第三章：量子力學(xué)中的力學(xué)量_6講分析課件(PPT 119頁)

1、量子力學(xué)與統(tǒng)計物理Quantum mechanics and statistical physics光電信息學(xué)院 李小飛第1頁，共119頁。第三章：量子力學(xué)中的力學(xué)量第2頁，共119頁。第一講：力學(xué)量的算符表示第3頁，共119頁。微觀粒子具有波粒二象性，其運動狀態(tài)用波函數(shù)描述，那么，如何從波函數(shù)求體系的性質(zhì)？引入薛定諤說：用算符作用于波函數(shù)就行了 第4頁，共119頁。比如：對于在勢場不顯含時間中運動的粒子，其波函數(shù)時間t和位置r可分離，用哈密頓算符H作用于定態(tài)波函數(shù)上，就可以得到粒子的能量。那么，對于其它各種物理量，比如位置、動量等，是否也可以？第5頁，共119頁。 經(jīng)典系統(tǒng)與量子系統(tǒng)的區(qū)別：

2、經(jīng)典系統(tǒng)的力學(xué)量有確定性，遵守因果論；量子系統(tǒng)由于波粒二象性，一般不具有確定性，但服從統(tǒng)計律，即：雖然每一次測量的值可能不同，但多次測量的統(tǒng)計平均值具有確定性。 一、統(tǒng)計平均值與算符的引入（力學(xué)量期望值，或理論平均值） 例：若已知波函數(shù) ，按照波函統(tǒng)計解釋，利用統(tǒng)計平均方法，可求得粒子坐標(biāo) 的期望值： 同樣，若已知波函數(shù) ，可求粒子動量 的期望值： 問題：如何在知道波函數(shù) 的情況下求 的期望值？ 第6頁，共119頁。定義算符：第7頁，共119頁。力學(xué)量算符與期望值的關(guān)系：第8頁，共119頁。對于任意一個力學(xué)量A，如果知道它的算符，則它的期望值應(yīng)為：如果波函數(shù)沒有歸一化，則算符在量子力學(xué)中的重要

3、位置，由此可見一斑因此，先定義出各種力學(xué)量算符是必要的定義標(biāo)積（內(nèi)積），簡化書寫第9頁，共119頁。經(jīng)典物理學(xué)中，一般力學(xué)量都是坐標(biāo)與動量的函數(shù)，可以依據(jù)如下對應(yīng)關(guān)系定義這些力學(xué)量的算符二、由經(jīng)典物理引進(jìn)量子力學(xué)量算符第10頁，共119頁。再論波函數(shù)的作用：1. 由 Born 的統(tǒng)計解釋可知，描寫粒子的波函數(shù)已知后，就知道了粒子在空間的概率分布，即 (r, t) = |(r, t)|2 2. 已知 (r, t)， 則任意力學(xué)量的可能值、相應(yīng)的概率及它的統(tǒng)計平均值都知道。也就是說，描寫粒子狀態(tài)的一切力學(xué)量就都知道了。所以波函數(shù)又稱為狀態(tài)波函數(shù)或態(tài)函數(shù)。 3. 知道體系初始時刻的態(tài)函數(shù)及其所處的力

4、場，由Schrodinger方程即可確定以后各時刻的態(tài)函數(shù)。波函數(shù)完全描述微粒的狀態(tài)第11頁，共119頁。四、力學(xué)量算符是線性厄密算符（ Hermitian） 1. 線性算符的定義 2. 厄密算符的定義三、算符的定義算符：作用于一態(tài)函數(shù)，把這個態(tài)函數(shù)變成另一個態(tài)函數(shù)滿足如下運算法則的算符，稱為線性算符滿足如下關(guān)系式的算符，稱為厄密算符用內(nèi)積表示：第12頁，共119頁。證明：力學(xué)量算符是線性算符設(shè)1，2是力學(xué)量算符F的本征方程的兩個解，有：根據(jù)態(tài)疊加原理, c11+c22也是本征方程的解：所以：得證：第13頁，共119頁。例 第14頁，共119頁。例 第15頁，共119頁。證明：力學(xué)量算符是厄密

5、算符力學(xué)量A的期望值為取上式的復(fù)共軛因為可觀測力學(xué)量的期望值應(yīng)為實數(shù)，即得證：第16頁，共119頁。 因此，我們只需要研究 (1) 線性算符的運算特點、 (2) 厄密算符的性質(zhì) (3) 厄密算符的本征值等問題，就可知道所有力學(xué)量算符的基本性質(zhì) 結(jié)論：所有力學(xué)量算符都是線性厄密算符第17頁，共119頁。五、線性算符的運算1. 算符的和：算符的和運算滿足交換律和結(jié)合律2. 算符的積算符的積不一定滿足交換律第18頁，共119頁。3. 算符的對易式, 定義：如果： ，稱兩算符對易，否則稱不對易六、厄密算符的性質(zhì)1. 兩厄米算符之和仍為厄米算符 3. 無論兩厄米算符是否對易，算符 及 都是厄米算符。2.

6、 當(dāng)且僅當(dāng)兩厄米算符 和 對易時，它們之積 才為 厄米算符。4. 第19頁，共119頁。七、厄密算符的本征值與本征函數(shù) 厄密算符的本征值方程厄密算符作用于一波函數(shù)，結(jié)果等于這個波函數(shù)乘以一個常數(shù)，則稱 是 的本征值， 為屬于 的本征函數(shù)，此方程稱為算符 的本征值方程。全部本征值 是且僅是相應(yīng)力學(xué)量A的所有可能取值（或測量值）.第20頁，共119頁。2. 在任何狀態(tài)下平均值均為實數(shù)的算符必為厄米算符。厄米算符的平均值、本征值、本征函數(shù)有如下定理：1. 厄米算符的本征值為實數(shù)。3. 厄米算符屬于不同本征值的本征函數(shù)正交。4. 厄米算符的簡并的本征函數(shù)可以經(jīng)過重新組合后使它正交歸一化。5. 厄米算符

7、的本征函數(shù)系具有完備性。6. 厄米算符的本征函數(shù)系具有封閉性。第21頁，共119頁。定理1 厄密算符的本征值是實數(shù)第22頁，共119頁。定理2 在任何狀態(tài)下平均值均為實數(shù)的算符必為厄米算符第23頁，共119頁。定理3 厄密算符的任意兩個屬于不同本征值的本征函數(shù)正交.第24頁，共119頁。正交歸一的表示形式：分立譜:連續(xù)譜：正交歸一系滿足以上條件的函數(shù)系 n 或 稱為正交歸一系。第25頁，共119頁。定理4 屬于同一本征值的多個簡并本征函數(shù)可經(jīng)重組后正交歸一化：如果對于同一本征值有多個獨立的本征函數(shù)則稱本征值a是f重簡并的， 這f個函數(shù)不一定是彼此正交的，但它們可以重新組合成f個獨立而彼此正交的

8、新函數(shù)，這些新函數(shù)依然是本征值a的本征函數(shù)。第26頁，共119頁。例 1. 找正交歸一化函數(shù) 第27頁，共119頁。第28頁，共119頁。2. 看它們是否依然簡并第29頁，共119頁。定理3 厄密算符的任意兩個屬于不同本征值的本征函數(shù)正交.定理4 屬于同一本征值的多個簡并本征函數(shù)可經(jīng)重組后正交歸一化 由以上兩定理，可以認(rèn)定厄密算符的本函數(shù)是彼此正交的第30頁，共119頁。定理5 厄密算符的本征函數(shù)具有完備性，構(gòu)成完備系.體系的任一態(tài)函數(shù)都可用在任一力學(xué)量的本征函數(shù)集上展開，不再需要添加其他任何波函數(shù)。定理6 厄密算符的本征函數(shù)具有封閉性.不證？求展開系數(shù)：展開系數(shù) 的物理意義（1）： 處于本征

9、態(tài) 的概率第31頁，共119頁。證明：計算力學(xué)量A的期望值展開系數(shù) 的物理意義（2）：在 態(tài)對力學(xué)量A進(jìn)行測量， 測得本征值 的概率證畢！第32頁，共119頁。小結(jié)：在任一態(tài)（疊加態(tài)）下對隨意力學(xué)量A進(jìn)行測量，得到的只能是它的本征值之一！測得這個本征值的概率就是展開式中對應(yīng)本征函數(shù)前的系數(shù)！證畢！第33頁，共119頁。封閉性是完備性的充要條件：必要條件充分條件第34頁，共119頁。本征函數(shù)的封閉性也可看作是 函數(shù)按本征函數(shù)展開，而展開系數(shù)恰好是本征函數(shù)的復(fù)共軛。第35頁，共119頁。例第36頁，共119頁。例第37頁，共119頁。第38頁，共119頁。例 第39頁，共119頁。第40頁，共11

10、9頁。備注施密特正交化方法第41頁，共119頁。第二講：幾種基本力學(xué)量算符 及其本征值問題第42頁，共119頁。引入：算符與力學(xué)量的關(guān)系 力學(xué)量算符本征值： （本征值譜)本征函數(shù)： （正交歸一完備函數(shù)系） 當(dāng)體系處于 的本征態(tài) 時， 表示的力學(xué)量有確定值，該值就是 在 態(tài)中的本征值 本征態(tài)第43頁，共119頁。非本征態(tài)當(dāng)體系處于的態(tài)(x)不是 的本征態(tài)，那么這個態(tài)總可以展開在由本征函數(shù)構(gòu)成的完備集上。因此測量力學(xué)量A所得到的值雖不是確定的，但它必定是算符 的某個本征值 ，測得此本征值的概率為 。第44頁，共119頁。證明第45頁，共119頁。力學(xué)量取某一本征值的幾率第46頁，共119頁。方法1

11、方法2若(x)為歸一化的波函數(shù)，則F平均值為力學(xué)量算符的平均值第47頁，共119頁。證：第48頁，共119頁。若波函數(shù)沒有歸一化，則平均值的計算方法為第49頁，共119頁。若本征值有連續(xù)譜第50頁，共119頁。總之： （1） 各力學(xué)量算符的本征值問題， 具有重要的物理意義（2）了解常用力學(xué)量算符（如坐標(biāo)、動量、 角動量等）的本征值問題，是有必要的第51頁，共119頁。（一）坐標(biāo)算符本征值譜為連續(xù)譜本征值為 的本征函數(shù)正交歸一性完備性本征方程任意兩個屬于不同本征值的本征函數(shù)正交封閉性與完備性的充要條件，所以可以這么寫第52頁，共119頁。（二）動量算符本征值譜為連續(xù)譜，區(qū)間 內(nèi)所有實數(shù)本征值為

12、的本征函數(shù)本征方程正交歸一性完備性第53頁，共119頁。由于角動量平方算符中含有關(guān)于 x，y，z 偏導(dǎo)數(shù)的交叉項,所以直角坐標(biāo)下角動量平方算符的本征方程不能分離變量,為此，我們采用球坐標(biāo)較為方便. (I) 直角坐標(biāo)系角動量平方算符（三）角動量算符的形式第54頁，共119頁。直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)之間的變換關(guān)系xz球 坐 標(biāo)ry這表明： r = r (x, y, z) x = x (r, , )(II) 球坐標(biāo)將（1）式兩邊分別對 x y z 求偏導(dǎo)數(shù)得：將（2）式兩邊分別對 x y z 求偏導(dǎo)數(shù)得：對于任意函數(shù)f (r, , ) （其中，r, , 都是 x, y, z 的函數(shù)）則有：將（3）式兩邊分

13、別對 x y z 求偏導(dǎo)數(shù)得：第55頁，共119頁。將上面結(jié)果 代回原式得：則角動量算符 在球坐標(biāo)中的 表達(dá)式為：可以看出，球坐標(biāo)第中，角動量算符只與 有關(guān) 第56頁，共119頁。（四）Lz角動量算符求 歸 一 化 系 數(shù)正交性：I. 波函數(shù)有限條件，要求 z 為實數(shù)； II.波函數(shù)單值條件，要求當(dāng) 轉(zhuǎn)過 2角回到原位時波函數(shù)值相等，即：合記之得 正交歸一化 條件：(I) 的本征方程第57頁，共119頁。Lz角動量算符本征方程本征函數(shù)第58頁，共119頁。（五）L2角動量算符取本征方程因為Lz是厄密算符，它的本征函數(shù)集 是完備的可以在它上面展開第59頁，共119頁。第60頁，共119頁。第61

14、頁，共119頁。L2的本征值是（2l+1)簡并的第62頁，共119頁。例 第63頁，共119頁。第64頁，共119頁。例 第65頁，共119頁。例 第66頁，共119頁。例 證 第67頁，共119頁。例 證 第68頁，共119頁。第三講：算符的對易關(guān)系第69頁，共119頁。算符對易關(guān)系的定義設(shè) 和 為兩個算符若 ，則稱 與 對易若 ，則稱 與 不對易引入對易子：若 ， 則 與 對易若 ， 則 與 不對易第70頁，共119頁。算符對易關(guān)系的運算法則 第71頁，共119頁。第72頁，共119頁。但是坐標(biāo)算符與其非共軛動量對易，各動量之間也相互對易。第73頁，共119頁。坐標(biāo)與動量對易關(guān)系總結(jié)第74

15、頁，共119頁。其他力學(xué)量一般都是坐標(biāo)和動量的函數(shù)，知道以上基本的對易關(guān)系，其他力學(xué)量之間的對易關(guān)系也都可以得到 。 動量和坐標(biāo)對易關(guān)系通式:量子力學(xué)基本的對易關(guān)系。（一）量子力學(xué)最基本的對易關(guān)系第75頁，共119頁。（二）角動量算符之間的基本對易關(guān)系證：第76頁，共119頁?！咀C明】例，證明對易關(guān)系式第77頁，共119頁。定理1. 如果兩算符具有共同的本征函數(shù)完備系，則它們對易（四）算符對易的條件及其意義第78頁，共119頁。第79頁，共119頁。逆定理. 如果兩算符對易，則它們具有共同的本征函數(shù)完備系。【證明】第80頁，共119頁。定理推廣：（兩個以上的算符）一組力學(xué)量算符具有共同完全本征

16、函數(shù)系的充要條件是這些算符相互對易。即：如果一組算符有共同本征函數(shù)，而且這些共同本征函數(shù)組成完全系，則這組算符中的任何一個和其余的算符都對易。這個定理的逆定理也成立。第81頁，共119頁。（五）算符對易的物理意義 1. 若一組不同力學(xué)量相互對易，則它們有共同的本征態(tài)，當(dāng)體系處于共同本征態(tài)時，它們同時具有確定值。第82頁，共119頁。 2. 若一組相互對易的力學(xué)量能完全確定一個量子體系的狀態(tài)，即構(gòu)成一個力學(xué)量的完全集合，則這組完全集合中力學(xué)量的數(shù)目一般與體系的自由度的數(shù)目相等第83頁，共119頁。（五）算符不對易測不準(zhǔn)原理引言由前面討論表明，兩對易力學(xué)量算符則同時有確定值；不對易兩力學(xué)量算符，一

17、般來說，不存在共同本征函數(shù)，不同時具有確定值。問題兩個不對易算符所對應(yīng)的力學(xué)量在某一狀態(tài)中進(jìn)行測量時，究竟不確定到什么程度？即不確定度是多少？不確定度：測量值 F 與平均值 的偏差的大小。第84頁，共119頁。均方差即等于平方的平均值減去平均值的平方第85頁，共119頁。測不準(zhǔn)關(guān)系的推導(dǎo)是算符或普通數(shù)第86頁，共119頁。第87頁，共119頁。第88頁，共119頁?；?qū)Ρ确匠蹋旱?9頁，共119頁。例1：坐標(biāo)和動量的測不準(zhǔn)關(guān)系海森堡測不準(zhǔn)關(guān)系 (1927年）海森堡，德，190119761932年諾貝爾物理學(xué)獎第90頁，共119頁。 由測不準(zhǔn)關(guān)系 看出：若兩個力學(xué)量算符 和 不對易，則一般說來

18、與 不能同時為零，即 和 不能同時測定（但注意 的特殊態(tài)可能是例外），或者說它們不能有共同本征態(tài)。反之，若兩個厄米算符 和 對易，則可以找出這樣的態(tài)，使 和 同時滿足，即可以找出它們的共同本征態(tài)。 比如： 表明： 和 不能同時為零，坐標(biāo) 的均方差越小，則與它共軛的動量 的均方偏差越大，亦就是說，坐標(biāo)愈測量準(zhǔn)，動量就愈測不準(zhǔn)。 海森堡測不準(zhǔn)關(guān)系 第91頁，共119頁。 角動量的測不準(zhǔn)關(guān)系當(dāng)粒子處在 的本征態(tài)時 諧振子的零點能的量子根源第92頁，共119頁。第93頁，共119頁。第94頁，共119頁。第95頁，共119頁。科學(xué)界最珍貴的照片永恒的瞬間, （29人，17人諾貝爾物理學(xué)獎）第96頁，共

19、119頁。Werner Heisenberg維爾納海森堡第三排：奧古斯特皮卡爾德、亨里奧特、保羅埃倫費斯特、愛德華赫爾岑、頓德爾、 埃爾溫薛定諤、維夏菲爾特、沃爾夫?qū)堇?、維爾納海森堡、拉爾夫福勒、里昂布里淵，第二排：彼得德拜、馬丁努森、威廉勞倫斯布拉格、亨德里克安東尼克雷默、保羅狄拉克、 阿瑟康普頓、路易德布羅意、馬克斯玻恩、尼爾斯玻爾，第一排：歐文朗繆爾、馬克斯普朗克、瑪麗居里、亨德里克洛倫茲、阿爾伯特愛因斯坦、保羅朗之萬、查爾斯歐仁古耶、查爾斯威耳遜、歐文理查森第97頁，共119頁。第四講：力學(xué)量平均值隨時間的演化第98頁，共119頁。（1）由薛定諤方程有 1、力學(xué)量平均值隨時間的演化體

20、系所處的狀態(tài) 隨時間而變化力學(xué)量算符 是時間的顯函數(shù)， 隨時間變化此式表明力學(xué)量平均值隨時間變化有兩方面的原因:第99頁，共119頁。利用對易子記號 （2）因 是厄米算符 則這就是力學(xué)量平均值隨時間的演化規(guī)律如 不顯含t第100頁，共119頁。2、力學(xué)量守恒的條件則有常量若力學(xué)量算符 不顯含時間t,且與哈米頓算符 對易即 ，可以證明力學(xué)量F測量值的概率分布也不隨時間改變結(jié)論:力學(xué)量 的平均值 不隨時間而變化,則稱 為運動恒量，或 在運動中守恒。第101頁，共119頁。證明力學(xué)量F測量值的概率分布也不隨時間改變考慮到 可以選擇包含 和 在內(nèi)的一組力學(xué)量完全集，將其共同本征態(tài)記為 （n是一組完備的

21、量子數(shù)標(biāo)記）有： nnntCtjy)()(=體系的任一狀態(tài) 均可用 展開：在 態(tài)下，t 時刻測量 得到 的概率為下面證明 成立第102頁，共119頁。第103頁，共119頁。而得第104頁，共119頁。 在球坐標(biāo)系中算符 等只是 的函數(shù)，與時間t無關(guān)，對時間偏微商為0。 Ex2. 粒子在中心力場中運動的角動量又故 守恒自由粒子的動量是運動恒量動量守恒Ex1. 自由粒子的動量 不顯含時間第105頁，共119頁。角動量各分量算符及角動量平方算符均為守恒量。 角動量守恒定律！角動量各分量算符及角動量平方算符均與哈米頓算符對易Ex3. 哈米頓算符不顯含時間的體系的能量當(dāng) 不顯含t時， 又即：能量守恒定

22、律！哈米頓算符可表示為： 第106頁，共119頁。Ex4. 哈米頓算符對空間反射不變時的宇稱守恒 空間反演算符也稱為宇稱算符空間反射算符反射算符 的本征值本征值空間反射：第107頁，共119頁。 具有偶宇稱或奇宇稱的波函數(shù)稱為具有確定的宇稱。宇稱是運動空間對稱性的描述。宇稱守恒律：若體系的哈米頓算符具有空間反射不變性即則 為運動恒量，即宇稱守恒證：(偶宇稱)(奇宇稱)第108頁，共119頁。 故 宇稱守恒表示體系的哈米頓算符和宇稱算符具有共同本征函數(shù), 因而體系能量本征函數(shù)可以有確定的宇稱，而且不隨時間變化。因此,為運動恒量，亦即宇稱守恒又 不顯含t，第109頁，共119頁。與經(jīng)典力學(xué)守恒量不

23、同,量子體系的守恒量并不一定 取確定值,即體系的狀態(tài)并不一定就是某個守恒量的 本征態(tài). 一個體系在某時刻是否處于某守恒量的本征態(tài),決定 于其初始條件. (2) 量子體系的各守恒量并不一定都可以同時取確定值.關(guān)于量子體系的守恒量的幾點說明若初始時刻體系處于守恒量F的本征態(tài),則體系保持在該本 征態(tài);反之,若初始時刻體系并不處于守恒量F的本征態(tài),則以后的狀態(tài)也不是F的本征態(tài),但F的平均值和測量值概率 的分布不隨時間變.第110頁，共119頁。(1)定態(tài)是體系的一種特殊的狀態(tài),即能量本征態(tài), 在定態(tài) 下,一切力學(xué)量(不顯含時間t,但不管是否守恒量)的平均 值和 測量值概率分布都不隨時間而改變;(2)守

24、恒量則是體系的一種特殊的力學(xué)量,它與體系的 Hamilton量對易,守恒量則在一切狀態(tài)下(不管是否 定態(tài))的平均值和測量值概率分布都不隨時間而改變.只當(dāng)一個體系不處于定態(tài),而所討論的力學(xué)量又不是體系的守恒量時,才需要研究該力學(xué)量的平均值和測量值概率分布如何隨時間改變.守恒量與定態(tài)的區(qū)別第111頁，共119頁。思考題: 判斷下列提法的正誤在非定態(tài)下,力學(xué)量的平均值隨時間變化設(shè)體系處于定態(tài),則不含時力學(xué)量的測量值的概率分布 不隨時間變化(3)設(shè)Hamilton量為守恒量,則體系處于定態(tài)第112頁，共119頁。3. 能級簡并與守恒量關(guān)系守恒量在能量本征值問題中的運用第113頁，共119頁。附錄1：用到的部分積分公式 第114頁，共119頁。 在一些具體的問題中遇到動量的本征值問題時，常常需要把動量的連續(xù)本征值變?yōu)榉至⒈菊髦?/p>