積分變換第六講

1、積分變換第六講拉氏變換的性質(zhì)本講介紹拉氏變換的幾個(gè)性質(zhì), 它們?cè)诶献儞Q的實(shí)際應(yīng)用中都是很有用的. 為方便起見, 假定在這些性質(zhì)中, 凡是要求拉氏變換的函數(shù)都滿足拉氏變換存在定理中的條件, 并且把這些函數(shù)的增長指數(shù)都統(tǒng)一地取為c. 在證明性質(zhì)時(shí)不再重述這些條件21. 線性性質(zhì)若a,b是常數(shù)L f1(t)=F1(s), L f2(t)=F2(s),則有 L af1(t)+bf2(t)=aF1(s)+bF2(s) L -1aF1(s)+bF2(s)=af1(t)+bf2(t)此線性性質(zhì)根據(jù)拉氏變換的定義就可得出.3微分性質(zhì) 若L f(t)=F(s),則有L f (t)=sF(s)-f(0)(2.3

2、)證 根據(jù)分部積分公式和拉氏變換公式4推論 若L f(t)=F(s), 則L f (t)=sL f(t)-f (0)=ssL f(t)-f(0)-f (0)=s2L f(t)-sf(0)-f (0).L f(n)(t)=sL f(n-1)(t)-f(n-1)(0) =snF(s)-sn-1f(0)-sn-2f (0)-.-f(n-1)(0) (2.4)5特別, 當(dāng)初值f(0)=f (0)=.=f(n-1)(0)=0時(shí), 有L f (t)=sF(s), L f (t)=s2F(s), .,L f(n)(t)=snF(s)(2.5)此性質(zhì)可以使我們有可能將f(t)的微分方程轉(zhuǎn)化為F(s)的代數(shù)方程

3、.6例1 利用微分性質(zhì)求函數(shù)f(t)=cos kt的拉氏變換.由于f(0)=1, f (0)=0, f (t)=-k2cos kt, 則L -k2cos kt=L f (t)=s2L f(t)-sf(0)-f (0).即-k2L cos kt=s2L cos kt-s移項(xiàng)化簡得7例2 利用微分性質(zhì), 求函數(shù)f(t)=tm的拉氏變換, 其中m是正整數(shù).由于f(0)=f (0)=.=f(m-1)(0)=0, 而f(m)(t)=m!所以L m!=L f(m)(t)=smL f(t)-sm-1f0)-sm-2f (0)-.-f(m-1)(0)即L m!=smL tm8此外, 由拉氏變換存在定理, 還可

4、以得到象函數(shù)的微分性質(zhì):若L f(t)=F(s), 則F (s)=L -tf(t), Re(s)c.(2.6)和F(n)(s)=L (-t)nf(t), Re(s)c.(2.7)這是因?yàn)閷?duì)于一致絕對(duì)收斂的積分的積分和求導(dǎo)可以調(diào)換次序9例3 求函數(shù)f(t)=t sin kt的拉氏變換.103. 積分性質(zhì) 若L f(t)=F(s)11重復(fù)應(yīng)用(2.8)式, 就可得到:12由拉氏變換存在定理, 還可得象函數(shù)積分性質(zhì):若L f(t)=F(s), 則13例4 求函數(shù)的拉氏變換.14其中F(s)=L f(t). 此公式常用來計(jì)算某些積分. 例如, 154.位移性質(zhì) 若L f(t)=F(s), 則有L ea

5、tf(t)=F(s-a)(Re(s-a)c). (2.12)證 根據(jù)拉氏變換式, 有上式右方只是在F(s)中將s換為s-a, 因此 L eatf(t)=F(s-a)(Re(s-a)c)16例5 求L eattm.例6 求L e-atsin kt175. 延遲性質(zhì) 若L f(t)=F(s), 又t0時(shí), 有|e-st|0, 有23例9 求如圖所示的單個(gè)半正弦波f(t)的拉氏變換OT2tEf(t)T2T2OOEETTtf1(t)f2(t)t24由前圖可知, f(t)=f1(t)+f2(t), 所以25例10 求如下圖所示的半波正弦函數(shù)fT(t)的拉氏變換T23T25T2tT2TOEfT(t)26由

6、例9可得從t=0開始的單個(gè)半正弦波的拉氏變換為從而27這是一個(gè)求周期函數(shù)拉氏變換的簡單方法, 即設(shè)fT(t) (t0)是周期為T的周期函數(shù), 如果且L f(t)=F(s), 則28初值定理與終值定理29證 根據(jù)拉氏變換的微分性質(zhì), 有L f (t)=L f(t)-f(0)=sF(s)-f(0)兩邊同時(shí)將s趨向于實(shí)的正無窮大, 并因?yàn)?0(2) 終值定理 若L f(t)=F(s), 且sF(s)在Re(s)0的區(qū)域解析, 則31證 根據(jù)定理給出的條件和微分性質(zhì)L f (t)=sF(s)-f(0),兩邊取s0的極限, 并由32這個(gè)性質(zhì)表明f(t)在t時(shí)的數(shù)值(穩(wěn)定值), 可以通過f(t)的拉氏變換乘以s取s0時(shí)的極限值而得到, 它建立了函數(shù)f(t)在無限遠(yuǎn)的值與函數(shù)sF(s)在原點(diǎn)的值之間的關(guān)系.在拉氏變換的應(yīng)用中, 往往先得到F(s)再去求出f(t). 但經(jīng)常并不關(guān)心函數(shù)f(t