電磁學(xué)壓軸大題增分策略二——數(shù)學(xué)圓模型在電磁學(xué)中的應(yīng)用

1、第九章“沖刺雙一流”深化內(nèi)容電磁學(xué)壓軸大題增分策略 (二)一一“數(shù)學(xué)圓”模型在電磁學(xué)中的應(yīng)用圓是數(shù)學(xué)中的重要概念之一，在物理學(xué)中也有其特殊的作用和價(jià)值。本文結(jié)合實(shí)例闡 述“放縮圓” “動態(tài)圓” “平移圓”在物理學(xué)中的應(yīng)用，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)方法解決 物理問題的能力，同時(shí)加強(qiáng)對解題技巧和解題思路的構(gòu)建。a“放縮圓”模型在電磁學(xué)中的應(yīng)用.適用條件(1)速度方向一定，大小不同粒子源發(fā)射速度方向一定，大小不同的帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場時(shí)，這些帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的軌跡半徑隨速度的變化而變化。(2)軌跡圓圓心共線如圖所示(圖中只畫出粒子帶正電的情景 )，速度v越大，運(yùn)動半徑也越大。可以發(fā)現(xiàn)這 些

2、帶電粒子射入磁場后，它們運(yùn)動軌跡的圓心在垂直初速度方向的直線PP上。.界定方法以入射點(diǎn)P為定點(diǎn)，圓心位于PP直線上，將半徑放縮做軌跡，從而探索出臨界條件, 這種方法稱為“放縮圓法”。例1如圖所示，寬度為 d的勻強(qiáng)有界磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為NN是磁場左右的兩條辿界線。現(xiàn)有一質(zhì)里為m、電何里為q本方向垂直射入磁場中，0= 45 o要使粒子不能從右邊界 NN射速率的最大值為多少？解析用“放縮圓法”做出帶電粒子運(yùn)動的軌跡如圖所示， 跡與NN 邊界線相切于 P點(diǎn)時(shí)，這就是具有最大入射速率Vmax的粒子的軌跡。由圖可知：Rmax(1 - COS 45)= d, 2 p _v max又 BqV max= m,R

3、max展/日(2+V2Bqd取VmaxmB, MM 和川 川 的帶電粒子沿圖士射出，求粒子入尸刀! K X ； 年 當(dāng)其運(yùn)動軌I x x 冰舉1! k x !答案紅高陋 m對點(diǎn)訓(xùn)練1.多選如圖所示，垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場分布在正方形abcd區(qū)域內(nèi)，O點(diǎn)是cd邊的中點(diǎn)，一個(gè)帶正電的粒子僅在磁場力的作用 下，從O點(diǎn)沿紙面以垂直于 cd邊的速度射入正方形內(nèi)，經(jīng)過時(shí)間 to 剛好從c點(diǎn)射出磁場，現(xiàn)設(shè)法使該帶電粒子從O點(diǎn)沿紙面與 Od成30 角的方向，以大小不同的速率射入正方形內(nèi)，那么下列說法中正確的是()5A.若粒子在磁場中經(jīng)歷的時(shí)間是5to,則它一定從 cd邊射出32B,若粒子在磁場中經(jīng)歷的時(shí)間是2

4、to,則它一定從ad邊射出35C.若粒子在磁場中經(jīng)歷的時(shí)間是4o,則它一定從 bc邊射出D.若粒子在磁場中經(jīng)歷的時(shí)間是to,則它一定從ab邊射出解析：選AC 如圖所示，做出剛好從ab邊、bc邊射出的軌跡和從cd、ad邊射出的軌跡。已知帶電粒子在磁場中運(yùn)動的周期是2to,由圖可知，從 ab邊射出經(jīng)歷的時(shí)間t0ti5t0;36從bc邊射出經(jīng)歷的時(shí)間 50Vt24；從cd邊射出經(jīng)歷的時(shí)間一定是&=零；從ad邊射出經(jīng)歷的時(shí)間t4t0o綜上分析可知 A、C正確。 33a“動態(tài)圓”模型在電磁學(xué)中的應(yīng)用.適用條件(1)速度大小一定，方向不同粒子源發(fā)射速度大小一定、方向不同的帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場時(shí)，它們在磁場

5、中做勻速圓周運(yùn)動的半徑相同，若射入初速度為V 0,則圓周運(yùn)動半徑為 RnmB0。如圖所示。(J.(2)軌跡圓圓心共圓帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的圓心在以入射點(diǎn)P為圓心、半徑R = mV0的圓（這qB個(gè)圓在下面的敘述中稱為“軌跡圓心圓”）上。.界定方法將一半徑為R=mv0的圓以入射點(diǎn)為圓心進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，從而探索粒子的臨界條件，這種方 qB法稱為“動態(tài)圓”法。m、電A點(diǎn)。例2多選如圖所示，MN是磁感應(yīng)強(qiáng)度為 B的勻強(qiáng)磁場的邊界。一質(zhì)量為 荷量為q的粒子在紙面內(nèi)從 O點(diǎn)射入磁場。若粒子速度為 v 0,最遠(yuǎn)能落在邊界上的卜列說法正確的是（A.若粒子落在A點(diǎn)的左側(cè)，其速度一定小于B.若粒子落在A點(diǎn)的右側(cè)

6、，其速度一定大于C.若粒子落在A點(diǎn)左右兩側(cè)d的范圍內(nèi)，其速度不可能小于v 0-詈2mD.若粒子落在A點(diǎn)左右兩側(cè)d的范圍內(nèi)，其速度不可能大于,qBd v 0+2m解析“若粒子速度為v 0,最遠(yuǎn)能落在邊界上的A點(diǎn)”應(yīng)理解為粒子以速度v 0垂直MN進(jìn)入磁場，即經(jīng)歷半個(gè)圓周的磁偏轉(zhuǎn)。若粒子落在A點(diǎn)的左側(cè)，速度不一定小于v 0,可能方向不垂直 MN（“動態(tài)圓”）;若粒子落在A點(diǎn)的右側(cè)，速度一定大于v0（ “縮放圓”）；若粒子落在 A點(diǎn)的左側(cè)d處，則垂直 MN進(jìn)入磁場時(shí)，軌跡直徑為 2r=OAd,即2mv qBOA-d,已知2m，=OA,解得v = v0鑿；若粒子不垂直 MN進(jìn)入磁場時(shí)，若粒子落在 A點(diǎn)左

7、右兩側(cè)d的范圍內(nèi)，則其速度必須大于v0一案 由于粒子是沿任意方向飛入，速度極 大的粒子仍可滿足條件。故 B、C項(xiàng)正確。答案BC對點(diǎn)訓(xùn)練m，.多選如圖所示，以直角三角形 AOC為邊界的有界勻強(qiáng)磁場 區(qū)域，磁感應(yīng)強(qiáng)度為 B, /A=60, AO=a。在O點(diǎn)放置一個(gè)粒子源，可以向各個(gè)方向發(fā)射某種帶負(fù)電的粒子，粒子的比荷為 發(fā)射速度大小都為v,且滿足v。=鬻，發(fā)射方向由圖中的角度e表示。對于粒子進(jìn)入磁場后的運(yùn)動（不計(jì)重力作用）,下列說法正確的是（）A.粒子有可能打到 A點(diǎn)B.以0= 60飛入的粒子在磁場中運(yùn)動時(shí)間最短C.以0 30飛入的粒子在磁場中運(yùn)動的時(shí)間都相等D .在AC邊界上只有一半?yún)^(qū)域有粒子射

8、出解析：選AD 所有帶電粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的半徑均為r=mV0 =a,將軌跡圓以qBO為圓心，進(jìn)行旋轉(zhuǎn)找出臨界條件。當(dāng)0= 60 入射時(shí)，粒子恰好從 A點(diǎn)射出，A正確；以0= 60 飛入的粒子在磁場中運(yùn)動時(shí)間為 T,時(shí)間最長，B錯(cuò)誤；以 0Rn,如果mMr 器則V mv n，A正確、B錯(cuò)誤；如果VM = VN，貝喘C錯(cuò)誤;由題圖可知T=qm，如果則亞=更，D錯(cuò)誤。 mM mN2.如圖所示，圓形區(qū)域內(nèi)有垂直紙面的勻強(qiáng)磁場，兩個(gè)質(zhì)量和電荷量都相同的帶電粒子 a、b,以不同的速率沿著 AO方向?qū)?zhǔn)圓心 O射 入磁場，其運(yùn)動軌跡如圖。若帶電粒子只受磁場力的作用，則下列說法正確的是（）a粒子速率較大

9、b粒子速率較大b粒子在磁場中運(yùn)動時(shí)間較長a、b粒子在磁場中運(yùn)動時(shí)間一樣長2解析：選B 由題圖知RaVRb,根據(jù)qVB=m,得R=mV，可得：va %,則tatb,故C、D錯(cuò)誤。. 一足夠長的矩形區(qū)域 abcd內(nèi)充滿磁感應(yīng)強(qiáng)度為 B、方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場， 矩形區(qū)域的左邊界 ad寬為L,現(xiàn)從ad中點(diǎn)O垂直于磁場射入一帶電粒子，速度大小為v,方向與ad邊夾角為a= 30 ,如圖所示。已知粒子的電荷量為q,質(zhì)量為m（重力不計(jì)）。針 I：X X X X X X0r 乂 xxx x x(1)若粒子帶負(fù)電，且恰能從 d點(diǎn)射出磁場，求v0的大小；(2)若粒子帶正電，且粒子能從 ab邊射出磁場，求 v0

10、的取值范圍。解析：(1)若粒子帶負(fù)電，則進(jìn)入磁場后沿順時(shí)針方向偏轉(zhuǎn)，如圖所示，Oi為軌跡圓心,由對稱性可知，速度的偏轉(zhuǎn)角 &=2a= 60 ,故軌跡半徑ri = Od=2。根據(jù)牛頓第二定律得qv0B = mv2,得v。=迪=警。ri0 m 2m(2)若粒子帶正電，則沿逆時(shí)針方向偏轉(zhuǎn)，當(dāng)v0最大時(shí)，軌跡與 cd相切，軌跡圓心為。2,半徑為注由幾何關(guān)系得 r2r2cos 60 = 2,得r2=L,當(dāng)v0最小時(shí)，軌跡與 ab相切，軌跡圓心為。3,半徑為 臼,由幾何關(guān)系可得 q+qsin 30 = L,得r3=L, 23則v向k曙鬻，3m所以qBLv 0理。答案：(i)qBL(2)鬻R時(shí)，粒子沿圖中方

11、向射出磁場能打到屏上，當(dāng)粒子做圓周運(yùn)動的半徑rWR時(shí)，將沿圖中方向射出磁場，不能打到屏上。當(dāng)粒子速度為v 1時(shí)，由洛倫茲力提供向2心力，得qv 1B = mvr,解得r1 = V3RR,故能打到屏上；同理得， 門當(dāng)粒子的速度為v2時(shí)，解得r2=W3RR,故不能打到屏上。 3(2)設(shè)當(dāng)v 0=v 3時(shí)，粒子恰好打不到熒光屏上，則這時(shí)粒子沿圖中軌跡從磁場的最高點(diǎn)豎直向上射出磁場。由此可知，粒子在磁場中的軌道半徑r3=R。又由洛倫茲力提供向心力得qv3B = m,解得v3=1.5X106 m/s。由題意可知，當(dāng) v)1.5M06 m/s時(shí)，粒子能打 r3到熒光屏上。(3)設(shè)速度v0=3.0X106 m/s時(shí)，粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的軌跡半徑為小由洛倫2茲力提供向心力得 qv4B=m%，解得r4=2Ro如圖所示，粒子在磁場中運(yùn)動的軌跡就是以4E點(diǎn)為圓心