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1、2.4.3 曲線的凹凸性與拐點第四節(jié) 導數的應用-觀察下列兩圖的特點：一、曲線的凹凸性與拐點-.曲線凹凸性的定義定義2.6 若在某區(qū)間(a,b)內曲線段總位于其上任意一點處切線的上方，則稱該曲線段在(a,b)內是凹的, (a,b) 為曲線的凹區(qū)間；若曲線段總位于其上任一點處切線的下方，則稱該曲線段在(a,b)內是凸的,(a,b)為曲線的凸區(qū)間.- 在我們不知道曲線形狀的時候,用曲線凹凸性的定義判斷曲線的凹凸性顯然是不可能的,如何方便地判斷曲線的凹凸性呢?2.曲線凹凸性的判定上圖可見： 切線斜率k 凹曲線-上圖可見： 凸曲線 切線斜率k-定理2.12 設函數y = f (x)在區(qū)間 (a,b)內

2、的二階導數 存在(1)若在(a,b)內 f (x) 0 ,則曲線 y = f (x) 在區(qū)間(a,b) 內是凹的；(2)若在(a,b)內 f (x) 0 ,則曲線 y = f (x)在區(qū)間(a,b) 內是凸的。- 例1解注意到：-注意：拐點一定在曲線上。怎樣判斷曲線的拐點呢？定義2.7 連續(xù)曲線y = f (x)上凹弧與凸弧的分界點 稱為曲線的拐點.函數凹凸性凹凸區(qū)間凹凸區(qū)間分界點（拐點）-拐點 凹凸性分界點 切線斜率k凸曲線 切線斜率k凹曲線前已述及:所以:凸曲線 凹曲線但反向不一定成立-據以上分析總結出曲線凹凸區(qū)間與拐點的判定步驟:(1)求函數y=f(x)的定義域;(2)求出f“(x)，找出定義域內使f”(x)=0的點和f“ (x)不存在 的點； (3)用上述各點按照從小到大的順序依次將定義域分成若干 個小區(qū)間，考察每個小區(qū)間上f“ (x)的符號；從而判斷曲 線在各個子區(qū)間上的凹凸性,最后確定拐點. -例2 求曲線的凹凸區(qū)間及拐點(2)(3) 列表考察函數的凹凸區(qū)間及拐點:解 (1) 函數的定義域為凹拐點（2，17）凸拐點(，)凹f (x)00f(x)(2, +)2(0,2)0(-,0)x-例3 解因為拐點一定在曲線上，所以從而有即(1)式和(2)式聯立解得:-3、小結曲線凹凸性的判定方法

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