30分) (一)必做題：第 9至13題為必做題，每道試題考生都必須作答.函數(shù)y log3(3x 2)的定義域是 .以拋物線y2 4x的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為中心，離心率為2的雙曲線方程是

4、 .用數(shù)字1,2,3,4可以排成沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)，共有 個(gè).x 0.設(shè)變量x, y滿足x y 1 ,則x y的最大值是. y 1.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?R, f ( 1) 2,對任意x R, f(x) 2,則f(x) 2x 4的解集 為.(二)選做題：第 14、15題為選做題，考生只選做其中一題，兩題全答的，只計(jì)前一題的得分。.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)極坐標(biāo)系中， A, B分別是直線cos sin 5 0和圓 2sin 上的動(dòng)點(diǎn)，則A, B兩點(diǎn)之間距離的最小值是 .(幾何證明選講選做題)如圖所示，OAB是等腰三角形， TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmar

5、k65 o Current Document P是底邊AB延長線上一點(diǎn)，且 PO 3, PA PB 4,/ 淤、則腰長 OA=./、.三、解答題：(本大題共6小題，滿分80分.須寫出必要的文字說明、證明過程和演算步驟.).(本小題滿分12分)x c x C HYPERLINK l bookmark67 o Current Document 已知 sin- 2cos- 0. 22(1)求tanx的值；.2 cos(x) sin x4.(本小題滿分12分)去年2月29日，我國發(fā)布了新修訂的環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)指出空氣質(zhì)量指數(shù)在0 50為優(yōu)秀，各類人群可正常活動(dòng).惠州市環(huán)保局對我市 2014年進(jìn)行為期一

6、年的空氣質(zhì)量監(jiān)測，得到每天的空氣質(zhì)量指數(shù)，從中隨機(jī)抽取50個(gè)作為樣本進(jìn)行分析報(bào)告， 樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為5,15, 15,25,25,35 , 35,45 ,由此得到樣本的空氣質(zhì)量指數(shù)頻率分布直方圖，如圖 (1)求a的值；(2)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，試估計(jì)這一年度的空氣質(zhì)量指數(shù)的平均值；(注：設(shè)樣本數(shù)據(jù)第i組的頻率為r ,第i組區(qū)間的中點(diǎn)值為 x i 1,2,3,L ,n，則樣本數(shù)據(jù)的平均值為 X x1Pl x2 P2 x3 P3 L xnpn.)(3)如果空氣質(zhì)量指數(shù)不超過 15,就認(rèn)定空氣質(zhì)量為 特優(yōu)等級”，則從這一年的監(jiān)測數(shù)據(jù)中隨機(jī) 抽取3天的數(shù)值，其中達(dá)到特優(yōu)等級”的天數(shù)為，求 的分布列和數(shù)學(xué)期

7、望.(本小題滿分14分)如圖，在直三棱柱 ABC AB1cl中，平面 ABC 側(cè)面AABB1 ,且AA AB 2求證：AB BC ;(2)若直線AC與平面Ai BC所成的角為一6.(本小題滿分14分) ._1 .已知數(shù)列an中，a1 3,前n項(xiàng)和Sn -(n 1)(an(1)求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式;M ,使得TnM對一切正整數(shù)n都1(2)設(shè)數(shù)列 的刖n項(xiàng)和為Tn ,是否存在實(shí)數(shù)angan 1成立？若存在，求出 M的最小值；若不存在，請說明理由.(本小題滿分14分)22_橢圓C : S 4 1 (a b 0)的離心率為-,其左焦點(diǎn)到點(diǎn) P(2,1)的距離為 國.a b2(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

8、(2)若直線l : y kx m與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)(A B不是左右頂點(diǎn))，且以AB為直徑的圓 過橢圓C的右頂點(diǎn)，求證：直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).2bx cx bc ,其導(dǎo)函數(shù)為f (x).記函數(shù)g(x)f (x)在21.(本小題滿分14分)已知關(guān)于x的函數(shù)f(x)區(qū)間 1,1上的最大值為M4(1)如果函數(shù)f(x)在x 1處有極值 一，試確定b、c的值; 3(2)若b 1,證明對任意的c ,都有M 2 ； 若Mk對任意的b、c恒成立，試求k的最大值.1.2.3.4.5.6.7.參考答案題號12345678答案CCBDACAD選擇題：共8小題，每小題5分，滿分40分【解析】化簡得z數(shù)

9、為已知集合1.i 21,則虛部為一，故選C2(3,), B2,),A B B,故選C三個(gè)年級的學(xué)生人數(shù)比例為450 20人，故選3 3 43:3:4 ,由題意a4 a5 18 ,等差數(shù)列中a4按分層抽樣方法，在高三年級應(yīng)該抽取人8(a4 a5)r r 10 3r _ _由二項(xiàng)式定理可知，展開式的通項(xiàng)為C5( 1) x ，則10 3r 4得r的系數(shù)為C；( 1)2【解析】由三視圖可知,72 ,故選D10,故選A原幾何體是一個(gè)三棱柱被截去了一個(gè)小三棱錐得到的,上E1如圖V 3 4 52【解析】此題為幾何概型,的面積，即S8.【解析】由題意sinr ru,u二.填空題：共,2、9- (3,)15.

10、75事件02 sinxdxr ru (ur v)7小題，每小題22 y10. x 33 4) 3 24 ,故選 C3244第6題圖A的度量為函數(shù)y sin x的圖像在0,一內(nèi)與x軸圍成的圖形2(1,出)，則r ur(u v)rv sincosr ru,uu, u,3 /曰，得2滿分30分.其中1415題是選做題，考生只能選做一題.11. 1212. 313. ( 1,)14. 272 110【解析】拋物線焦點(diǎn)(1,0),則雙曲線中：a 1,且ey 3 ,故x y的最大值為3。15【解析】以。為圓心，以O(shè)A為半徑作圓，則圓O經(jīng)過點(diǎn)B,即OA OB r,設(shè)PO與圓O交于點(diǎn)C且延長PO交圓。與點(diǎn)D

11、,由切割線定理知得r V5,所以O(shè)A r 55三、解答題：16.(本小題滿分12分)PAgPBPDgPC ,-.x_ x_x解：（1） sin-2cos0,則cos0 1分222tanx 22 分2x 2tan-,2tanx -2 xtan 一2241 2234 分5 分 TOC o 1-5 h z ，八 c C 口22、9.【解析】由3x 2 0得x ,則定義域?yàn)椋?一，) HYPERLINK l bookmark100 o Current Document 33C_999 一 22,得 c 2,又 c2a2 b2 得 b33,a2則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2 y- 1311 【解析】由題意，

12、沒有重復(fù)數(shù)字的偶數(shù)，則末位是2或4,當(dāng)末位是2時(shí)，前三位將1,3, 4三個(gè)數(shù)字任意排列，則 有解 6種排法，末位為4時(shí)一樣有 A 6種，兩類共有:32A3 12種，故共有沒有重復(fù)數(shù)字的偶數(shù)12個(gè)。12【解析】由約束條件畫出可行域如圖所示，則目標(biāo)函數(shù)z x y在點(diǎn)B(2,1)取得最大值，代入得x13.【解析】設(shè)函數(shù)g(x) f (x) 2x 4,則g(x) f (x) 2 0,得函數(shù)g(x)在R上為增函數(shù)， 且 g( 1) f( 1) 2 ( 1) 4 0 ,所以當(dāng) f (x) 2x 4 時(shí)，有 g(x) 0,得 x 1 , 故不等式f (x) 2x 4的解集為(1,)14【解析】由題意，直線l

13、:x y 5 0,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程x2 (y 1)2 1 ,則圓心(0,1)到直線l的 距離為2 J2 ,且圓半徑r 1 ,故AB min dr 272 1(2)原式22cos x sin x7 分- 2 cosx sin x sin x 22(cosx sin x)(cosx sin x)(cosx sin x)sin x9 分cosx sin xsin x1 tanxtanx1424.6.0C；64，P125c3481252C；412 c-,P5125C33112510 TOC o 1-5 h z 1O分11分12分.(本小題滿分12分)(1)解：由題意，得 0.02 0.032 a 0.01

14、8 10 1,1 分解得a 0.03.2分(2)解：50個(gè)樣本中空氣質(zhì)量指數(shù)的平均值為X 0.2 10 0.32 20 0.3 30 0.18 40 24.63 分 由樣本估計(jì)總體，可估計(jì)這一年度空氣質(zhì)量指數(shù)的平均值約為(3)解：利用樣本估計(jì)總體，該年度空氣質(zhì)量指數(shù)在5,15內(nèi)為特優(yōu)等級且指數(shù)達(dá)到特優(yōu)等級”的概率為0.2，則：B的取值為0,1,2,3,的分布列為：12548125c 12 c23125112511分12分0123P64125481251212511255 5.（本小題滿分14分） TOC o 1-5 h z 解：（1）證明：如右圖，取 A1B的中點(diǎn)D ,連接AD ,1分因 AA

15、 AB ,則 AD A1B2 分由平面 ABC 側(cè)面A1ABB1,且平面 ABC I側(cè)面A1ABB1 AB, 3分得AD 平面ABC,又BC 平面ABC,所以AD BC.4 分因?yàn)槿庵?ABCAB1G是直三棱柱，則AA1 底面ABC , 所以AA1 BC .又 AAI AD=A ,從而 BC 側(cè)面 A1ABB1 ,又 AB 側(cè)面 AABB1 ,故 AB BC .（2）解法一：連接 CD,由（1）可知AD 平面ABC ,則CD是AC在平面ABC內(nèi)的射影ACD即為直線AC與平面A1BC所成的角，則 ACD = -8分6在等腰直角 A1AB中，AA1 AB 2 ,且點(diǎn)D是A1B中點(diǎn)1226AC 2

16、我9 分AD - A1B 衣，且 ADC=, ACD = -過點(diǎn)A作AE AC于點(diǎn)E ,連DE由（1）知 AD 平面 A1BC，則 AD AC ,且 AEI AD AAED即為二面角 A AC B的一個(gè)平面角 10小AAgAC 2 2 2 2.6且直角 AAC中：AE產(chǎn)AC2 .33又 AD= 2, ADE= 一2sin AED =AD、2AE 2,6,且二面角A AC B為銳二面角 2AED=-,即二面角A3AC B的大小為一3解法二（向量法）：由（1）知AB BC且BB1底面ABC，所以以點(diǎn)B為原點(diǎn)，以BC、BA、BB1所在直線分別為x, y, z軸建立空間直角坐標(biāo)系B xyz,如圖所示，

17、且設(shè)A(0,2,0),B(0,0,0),C(a,0,0),A(0,2,2)uur BC (a,0,0),uurBA (0,2,2)，uurAC(a,2,0),uurAA1 (0,0,2)設(shè)平面urA BC的一個(gè)法向量n1(x, y, z)uur由BCurn,uur urBA 叫得:xa2y2zir則n(0,1,1)10分設(shè)直線AC與平面A, BC所成的角為得 sin 一6uuur irACgi1UUULU又設(shè)平面AC74a2v2uuur2,即 AC (2, 2,0)12分uuA1AC的一個(gè)法向量為n2 ,同理可得,uun2(1,1,0)設(shè)銳二面角A A1CB的大小為，則cos cosIT LU

18、ngur uu。少2ur uun,n2;且(0, a)得銳二面角A A1CB的大小為一。314分19.（本小題滿分14分）解：（1）（解法一）SnSn 1%n2(n1)(an1) 1, , an 1512)(1 11) 1121(n 2)(an 1 1) (n 1)(% 1)整理得 nan 1 (n 1)an 1(n 1)an 2(n 2)an 1 1兩式相減得(n 1同2 nan 1 (n 2)an 1 (n 1注即(n 1)an 22(n 1)an1 (n 1同 0, , an 2 2an 1anan 1an 1 an數(shù)列an是等差數(shù)列且a1 3,得a2 5 ,則公差d 2an 2n 1（

19、解法二） Sn Sn1-(n 1)(an1)12(n 2)(an 11) 1一 an整理得12(n 2)(an 11)(n1)(an1)nan 1 (n1)an等式兩邊同時(shí)除以n(n1)得anan nn(n 1)annn(n 1) n累加得an ann n1an 1n 11an 2a221311L 1 32得 an 2n(2)由(1)知 an 2n 1an 甲n1(2n 1)(2n3)/) 2n 3Tn1(1 1 1 12 312n 12n 1 2n/)則要使得TnM對一切正整數(shù)n都成立,只要(Tn ) max存在實(shí)數(shù)M,使得Tn M對一切正整數(shù)n都成立，且一，一1M的最小值為-614分20.

20、(本小題滿分14分)c解：(1)由題：e 一a左焦點(diǎn)(一c,0)到點(diǎn)P(2,1)的距離為：d = 42 + c) 2 + 1 2 = J而由可解得c = 1 , a = 2 ,b 2 = a 2-c 2 = 3.x 2，所求橢圓C的萬程為了 +(2)設(shè) A(X1,y1)、B(x2,y2),將y = kx + m代入橢圓方程得(4 k 2+ 3) x 2+ 8kmx + 4m 2 12 = 0.8km1 + x2 = 4k 2 + 3，x1x2 =4m 2 124k 2 + 3，且 y1 = kx1 + m, y2 = kx2 + m. AB為直徑的圓過橢圓右頂點(diǎn)A2(2,0),所以 A2A ?

21、A2B = 0.2分x所以(x1一2,y1)(x2 2,y2) =(x1 2) (x2 2) +y1y2= (x1一 2)(x2 2) + (kx1 +m) (kx2+ m)=(k 2 + 1) x1x2+ (km 2) (x1 + x2) + m 2 + 42 4m 2128km 2=(k + 1) 4k 2+ 3 -(km-2) 4k 2+ 3 + m + 4 = 0 .2.整理得 7m 2+ 16km + 4k 2 = 0.m = 7 k 或 m = 2k 都滿足 0.若m = 2k時(shí)，直線l為y = kx-2k = k (x- 2)，恒過定點(diǎn) A2(2,0),不合題意舍去;13分222右 m = 7 k 時(shí)，直線 l 為 y = kx7 k = k (x-7),恒過定點(diǎn)a ,0).21.(本小題滿分14分)解：(1) f (x)x2 2bx c ,由 f(x)在 x41處有極值一，可得3(2)一個(gè)f (1)1 2b c,1f(1) b c 3若 b 1, c 1 ,則 f (x)若 b 1, c 3,貝U f (x)變化情況如下表:f (x)f(x)當(dāng)x 1時(shí),證法一：g(x)bcf (x)有極大值(x)2x2x(x(x1)21)(x0,此時(shí)函數(shù)f (x)沒有極值；3分1),此時(shí)當(dāng)x變化時(shí),f(x) , f (x)的(3,1)(1,)極小值12x2 2b