2022高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)(人教A理一輪)2.2　函數(shù)的單調(diào)性與最值

1、高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI2.2函數(shù)的單調(diào)性與最值第二章2022內(nèi)容索引010203必備知識(shí) 預(yù)案自診關(guān)鍵能力 學(xué)案突破案例探究2 雙變量“存在性或任意性”問題必備知識(shí) 預(yù)案自診【知識(shí)梳理】 1.函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮,如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1,x2當(dāng)x1x2時(shí),都有,那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)當(dāng)x1x2時(shí),都有,那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)f(x1)f(x2) 增函數(shù)減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是自左向右看圖象是(2)單調(diào)區(qū)

2、間的定義如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是或,那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,叫做函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.上升的 下降的增函數(shù)減函數(shù)區(qū)間D2.函數(shù)的最值 前提設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,如果存在實(shí)數(shù)M滿足條件(1)對(duì)于任意xI,都有;(2)存在x0I,使得(3)對(duì)于任意xI,都有;(4)存在x0I,使得結(jié)論M為最大值M為最小值f(x)M f(x0)=M f(x)M f(x0)=M 常用結(jié)論1.函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論: f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)定義法x1x2f (x1)f (x2)x1f (x2)圖象法從左到右函數(shù)圖象上升從左到右函數(shù)圖象下

3、降導(dǎo)數(shù)法導(dǎo)數(shù)大于零導(dǎo)數(shù)小于零運(yùn)算法增加的+增加的減少的+減少的復(fù)合函數(shù)法內(nèi)外層單調(diào)性相同內(nèi)外層單調(diào)性相反常用結(jié)論【考點(diǎn)自診】 2.(2020廣東潮州檢測)下列函數(shù)在區(qū)間(0,1)上為增函數(shù)的是()A.y=-x3+1 B.y=cos x答案 D 3.(2020廣東佛山一中月考)已知a0且a1,函數(shù) 在R上單調(diào)遞增,那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(1,+)B.(0,1)C.(1,2)D.(1,2答案 D 答案 A 5.(2020湖南三湘名校十月聯(lián)考,14)已知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,當(dāng)x0時(shí),f(x)單調(diào)遞增,則不等式f(2x)f(1-x)的解集為.答案 (-,-1)( ,+)解析 結(jié)合題

4、意,f(x)為偶函數(shù),當(dāng)x0時(shí),f(x)單調(diào)遞增,要滿足f(2x)f(1-x),則要求|2x|1-x|,即(2x)2(1-x)2,解得x .關(guān)鍵能力 學(xué)案突破考點(diǎn)1證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性【例1】討論函數(shù)f(x)=x+ (a0)在(0,+)內(nèi)的單調(diào)性.思考判斷函數(shù)單調(diào)性的基本方法有哪些?解題心得 1.判斷函數(shù)單調(diào)性的四種方法:(1)定義法;(2)圖象法;(3)利用已知函數(shù)的單調(diào)性;(4)導(dǎo)數(shù)法.2.證明函數(shù)在某區(qū)間上的單調(diào)性有兩種方法:(1)定義法:基本步驟為取值、作差或作商、變形、判斷;(2)可導(dǎo)函數(shù)可以利用導(dǎo)數(shù)證明.3.復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法:復(fù)合函數(shù)y=f(g(x)的單調(diào)性,應(yīng)根據(jù)外層函

5、數(shù)y=f(t)和內(nèi)層函數(shù)t=g(x)的單調(diào)性判斷,遵循“同增異減”的原則.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1判斷并證明函數(shù)f(x)= (a0)在(-1,1)上的單調(diào)性.解 當(dāng)a0時(shí),f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞減,當(dāng)a0時(shí),f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞增.證明如下:(方法1定義法)任取x1,x2(-1,1),且x1x2,由于-1x1x20,x1-10,x2-10時(shí),f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),函數(shù)f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞減;當(dāng)a0時(shí),f(x1)-f(x2)0,即f(x1)0時(shí),f(x)0,當(dāng)a0,即當(dāng)a0時(shí),f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞減,當(dāng)a0,解得x4或x-2,所以(4,+)為函

6、數(shù)y=x2-2x-8的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間.根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知,函數(shù)f(x)=ln(x2-2x-8)的單調(diào)遞增區(qū)間為(4,+).(3)f(x)=-2xex+ex(3-x2)=ex(-x2-2x+3)=ex-(x+3)(x-1),當(dāng)-3x0,當(dāng)x1或x-3時(shí),f(x)0,得f(x)的定義域?yàn)閤4或x-1,由y=log2x是增函數(shù),知f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間即y=x2-3x-4的單調(diào)遞減區(qū)間,當(dāng)x 時(shí),函數(shù)y=x2-3x-4單調(diào)遞減,結(jié)合f(x)的定義域,可得函數(shù)f(x)=log2(x2-3x-4)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-,-1).故選A.(2)f(x)=ln(x-2)+ln(6-x)=ln(x-2)

7、(6-x),定義域?yàn)?2,6),令t=(x-2)(6-x),則y=ln t,二次函數(shù)t=(x-2)(6-x)的對(duì)稱軸為直線x=4,所以f(x)在(2,4)上單調(diào)遞增,在(4,6)上單調(diào)遞減,A錯(cuò),C也錯(cuò),D顯然是錯(cuò)誤的;當(dāng)x=4時(shí),t有最大值,所以f(x)max=ln(4-2)+ln(6-4)=2ln 2,B正確.考點(diǎn)3函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用 (多考向探究)考向1利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域或最大(小)值 答案 (1)9(2)D解析 (1)f(x)的定義域?yàn)?,+),且f(x)在定義域上單調(diào)遞增,f(x)min=f(1)=9.故答案為9.當(dāng)x=2時(shí),y=0.根據(jù)題意x(m,n時(shí),ymin=0.所以m

8、的取值范圍是-1,2).故選D.解題心得函數(shù)最大(小)值的幾何意義:函數(shù)的最大值對(duì)應(yīng)圖象最高點(diǎn)的縱坐標(biāo),函數(shù)的最小值對(duì)應(yīng)圖象最低點(diǎn)的縱坐標(biāo).利用單調(diào)性求解最大(小)值問題,應(yīng)先確定函數(shù)的單調(diào)性,再由單調(diào)性求解.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(2020遼寧大連模擬,文10)在實(shí)數(shù)的原有運(yùn)算法則中,我們補(bǔ)充新運(yùn)算“”,定義如下,當(dāng)ab時(shí),ab=a;當(dāng)a2bB.ab2D.ab2答案 (1)B(2)A解析 (1)由指數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算可得,2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b.因?yàn)?2b+log2b22b+log22b=22b+1+log2b,所以2a+log2a22b+log22b.令f(x)=2x+lo

9、g2x,由指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性可得f(x)在區(qū)間(0,+)上單調(diào)遞增.由f(a)f(2b)可得a2b.解題心得對(duì)已知函數(shù)解析式比較函數(shù)值大小的問題,應(yīng)先將自變量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi),再利用函數(shù)的單調(diào)性解決;對(duì)沒有給出函數(shù)解析式的比較大小問題,需要先構(gòu)造函數(shù),再求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,最后利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小.答案 C 考向3利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式【例5】 (2020新高考全國1,8)若定義在R的奇函數(shù)f(x)在(-,0)上單調(diào)遞減,且f(2)=0,則滿足xf(x-1)0的x的取值范圍是()A.-1,13,+)B.-3,-10,1C.-1,01,+)D.-1,01,3答案 D f(2)=0

10、,f(-2)=0.f(x)是R上的奇函數(shù),f(0)=0.f(x)在(-,0)上單調(diào)遞減,f(x)在(0,+)上也單調(diào)遞減.解得1x3或-1x0,滿足xf(x-1)0的x的取值范圍是-1,01,3,故選D.解題心得求解含“f”的不等式,應(yīng)先將不等式轉(zhuǎn)化為f(m)f(a+3),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.答案 (-3,-1)(3,+)解析由已知可得 解得-3a3,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-3,-1)(3,+).考向4利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的值(或取值范圍)【例6】 (2020山西太原三模,文10)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在區(qū)間0,+)上單調(diào)遞增.若實(shí)數(shù)a滿足f(log2a)+ 2f(1)

11、,則a的取值范圍是()答案 C解析 原問題等價(jià)于f(log2a)+f(-log2a)=2f(log2a)2f(1),即f(log2a)f(1).因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在區(qū)間0,+)上單調(diào)遞增,所以f(|log2a|)f(1),所以|log2a|1.求解關(guān)于實(shí)數(shù)a的對(duì)數(shù)不等式,可得實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ,2解題心得利用單調(diào)性求參數(shù)時(shí),應(yīng)根據(jù)問題的具體情況,確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,列出與參數(shù)有關(guān)的不等式,或把參數(shù)分離出來求解.答案 D 要點(diǎn)歸納小結(jié)1.函數(shù)單調(diào)性判定的常用方法:圖象法、定義法、導(dǎo)數(shù)法、利用已知函數(shù)的單調(diào)性.2.求函數(shù)值域或最值的常用方法:(1)先確定函數(shù)的單調(diào)性,再由單

12、調(diào)性求值域或最值.(2)圖象法:先作出函數(shù)在給定區(qū)間上的圖象,再觀察其最高點(diǎn)、最低點(diǎn),求出值域或最值.(3)配方法:對(duì)于二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)形式的函數(shù),可用配方法求解.(4)換元法:對(duì)比較復(fù)雜的函數(shù),可通過換元轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù),再用相應(yīng)的方法求值域或最值.要點(diǎn)歸納小結(jié)(5)基本不等式法:先對(duì)解析式變形,使之具備“一正、二定、三相等”的條件后,再用基本不等式求出值域或最值.(6)導(dǎo)數(shù)法:首先求導(dǎo),然后求在給定區(qū)間上的極值,最后結(jié)合端點(diǎn)值,求出值域或最值.3.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可依據(jù)“同增異減”的規(guī)律求解.4.解決分段函數(shù)的單調(diào)性問題時(shí),要高度關(guān)注:(1)抓住對(duì)變量所在區(qū)間的討論.(2)保證各段

13、上同增(減)時(shí),要注意上段、下段的端點(diǎn)值之間的大小關(guān)系.(3)弄清最終結(jié)果取并還是取交.要點(diǎn)歸納小結(jié)1.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,應(yīng)先確定函數(shù)的定義域,脫離定義域研究函數(shù)的單調(diào)性是常見的錯(cuò)誤.2.不同的單調(diào)區(qū)間之間不能用符號(hào)“”連接.案例探究2 雙變量“存在性或任意性”問題雙變量問題中一般穿插有兩個(gè)及以上的“任意”或“存在”量詞,學(xué)生往往因?yàn)椴恢廊绾蔚葍r(jià)轉(zhuǎn)換致使解題走向迷茫,部分學(xué)生甚至機(jī)械地背誦結(jié)論導(dǎo)致走入誤區(qū).解決雙變量“存在性或任意性”問題,關(guān)鍵是將含有全稱量詞和存在量詞的條件等價(jià)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)值域之間的關(guān)系(或兩個(gè)函數(shù)最值之間的關(guān)系),旨在落實(shí)邏輯推理核心素養(yǎng).類型1形如“對(duì)x1A,都x2B

14、,使得g(x2)=f(x1)成立”【例1】 已知函數(shù)f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x,g(x) ,若對(duì)任意x1-1,1,總存在x20,2,使得f(x1)+2ax1=g(x2)成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.思維突破此類問題求解的策略是“等價(jià)轉(zhuǎn)化”,即“函數(shù)f(x)的值域是g(x)的值域的子集”從而利用包含關(guān)系構(gòu)建關(guān)于實(shí)數(shù)a的不等式組,求得參數(shù)的取值范圍.類型2形如“x1A及x2B,使得f(x1)=g(x2)成立” 思維突破本類問題的實(shí)質(zhì)是“兩函數(shù)f(x)與g(x)的值域的交集不為空集”,上述解法的關(guān)鍵是利用了補(bǔ)集思想.另外,若把此種類型中的兩個(gè)“存在”均改為“任意”,則“等價(jià)轉(zhuǎn)化”策略是利用“f(x)的值域和g(x)的值域相等”來求解參數(shù)的取值范圍.類型3形如“對(duì)x1A,都x2B,使得f(x1)g(x2)成立” 思維突破理解量詞的含義,將原不等式轉(zhuǎn)化為f(x)maxg(x)max,利用函數(shù)的單調(diào)性,求f(x)與g(x)的最大值,得關(guān)于a的不等式,求得a的取值范圍.思考1: 在例3中,若把“x22,3”變?yōu)椤皒22,3”時(shí),其他條件不變,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.提示