7.1.2 復(fù)數(shù)的幾何意義（2）

1、【新教材】復(fù)數(shù)的幾何意義教學(xué)設(shè)計（人教A版）教材分析復(fù)數(shù)的引入是中學(xué)階段數(shù)系的又一次擴(kuò)充，引入復(fù)數(shù)以后，這不僅可以使學(xué)生對于數(shù)的概念有一個初 步的、完整的認(rèn)知，也為進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)打下基礎(chǔ).通過本節(jié)課學(xué)習(xí)，要使學(xué)生在問題情境中了解數(shù)系擴(kuò)充 的過程以及引入復(fù)數(shù)的必要性，學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的一些基本知識，體會人類理性思維在數(shù)系擴(kuò)充中的作用.教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)課程目標(biāo)：.理解可以用復(fù)平面內(nèi)的點或以原點為起點的向量來表示復(fù)數(shù)及它們之間的一一對應(yīng)關(guān)系；.掌握實軸、虛軸、模等概念；.掌握用向量的模來表示復(fù)數(shù)的模的方法.數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng).數(shù)學(xué)抽象：復(fù)平面及復(fù)數(shù)的幾何意義的理解；.邏輯推理：根據(jù)平面與向量的關(guān)系推出復(fù)數(shù)與向量

2、的一一對應(yīng)及復(fù)數(shù)模公式；.數(shù)學(xué)運算：根據(jù)復(fù)數(shù)與復(fù)平面的點一一對應(yīng)求參數(shù)和求復(fù)數(shù)的模；.數(shù)學(xué)建模：根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，數(shù)形結(jié)合，多方位了解復(fù)數(shù)的幾何意義，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.教學(xué)重難點重點：理解復(fù)數(shù)的幾何意義，根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式描出其對應(yīng)的點及向量.難點：根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式描出其對應(yīng)的點及向量.課前準(zhǔn)備教學(xué)方法：以學(xué)生為主體，小組為單位，采用誘思探究式教學(xué)，精講多練。教學(xué)工具：多媒體。教學(xué)過程一、情景導(dǎo)入提問：實數(shù)可以與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)，類比實數(shù)，復(fù)數(shù)能與什么一一對應(yīng)呢?要求：讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察.研探.二、預(yù)習(xí)課本，引入新課閱讀課本70-72頁，思考并完成

3、以下問題1、復(fù)平面是如何定義的，復(fù)數(shù)的模如何求出？2、復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點及向量的關(guān)系如何？復(fù)數(shù)的模是實數(shù)還是虛數(shù)？ 要求：學(xué)生獨立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答以下問題。三、新知探究1.復(fù)平面2.復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)數(shù)z=+oim，/?eR)復(fù)平面內(nèi)的點zm，b).(2)復(fù)數(shù) z=a+Z?i(4,膽隹 平面向量 OZ .規(guī)律總結(jié)實軸、虛軸上的點與復(fù)數(shù)的對應(yīng)關(guān)系實軸上的點都表示實數(shù)；除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)，原點對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對為(。,0),它所 確定的復(fù)數(shù)是z=0+0i=0,表示的是實數(shù).3.復(fù)數(shù)的模(1)定義：向量0Z的模叫做復(fù)數(shù)z=+bi(Q, bR)的模.(2)記

4、法：復(fù)數(shù)z=o+bi的模記為|z|或|。+如.(3)公式：z = a-bi = r=-/(72+/22(r0, rR).四、典例分析、舉一反三題型一復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)關(guān)系次ci-6例1求實數(shù)。分別取何值時，復(fù)數(shù)z=一+(序一2一15)i(&R)對應(yīng)的點Z滿足以下條件:(1)在復(fù)平面的第二象限內(nèi).(2)在復(fù)平面內(nèi)的x軸上方.【答案】(1)V3.(2)a5 或 4V3.【解析】(1)點Z在復(fù)平面的第二象限內(nèi)，a2a6a2a6q+30,解得a0,a12a- 150,(2)點Z在x軸上方，財 小。+3聲0,即3+3)(。-5)0,解得 5 或aV3.解題技巧(利用復(fù)數(shù)與點的對應(yīng)的解題步驟)(1)復(fù)平

5、面內(nèi)復(fù)數(shù)與點的對應(yīng)關(guān)系的實質(zhì)是：復(fù)數(shù)的實部就是該點的橫坐標(biāo)，虛部就是該點的縱坐標(biāo).(2)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點滿足的條件求參數(shù)取值范圍時、可根據(jù)復(fù)數(shù)與點的對應(yīng)關(guān)系，建立復(fù) 數(shù)的實部與虛部滿足的條件，通過解方程(組)或不等式(組)求解.跟蹤訓(xùn)練一1、實數(shù)x取什么值時，復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)Z=f+x6 + (f2x15)i的點Z：(1)位于第三象限；(2)位于直線xy3 = Q上【答案】(1)-3*2.(2)x=-2.【解析】因為X是實數(shù)，所以f+x6, X22x15也是實數(shù).2+x60,(1)當(dāng)實數(shù)九滿足. 口八 即一3x2時，點Z位于第三象限. x22x15 例2平面直角坐標(biāo)系中。是原點，向量OA

6、,。8對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為2 3i, -3 + 2i,那么向量A4對 應(yīng)的復(fù)數(shù)是()A. -5 + 5iB. 5-5iC. 5 + 5iD. -5-5i TOC o 1-5 h z 【答案】B. 【解析】 向量04, 。5對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為2 3i, -3 + 2i,根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，可得向量04=(2, -3), OB =(-3,2). 由向量減法的坐標(biāo)運算可得向量BA = OA- OB =(2 + 3, 3 2) = (5, 5),根據(jù)復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi) 的點對應(yīng)，可得向量84對應(yīng)的復(fù)數(shù)是5 5i.解題技巧：(復(fù)數(shù)與平面向量對應(yīng)關(guān)系的解題技巧)(1)根據(jù)復(fù)數(shù)與平面向量的對應(yīng)關(guān)系，可知當(dāng)平面向量的起

7、點在原點時，向量的終點對應(yīng)的復(fù)數(shù)即為向 量對應(yīng)的復(fù)數(shù).反之復(fù)數(shù)對應(yīng)的點確定后，從原點引出的指向該點的有向線段，即為復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量.(2)解決復(fù)數(shù)與平面向量一一對應(yīng)的題目時，一般以復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點一一對應(yīng)為工具，實現(xiàn)復(fù)數(shù)、復(fù)平面內(nèi)的點、向量之間的轉(zhuǎn)化.跟蹤訓(xùn)練二 TOC o 1-5 h z 1、在復(fù)平面內(nèi)，A, B,。三點對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1,2+i, -l+2i. (1)求向量AB, AC , 8C對應(yīng)的復(fù)數(shù)；(2)假設(shè)A8c。為平行四邊形，求。對應(yīng)的復(fù)數(shù). 【答案】(1) AB , AC, 3C對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1+i, -2+2i, -3 + i.(2)。對應(yīng)的復(fù)數(shù)為-2+i.【解析】 (1

8、)設(shè)。為坐標(biāo)原點，由復(fù)數(shù)的幾何意義知： 0A =(1,0), OB =(2,1), 。=(一1,2), 所以方=OB - OA =(1,1), 7c = OC - OA =(-2,2), BC= oc- OB =(-3,1), 所以A3, AC, 5C對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1+i, -2+2i, -3 + i. (2)因為A3CQ為平行四邊形，所以AO = 3。=(-3,1), OD = OA + AD =(1,0) + (-3,1) = (-2,1).所以 D 對應(yīng)的復(fù)數(shù)為一2+工題型三復(fù)數(shù)模的計算與應(yīng)用例 3 設(shè)復(fù)數(shù)Z =4 + 31/2=4 33(1)在復(fù)平面內(nèi)畫出復(fù)數(shù)4*2對應(yīng)的點和向量；(

9、2)求復(fù)數(shù)4*2的模，并比擬它們的模的大小.【答案】 圖見解析，4,22對應(yīng)的點分別為44，對應(yīng)的向量分別為04, Z?. 團(tuán)=5,Z2Z2【解析】(1)如圖，復(fù)數(shù)4*2對應(yīng)的點分別為Z1,Z2,對應(yīng)的向量分別為前，OZ：.1乙(2)閔=|4 + 3，|= 謁=5, |=|4 3,1=542+(3)2 = 5.所以上|=%|.例4設(shè)ZC,在復(fù)平面內(nèi)Z對應(yīng)的點為Z,那么滿足以下條件的點Z的集合是什么圖形？(1)|z|=l；1 | z | 2.【答案】 (1)以原點。為圓心，以1為半徑的圓.(2)以原點。為圓心，以1及2為半徑的兩個圓所夾的圓環(huán)，但不包括圓環(huán)的邊界.【解析】(1)由|z|=l得，向

10、量。訝的模等于1,所以滿足條件|z|=l的點Z的集合是以原點。為圓心, 以1為半徑的圓.y TOC o 1-5 h z 一. TOC o 1-5 h z ， 一 o /I ：2 X (2)不等式l|z|2可化為不等式1.不等式| Z | 1的解集是圓I z |= 1外部所有的點組成的集合，這兩個集合的交集，就是上述不等式組的解集，也就是滿足條件l|z|根據(jù)復(fù)數(shù)模的定義|z| = | OZI，可把復(fù)數(shù)模的問題轉(zhuǎn)化為向量模(即兩點的距離)的問題解決.跟蹤訓(xùn)練三1、復(fù)數(shù)z = a +6i(aR)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限，且|z| = 2 ,那么復(fù)數(shù)z等于 ()A. 1+小 iB. 1+小 iC. -1+41或1+7D. -2+小i【答案】A./+3=4, 【解析】由題意得島解得 =-1 .故 Z= -l+，5i.五、課堂小結(jié)讓學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)主要知識及解題技巧 六、板書設(shè)計復(fù)數(shù)的幾何意義.復(fù)平面