矩陣條件數(shù)與病態(tài)方程組

1、矩陣條件數(shù)與病態(tài)方程組2.3 矩陣的條件數(shù)與病態(tài)方程組例1 方程組準(zhǔn)確解：若A及b作微小變化，考慮擾動(dòng)后的方程組：準(zhǔn)確解：方程組解的幾何解釋為：平面上兩條接近于平行的直線的交點(diǎn)，當(dāng)其中一條直線稍有變化時(shí)，新的交點(diǎn)與原交點(diǎn)相差很遠(yuǎn)。例2 方程組準(zhǔn)確解為：（1）對右端b作微小擾動(dòng)：（2）對系數(shù)矩陣A作微小擾動(dòng)：4488倍15111倍2.3 矩陣的條件數(shù)與病態(tài)方程組一、矩陣的條件數(shù) 矩陣條件數(shù)的定義矩陣條件數(shù)的性質(zhì)一、矩陣的條件數(shù) 改寫（2.22）式：Proof 矩陣條件數(shù)的定義：矩陣條件數(shù)的性質(zhì)：（6）Cond(AB) Cond(A) Cond(B) 二、線性方程組的性態(tài)答案：希爾伯特（Hilbe

2、rt）陣定義：-最著名的病態(tài)矩陣對稱正定矩陣在MATLAB中，函數(shù)hilb（）提供了Hilbert矩陣希爾伯特（Hilbert）陣-最著名的病態(tài)矩陣Hilbert矩陣的條件數(shù)：求解病態(tài)方程組出現(xiàn)的問題：例：用MATLAB求解線性方程組輸入：輸入：輸入：輸入：輸入： 6.4271, -19.1914,24.787,9.577, -50.545,三、病態(tài)線性方程組的求解1、病態(tài)線性方程組的判別 2、病態(tài)線性方程組的求解（1）采用高精度（2）（預(yù)處理）平衡法（3）殘差校正法（4）奇異值分解法三、病態(tài)線性方程組的求解1、病態(tài)線性方程組的判別例（P49）三、病態(tài)線性方程組的求解1、病態(tài)線性方程組的判別例

3、（P49） 2、病態(tài)線性方程組的求解（2）預(yù)處理設(shè)有預(yù)處理矩陣P，對方程組AX=b預(yù)處理PAX=Pb使 2、病態(tài)線性方程組的求解（1）采用高精度（2）預(yù)處理例4（P49）方程組病態(tài)進(jìn)行行平衡:得同解方程組: (3)殘差校正法（迭代求精法，迭代改善法）YN (3)殘差校正法（迭代求精法，迭代改善法）（4）奇異值分解法U、V正交陣，S對角陣在MATLAB中，函數(shù)svd（）作矩陣的奇異值分解a)奇異值分解（Singular-Value Decomposition） 如：求H4的奇異值分解。輸入如：求H4的奇異值分解。輸入得到：S=1.5002 0 0 0 0 0.1691 0 0 0 0 0.0067 0b)用奇異值分解解線性方程組思考:這種方法有問題嗎？令請大家自己查閱有關(guān)書籍?dāng)?shù)值分析與實(shí)驗(yàn)，薛毅小 結(jié)2.3 矩陣的條件數(shù)與病態(tài)方程組一、矩陣的條件數(shù) 二、線性方程組的性態(tài):病態(tài)和良態(tài)三、病態(tài)線性方程組的求解（1）采用高精度（2）（預(yù)處理）平衡法