電磁學壓軸大題增分策略二——數(shù)學圓模型在電磁學中的應用

1、第九章“沖刺雙一流”深化內(nèi)容電磁學壓軸大題增分策略 (二)一一“數(shù)學圓”模型在電磁學中的應用圓是數(shù)學中的重要概念之一，在物理學中也有其特殊的作用和價值。本文結合實例闡 述“放縮圓” “動態(tài)圓” “平移圓”在物理學中的應用，進一步培養(yǎng)學生用數(shù)學方法解決 物理問題的能力，同時加強對解題技巧和解題思路的構建。a“放縮圓”模型在電磁學中的應用.適用條件(1)速度方向一定，大小不同粒子源發(fā)射速度方向一定，大小不同的帶電粒子進入勻強磁場時，這些帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的軌跡半徑隨速度的變化而變化。(2)軌跡圓圓心共線如圖所示(圖中只畫出粒子帶正電的情景 )，速度v越大，運動半徑也越大?？梢园l(fā)現(xiàn)這 些

2、帶電粒子射入磁場后，它們運動軌跡的圓心在垂直初速度方向的直線PP上。.界定方法以入射點P為定點，圓心位于PP直線上，將半徑放縮做軌跡，從而探索出臨界條件, 這種方法稱為“放縮圓法”。例1如圖所示，寬度為 d的勻強有界磁場，磁感應強度為NN是磁場左右的兩條辿界線?，F(xiàn)有一質(zhì)里為m、電何里為q本方向垂直射入磁場中，0= 45 o要使粒子不能從右邊界 NN射速率的最大值為多少？解析用“放縮圓法”做出帶電粒子運動的軌跡如圖所示， 跡與NN 邊界線相切于 P點時，這就是具有最大入射速率Vmax的粒子的軌跡。由圖可知：Rmax(1 - COS 45)= d, 2 p _v max又 BqV max= m,R

3、max展/日(2+V2Bqd取VmaxmB, MM 和川 川 的帶電粒子沿圖士射出，求粒子入尸刀! K X ； 年 當其運動軌I x x 冰舉1! k x !答案紅高陋 m對點訓練1.多選如圖所示，垂直紙面向里的勻強磁場分布在正方形abcd區(qū)域內(nèi)，O點是cd邊的中點，一個帶正電的粒子僅在磁場力的作用 下，從O點沿紙面以垂直于 cd邊的速度射入正方形內(nèi)，經(jīng)過時間 to 剛好從c點射出磁場，現(xiàn)設法使該帶電粒子從O點沿紙面與 Od成30 角的方向，以大小不同的速率射入正方形內(nèi)，那么下列說法中正確的是()5A.若粒子在磁場中經(jīng)歷的時間是5to,則它一定從 cd邊射出32B,若粒子在磁場中經(jīng)歷的時間是2

4、to,則它一定從ad邊射出35C.若粒子在磁場中經(jīng)歷的時間是4o,則它一定從 bc邊射出D.若粒子在磁場中經(jīng)歷的時間是to,則它一定從ab邊射出解析：選AC 如圖所示，做出剛好從ab邊、bc邊射出的軌跡和從cd、ad邊射出的軌跡。已知帶電粒子在磁場中運動的周期是2to,由圖可知，從 ab邊射出經(jīng)歷的時間t0ti5t0;36從bc邊射出經(jīng)歷的時間 50Vt24；從cd邊射出經(jīng)歷的時間一定是&=零；從ad邊射出經(jīng)歷的時間t4t0o綜上分析可知 A、C正確。 33a“動態(tài)圓”模型在電磁學中的應用.適用條件(1)速度大小一定，方向不同粒子源發(fā)射速度大小一定、方向不同的帶電粒子進入勻強磁場時，它們在磁場

5、中做勻速圓周運動的半徑相同，若射入初速度為V 0,則圓周運動半徑為 RnmB0。如圖所示。(J.(2)軌跡圓圓心共圓帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的圓心在以入射點P為圓心、半徑R = mV0的圓（這qB個圓在下面的敘述中稱為“軌跡圓心圓”）上。.界定方法將一半徑為R=mv0的圓以入射點為圓心進行旋轉，從而探索粒子的臨界條件，這種方 qB法稱為“動態(tài)圓”法。m、電A點。例2多選如圖所示，MN是磁感應強度為 B的勻強磁場的邊界。一質(zhì)量為 荷量為q的粒子在紙面內(nèi)從 O點射入磁場。若粒子速度為 v 0,最遠能落在邊界上的卜列說法正確的是（A.若粒子落在A點的左側，其速度一定小于B.若粒子落在A點的右側

6、，其速度一定大于C.若粒子落在A點左右兩側d的范圍內(nèi)，其速度不可能小于v 0-詈2mD.若粒子落在A點左右兩側d的范圍內(nèi)，其速度不可能大于,qBd v 0+2m解析“若粒子速度為v 0,最遠能落在邊界上的A點”應理解為粒子以速度v 0垂直MN進入磁場，即經(jīng)歷半個圓周的磁偏轉。若粒子落在A點的左側，速度不一定小于v 0,可能方向不垂直 MN（“動態(tài)圓”）;若粒子落在A點的右側，速度一定大于v0（ “縮放圓”）；若粒子落在 A點的左側d處，則垂直 MN進入磁場時，軌跡直徑為 2r=OAd,即2mv qBOA-d,已知2m，=OA,解得v = v0鑿；若粒子不垂直 MN進入磁場時，若粒子落在 A點左

7、右兩側d的范圍內(nèi)，則其速度必須大于v0一案 由于粒子是沿任意方向飛入，速度極 大的粒子仍可滿足條件。故 B、C項正確。答案BC對點訓練m，.多選如圖所示，以直角三角形 AOC為邊界的有界勻強磁場 區(qū)域，磁感應強度為 B, /A=60, AO=a。在O點放置一個粒子源，可以向各個方向發(fā)射某種帶負電的粒子，粒子的比荷為 發(fā)射速度大小都為v,且滿足v。=鬻，發(fā)射方向由圖中的角度e表示。對于粒子進入磁場后的運動（不計重力作用）,下列說法正確的是（）A.粒子有可能打到 A點B.以0= 60飛入的粒子在磁場中運動時間最短C.以0 30飛入的粒子在磁場中運動的時間都相等D .在AC邊界上只有一半?yún)^(qū)域有粒子射

8、出解析：選AD 所有帶電粒子在磁場中做圓周運動的半徑均為r=mV0 =a,將軌跡圓以qBO為圓心，進行旋轉找出臨界條件。當0= 60 入射時，粒子恰好從 A點射出，A正確；以0= 60 飛入的粒子在磁場中運動時間為 T,時間最長，B錯誤；以 0Rn,如果mMr 器則V mv n，A正確、B錯誤；如果VM = VN，貝喘C錯誤;由題圖可知T=qm，如果則亞=更，D錯誤。 mM mN2.如圖所示，圓形區(qū)域內(nèi)有垂直紙面的勻強磁場，兩個質(zhì)量和電荷量都相同的帶電粒子 a、b,以不同的速率沿著 AO方向?qū)蕡A心 O射 入磁場，其運動軌跡如圖。若帶電粒子只受磁場力的作用，則下列說法正確的是（）a粒子速率較大

9、b粒子速率較大b粒子在磁場中運動時間較長a、b粒子在磁場中運動時間一樣長2解析：選B 由題圖知RaVRb,根據(jù)qVB=m,得R=mV，可得：va %,則tatb,故C、D錯誤。. 一足夠長的矩形區(qū)域 abcd內(nèi)充滿磁感應強度為 B、方向垂直紙面向里的勻強磁場， 矩形區(qū)域的左邊界 ad寬為L,現(xiàn)從ad中點O垂直于磁場射入一帶電粒子，速度大小為v,方向與ad邊夾角為a= 30 ,如圖所示。已知粒子的電荷量為q,質(zhì)量為m（重力不計）。針 I：X X X X X X0r 乂 xxx x x(1)若粒子帶負電，且恰能從 d點射出磁場，求v0的大??；(2)若粒子帶正電，且粒子能從 ab邊射出磁場，求 v0

10、的取值范圍。解析：(1)若粒子帶負電，則進入磁場后沿順時針方向偏轉，如圖所示，Oi為軌跡圓心,由對稱性可知，速度的偏轉角 &=2a= 60 ,故軌跡半徑ri = Od=2。根據(jù)牛頓第二定律得qv0B = mv2,得v。=迪=警。ri0 m 2m(2)若粒子帶正電，則沿逆時針方向偏轉，當v0最大時，軌跡與 cd相切，軌跡圓心為。2,半徑為注由幾何關系得 r2r2cos 60 = 2,得r2=L,當v0最小時，軌跡與 ab相切，軌跡圓心為。3,半徑為 臼,由幾何關系可得 q+qsin 30 = L,得r3=L, 23則v向k曙鬻，3m所以qBLv 0理。答案：(i)qBL(2)鬻R時，粒子沿圖中方

11、向射出磁場能打到屏上，當粒子做圓周運動的半徑rWR時，將沿圖中方向射出磁場，不能打到屏上。當粒子速度為v 1時，由洛倫茲力提供向2心力，得qv 1B = mvr,解得r1 = V3RR,故能打到屏上；同理得， 門當粒子的速度為v2時，解得r2=W3RR,故不能打到屏上。 3(2)設當v 0=v 3時，粒子恰好打不到熒光屏上，則這時粒子沿圖中軌跡從磁場的最高點豎直向上射出磁場。由此可知，粒子在磁場中的軌道半徑r3=R。又由洛倫茲力提供向心力得qv3B = m,解得v3=1.5X106 m/s。由題意可知，當 v)1.5M06 m/s時，粒子能打 r3到熒光屏上。(3)設速度v0=3.0X106 m/s時，粒子在磁場中做勻速圓周運動的軌跡半徑為小由洛倫2茲力提供向心力得 qv4B=m%，解得r4=2Ro如圖所示，粒子在磁場中運動的軌跡就是以4E點為圓心