工科高等數(shù)學教學大綱設(shè)計

1、實用標準文案文檔高等數(shù)學（工科類）教學大綱一、課程名稱： 高等數(shù)學（工科）二、課程代碼： MATH20010三、課程英文名稱： Calculus四、課程負責人：五、學時和學分： 176 學時， 9 學分六、課程性質(zhì)： 必修課七、適用專業(yè)： 機械、動力、資環(huán)等八、先修課程： 初等數(shù)學九 后修課程：線性代數(shù)，概率統(tǒng)計十、使用教材：張良才，李江濤等 主編高等數(shù)學（上、下），2014。十一、參考書目：同濟大學數(shù)學系主編。高等數(shù)學 M. 高等教育出版社， 2007 十二、開課單位： 重慶大學數(shù)學系 十三課程描述（ 100-200 字左右）：在各類基礎(chǔ)課程當中，大學數(shù)學有著十分重要的地位。當今科技發(fā)展的一

2、個 重要趨勢，就是各門學科內(nèi)容的數(shù)學化。不管哪個門類的專業(yè)人才，都離不開 數(shù)學能力和數(shù)學素質(zhì)的培養(yǎng)，而社會對理工科院校不同專業(yè)的學生數(shù)學素質(zhì)的 要求呈多元化、多層次的趨勢：既需要能較快接受新知識、并將數(shù)學應(yīng)用于本 專業(yè)的工程技術(shù)型人才，又需要能進行深入理論研究和高新技術(shù)開發(fā)的科學研 究型人才，且理工科大學生的學習目標又常以專業(yè)為導向，這就使得對數(shù)學水 平的要求有了進一步的分化， 高等數(shù)學 （工科） 就是為適應(yīng)這種需要，專門為 工科類專業(yè)學生開設(shè)的一門重要基礎(chǔ)課，通過本課程的學習使學生了解微積分 的背景思想，較系統(tǒng)地掌握微積分的基礎(chǔ)知識、必需的基本理論和常用的運算技能，了解基本的數(shù)學建模方法，為

3、學生學習后繼數(shù)學課程、專業(yè)課程及分析 解決實際問題奠定良好的基礎(chǔ)。十四、教學目標（需明確各教學環(huán)節(jié)對人才培養(yǎng)目標的貢獻） 以優(yōu)化教學內(nèi)容為基礎(chǔ)，以豐富教學資源為抓手，以改革教學措施為突破， 實施分門別類教學，理論聯(lián)系實際，凸顯工科專業(yè)需求，以提高學生興趣與能 力為目標。具體內(nèi)容見下表知識貢獻及參考學時教學環(huán)節(jié)能力和素質(zhì)貢獻1、函數(shù) 教法建議及說明 能力貢 教學內(nèi)容 函數(shù)概念、函（1） 以函數(shù)的兩個要獻：數(shù)的幾種特性、基本初等函數(shù)。素為主，闡明函數(shù)概念，1、歸納總復合函數(shù)、初等函數(shù)、函數(shù)模型使學生了解函數(shù)的三種表結(jié)的能力；的建立。達形式。2、演繹推 目的要求 （2）引導學生復習基理的能力；（ 1

4、） 掌握函數(shù)的概念及特本初等函數(shù)及其特性，做3、提出問性，掌握基本初等函數(shù)。好初等數(shù)學與高等數(shù)學的題、分析問題、（2）了解分段函數(shù)，理解復街接。解決問題的能合函數(shù)概念。（ 3） 通過實例引入復力；（3）會建立常見實際問題的合函數(shù)與分段函數(shù)概念，函數(shù)模型。加強復合函數(shù)復合與分解 重點難點 （以分解為主）練習，明重點：函數(shù)概念、基本初等確復合函數(shù)構(gòu)成的條件。函數(shù)。難點：函數(shù)模型的建立。掌握分段函數(shù)的對應(yīng)規(guī) 則。（4）通過函數(shù)模型的 建立，使學生了解數(shù)學建 模的基本過程及意義。2、極限與連續(xù) 教法建議及說明 4、抽象的 教學內(nèi)容 函數(shù)的極限，（ 1）通過簡單例能力；數(shù)列的極限， 極限的性質(zhì)， 無窮子

5、，對照圖形變化趨勢，5、聯(lián)想的小量與無窮大量。 極限的運算法概括出函數(shù)極限的描述性能力；則，兩個重要極限，無窮小比較。概念。根據(jù)學生接受情況6、學習新函數(shù)連續(xù)概念，初等函數(shù)連續(xù)以“無限接近，無限趨近”知識的能力；性，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)。“充分接近，任意小”- “ 定義”三過程逐7、創(chuàng)新的 目的要求 能力；（1）理解函數(shù)的極限和左、步抽象概括出極限的分析8、準確計右極限的描述性定義， 了解兩個定義，加深學生對極限概算的能力；極限存在準則。 理解無窮小、無念的理解。9、口頭和窮大概念與性質(zhì)及其相互關(guān)系。（2） 結(jié)合函數(shù)的幾何書面表達的能（2）掌握極限的四則運算特征直觀解釋極限的存在力；法則，會用

6、兩個重要極限求極定理及性質(zhì)。討論分段函10、靈活限，會對無窮小進行比較。（3） 理解函數(shù)連續(xù)概念，數(shù)在分段點處的極限存在應(yīng)用數(shù)學軟件問題。的能力。會判斷間斷點類型， 了解初等函（ 3）重視極限與無窮數(shù)的連續(xù)性，會用函數(shù)的連續(xù)性小的關(guān)系及其在極限運算素質(zhì)貢求初等函數(shù)的極限， 了解閉區(qū)間法則等定理證明中的作獻：上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。用。 重點難點 重點：極限概（4）要強調(diào)指出極限1、主動探念及極限運算； 連續(xù)概念與初等運算法則的成立條件，突索并善于抓住函數(shù)連續(xù)性。難點：極限概念。出運算法則在求有理分式問題中的背景與無理分式極限方面的應(yīng)和本質(zhì)的素用。質(zhì)；（5） 指明兩個重要極2、善于對限的特征及求解未定

7、式極現(xiàn)實世界中的限的類型?，F(xiàn)象和過程進（6）結(jié)合函數(shù)的幾何行合理的簡化圖形講清函數(shù)連續(xù)概念的與量化，建立兩種定義形式及函數(shù)在一數(shù)學模型的素點連續(xù)的三個條件，通過質(zhì)；圖形直觀說明間斷點類型3、以數(shù)學和判別條件。方式理性思（ 7） 會利用復合函數(shù)維，從多角度及初等函數(shù)連續(xù)性求函數(shù)探尋解決問題極限。的道路的素（8）閉區(qū)間上連續(xù)函質(zhì)；數(shù)性質(zhì)采用幾何圖形直觀4、具有良說明。好的科學態(tài)度和創(chuàng)新精神， 能合理提出數(shù) 學猜想、數(shù)學 概念的素質(zhì)；5、熟練運 用準確、嚴格、 簡練的數(shù)學語 言表達自己的 數(shù)學思想的素 質(zhì)。3、一元函數(shù)微分學 教學內(nèi)容 導數(shù)概念及其 幾何意義，變化率舉例，可導與 連續(xù)關(guān)系，求導舉例。

8、 函數(shù)的 和、差、積、商的求導法則，復 合函數(shù)求導法則， 反函數(shù)求導法 則，初等函數(shù)求導公式。 隱函 數(shù)的導數(shù)，由參數(shù)方程確定函數(shù) 的導數(shù)，對數(shù)求導法，高階導數(shù)。 微分概念，微分的幾何意義， 微 分的運算法則， 微分在近似計算 教法建議及說明 （ 1） 通過物理、幾何 問題的分析討論，作兩方 面的概括：（1）局部范圍 的不變代變（均勻代非均 勻），（2）數(shù)學結(jié)構(gòu)為平均 變化率的極限，以此抽象 出導數(shù)的定義。（ 2） 對復合函數(shù)求 導，注意分析函數(shù)結(jié)構(gòu)， “由表及里，逐層求導” ，中的應(yīng)用。中值定理與洛必達法教學中可采取兩步走：第則，函數(shù)的單調(diào)性。函數(shù)的極值，一步，寫出中間變量，將函數(shù)的最值，曲

9、率。 函數(shù)的凹復合函數(shù)分解為基本初等凸性與拐點， 曲線的漸近線， 函函數(shù)或由基本初等函數(shù)經(jīng)數(shù)圖形的描繪。 一元函數(shù)微分學過四則運算所得到的關(guān)系在經(jīng)濟上的應(yīng)用。式，再應(yīng)用法則求導。第 目的要求 二步，中間變量在每一步（1）掌握導數(shù)的概念， 了解求導過程中體現(xiàn)，由表及導數(shù)的幾何意義， 會用導數(shù)描述里，逐層求導。一些實際問題的變化率。（3） 在隱函數(shù)的求導（ 2） 掌握導數(shù)的運算法則及對數(shù)求導法中要以復合和基本公式。函數(shù)求導法為依據(jù)展開，（ 3） 掌握隱函數(shù)、由參數(shù)要提醒學生對中間變量求方程確定的函數(shù)的導數(shù)及對數(shù)導后不要丟掉 y （x）因子。求導法， 了解高階導數(shù)概念，會（ 4）微分概念中要突求二階

10、導數(shù)及簡單函數(shù) n 階導出線性代替的思想，把握數(shù)。微分定義中函數(shù)增量的結(jié)（ 4） 掌握微分概念及微分構(gòu)特征 y f (x) x o( ) 。運算法則，會用微分作簡單的近微分形式不變性是求導的似計算。簡便方法，使學生能夠應(yīng)（5）了解中值定理，會用洛用此方法靈活地求導數(shù)。必達法則求未定式的極限， 掌握（ 5） 中值定理只作幾函數(shù)單調(diào)性的判別方法。何解釋，明確中值定理的（6）理解函數(shù)極值概念，掌條件是充分的而非必要握求函數(shù)極值與最值的方法， 會的。求簡單實際問題的最值， * 了解（6）要強調(diào)洛必達法曲率概念及計算。則使用的條件，應(yīng)用洛必（7）會判別函數(shù)圖形的凹凸達法則求極限時應(yīng)注意的性與拐點，會求曲

11、線的漸近線，事項。會描繪簡單函數(shù)的圖形。（ 7）在講授函數(shù)單調(diào) 重點難點 重點：導數(shù)概性、極值、凹凸性、拐點念，復合函數(shù)求導法則，微分概時要注意借助幾何圖形進念。拉格朗日定理，洛必達法則，行直觀說明，使導數(shù)符號函數(shù)單調(diào)性的判別，函數(shù)的極與曲線形態(tài)特征相結(jié)合，值，最值應(yīng)用。 難點：復合函加深對判別法的理解。數(shù)求導法，一階微分形式不變（8）加強函數(shù)模型的性。最值應(yīng)用，函數(shù)圖形描繪。訓練，掌握一元函數(shù)優(yōu)化數(shù)學模型方法，給出一兩 個典型優(yōu)化模型問題，培 養(yǎng)學生數(shù)學建模能力。（ 9）通過函數(shù)圖形的描繪，加強學生綜合運用 導數(shù)研究函數(shù)特征的訓 練。4、一元函數(shù)積分學 教法建議及說明 教學內(nèi)容 原函數(shù)與不定

12、（ 1） 注意引導學生積分的概念， 基本積分公式， 不熟記基本積分表和積分類定積分性質(zhì)。 第一換元積分法，型，掌握不定積分與導數(shù)第二換元積分法。 分部積分法，關(guān)系。簡單有理函數(shù)的積分， 積分表的（2）兩類換元積分法使用。定積分概念， 定積分的幾中以第一類換元法（湊微何意義， 定積分的性質(zhì)。變上限分法）為重點，先通過簡的定積分，牛頓萊布尼茨公單的例子說明湊微分法使式。定積分的換元法，定積分的用的基本過程及所求積分分部積分法。無窮區(qū)間上的廣義的被積函數(shù)的特征為復合積分，被積函數(shù)有無窮間斷點的函數(shù)，通過練習逐步概括廣義積分。出常見的一般類型。第二定積分應(yīng)用的微元法， 用定積分換元積法以三角代換為求平

13、面圖形的面積， 用定積分求主，把握三種常見的三角體積，用定積分求平面曲線弧代換求積分方法。長。定積分在物理中的應(yīng)用 （功，（3）分部積分法以冪壓力，轉(zhuǎn)動慣量） ，定積分在經(jīng)函數(shù)（多項式）與基本初濟中的應(yīng)用。等函數(shù)乘積的積分求解為 目的要求 重點。（1）了解原函數(shù)與不定積（4）積分法的教學要分的概念，理解不定積分的性突出基本方法的掌握，練質(zhì)，掌握不定積分基本公式。習中要舉一反三，多作練（2）掌握不定積分兩類換習，但不宜要求過高的技元積分法。巧，注重把握三種積分的（3）掌握不定積分分部積分特點。法，會求簡單有理函數(shù)的積分，（ 5） 定積分概念注會查積分表。意從實際問題入手，作兩（4）理解定積分的概

14、念及方面的概括：（）整體分其幾何意義，理解定積分的性割和局部范圍不變代變。質(zhì)。（）數(shù)學結(jié)構(gòu)上四步法（5） 掌握牛頓萊布尼茨“分割取近似求和公式，會求變上限函數(shù)的導數(shù)。取極限”，表述形式為特定（6） 掌握定積分的換元積形式乘積的無限積累，尤分法和分部積分法。其是“部分近似”與定積（7）了解兩類廣義積分的分表達式中的被積式的對概念及計算。應(yīng)關(guān)系。（8）掌握定積分應(yīng)用的微（6）注意導數(shù)概念的元法，會用定積分的微元法求幾局部性和積分概念的整體何問題。性，明確定積分與原函數(shù)，（9）會用定積分的微元法定積分與不定積分的內(nèi)在求物理問題及一些簡單實際問聯(lián)系。題。（7）從變上限定積分 重點難點 重點：不定積分值

15、也在變，逐步引進變上概念，換元法，分部積分法。定限積分函數(shù)，初步了解變積分的概念，變上限積分函數(shù)及上限復合函數(shù)的求導。其導數(shù)，牛頓萊布尼茨公式。（8）講清定積分換元用“微元法”確定所求量的“微 元”，平面圖形的面積。難點： 換元積分法。變上限積分函數(shù)及 其導數(shù)。用微元法將問題歸結(jié)為 定積分問題。法與不定積分換元法的區(qū) 別在于“換元要換限，上 限對上限，下限對下限” 及變量代換的條件。要了 解奇偶函數(shù)在對稱區(qū)間上 積分性質(zhì)。（9）講清兩類廣義積 分定義中的兩個共同特 點：縮小區(qū)間化為定積分， 再取極限化為原區(qū)間上的 積分。要求學生注意瑕積 分與定積分表述形式的類 似但積分概念的不同。（10）明確

16、可用定積 分表述量的特征是具有可 加性的非均勻分布的整體 量，微元與部分量之間的 關(guān)系是相差一個高階無窮 小。（11） 平面圖形面積 的計算以直角坐標為重 點，能用微元法或公式計 算平面圖形面積、旋轉(zhuǎn)體體積、平行截面的面積已 知的立體的體積，平面曲 線的弧長可以略講。（ 12）物理應(yīng)用中， 寫出所求量的微元，要使 學生明白其中每一因素的 物理意義。（13）給出一兩個沒 討論的定積分應(yīng)用問題， 以檢查學生是否真正對 “微元法”有所理解。5、多元函數(shù)微積分學 教學內(nèi)容 多元函數(shù)，二 元函數(shù)的極限與連續(xù)。偏導數(shù)， 高階偏導數(shù)。 全微分，全微分在 近似計算中的應(yīng)用。 復合函數(shù)微 分法，隱函數(shù)微分法，偏

17、導數(shù)幾 何應(yīng)用。 多元函數(shù)的極值， 多元 函數(shù)的最大值與最小值， 條件極 值。方向?qū)?shù)與梯度。二重積分 概念與性質(zhì)，在直角坐標系中計 教法建議與說明 （1）教學中要注意與 一元函數(shù)相關(guān)概念對比教 學，求同存異，使學生在 把握一元函數(shù)與二元函數(shù) 相關(guān)概念關(guān)系的同時，明 確其差異。（ 2） 在二元函數(shù)極限 教學中注意點 （x,y）（x0,y0） 方向 的任算二重積分，在極坐標系中計算意性及方式的多樣性，這二重積分，二重積分應(yīng)用舉例。是一元函數(shù)與二元函數(shù)極對坐標的曲線積分的概念及性限的主要區(qū)別，也是造成質(zhì)，對坐標的曲線積分的計算，二元函數(shù)極限、連續(xù)、偏格林公式，曲線積分與路徑無關(guān)導數(shù)、全微分概念間關(guān)

18、系條件。對坐標的曲面積分的概念有別于一元函數(shù)相關(guān)概念與性質(zhì)，對坐標的曲面積分的計間關(guān)系的根源。算，高斯公式。（ 3）講清偏導數(shù)概念 目的要求 與計算的原則是多元問題（1）理解多元函數(shù)概念，一元化。因此，偏導數(shù)概理解二元函數(shù)極限及連續(xù)概念。念的討論與計算實際上就（2） 理解偏導數(shù)概念，會是一元問題。求二元初等函數(shù)的一、 二階偏導（ 4） 全微分概念的建數(shù)。立是難點，教學中可與一（3） 理解全微分概念，了元函數(shù)微分的定義進行類解全微分存在的必要條件和充比分析，從實際問題的全分條件。增量討論中概括出全微分（4） 會求復合函數(shù)和隱函概念。數(shù)的偏導數(shù)，會求曲線的切線及（5） 多元復合函數(shù)的曲面的切平面方

19、程。復合結(jié)構(gòu)復雜多變，因此（5）理解二元函數(shù)極值概對多元復合函數(shù)求導法則念，會用拉格朗日乘數(shù)法求條件的掌握應(yīng)把重點放在分析極值，會求簡單的最大值與最小函數(shù)結(jié)構(gòu)，弄清復合關(guān)系，值應(yīng)用問題 。（6）理解二重積分的概念， 了解二重積分的性質(zhì)， 掌握二重 積分的計算方法， 會用二重積分 計算一些幾何量 （體積、曲面面 積）和簡單物理量（質(zhì)量、質(zhì)心 等）。（7）理解對坐標的曲線積 分的概念，掌握對坐標的曲線積 分的計算，掌握格林公式及曲線 積分與路徑無關(guān)條件。（8）理解對坐標的曲面積分 概念，掌握對坐標的曲面積分的 計算及高斯公式。（ 90 掌握 Gauss 公式并會 利用它計算曲面積分，了解 Stok

20、es 公式，并能利用它計算某 些曲線積分。建立函數(shù)結(jié)構(gòu)圖形上，依 據(jù)函數(shù)結(jié)構(gòu)圖形與求導法 則的聯(lián)系掌握和記憶求導 法則。（ 6）教學中適當增加 多元函數(shù)優(yōu)化模型實例， 培養(yǎng)學生數(shù)學建模能力。（ 7） 二重積分概念的 引入可以從兩方面出發(fā)。 一方面是對比一元函數(shù)定 積分概念，通過對曲頂柱 體體積的分析，采取分割 取近似，求和取極限的方 法抽象出二重積分概念， 另一方面，可以按照微元 法解決曲頂柱體體積，概 括出二重積分的概念。（8）二重積分化為累 次積分時關(guān)鍵是選擇積分 次序，正確確定積分限。 教學中要講明積分次序選 取和坐標系選用原則： （）區(qū)域盡可能不分塊； 重點難點 重點：多元函 數(shù)，偏導

21、數(shù)，全微分概念，多元 復合函數(shù)求導法則。 二重積分概 念，二重積分計算， * 曲線積分 概念與計算。難點：全微分概念， 多元復合函數(shù)求導法則。 二重積分化為累次積分，格林公式、 Gauss公式、 Stokes 公式。（2）盡可能使積分限簡 單；（）內(nèi)層積分易求。 三者兼顧，抓主要矛盾。（9） 曲線積分，曲面 積分，依據(jù)專業(yè)課程要求 進行選學。6、無窮級數(shù) 教法建議及說明 教學內(nèi)容 數(shù)項級數(shù)及其（1） 教學中要指明級性質(zhì)，正項級數(shù)及其斂散性， 交數(shù)和與有限項相加的和是錯級數(shù)及其斂散性， 絕對收斂與兩個根本不同的概念。級條件收斂。冪級數(shù)概念，冪級數(shù)數(shù)的斂散性是借助部分和性質(zhì)。將函數(shù)展開成冪級數(shù)，

22、冪數(shù)列的極限來定義的，因級數(shù)的應(yīng)用。 將以 2 為周期的函此級數(shù)和可能存在也可能數(shù)展開成傅里葉級數(shù)。 將以 2l為不存在，這是級數(shù)和與有周期的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)。限項相加的和的本質(zhì)差 目的要求 異，也是級數(shù)和的某些運（1）了解無窮級數(shù)的收斂算法則有別于有限項相加與發(fā)散及收斂級數(shù)和的概念， 了的和的原因。解級數(shù)收斂的必要條件及無窮（2）對于數(shù)項級數(shù)斂級數(shù)的基本性質(zhì)， 了解幾何級數(shù)散性判別不要過高要求，和 p - 級數(shù)的收斂性。以正項級數(shù)審斂法為主，（2）會用正項級數(shù)的比較只要會判別一些簡單的數(shù)審斂法，比值審斂法； 會用交錯項級數(shù)斂散性即可。級數(shù)的萊布尼茨審斂法， 了解絕（3） 注意指明阿貝對收

23、斂與條件收斂的概念及絕爾定理指出了冪級數(shù)收斂對收斂與收斂的關(guān)系。點集的結(jié)構(gòu)，定理證明可（3）理解冪級數(shù)收斂半徑以從略。概念，掌握冪級數(shù)收斂半徑及收（4） 將函數(shù)展開成斂區(qū)間的求法， 了解冪級數(shù)的應(yīng)冪級數(shù)的教學中應(yīng)注意闡用。明展開的意義是一種簡單（4） 會利用公式及性質(zhì)將代替復雜的轉(zhuǎn)換，是一種簡單函數(shù)展開成冪級數(shù)。以冪函數(shù)的和運算代替超（5）會將以 2 為周期的函 數(shù)展開成傅里葉級數(shù)。 重點難點 重點：數(shù)項級數(shù) 斂散概念，正項級數(shù)比值審斂 法，冪級數(shù)概念及收斂半徑， 把 函數(shù)展開成冪級數(shù)， 以 2 為周期 的函數(shù)展開成冪級數(shù)。難點： 正 項級數(shù)審斂法， 將函數(shù)展開成冪 級數(shù)。越函數(shù)的轉(zhuǎn)換7、微分

24、方程 教法建議及說明 教學內(nèi)容 微分方程的基（1）在分離變量法教本概念與分離變量法。 一階線性 微分方程，可降階的高階微分方 程。二階常系數(shù)線性微分方程性 質(zhì)，二階常系數(shù)線性齊次微分方 程的求解方法。 二階常系數(shù)線性 非齊次微分方程的求解方法。 常 微分方程在數(shù)學建模中的應(yīng)用。 目的要求 （1）理解微分方程、 方程 的階，方程的解、通解、初始條 件和特解概念， 掌握可分離變量 微分方程及一階線性微分方程 的解法。（2）了解可降階的高階微 分方程解法，了解二階常系數(shù)線 性微分方程的通解結(jié)構(gòu)， 掌握二 階常系數(shù)線性齊次微分方程的 解法。（3）會求解自由項為 Pm （x）e x（Acos x Bsi

25、n x） 的二階 常系數(shù)非齊次線性微分方程。學中，要注意： a、分離變 量后取不定積分時要明確 是取 x作為積分變量， 寫成 dygd（yy） f（x）dx 時左端已作 了變量代換； b、分離變量 法在變形中可能要失解， c、在化簡解的表達式時， 有時積分常數(shù)用 lnC 代替 更為方便。（2）注意講清常數(shù)變 易法的來源及通解公式的 結(jié)構(gòu)特征。在一階微分方 程中同一方程可能屬于不 同類型，應(yīng)把握各類方程 特征，選擇恰當?shù)姆椒?。?3） 掌握二階常系 數(shù)線性非齊次方程特解形 式的設(shè)定，加強練習。（ 4） 加強微分方程 建模能力的培養(yǎng)，適當介 紹各種典型微分方程模型 的應(yīng)用，擴大學生微分方（4）會建立簡單的微分方 程模型，求