8數(shù)字信號處理課件

1、第8章 有限字長效應(yīng)任何數(shù)字系統(tǒng)不論是專用硬件，還是用通用計算機(jī)軟件實(shí)現(xiàn)的，所采用的各種系數(shù)以及每次運(yùn)算過程中的結(jié)果總是存儲在有限長的存儲單元中，即數(shù)字系統(tǒng)的每一個數(shù)都是用有限長的二進(jìn)制數(shù)表示。有限字長的數(shù)當(dāng)然是有限精度的，因此肯定會有誤差。模擬信號經(jīng)采樣成為有限字長的數(shù)字信號時，也有誤差?？傊?，由于有限字長產(chǎn)生的誤差，這會引起系統(tǒng)的性能指標(biāo)的變化。有限字長引起的誤差主要有以下三個方面:(1) A/D變化的量化效應(yīng)(信號量化誤差)；(2)系統(tǒng)函數(shù)系數(shù)的量化效應(yīng)(ak、bk系數(shù)量化效應(yīng))；(3)運(yùn)算過程中的有限字長效應(yīng)(運(yùn)算誤差不僅與字長有關(guān)，還與算法有關(guān))。前兩種是對模擬量量化引起的誤差，后一

2、種是在運(yùn)算過程中對運(yùn)算結(jié)果作尾數(shù)處理引起的誤差。解二進(jìn)制的表數(shù)方法。 上述三種因素造成的影響很復(fù)雜，它既與運(yùn)算方式、字長有關(guān)，又與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)密切相關(guān)。要同時將這些因素放在一起分析是很困難的，只能將三種效應(yīng)分別、單獨(dú)的加以分析，計算它們的影響。在分析之前先了由尾數(shù)處理所產(chǎn)生的誤差積累起來會使運(yùn)算精度下降，在有反饋環(huán)節(jié)(如IIR系統(tǒng))情況下，誤差的循環(huán)影響還可能引起振蕩。式中括號外下標(biāo)表示括號里的是二進(jìn)制數(shù)，其中8.1 二進(jìn)制表數(shù)法對量化的影響通常的數(shù)如x=1/3=0.3333.用的是十進(jìn)制數(shù)表示，而數(shù)字也可以用二進(jìn)制數(shù)(0或1)表數(shù)，例如(8.1-1)(或)表示小數(shù)點(diǎn)位，k、 i 取值為0或1。x

3、2=mm110 12n 2 (8.1-2)與十進(jìn)制數(shù)的關(guān)系為下面分別討論數(shù)字系統(tǒng)中最基本的二進(jìn)制算法的定點(diǎn)制與浮點(diǎn)制運(yùn)算及誤差。=122+021+120+021 +122 +123 =5.375 例 x = 10101128.1.1、定點(diǎn)制表數(shù)及運(yùn)算誤差小數(shù)點(diǎn)在數(shù)碼中的位置是固定不變的，稱為定點(diǎn)制。通常定點(diǎn)制把數(shù)限制在1之間，即1 x 0 x=12n 2 1 x 0 x=012n 2 x=112n 2 式中 =當(dāng)二進(jìn)制數(shù)的字長有限時，會有運(yùn)算誤差。例8.1-1 x1=001002=0.25，x2=010012=0.5625，x3=011002=0.75，求x1 x2 ，x1+ x2， x1 +

4、x3。解 作尾數(shù)字長為四位的兩個二進(jìn)制數(shù)的加法：結(jié)果沒有無誤差。x1+ x2 =011012=0.8125結(jié)果不正確。= 0.3125 1.3125， x2+ x3 =101012作有效字長為四位的兩個二進(jìn)制數(shù)的定點(diǎn)乘法：x1 x2 =0001001002=0.140625相乘后字長增加一倍，受有限字長(四位)限制，去除后四位，所以此例說明雖然定點(diǎn)加法一般無誤差，但不能溢出。 (n)= x1 x2=000102=0.125當(dāng)實(shí)際問題中的數(shù)較大時要乘比例因子，以保證所有定點(diǎn)運(yùn)算結(jié)果的絕對值不大于1。二進(jìn)制數(shù)的定點(diǎn)乘法沒有溢出問題，但字長要增加一倍。當(dāng)有效字長一定時，必須對尾數(shù)作處理，因此會產(chǎn)生誤

5、差。精度； C為階碼，其字長決定浮點(diǎn)制的運(yùn)算動態(tài)范圍，8.1.2、浮點(diǎn)制表數(shù)及運(yùn)算誤差定點(diǎn)制的不足是動態(tài)范圍小，有溢出問題。而浮點(diǎn)制克服了這個缺點(diǎn)，它有很大的動態(tài)范圍。浮點(diǎn)制將一個數(shù)表示為其中M是尾數(shù)，且M1 ，其字長決定浮點(diǎn)制的運(yùn)算(8.1-5)C、 M均為二進(jìn)制數(shù)，可以分別有不同的字長。x = 2C M 為了提高運(yùn)算精度，可采用規(guī)格化(歸一化)浮點(diǎn)表數(shù)如上例在保證數(shù)值不變的前提下，將C1、M1改為 C1 、式中例如C1=1002，M1=0112，則對應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)與十進(jìn)制數(shù)為法，方法是將尾數(shù)的第一位保持為1，即1/2 M 01 x 0 ，不論原、補(bǔ)、反碼表示相同。若實(shí)際數(shù)據(jù)，共有b1位，系統(tǒng)

6、有效字長為b位(b b1)位，截尾后x=12b1 2 Qx=012b 2 當(dāng)上式中所有i =0 (b+1 i b1)，沒有誤差；截尾誤差而當(dāng)所有i =1 (b+1 i b1)，誤差（絕對值）最大為得到定點(diǎn)截尾的誤差范圍為(8.1-14)ET =Qx x 一般，并記2b為q ，即q是最小碼位所表示的數(shù)值，稱為“量化間距”或“量化階”。所以正數(shù)截尾的誤差范圍還可表示為 (8.1-15)2b = q q ET 0(2) x 0，原碼若實(shí)際數(shù)據(jù)截尾誤差，共有b1位，系統(tǒng)有效字長為b位(b b1)位，截尾后x=112b1 2 Qx=112b 2 ET =Qx x 得到定點(diǎn)截尾原碼的誤差范圍為(8.1-1

7、6a)或(8.1-16b)當(dāng)上式中所有i =0（b+1 i b1)，沒有誤差；而當(dāng)所有i =1 (b+1 i b1)，誤差(絕對值)最大為0 ET q(3)、x 0，補(bǔ)碼，共有b1位，系統(tǒng)有效字長為b位(b b1)位，截尾后截尾誤差ET =Qx x Qx =1 2 b 2 若實(shí)際數(shù)據(jù)x=1 2 b12 (8.1-17a)或(8.1-17b)誤差范圍當(dāng)上式中所有i =0(b+1 i b1)，沒有誤差；而當(dāng)所有i =1 (b+1 i b1)，誤差(絕對值)最大q ET 0ET =Qx x c. x 0，反碼截尾誤差，共有b1 位，系統(tǒng)有效字長為 b 位 (b b1)位，截尾后若實(shí)際數(shù)據(jù)x=11 2

8、 b12 Qx =11 2 b2 ET =Qx x 所以誤差范圍為(8.1-18a)當(dāng)上式中所有i =0(b+1 i b1)，沒有誤差；而當(dāng)所有i =0 (b+1 i b1)，誤差（絕對值）最大或(8.1-18b)0 ET q 截尾(補(bǔ)碼) 截尾(原碼、補(bǔ)碼) 定點(diǎn)截尾誤差范圍：Qx Qx x x 2b2b2b2b2bQxx02b00 Qx x 2 b x0 x0 補(bǔ)碼2b ET 0 x0 原碼x0 反碼0 ET 2b 2、定點(diǎn)舍入因?yàn)樯崛胩幚硎前醋罱咏臄?shù)量化，不論正、負(fù)，也不論原、補(bǔ)、反碼，其誤差總是在之間。即，其量化特性如圖8.1-2所示。Qx x 2b/2 Qxx 2b/22b2b /

9、2 3、浮點(diǎn)在浮點(diǎn)制中截尾與舍入的處理只受尾數(shù)字長影響，但所例如x1、x2是兩個位數(shù)不同但階碼相同的數(shù)：產(chǎn)生的絕對誤差 E=Qxx 卻與階碼有關(guān)。 010012x1= 010012x2=10.5625=0.5625=80.5625=4.5若尾數(shù)字長b=2取兩位，則可見在相同的尾數(shù)舍入情況下，由于x2比x1大8倍，相誤差與數(shù)值本身大小有關(guān)。 102=10.5=0.5Qx1=E1 =Qx1 x1 = 0.0625，E1 = 0.0625；應(yīng)的絕對誤差 E1就比E1大8倍，即浮點(diǎn)制中絕對E2 =Qx2 x2 = 0.5，E2 = 0.5； 102=80.5=4Qx2=所以在浮點(diǎn)制中用相對誤差比絕對誤

10、差更能反映運(yùn)算精度和特點(diǎn)。相對誤差定義為(8.1-19)(8.1-20)絕對誤差與相對誤差的關(guān)系上式表明，相對誤差的實(shí)質(zhì)是去掉階碼的影響。這是個乘性誤差，而定點(diǎn)制的誤差是加性誤差。 E=Qxx= x與定點(diǎn)一樣經(jīng)分析可以得到誤差范圍， 直接給出相對誤差 的誤差范圍。浮點(diǎn)截尾相對誤差范圍： 原碼、反碼：補(bǔ)碼(8.1-22)22b 0 (8.1-21) 22b 0 0 22b x 0取樣量化8.2 模擬信號量化的誤差分析8.2.1、A/D變換的量化誤差 A/D變換示意圖如圖8.2-1所示。xa(t)xa(n)假設(shè) x(n) = xa(nT)是無限精度的理想定點(diǎn)制A/D變換的輸出，是有限精度的(字長b

11、位)實(shí)際A/D轉(zhuǎn)換器的輸出，即量化輸出。二者的誤差為E=Qx(n) x(n)當(dāng)二進(jìn)制數(shù)采用補(bǔ)碼，量化是截尾處理，則定點(diǎn)補(bǔ)碼截尾的量化誤差范圍為q ET 0定點(diǎn)舍入原碼的量化誤差范圍為q/2 ER q/2(8.2-1)(8.2-2)量化特性分別如圖8.1-1、圖8.1-2所示。式中 q 為量化間距。定點(diǎn)補(bǔ)碼截尾與定點(diǎn)舍入原碼的8.2.2 量化誤差的統(tǒng)計分析盡管式(8.2-1)(8.2-2)給出了量化誤差范圍，但要精確分析誤差的大小及其影響既不可能也無必要。實(shí)際考慮量化誤差影響時，只要了解其平均效應(yīng)，即可作為設(shè)計的依據(jù)，例如確定A/D所需字長等。所以可把量化誤差等效為噪聲，采用統(tǒng)計分析方法。 取樣

12、無限精度的理想輸出x(n)與噪聲之和，即A/D變換的統(tǒng)計模型如圖8.2-2所示，量化輸出等效為為分析方便，在對誤差e(n)的統(tǒng)計特性分析時作如下xa(t)xa(n)e(n)假設(shè)：(1) e(n)是一個平穩(wěn)的隨機(jī)序列；(2) e(n)與信號是不相關(guān)的(實(shí)際是相關(guān)的，為分析簡化)；(3) e(n)是白色的，即序列本身的任意兩個值之間是不相關(guān)的；(4) e(n)具有均勻等概分布。由上述假設(shè)，量化誤差是一個與信號不相關(guān)的白噪聲序列，當(dāng)然這與實(shí)際情況不完全相同。尤其輸入為規(guī)則信號時，量化誤差不是線性獨(dú)立、白色的。所以作為平均特性分析，這種假設(shè)是合理的。 但對無規(guī)律的隨機(jī)輸入信號，假設(shè)基本符合實(shí)際。舍入誤

13、差及截尾誤差等效為白色均勻等概分布的噪聲序列e(n)，其概率密度分布分別如圖8.2-3(a)、(b)所示。定點(diǎn)截尾補(bǔ)碼e(n)的分布0 定點(diǎn)舍入原碼 e(n)的分布 0q/2 q/2qe(n)e(n)1/q1/qpepe噪聲序列e(n)的均值與方差為將定點(diǎn)舍入、截尾的概率密度分布帶入上式，分別計算其均值與方差。(8.2 -3)(8.2-4)1、定點(diǎn)舍入量化噪聲的均值與方差的計算可見，當(dāng)均值（直流分量）為零時，由方差噪聲的方差等于噪聲的平均功率。(8.2-5a)(8.2-5b)2、定點(diǎn)截尾補(bǔ)碼噪聲的均值與方差(8.2-6a)(8.2-6b)由式(8.2-6)知道截尾噪聲具有直流分量，會影響信號的

14、頻譜結(jié)構(gòu)，因此實(shí)際應(yīng)用中更多的是采用舍入處理，后續(xù)的討論也是如此。入輸出關(guān)系及其信噪比，可以得到字長與運(yùn)算精度的假設(shè)輸入及噪聲均為零均值，其方差與平均功率相等，則其信噪比為由計算結(jié)果可知，量化噪聲的方差與A/D的字長相關(guān)，字長越長，量化噪聲越小。再利用系統(tǒng)統(tǒng)計模型的輸關(guān)系。A/D變換的統(tǒng)計模型的輸入輸出方差比為由上式可見，信噪比與兩個因素有關(guān)：一是A/D變換的字長b越長信噪比越高；二是信號方差越大，信噪比越高。但是一般由于A/D的限幅限制不可能再大，并且 x(n)不同，是不同的。當(dāng) x(n)的最大值為1時，。 SNR(8.2-7)平均功率：x1(t)為方波x1(t)tT2Tx2(t)為正弦波平

15、均功率：x2(t)tT2Tx3(t)為隨機(jī)信號x3(t)t不同。一般x(t)不同，性A/D一般要求8位以上滿足通信要求。因此，要提高信噪比（英文縮寫為SNR），只有增加字長b，字長每增加一位信噪比增加6dB。例如字長b=10，信噪比不會超過71dB。雖說字長b越長信噪比越高，但過長也沒必要。因?yàn)檩斎胄盘杧(t)本身的信噪比，使得A/D的量化間距q比x(t)的噪聲電平更低沒有意義。實(shí)際應(yīng)用中線性A/D一般要求12位以上滿足通信要求，非線8.2.3、隨機(jī)信號通過線性系統(tǒng)的均值與方差為如圖8.2-5所示的無限精度的線性系統(tǒng)。實(shí)際應(yīng)用中有意義的信號是隨機(jī)信號，其量化誤差以為隨機(jī)信號，這樣無論信號或噪聲

16、都可用相同的方法進(jìn)行分析。為單獨(dú)分析系統(tǒng)對隨機(jī)信號的影響，將系統(tǒng)近似x(n)e(n)h(n)H(ej)圖8.2-5 隨機(jī)信號通過線性系統(tǒng) (n)因?yàn)榫€性相加的隨機(jī)信號，經(jīng)過線性系統(tǒng)仍是線性相加的，所以圖8.2-4系統(tǒng)的輸出為式中y(n)是信號輸出，f(n)是噪聲輸出。假設(shè) x(n)為白色平穩(wěn)隨機(jī)過程，輸入與輸出的均值、關(guān)系如下(8.2-8) (n)= y(n) +f(n) my=Ey(n) 將代入上式，且平穩(wěn)隨機(jī)過程其均值與n、m無關(guān)，所以(8.2-9)特別的，若 mx=0，則 my=0my=Ey(n) = mx H(ej0) 式中he(n)是噪聲e(n)到輸出節(jié)點(diǎn)的單位脈沖響應(yīng)，輸入與輸出噪聲的均值關(guān)系可類推，即(8.2-10)He(ej0)是噪聲頻響在零頻時的數(shù)值。 = me He(ej0) 再假設(shè)輸入是零均值的白色平穩(wěn)隨機(jī)過程，則輸入信號與輸出信號的方差(功率)關(guān)系如下(8.2-11)因?yàn)?x (n)為白色隨機(jī)過程，序列各變量之間互不相關(guān)，所以上式中Ex(nm)