matrix12內(nèi)積空間

1、五、子空間 概述：線(xiàn)性空間Vn（F）中，向量集合V可以有集合的運(yùn)算和關(guān)系： Wi V， W1W2， W1W2，問(wèn)題：這些關(guān)系或運(yùn)算的結(jié)果是否仍然為線(xiàn)性空間 ？11. 子空間的概念定義： 設(shè)集合WVn（F），W ，如果W中的元素關(guān)于Vn（F）中的線(xiàn)性運(yùn)算為線(xiàn)性空間，則稱(chēng)W是Vn（F）的子空間。 判別方法： W是子空間 W對(duì)Vn（F）的線(xiàn)性運(yùn)算封閉。子空間本身就是線(xiàn)性空間。子空間的判別方法可以作為判別某些線(xiàn)性空間的方法。2重要的子空間： 設(shè)向量組1，2， mVn（F），由它們的一切線(xiàn)性組合生成的子空間：L1，2，m = 矩陣AF mn，兩個(gè)子空間：A的零空間：N(A)=X ： AX=0F n，A的

2、列空間： R(A)= LA1，A2，A nF m， Ai為A的第i列。 R(A)=y ：x F n, y= Ax32. 子空間的“交空間”與“和空間” 討論：設(shè)W 1 Vn(F)，W2 Vn(F)，且都是子空間，則W1W2和W1W2是否仍然是子空間？（1） 交空間 交集： W1W2= W1 而且 W 2Vn(F)容易驗(yàn)證： W1W2是子空間，被稱(chēng)為“交空間” （2）和空間和集： W1W2=X1X2X1W1，X2W2，W1W2 W1W2容易驗(yàn)證： W1W2是子空間，被稱(chēng)為“和空間”，W1W2不一定是子空間，W1W2 W1W2 4例17 設(shè)R3中的子空間W1=Le1，W2=Le2 求和空間W1W2

3、。 比較：集合W1W2和集合W1W2。 如果 W1=L1，2， m ， W2=L1，2， k， 則 W1W2=L1，2，m，1，2， k 53 . 維數(shù)公式 子空間的包含關(guān)系： dimW1W2 dim Wi dimW1W2 dimVn(F)。定理1.6 ：(P216)dimW1dimW2=dim(W1W2)dim(W1W2)證明的主要方法：基擴(kuò)充方法64. 子空間的直和 分析：如果dim(W1W2)0，則 dim(W1W2)dimW1dimW2 所以： dim(W1W2)=dimW1dimW2 dim(W1W2)=0 W1W2=0直和的定義： 定義16 ： dim(W1W2)=0 ，則和為直和

4、 W=W 1W2=W1W2，7子空間的“和”為“直和”的充要條件 ： 定理18 設(shè)W=W1W2，則下列各條等價(jià)：（1） W=W1W2（2） X W，X=X 1X2的表示 是惟一的（3） W中零向量的表示是惟一的（4） dim W =dimW1dimW28 例1 設(shè)在Rnn中，子空間 W 1=A AT =A ， W2=BBT= B ， 證明Rnn=W1W2。例2 子空間W的“直和補(bǔ)子空間” (P.218, 定理6.1-4)9 12 內(nèi)積空間 主題：定義內(nèi)積的概念，借助于內(nèi)積建立線(xiàn)性 空間的度量關(guān)系（長(zhǎng)度，正交等）。 一、 歐氏空間和酉空間1. 幾何空間中度量的定義基礎(chǔ)2. 內(nèi)積的定義定義17 (

5、P237) ：要點(diǎn) 內(nèi)積(，)是二元運(yùn)算：Vn(F) F (，)的公理性質(zhì) (，)是任何滿(mǎn)足定義的運(yùn)算。 討論(，12), (，k) 103. 內(nèi)積空間的定義Vn（F）；（，） ，F(xiàn)= R ，歐氏空間；F=C，酉空間4. 常見(jiàn)的內(nèi)積空間：R n ；(，)= T ,C n ；(，)=H ,C mn；(A，B)=tr (B H A) PnX ；(f(x)，g(x) )= 115. 向量的長(zhǎng)度 定義： | | =6 歐氏空間中向量的夾角： 定義：0，0，夾角定義為： cos= 性質(zhì)： | k | =k | | ； Cauchy 不等式： ， Vn(F)；(，), | (，) | | | | | 。|

6、 | | | | | 和 正交 （，）=0 126. 線(xiàn)性空間的內(nèi)積及其計(jì)算與矩陣表示：設(shè)1，2，, n 是內(nèi)積空間Vn(F)的基，Vn(F)，則有=x11x22x n n = (12 n)X；=y11y22y n n= (1 2 n)Y(，)= =Y HAX， 定義內(nèi)積 在一個(gè)基1，2， n 下定義內(nèi)積 確定一個(gè)度量矩陣A 。 度量矩陣 A度量矩陣A的性質(zhì)：Hermite 性與正定性13二、標(biāo)準(zhǔn)正交基 1. 標(biāo)準(zhǔn)正交的向量組： 定義：1，2，n為正交組(i，j ) =0性質(zhì)： 2. 標(biāo)準(zhǔn)正交基基1， 2，n是標(biāo)準(zhǔn)正交基 (i， j)=標(biāo)準(zhǔn)正交基的優(yōu)點(diǎn)：14標(biāo)準(zhǔn)正交基的優(yōu)點(diǎn)：度量矩陣是單位矩陣，即A=I=(12 n)X，=(12 n) Y，(，)=YHX= x1 1x2 2x n n，xi=(，i)和正交其坐標(biāo) X和Y正交任何向量的內(nèi)積將對(duì)應(yīng)其坐標(biāo)空間中的內(nèi)積 坐標(biāo)空間F n的內(nèi)積求標(biāo)準(zhǔn)正交基的步驟 (P.11, 定理1.1-5)Schmidt 正交化 標(biāo)準(zhǔn)化 矩陣方法