理論力學(xué)-動(dòng)能定理課件

1、第三篇 動(dòng)力學(xué)理論力學(xué)第12章 動(dòng)能定理 第12章 動(dòng)能定理 動(dòng)能是物體因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)而具有的機(jī)械能，它是作功的一種能力。動(dòng)能定理描述質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的變化與力作功之間的關(guān)系。 求解實(shí)際問題時(shí)，往往需要綜合應(yīng)用動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理和動(dòng)能定理。矢量形式標(biāo)量形式 力的功 動(dòng)能定理及其應(yīng)用 結(jié)論與討論 質(zhì)點(diǎn)與質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能 勢(shì)能、機(jī)械能守恒定律 動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用 參考性例題第12章 動(dòng)能定理 功率、功率方程、機(jī)械效率 力的功 力的功定義變力 Fi 的元功 需要注意的是，一般情形下，元功并不是功函數(shù)的全微分，所以，一般不用dW表示元功，而是用W表示。 W僅僅是Fidri 的一種記號(hào)。M2M1常力對(duì)直線運(yùn)動(dòng)質(zhì)

2、點(diǎn)所作的功： 力的功 力的功定義變力 Fi 的元功 M2M1力 Fi 在其作用點(diǎn)的軌跡上從 M1 點(diǎn)到 M2 點(diǎn)所作的功： 重力的功 對(duì)于質(zhì)點(diǎn)： 對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系: 力的功 幾種常見力的功 其中：z1 、z2分別是質(zhì)點(diǎn)在初位置和末位置的z 坐標(biāo)其中：zC1、 zC2分別是質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心在初位置和末位置的z 坐標(biāo)重力的功與路徑無關(guān)。 彈性力的功 其中， 1 、 2 是彈簧初始位置和最終位置的變形量。 力的功 幾種常見力的功 彈性力的功與路徑無關(guān)。 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上作用力的功 剛體以角速度繞定軸 z 轉(zhuǎn)動(dòng)，其上 A 點(diǎn)作用有力 F ，則則力F 的元功為 力 F 對(duì)軸 z 的矩 于是，力在剛體上由 1 轉(zhuǎn)到 2

3、 時(shí)所作的功為 力的功 作用在剛體上力與力偶的功 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上外力偶的功 若力偶矩矢量為 M ，則力偶所作之功為 其中Mz 為力偶矩矢 M 在 z 軸上的投影，即力偶對(duì)轉(zhuǎn)軸 z 的矩。 力的功 作用在剛體上力的功、力偶的功 假設(shè)扭簧上的桿處于水平時(shí)扭簧未變形，且變形時(shí)在彈性范圍之內(nèi)。變形時(shí)扭簧作用于桿上的力對(duì)點(diǎn)O之矩為 其中k 為扭簧的剛度系數(shù)（扭轉(zhuǎn)單位角度所需要的力矩）。 為扭簧的扭轉(zhuǎn)角度。思考題：扭轉(zhuǎn)彈簧力矩的功 ? 力的功當(dāng)桿從角度1轉(zhuǎn)到角度 2時(shí)，扭轉(zhuǎn)彈簧力矩所作的功為? 質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力總是成對(duì)出現(xiàn)的，且等值、反向、共線。因此，質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力對(duì)質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量和動(dòng)量矩沒有影響。 力的功 內(nèi)力

4、作功的情形 事實(shí)上，在許多情形下，物體的運(yùn)動(dòng)是由內(nèi)力作功而引起的。 當(dāng)然也有的內(nèi)力確實(shí)不作功。* 人的行走和奔跑是腿的肌肉內(nèi)力作功。 * 所有的發(fā)動(dòng)機(jī)從整體考慮，其內(nèi)力都作功。* 機(jī)器中有相對(duì)滑動(dòng)的兩個(gè)零件之間的摩擦力是內(nèi)力，作負(fù)功。* 有勢(shì)力的內(nèi)力作功，如系統(tǒng)內(nèi)的彈簧力作功。那么，質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力對(duì)質(zhì)點(diǎn)系作不作功呢？ 剛體內(nèi)任何兩點(diǎn)間的距離始終保持不變，所以剛體的內(nèi)力所作功之和恒等于零。 * 剛體的內(nèi)力不作功 力的功 不作功的力* 理想約束約束反力不做功 光滑的固定支承面、軸承、光滑的活動(dòng)鉸鏈、銷釘和活動(dòng)支座都是理想約束。理由是它們的約束力不作功或作功之和等于零。 柔性約束也是理想約束。因?yàn)樗鼈?/p>

5、只有在拉緊時(shí)才受力，這時(shí)與剛性桿一樣，內(nèi)力作功之和等于零。* 純滾動(dòng)時(shí)，滑動(dòng)摩擦力(約束力)不作功OC*FFN約束力不做功的約束稱為理想約束 C* 為瞬時(shí)速度中心，在這一瞬時(shí)C*點(diǎn)的速度為零。作用在C*點(diǎn)的摩擦力F 所作元功為vO理想約束的約束反力不做功 力的功 不作功的力 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能與剛體的動(dòng)能 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能 剛體的動(dòng)能 返回返回總目錄第12章 動(dòng)能定理 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能與剛體的動(dòng)能 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能 物理學(xué)中對(duì)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能的定義為 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能為質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能之和。 動(dòng)能是度量質(zhì)點(diǎn)系整體運(yùn)動(dòng)的另一物理量。動(dòng)能是正標(biāo)量，其數(shù)值與速度的大小有關(guān)，但與速度的方向無關(guān)。 設(shè)重物A、B的質(zhì)量為mA= m

6、B= m，三角塊D 的質(zhì)量為 m0 ，置于光滑地面上。圓輪C 和繩的質(zhì)量忽略不計(jì)。系統(tǒng)初始靜止。解：重物A、B的運(yùn)動(dòng)可以看成質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)， 三角塊D做平動(dòng)，也可以看成質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。 開始運(yùn)動(dòng)后，系統(tǒng)的動(dòng)能為 其中 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能與剛體的動(dòng)能 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能例 題 1 求：當(dāng)物塊A以相對(duì)速度 下落時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)能。 或者寫成 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能與剛體的動(dòng)能 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能例 題 1 ？ 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能與剛體的動(dòng)能 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能例 題 1 注意到,系統(tǒng)水平方向上動(dòng)量守恒，故有 怎樣求 vD (用vr 表示 vD)? 通過本例可以看出，確定系統(tǒng)動(dòng)能時(shí)，注意以下幾點(diǎn)是很重要的： 系統(tǒng)動(dòng)能中所用的速度必須是絕對(duì)速度。 需要綜

7、合應(yīng)用動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理與動(dòng)能定理。 正確應(yīng)用運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)，確定各部分的速度。 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能與剛體的動(dòng)能 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能例 題 1 平移剛體的動(dòng)能 剛體平移時(shí)，其上各點(diǎn)在同一瞬時(shí)具有相同的速度，并且都等于質(zhì)心速度。因此，平移剛體的動(dòng)能 上述結(jié)果表明，剛體平移時(shí)的動(dòng)能，相當(dāng)于將剛體的質(zhì)量集中于質(zhì)心時(shí)的動(dòng)能。 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能與剛體的動(dòng)能 剛體的動(dòng)能 剛體以角速度 繞定軸 z 轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其上點(diǎn)的速度為： 因此，定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能為 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能與剛體的動(dòng)能 剛體的動(dòng)能 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能 其中 為剛體對(duì)定軸z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能，等于隨質(zhì)心平動(dòng)的動(dòng)能與相對(duì)質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的和。 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能與剛體

8、的動(dòng)能 剛體的動(dòng)能 平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能 設(shè)P為平面運(yùn)動(dòng)剛體某瞬時(shí)的速度瞬心， 則剛體的動(dòng)能為： 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能與剛體的動(dòng)能 剛體的動(dòng)能 思考題：均質(zhì)圓盤質(zhì)量為 m，在平面上做純滾動(dòng)，輪心速度為 vo，求圓盤的動(dòng)能？OvO問：若質(zhì)量 m 集中在輪緣上，輪在平面上做純滾動(dòng)， 輪心速度為 vo，求輪的動(dòng)能？ 坦克或拖拉機(jī)履帶單位長度質(zhì)量為 ，輪的半徑為 r ，輪軸之間的距離為d，履帶前進(jìn)的速度為v0 。求：全部履帶的總動(dòng)能。dC2C1rv0 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能與剛體的動(dòng)能例 題 2 解：把履帶看成一質(zhì)點(diǎn)系 在 C1 C2 上建立平動(dòng)坐標(biāo)系C1xy，則牽連運(yùn)動(dòng)為水平平移，牽連速度為 v0。 相對(duì)運(yùn)動(dòng)為繞在兩個(gè)

9、作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)圓輪上履帶的運(yùn)動(dòng)。 圓輪的角速度為 v0/r ,履帶上各點(diǎn)的相對(duì)速度均為 v0 。dC2C1rxyv0 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能與剛體的動(dòng)能例 題 2 因此，全部履帶的總動(dòng)能為：解： 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能等于系統(tǒng)跟隨質(zhì)心平移的動(dòng)能與相對(duì)于質(zhì)心平移系運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能之和。（柯尼希定理）dC2C1rxyv0 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能與剛體的動(dòng)能例 題 2 動(dòng)能定理及其應(yīng)用 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理 動(dòng)能定理應(yīng)用舉例 第12章 動(dòng)能定理 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理的微分形式：質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理的積分形式： 動(dòng)能定理及其應(yīng)用 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理的微分形式： 動(dòng)能定理及其應(yīng)用 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理 所有可以作功的力既包括外力，也包括內(nèi)力；既包

10、括主動(dòng)力，也包括約束力。 在理想約束系統(tǒng)中，只包括主動(dòng)力(外力和內(nèi)力)。質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理的積分形式： 動(dòng)能定理及其應(yīng)用 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理 均質(zhì)圓輪A、B的質(zhì)量均為m，半徑均為R，輪A沿斜面作純滾動(dòng)，輪B作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，B處摩擦不計(jì)。物塊C的質(zhì)量也為m。A、B、C用無質(zhì)量的繩相聯(lián)，繩相對(duì)B 輪無滑動(dòng)。系統(tǒng)初始為靜止?fàn)顟B(tài)。試求：1當(dāng)物塊C下降高度為h時(shí)，輪A質(zhì)心的速度以及輪B的角速度。2系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，物塊C的加速度。 動(dòng)能定理及其應(yīng)用 動(dòng)能定理應(yīng)用舉例例 題 3 解：以整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象。 1運(yùn)動(dòng)分析，確定各部分的速度、角速度，寫出系統(tǒng)的動(dòng)能 注意到輪A作平面運(yùn)動(dòng)；輪B作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)；物塊C作平移。于是，系

11、統(tǒng)的動(dòng)能： 根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，得到 動(dòng)能定理及其應(yīng)用 動(dòng)能定理應(yīng)用舉例例 題 3 解：2.確定所有力的功： 3應(yīng)用動(dòng)能定理的積分形式： 由此解出 物塊C 的重力作正功，輪A 的重力作負(fù)功，約束反力不作功。于是，所有力的總功為 動(dòng)能定理及其應(yīng)用 動(dòng)能定理應(yīng)用舉例例 題3 解：4確定物塊 C 的加速度： 將下降高度 h 視為變量，其對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)即為物塊C的速度 因?yàn)槲飰KC作直線平移，故有 于是，物塊C的加速度為 動(dòng)能定理及其應(yīng)用 動(dòng)能定理應(yīng)用舉例例 題 3 根據(jù)動(dòng)能定理的微分形式力的功率由下式計(jì)算 作用在轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上力的功率為 功率方程 、機(jī)械效率第12章 動(dòng)能定理 可以得到其中P為功率，上式稱為

12、功率方程：質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有力的功率的代數(shù)和。工程上,機(jī)器的功率分別有：輸入功率、輸出功率、損耗功率。其中：輸出功率是對(duì)外作功的有用功率； 損耗功率是摩擦、熱能損耗等不可避免的無用功率。 功率方程 、機(jī)械效率第12章 動(dòng)能定理 這樣，對(duì)機(jī)器而言，功率表達(dá)式可以改寫為： 任何機(jī)器在工作時(shí)都需要從外界輸入功率，同時(shí)也不可避免的要消耗一些功率，消耗越少則機(jī)器性能越好。工程上，定義機(jī)械效率為 這是衡量機(jī)器性能的指標(biāo)之一。若機(jī)器有多級(jí)（假設(shè)為n級(jí)）傳動(dòng)，機(jī)械效率為 輸輸其中 功率方程 、機(jī)械效率第12章 動(dòng)能定理 均質(zhì)圓輪A、B的質(zhì)量均為m，半徑均為R，輪A沿斜面作純滾動(dòng)

13、，輪B作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，B處摩擦不計(jì)。物塊C的質(zhì)量也為m。A、B、C用輕繩相聯(lián)，繩相對(duì)B 輪無滑動(dòng)。系統(tǒng)初始為靜止?fàn)顟B(tài)?，F(xiàn)在圓盤A的質(zhì)心處加一不計(jì)質(zhì)量的彈簧，彈簧剛度系數(shù)為k 求：系統(tǒng)的等效質(zhì)量、等效剛度與系統(tǒng)的固有頻率。 動(dòng)能定理及其應(yīng)用 動(dòng)能定理應(yīng)用舉例例 題 4 以整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象，作功的力A、B輪的重力和彈簧的彈性力。以物塊C的位移x為廣義坐標(biāo)，靜平衡位置取為坐標(biāo)原點(diǎn) 系統(tǒng)的動(dòng)能表達(dá)式為 動(dòng)能定理及其應(yīng)用 動(dòng)能定理應(yīng)用舉例例 題 4解：這是一個(gè)單自由度振動(dòng)的剛體 系統(tǒng)，現(xiàn)研究怎樣將其簡化為彈簧質(zhì)量模型。 則動(dòng)能表達(dá)式可以寫為 作用在系統(tǒng)上的外力所作之功為 由于系統(tǒng)初始于靜平衡狀態(tài)，對(duì)輪 A

14、、輪 B 和物塊 C 分別列出靜平衡方程，整理后，有 動(dòng)能定理及其應(yīng)用 動(dòng)能定理應(yīng)用舉例例 題 4其中st為彈簧在系統(tǒng)靜平衡時(shí)的伸長 根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理，有 動(dòng)能定理及其應(yīng)用 動(dòng)能定理應(yīng)用舉例例 題 4兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)化成標(biāo)準(zhǔn)方程, 于是，剛體系統(tǒng)便簡化為一彈簧質(zhì)量系統(tǒng)。其振動(dòng)方程為 據(jù)此，系統(tǒng)的固有頻率為 動(dòng)能定理及其應(yīng)用 動(dòng)能定理應(yīng)用舉例例 題 4即系統(tǒng)的等效質(zhì)量為3m，等效剛度就是彈簧的剛度k根據(jù)功率方程，有 動(dòng)能定理及其應(yīng)用 動(dòng)能定理應(yīng)用舉例例 題 4利用功率方程 求解 作用于質(zhì)點(diǎn)系各力的功率之和為 已求得 勢(shì)能、機(jī)械能守恒定律返回返回總目錄第12章 動(dòng)能定理 有勢(shì)力和勢(shì)能 機(jī)械能守恒定

15、律 有勢(shì)力 如果作用在物體上的力所作之功僅與力作用點(diǎn)的起始位置和最終位置有關(guān)，而與其作用點(diǎn)所經(jīng)過的路徑無關(guān)（path-independent），這種力稱為有勢(shì)力或保守力(conservative force)。 勢(shì)能、機(jī)械能守恒定律 重力、彈性力等都具有這一特征，因而都是有勢(shì)力。 勢(shì) 能（potential energy） 承受有勢(shì)力作用的質(zhì)點(diǎn)系，其勢(shì)能的表達(dá)式為 其中 M 0 為零勢(shì)能位置，M 為所要考察的任意位置。 勢(shì)能是質(zhì)點(diǎn)系從某位置運(yùn)動(dòng)到任選的零勢(shì)能位置時(shí)，有勢(shì)力所作的功。 勢(shì)能、機(jī)械能守恒定律 由于零勢(shì)位置（零勢(shì)點(diǎn)）可以任選，所以，對(duì)于同一個(gè)所考察的位置的勢(shì)能，將因零勢(shì)位置（零勢(shì)點(diǎn)）

16、的不同而有不同的數(shù)值。 為了使分析和計(jì)算過程簡便，對(duì)零勢(shì)能位置（零勢(shì)點(diǎn)）要加以適當(dāng)?shù)倪x擇。 勢(shì) 能 勢(shì)能、機(jī)械能守恒定律 例如對(duì)常見的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，往往以其靜平衡位置為零勢(shì)能位置，這樣可以使勢(shì)能的表達(dá)式更簡明。 有勢(shì)力的功與勢(shì)能的關(guān)系 根據(jù)勢(shì)能的定義，可得到有勢(shì)力的功和勢(shì)能的關(guān)系 有勢(shì)力所作的功等于質(zhì)點(diǎn)系在運(yùn)動(dòng)過程起始位置與最終位置的勢(shì)能差。 勢(shì)能、機(jī)械能守恒定律 機(jī)械能守恒定律 質(zhì)點(diǎn)系在某瞬時(shí)動(dòng)能和勢(shì)能的代數(shù)和稱為機(jī)械能。 當(dāng)作用在系統(tǒng)上的力均為有勢(shì)力時(shí)，其機(jī)械能保持不變。這就是機(jī)械能守恒定律(theorem of conservation of mechanical energy)。 勢(shì)能

17、、機(jī)械能守恒定律其中W12為非保守力的功。例如若系統(tǒng)上除了保守力外還有摩擦力， W12 就是摩擦力的功。 事實(shí)上，在很多情形下，質(zhì)點(diǎn)系會(huì)受到非保守力的作用，這時(shí)的系統(tǒng)稱為非保守系統(tǒng)。在保守系統(tǒng)動(dòng)能定理中加上一附加項(xiàng)，就可以得到機(jī)械能之間的相互關(guān)系 機(jī)械能守恒定律 勢(shì)能、機(jī)械能守恒定律 動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用返回返回總目錄第12章 動(dòng)能定理 矢量形式標(biāo)量形式 動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用 動(dòng)量定理 給出了質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的變化與外力主矢之間的關(guān)系，可以用于求解質(zhì)心運(yùn)動(dòng)或某些外力。 動(dòng)量矩定理 描述了質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩的變化與外力主矩之間的關(guān)系，可以用于具有轉(zhuǎn)動(dòng)特性的質(zhì)點(diǎn)系，求解角加速度等運(yùn)動(dòng)量和外力。 動(dòng)能定

18、理 建立了作功的力與質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能變化之間的關(guān)系，可用于復(fù)雜的質(zhì)點(diǎn)系、剛體系求運(yùn)動(dòng)。 應(yīng)用動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理的優(yōu)點(diǎn)是不必考慮系統(tǒng)的內(nèi)力。 應(yīng)用動(dòng)能定理的好處是理想約束力所作之功為零，因而不必考慮。 在很多情形下，需要綜合應(yīng)用這三個(gè)定理，才能問題的解答。正確分析問題的性質(zhì)，靈活應(yīng)用這些定理，往往會(huì)達(dá)到事半功倍的作用。 另外，這三個(gè)定理都存在不同形式的守恒形式，也要給予特別的重視。 動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用例 題 5 均質(zhì)圓輪A、B的質(zhì)量均為m，半徑均為R，輪A沿斜面作純滾動(dòng)，輪B作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，B處摩擦不計(jì)。物塊C的質(zhì)量也為m。A、B、C用無質(zhì)量繩相聯(lián)，繩相對(duì)B 輪無滑動(dòng)。系統(tǒng)初始為靜止?fàn)顟B(tài)。試求：

19、1輪A、輪B之間的繩子拉力 和B處的約束力； 2輪A與地面的接觸點(diǎn)處的摩擦力。 動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用而故有 取輪B和物塊C組成的質(zhì)點(diǎn)系為研究對(duì)象，分析受力，對(duì)點(diǎn)B應(yīng)用動(dòng)量矩定理，有 解： 1確定繩子拉力本例的條件與例題2相同。在例題2中已經(jīng)求得例 題 5 動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用解得例 題 5 動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用 解： 2確定B處的約束力對(duì)圖示系統(tǒng)應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，有 由此解得B處的約束力例 題 5 動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用解： 3確定A輪與斜面之間的摩擦力 取輪A為研究對(duì)象，分析受力，應(yīng)用相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理，得到注意到 于是，得到摩擦力 例 題 5 動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用本例小

20、結(jié)： 本例中幾乎應(yīng)用了三個(gè)定理的所有主要形式。還可以發(fā)現(xiàn)，每種問題的解法都并不是唯一的。這說明，對(duì)于具體問題，必須進(jìn)行具體分析，沒有統(tǒng)一的方法可循。 例 題 5 動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用 均質(zhì)細(xì)長桿長為 l ，質(zhì)量為m，靜止直立于光滑水平面上。桿受微小干擾而倒下。求：桿剛剛到達(dá)地面時(shí)的角速度和地面的約束力。 例 題 6 動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用解：桿在水平方向不受外力，且由靜止倒下，則在倒下過 程中其質(zhì)心將鉛直下落。由運(yùn)動(dòng)學(xué)知，P為桿的瞬心。例 題 6 動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用v CCA桿剛到達(dá)地面時(shí)，A點(diǎn)成為桿的瞬心，桿的的動(dòng)能為： 例 題 6 動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用v CCA桿在滑倒過程

21、中，只有重力作功。由動(dòng)能定理，有例 題 6 動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用AFNmga CC桿剛到達(dá)地面時(shí)，受力及加速度分析如圖。其中 其中 由運(yùn)動(dòng)學(xué)知 由剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程，得例 題 6 動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用AFNmga CC其中 由運(yùn)動(dòng)學(xué)知 將加速度矢量式向鉛垂方向投影，得 聯(lián)立以上諸式，可以解得 均質(zhì)桿長為l，質(zhì)量為m1，B 端靠在光滑墻上，A端用鉸鏈與均質(zhì)圓盤的質(zhì)心相連。圓盤的質(zhì)量為m2 ，半徑為R，放在粗糙的地面上，自圖示=45時(shí)由靜止開始純滾動(dòng)。試求: A點(diǎn)在初瞬時(shí)的加速度。 例 題 7 動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用解：以桿和圓輪組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象。題中只有保守力作功，故機(jī)械能守恒，

22、用機(jī)械能守恒定律求解。 注意到桿和圓盤質(zhì)心到速度瞬心的距離恒定，則構(gòu)件對(duì)瞬心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為常數(shù)。 因此系統(tǒng)的動(dòng)能為 例 題 7 動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用因此系統(tǒng)的動(dòng)能為 設(shè)輪心A的速度為vA，則有 取經(jīng)過輪心A的水平線為零勢(shì)位置，系統(tǒng)的勢(shì)能為 零勢(shì)點(diǎn)m2gm1g例 題 7 動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用根據(jù)機(jī)械能守恒定律，有 將上式對(duì)時(shí)間求一次導(dǎo)數(shù) 零勢(shì)點(diǎn)m1gm2g例 題 7 動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用于是，點(diǎn)A在初瞬時(shí)的加速度為 注意到 初瞬時(shí) 例 題 7 動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用解：以桿和圓輪組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象。用動(dòng)能定理求解。 系統(tǒng)的動(dòng)能為 例 題 7 動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用設(shè)輪心A的速度為

23、vA，則有 代入系統(tǒng)的動(dòng)能表達(dá)式，得 m2gm1g例 題 7 動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用只有桿的重力對(duì)系統(tǒng)作功根據(jù)動(dòng)能定理上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo) 注意到 初瞬時(shí) 可解得解：以桿和圓輪組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象。用功率方程求解。 系統(tǒng)的動(dòng)能為 例 題 7 動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用設(shè)輪心A的速度為vA，則有 代入系統(tǒng)的動(dòng)能表達(dá)式，得 m2gm1g例 題 7 動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用只有桿的重力對(duì)系統(tǒng)作功，其功率為根據(jù)功率方程等式左邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo) 注意到 初瞬時(shí) 可解得D返回返回總目錄第12章 動(dòng)能定理結(jié)論與討論 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的重要性 關(guān)于動(dòng)量和動(dòng)能 關(guān)于幾個(gè)動(dòng)力學(xué)定理的綜合應(yīng)用關(guān)于汽車驅(qū)動(dòng)問題的結(jié)論 發(fā)動(dòng)機(jī)給出的主動(dòng)

24、力偶克服阻力和阻力偶作功使汽車的動(dòng)能增加； 與汽車行駛方向相同的摩擦力克服方向相反的摩擦力與空氣的阻力使汽車的動(dòng)量增加。 結(jié)論與討論1、 關(guān)于動(dòng)量和動(dòng)能關(guān)于汽車驅(qū)動(dòng)問題的結(jié)論 如果路面很滑，摩擦力很小，發(fā)動(dòng)機(jī)功率再大汽車也只能打滑，而不能向前行駛； 結(jié)論與討論1、 關(guān)于動(dòng)量和動(dòng)能 反之，如果路面很粗糙，摩擦力可以很大，而發(fā)動(dòng)機(jī)不能發(fā)出足夠大的功率，汽車同樣不能向前行駛。 在動(dòng)量、動(dòng)量矩、動(dòng)能定理的應(yīng)用中，運(yùn)動(dòng)學(xué)方程起著非常重要的作用。很多情形下，動(dòng)力學(xué)關(guān)系非常容易得到，但運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系卻很復(fù)雜。參看下例。 結(jié)論與討論3、運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的重要性 均質(zhì)桿AB重W，A、B處均為光滑面約束，桿從鉛垂位置無初速

25、下滑。求: 圖示位置時(shí)A、B二處的約束力。 分析：為了確定約束力， 可以采用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理。 W 結(jié)論與討論3、運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的重要性 關(guān)鍵是質(zhì)心加速度如何確定？ 可以寫出桿AB質(zhì)心的坐標(biāo)公式，然后求導(dǎo)數(shù)，表達(dá)出質(zhì)心的加速度 結(jié)論與討論3、運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的重要性 方法 1：方法 2：桿端A 和B 的加速度方向已知，分別取其為基點(diǎn)，可得 加速度一旦確定，其余問題便迎刃而解。以 A為基點(diǎn)以 B為基點(diǎn) 結(jié)論與討論3、運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的重要性 注意到 方向鉛垂向下， 方向水平向右，將上式分別向x、y 方向投影問題是角速度、角加速度如何確定？ 由于約束力FNA、FNB的作用線均通過桿的速度瞬心，所以，可以采用相對(duì)瞬心的

26、動(dòng)量矩定理，很容易確定桿的角加速度。將 看成變 量，對(duì)積分可求得角速度 。 C* 結(jié)論與討論3、運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的重要性 也可以由動(dòng)能定理，很容易地求得角速度，進(jìn)而可以求出桿的角加速度。 確定速度和角速度的方法 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析方法 選擇合適的描述點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系，寫出的運(yùn)動(dòng)方程或方程組，再將方程或方程組對(duì)時(shí)間求一次導(dǎo)數(shù)，即得點(diǎn)的速度。 點(diǎn)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)分析方法 正確選擇動(dòng)點(diǎn)和動(dòng)系，確定牽連速度、相對(duì)速度和絕對(duì)速度。 剛體平面運(yùn)動(dòng)分析方法 建立在速度合成定理基礎(chǔ)上的基點(diǎn)法、速度投影法、瞬時(shí)速度中心法。 結(jié)論與討論3、運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的重要性 動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理和動(dòng)能定理的比較 動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理和動(dòng)能定理都是

27、描述質(zhì)點(diǎn)系整體運(yùn)動(dòng)的變化與質(zhì)點(diǎn)系所受的作用力之間的關(guān)系。 動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理和動(dòng)能定理都可以用于求解動(dòng)力學(xué)的兩類基本問題。 結(jié)論與討論4、幾個(gè)動(dòng)力學(xué)定理的綜合應(yīng)用 整體運(yùn)動(dòng)的變化所受的作用力動(dòng) 量 定 理動(dòng) 量力(沖量)動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩力 矩動(dòng) 能 定 理動(dòng) 能力 的 功 動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理一般限于研究物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)范圍內(nèi)的運(yùn)動(dòng)變化問題。 動(dòng)能定理可以用于研究機(jī)械運(yùn)動(dòng)與其他運(yùn)動(dòng)形式之間的運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化問題。 結(jié)論與討論4、幾個(gè)動(dòng)力學(xué)定理的綜合應(yīng)用 動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理和動(dòng)能定理的比較 動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理的表達(dá)式中含有時(shí)間參數(shù)。 動(dòng)能定理的表達(dá)式中含有路程參數(shù)。 結(jié)論與討論4、幾個(gè)動(dòng)力學(xué)定理的綜合

28、應(yīng)用 動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理和動(dòng)能定理的比較 動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理的表達(dá)式為矢量形式，描述質(zhì)點(diǎn)系整體運(yùn)動(dòng)時(shí)，不僅涉及有關(guān)運(yùn)動(dòng)量的大小，而且涉及運(yùn)動(dòng)量的方向。 動(dòng)能定理的表達(dá)式為標(biāo)量形式，描述質(zhì)點(diǎn)系整體運(yùn)動(dòng)時(shí)，不涉及運(yùn)動(dòng)量的方向，無論質(zhì)點(diǎn)系如何運(yùn)動(dòng)，動(dòng)能定理只能提供一個(gè)方程 。 結(jié)論與討論4、幾個(gè)動(dòng)力學(xué)定理的綜合應(yīng)用 動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理和動(dòng)能定理的比較 動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理的表達(dá)式中只包含外力，而不包含內(nèi)力(內(nèi)力的主矢和主矩均為零) 動(dòng)能定理的表達(dá)式中可以包含主動(dòng)力和約束力，主動(dòng)力中可以是外力，也可以是內(nèi)力(可變質(zhì)點(diǎn)系) ；對(duì)于理想約束，則只包含主動(dòng)力。 結(jié)論與討論4、幾個(gè)動(dòng)力學(xué)定理的綜合應(yīng)用

29、動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理和動(dòng)能定理的比較 分析和解決復(fù)雜系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)問題時(shí)，選擇哪一個(gè)定理的原則是： 1、所要求的運(yùn)動(dòng)量在所選擇的定理中能比較容易地表達(dá)出來； 2、在所選擇的定理表達(dá)式中，不出現(xiàn)不必要求的相關(guān)未知力。 結(jié)論與討論4、幾個(gè)動(dòng)力學(xué)定理的綜合應(yīng)用 動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理和動(dòng)能定理的比較 對(duì)于由多個(gè)剛體組成的復(fù)雜系統(tǒng)，如果選用動(dòng)量定理或動(dòng)量矩定理，需要將系統(tǒng)拆開，不僅涉及的方程數(shù)目比較多，而且會(huì)涉及求解聯(lián)立方程。動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理和動(dòng)能定理的比較 如果選用動(dòng)能定理，對(duì)于受理想約束的系統(tǒng)，可以不必將系統(tǒng)拆開，而直接對(duì)系統(tǒng)整體應(yīng)用動(dòng)能定理，建立一個(gè)標(biāo)量方程，求得速度或加速度(角速度或角加速度)。 結(jié)論與討論4、幾個(gè)動(dòng)力學(xué)定理的綜合應(yīng)用 Am1Oxm2BlvA 已知滑塊A的質(zhì)量為 m1，質(zhì)點(diǎn)B的質(zhì)量為m2 , AB桿的長度為 l、不計(jì)質(zhì)量，可以繞 A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，滑塊的速度為vA。求：系統(tǒng)的動(dòng)能，并用廣義坐標(biāo)表示。 參考性例題 1第13章 動(dòng)能定理 返回解：1、廣義坐標(biāo) 滑塊作水平直線運(yùn)動(dòng)；質(zhì)點(diǎn)B作平面曲線運(yùn)動(dòng)。系統(tǒng)具有2個(gè)自由度。廣義坐標(biāo)選擇為 x 和 。Am1Oxm2Bl