理論力學(xué)(第三版)第5章第3節(jié)拉格朗日方程課件

1、理論力學(xué)（第三版）第5章第3節(jié)拉格朗日方程 達(dá)朗貝爾原理 基本拉格朗日方程 保守系的拉格朗日方程導(dǎo)讀5.3 拉格朗日方程 循環(huán)積分 廣義速度 廣義動量按照牛頓運動定律, 力學(xué)系統(tǒng)的第i質(zhì)點的運動方程是只要把最后一項理解為一種力, 上式就變?yōu)槠胶夥匠痰念愋? 事實上, 研究第i個質(zhì)點的運動時, 若選用跟隨這個質(zhì)點一同平動的參考系統(tǒng), 這個質(zhì)點顯然是(相對)靜止的, 它應(yīng)當(dāng)遵守平衡方程. 最后一項就是慣性力. 這就叫做達(dá)朗貝爾原理.達(dá)朗貝爾-拉格朗日方程1 達(dá)朗貝爾原理 達(dá)朗伯原理是以牛頓定律加上理想約束假定作為邏輯推理的出發(fā)點導(dǎo)出的. 從這個基本法出發(fā)再利用約束對虛位移的限制關(guān)系式, 可以導(dǎo)出力

2、學(xué)系統(tǒng)的動力學(xué)方程，從而概括了力學(xué)系統(tǒng)的運動規(guī)律. 由于約束的性質(zhì)是純幾何的或運動學(xué)的, 因此可認(rèn)為真正作為動力學(xué)理論的邏輯出發(fā)點就是這個基本方程, 故稱之為“原理”. 這比承認(rèn)牛頓運動定律再加上理想約束假定作為出發(fā)點更為簡潔和富有概括性. 當(dāng)存在非理想約束時, 達(dá)朗貝爾原理也適用,它可敘述為：主動力和非理想約束力及慣性力的虛功之和為零. 對于完整約束或非完整約束, 這個原理都適用, 因此它可以稱為分析動力學(xué)的普遍原理.動力學(xué)普遍方程的直角坐標(biāo)形式適用于具有穩(wěn)定（或非非穩(wěn)定）約束的系統(tǒng)；適用于具有完整（或非完整）約束的系統(tǒng)；適用于具有保守力（或非保守力）的系統(tǒng).適用于具有理想約束或雙面約束的系

3、統(tǒng)；2 動力學(xué)普遍方程 達(dá)朗貝爾拉格朗日方程主要應(yīng)用于求解動力學(xué)第二類問題，即：已知主動力求系統(tǒng)的運動規(guī)律. 應(yīng)用達(dá)朗貝爾拉格朗日方程求解系統(tǒng)運動規(guī)律時，重要的是正確分析運動，并在系統(tǒng)上施加慣性力. 由于達(dá)朗貝爾拉格朗日方程中不包含約束力，因此，不需要解除約束，也不需要將系統(tǒng)拆開. 應(yīng)用達(dá)朗貝爾拉格朗日方程時，需要正確分析主動力和慣性力作用點的虛位移，并正確計算相應(yīng)的虛功.例題1離心調(diào)速器已知：M1為球A、B 的質(zhì)量；m2為重錘C 的質(zhì)量；l為桿件的長度；為O1 y1軸的旋轉(zhuǎn)角速度.求： 的關(guān)系.BACllllO1x1y13 應(yīng)用舉例 解：不考慮摩擦力，這一系統(tǒng)的約束為理想約束；系統(tǒng)具有一個自

4、由度. 取廣義坐標(biāo) q=(1) 分析運動、確定慣性力 球A、B繞 y軸等速轉(zhuǎn)動；重錘靜止不動。球A、B的慣性力為(2) 給系統(tǒng)有一虛位移 。A、B、C 三處的虛位移分別為rA、rB、 rC CllllO1x1y1ABFIBFIAm1 gm1 gm2 grBrArC (3) 應(yīng)用達(dá)朗貝爾拉格朗日方程 根據(jù)幾何關(guān)系，有CllllO1x1y1ABFIBFIAm1 gm1 gm2 grBrArC例題2 質(zhì)量為m1的三棱柱ABC通過滾輪擱置在光滑的水平面上. 質(zhì)量為m2、半徑為R的均質(zhì)圓輪沿三棱柱的斜面AB無滑動地滾下. 求：(1) 三棱柱后退的加速度a1; (2)圓輪質(zhì)心C2相對于三棱柱加速度ar.x

5、yC2DC1ACBO解：(1) 分析運動三棱柱作平移，加速度為 a1. 圓輪作平面運動，質(zhì)心的牽連加速度為ae= a1 ；質(zhì)心的相對加速度為ar；圓輪的角加速度為2.(2) 施加慣性力xyC2DC1ACBOm1gm2ga1aeF12F11M122(3) 確定虛位移 考察三棱柱和圓盤組成的系統(tǒng)，系統(tǒng)具有兩個自由度xyC2DC1ACBOm1gm2gF12rF12F11M12 x (4) 應(yīng)用達(dá)朗貝爾拉格朗日方程求解聯(lián)立方程，得xyC2DC1ACBOm1gm2gF12rF12F11M12 x 由于約束條件, n個矢徑并不獨立. 現(xiàn)在引入獨立的廣義坐標(biāo)q 把矢徑用廣義坐標(biāo)表示出：對時間求導(dǎo)因為位矢只是

6、廣義坐標(biāo)和時間的函數(shù), 它對廣義坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)也是廣義坐標(biāo)和時間的函數(shù), 因此速度就是廣義坐標(biāo)、廣義速度以及時間的函數(shù), 但是位矢對時間和廣義坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)并不是廣義速度的函數(shù). 4 基本形式的拉格朗日方程因為廣義速度也是獨立的, 所以再來看位矢對廣義坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)的時間變化率即位矢對廣義坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)和對時間的偏導(dǎo)數(shù)可以對易這樣把廣義坐標(biāo)表示代入達(dá)朗貝爾-拉格朗日方程, 考慮(5.24)和(5.25)式上式中的兩個括號正是力學(xué)系統(tǒng)的動能T, 所以拉格朗日方程 這里已經(jīng)甩掉了虛位移. 因為T 和Q都是t, q和它的時間變化率的已知函數(shù), 所以這是關(guān)于s 個未知函數(shù)q(t)的常微分方程組, 其中每個方程

7、一般都含有這s 個未知函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù).叫廣義動量叫廣義速度叫拉格朗日力Q 叫廣義力廣義動量時間變化率等廣義主動力與拉格朗日力之和所以注意： 拉格朗日方程在數(shù)學(xué)上是q的常微分方程, 在物理上是實際運動所遵從的運動定律. (1) 方程中的 d/dt 運算當(dāng)然是把描寫實際運動的q當(dāng)作時間t的函數(shù)q(t), (2) 而廣義速度則是q(t)的時間變化率. (3) 可是, 為了具體寫出(5.27)式, 必須先計算T(q , dq/dt, t) 的偏導(dǎo)數(shù)dT/dq和dT/d(dq/dt ), (4) 在作這種運算時, 是把廣義坐標(biāo)、廣義速度和時間當(dāng)作獨立變數(shù)看待的, 也就是說, 不把q作為時間的函數(shù)，也不把

8、廣義速度作為q的時間變化率. 這是怎么回事? 原來, 作為研究問題的出發(fā)點, 我們并不局限于實際實現(xiàn)的運動情況, 而是考慮瞬時“凍結(jié)”了的約束條件所允許的一切可能的運動情況(虛位移概念就是這樣引入的). q并不是指某個時刻的實際的廣義坐標(biāo), 而是約束條件所允許的任意的廣義坐標(biāo), 所以它不是時間的函數(shù). 廣義速度也是約束條件所允許的任意的廣義速度, 所以它也不是廣義坐標(biāo)時間變化率, 而是獨立于廣義坐標(biāo)的. 對于只具有完整約束、自由度為N的系統(tǒng)，可以得到由N個拉格朗日方程組成的方程組.應(yīng)用拉格朗日方程，一般應(yīng)遵循以下步驟： 判斷約束性質(zhì)是否完整、主動力是否有勢，決定采用哪一種形式的拉格朗日方程.

9、確定系統(tǒng)的自由度，選擇合適的廣義坐標(biāo). 按照所選擇的廣義坐標(biāo)，寫出系統(tǒng)的動能、勢能或廣義力. 將動能或拉格朗日函數(shù)、廣義力代入拉格朗日方程.5 拉格朗日方程的應(yīng)用例1 試推導(dǎo)平面極坐標(biāo)中的質(zhì)點運動方程解: 這里有兩個自由度, 廣義坐標(biāo)即極徑和極角. 徑向速度和橫向速度分別是廣義動量為它們分別是徑向動量和相對于極點的角動量. 拉格朗日力為前一個是質(zhì)點繞極點運動的慣性離心力. 廣義力Q , Q可利用虛功來求. 先令=0, 虛功W=F r=F ,得到Q = F . 這是力的徑向分量.同理 先令 =0, 利用虛功得到Q= F .這是相對極點的力矩.例2 如果某一廣義坐標(biāo)q , 反映力學(xué)系統(tǒng)的整體平移,

10、 其平移方向沿著單位矢量 (如圖). 即其中q代表q 以外的所有各廣義坐標(biāo), dq 則是所有質(zhì)點的共同平移. 在這情況下,相應(yīng)的廣義動量這正是力學(xué)系統(tǒng)的動量在 方向的分量. 同理可以證明相應(yīng)的廣義力是主動力之和在n方向的分量. (課下作業(yè))q 是系統(tǒng)繞轉(zhuǎn)動軸轉(zhuǎn)過的角度, 此時相應(yīng)的廣義動量例3 如廣義坐標(biāo)q , 反映系統(tǒng)的整體轉(zhuǎn)動, 其轉(zhuǎn)動軸沿著單位矢量 , 則這正是力學(xué)系統(tǒng)的角動量上在 方向的分量, 即力學(xué)系統(tǒng)對n軸的角動量. 相應(yīng)廣義力Q為 當(dāng)主動力 全是保守力時, 存在一個勢能函數(shù)V(r1, r2, , rn, t) 使則, 廣義力為拉格朗日方程就可以改寫為6 保守系的拉格朗日方程因為勢

11、能中一般不包括廣義速度, 令 代表系統(tǒng)的動能和勢能之差, 則則(5.28)式變?yōu)檫@是保守系的拉格朗日方程, L叫拉格朗日函數(shù).通常定義廣義動量 所以, 廣義動量的時間變化率等于廣義力例題1 質(zhì)量為m、長度為l的均質(zhì)桿AB可以繞A端的鉸鏈在平面內(nèi)轉(zhuǎn)動. A端的小圓輪與勁度系數(shù)為k的彈簧相連，并可在滑槽內(nèi)上下滑動. 彈簧的原長為l0.求：系統(tǒng)的運動微分方程. 解：(1) 系統(tǒng)的約束為完整約束，主動力為有勢力.(2) 系統(tǒng)具有兩個自由度，廣義坐標(biāo)選擇為q=(x, ), x 坐標(biāo)的原點取在彈簧原長的下方.xOxl0ABCk(3) 計算系統(tǒng)的動能：不計彈簧的質(zhì)量，系統(tǒng)的動能即為AB桿的動能xOxl0AB

12、Ck 系統(tǒng)的勢能由彈簧勢能與重力勢能所組成，以O(shè)點為共同的勢能零點拉格朗日函數(shù)(4) 應(yīng)用拉格朗日方程運動微分方程xOxl0ABCk例題2 不可伸縮的柔軟輕繩繞過兩個定滑輪和一個動滑輪(圖), 滑輪的重量很輕, 質(zhì)量為m1, m2和m3的物體分別懸掛于繩的兩端和動滑輪下. 求各物體的加速度. 解: 三個物體作上下方向的一維運動, 又受到一不可伸縮的繩的限制,因此只有2個自由度.取左右兩邊的繩長l1和l2作為力學(xué)系統(tǒng)的廣義坐標(biāo). l1+2l3+l2=常數(shù)l.三個物體受到的都是重力, 是保守系統(tǒng), 所以l1l3l3l2m2m1m3拉格朗日方程給出所以BAkOr0 例題3 均質(zhì)桿OA，重量為W，長度

13、為l繞O作定軸轉(zhuǎn)動. 重量同為W的滑塊B套在OA桿上，可在OB桿上滑動. 勁度系數(shù)為k、不計質(zhì)量的彈簧，兩端分別與A、B相連. 彈簧未變形時，OBr0. 求：系統(tǒng)的運動微分方程(摩擦忽略不計). 解：(1) 系統(tǒng)的約束為完整約束，且主動力有勢. (2) 系統(tǒng)的自由度N2. 取廣義坐標(biāo) q=(r, ). (3)確定系統(tǒng)的動能和勢能：零勢能取彈簧原長及水平線, 則應(yīng)用拉格朗日方程建立系統(tǒng)的運動微分方程求解:BAkOr0BrWWFF例題4 圖示系統(tǒng)中，物塊A與球B看成兩個質(zhì)點，質(zhì)量分別為 , 用質(zhì)量不計的長為 l 的桿相連.水平面光滑，求系統(tǒng)的運動微分方程. 解：系統(tǒng)受理想約束, 主動力(重力)有勢

14、. 系統(tǒng)的自由度為2, 選 x, 為廣義坐標(biāo). 橢圓擺代入拉格朗日方程系統(tǒng)運動微分方程 小 結(jié)達(dá)朗貝爾-拉格朗日方程拉格朗日方程叫廣義動量叫廣義速度叫拉格朗日力Q 叫廣義力這是保守系的拉格朗日方程, L=T-V拉格朗日函數(shù).附：拉格朗日介紹（Lagrange, Joseph-Louis）是法國數(shù)學(xué)家、力學(xué)家、天文學(xué)家. 1736年1月25日生于意大利西北部的都靈；1813年4月10日卒于巴黎. 拉格朗日在中學(xué)時代讀了天文學(xué)家哈雷寫的一篇談?wù)撚嬎惴椒ǖ男∑肺脑诮鉀Q求光學(xué)玻璃的焦點問題時，近世代數(shù)優(yōu)越性的一個實例之后，就對數(shù)學(xué)和天文學(xué)發(fā)生了興趣，不久進(jìn)入都靈皇家炮兵學(xué)院學(xué)習(xí). 通過自學(xué)的方式鉆研數(shù)學(xué)，尚未畢業(yè)就擔(dān)任了該院的部分?jǐn)?shù)學(xué)教學(xué)工作. 18歲時開始撰寫論文，19歲被正式聘任為該院的數(shù)學(xué)教授. 1755年，拉格朗日開始和歐拉通信討論“等周問題”，從而奠定了變分法的基礎(chǔ). 拉格朗日最得意的著作是分析力學(xué)，撰寫這部巨著，他傾注了大量的智慧和精力，整整經(jīng)歷了37個春秋. 在這部著作中，他利用變分原理建立了優(yōu)美、和諧的力學(xué)體系，把宇宙描繪成為一個