2022高考總復習 數(shù)學(人教A理一輪)3.2　第2課時　利用導數(shù)研究函數(shù)的極值、最大(小)值

1、高考總復習優(yōu)化設計GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI第2課時利用導數(shù)研究函數(shù)的極值、 最大(小)值第三章2022內容索引0102必備知識 預案自診關鍵能力 學案突破必備知識 預案自診【知識梳理】 1.導數(shù)與函數(shù)的極值(1)函數(shù)的極小值與極小值點若函數(shù)f(x)在點x=a處的函數(shù)值f(a)比它在點x=a附近其他點的函數(shù)值,f(a)=0;而且在點x=a附近的左側,右側,則a叫做函數(shù)y=f(x)的極小值點,f(a)叫做函數(shù)y=f(x)的極小值.(2)函數(shù)的極大值與極大值點若函數(shù)f(x)在點x=b處的函數(shù)值f(b)比它在點x=b附近其他點的函數(shù)值,f(b)=0;而且在點x

2、=b附近的左側,右側,則b叫做函數(shù)y=f(x)的極大值點,f(b)叫做函數(shù)y=f(x)的極大值.都小f(x)0 都大 f(x)0 f(x)g(x),即f(x)-g(x)0,構造輔助函數(shù)h(x)=f(x)-g(x);(2)構造“形似”函數(shù):通過等價變換把不等式轉化為左右兩邊具有相同結構的式子,根據(jù)“相同結構”構造輔助函數(shù);(3)主元法:對于(或可化為)f(x1,x2)A的不等式,可選x1(或x2)為主元,構造函數(shù)f(x,x2)(或f(x1,x);(4)放縮法:若所給不等式不易求解,可將不等式進行放縮,然后構造函數(shù)進行求解.【考點自診】 1.判斷下列結論是否正確,正確的畫“”,錯誤的畫“”.(1)

3、函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內極大值是唯一的.()(2)導數(shù)為零的點不一定是極值點.()(3)函數(shù)的極大值不一定比極小值大.()(4)函數(shù)的最大值不一定是極大值,函數(shù)的最小值也不一定是極小值.()A.x=1B.x=-2C.x=-2和x=1D.x=1和x=2答案 D解析 由f(x)=4x2-12x+8=4(x-2)(x-1)=0得x=1或x=2,當x0;當1x2時,f(x)2時,f(x)0.可得函數(shù)f(x)的極值點為x=1和x=2.故選D.3.設函數(shù)f(x)=xex,則()A.x=1為f(x)的極大值點B.x=1為f(x)的極小值點C.x=-1為f(x)的極大值點D.x=-1為f(x)的極小值點答案

4、D解析 f(x)=ex+xex=(1+x)ex.令f(x)=0,則x=-1.當x-1時,f(x)-1時,f(x)0,則x=-1為f(x)的極小值點.4.函數(shù)f(x)=ln x-x在區(qū)間(0,e上的最大值為()A.1-eB.-1C.-eD.0答案 B解析 因為 ,當x(0,1)時,f(x)0;當x(1,e時,f(x)0,f(x)單調遞增,當x(x1,x2)時,g(x)0,則f(x)0,則f(x)0,f(x)單調遞增,圖1 當a0,可得x10,則f(x)0,f(x)單調遞增,當x(x2,+)時,g(x)0,則f(x)0,f(x)單調遞減,因此,當a0時,函數(shù)有一個極值點.綜上所述,當a 時,判斷函

5、數(shù)f(x)在定義域上的單調性;(2)求函數(shù)f(x)的極值點.考點2求函數(shù)的極值、最大(小)值【例2】 已知函數(shù)f(x)=ln x-kx+k(kR),求f(x)在1,2上的最小值. 于是f(x)在1,2上的最小值為f(1)=0或f(2)=ln 2-k.()當0ln 2-k,即0kln 2時,f(x)min=f(1)=0.()當0ln 2-k,即kln 2時,f(x)min=f(2)=ln 2-k.綜上所述,當k0時,若k為整數(shù),且x+1(k-x)f(x)+x+1,求k的最大值.x0,h(x)=ex-10.函數(shù)h(x)=ex-x-2在(0,+)上單調遞增.而h(1)0,所以h(x)在(0,+)上存

6、在唯一的零點,故g(x)在(0,+)上存在唯一的零點,設此零點為,則(1,2).當x(0,)時,g(x)0,g(x)單調遞增.所以g(x)在(0,+)上的最小值為g(),又由g()=0,可得e=+2,所以g()=+1(2,3),故等價于k0.所以當0 x2時,f(x)2時,f(x)0.所以f(x)的單調遞減區(qū)間為(0,2),單調遞增區(qū)間為(2,+).(2)函數(shù)f(x)在(0,2)上存在兩個極值點,等價于f(x)=0在(0,2)上有兩個不同的實數(shù)根.(方法1)f(x)=0在(0,2)上有兩個不同的實數(shù)根等價于ex-kx=0在(0,2)上有兩個不同的實數(shù)根.設h(x)=ex-kx,則h(x)=ex

7、-k.當k1時,h(x)0,所以h(x)在(0,2)上單調遞增,此時h(x)在(0,2)上不存在兩個不同的實數(shù)根.當k1時,由h(x)0可得xln k,由h(x)0可得x2時,G(x)0,函數(shù)G(x)在(2,+)上單調遞增,G(2)=3-ln 20,所以在(2,+)上,G(x)0恒成立,所以F(a)=a2-ln a-a+10,所以函數(shù)F(x)在(1,a)上存在唯一零點x=x0,所以f(x)在(1,x0)上單調遞減,在(x0,+)上單調遞增,此時函數(shù)f(x)存在極小值.綜上,若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+)上有極值,則a2.故實數(shù)a的取值范圍為(2,+).考點5利用導數(shù)求實際問題中的最值【例5】

8、(2020江蘇,17)某地準備在山谷中建一座橋梁,橋址位置的豎直截面圖如圖所示:谷底O在水平線MN上,橋AB與MN平行,OO為鉛垂線(O在AB上).經測量,左側曲線AO上任一點D到MN的距離h1(單位:米)與D到OO的距離a(單位:米)之間滿足關系式h1= a2;右側曲線BO上任一點F到MN的距離h2(單位:米)與F到OO的距離b(單位:米)之間滿足關系式h2=- b3+6b.已知點B到OO的距離為40米.(1)求橋AB的長度;(2)計劃在谷底兩側建造平行于OO的橋墩CD和EF,且CE為80米,其中C,E在AB上(不包括端點).橋墩EF每米造價k(單位:萬元),橋墩CD每米造價 k(單位:萬元)(k0),問OE為多少米時,橋墩CD與EF的總造價最低?(2)以O為原點,MN為x軸,OO為y軸建立平面直角坐標系xOy(如圖所示). x(0,20)20(20,40)f(x)-0+f(x)極小值所以當x=20時,f(x)取得最小值.答:(1)橋AB的長度為120米; (2)當OE為20米時,橋墩CD和EF的總造價最低. 解題心得關于三角函數(shù)、幾何圖形面積、幾何體體積及實際問題中的最值問題,最初的解題思路往往并不是用導數(shù)的方法求最值,但在一般方法不易求的情況下,能想到用導數(shù)的方法求最值,問題就容易多了.對點訓練5(2020四川三臺中學期中,理12)如圖所示,四邊形AB