6.1定積分的概念教案

1、6.1定積分的概念教案6.1定積分的概念教案6.1定積分的概念教案山東理工職業(yè)學(xué)院教案首頁 學(xué)年 第學(xué)期課程名稱 高等數(shù)學(xué)任課教師授課班級授課時間第 周第 周第 周第 周第 周第 周星期星期星期星期星期星期第 節(jié)第 節(jié)第 節(jié)第 節(jié)第 節(jié)第 節(jié) 月 日 月 日 月 日 月 日 月 日 月 日授課課題6.1定積分的概念與性質(zhì)教學(xué)目的1.理解定積分的概念與幾何意義。2.理解定積分具有的性質(zhì)。3.會根據(jù)幾何意義求簡單函數(shù)的不定積分。教學(xué)重點(diǎn)1.定積分的概念與幾何意義。2.定積分具有的性質(zhì)。3.會根據(jù)幾何意義求簡單函數(shù)的不定積分。教學(xué)難點(diǎn)1.理解定積分的概念。2.會根據(jù)幾何意義求簡單函數(shù)的不定積分。教學(xué)

2、用具備 注山東理工職業(yè)學(xué)院教案紙教學(xué)過程教 學(xué) 內(nèi) 容教學(xué)方法復(fù)習(xí)檢查引入新課引入新課新授課 考勤6.1 定積分概念及性質(zhì)兩個引例曲邊梯形的面積由連續(xù)曲線（），直線（）及（即軸）所圍成的平面圖形稱為曲邊梯形，其中在軸上的線段稱為曲邊梯形的底邊，曲線弧稱為曲邊梯形的底邊.（如圖6-1(1)）圖6-1（1）由于曲邊梯形在底邊上各點(diǎn)處的高在區(qū)間上是不斷變化的，因而它的面積不能由公式底高求得. 如何計(jì)算它的面積呢？為了計(jì)算曲邊梯形的面積，我們可以先將它分割成若干個小曲邊梯形，在小曲邊梯形中的變化很小，可以用相應(yīng)的小矩形近似代替，用所有小矩形的面積之和近似代替整個曲邊梯形的面積.顯然，分割的越細(xì)，近似程

3、度就越高，當(dāng)無限細(xì)分時，所有小矩形面積之和的極限就是曲邊梯形面積的精確值.根據(jù)以上分析，我們按下面的方法求曲邊梯形的面積.分割分曲邊梯形為個小曲邊梯形.在上任取個內(nèi)分點(diǎn)：，將區(qū)間分割為個小區(qū)間: 記每一小區(qū)間長度為，過分點(diǎn)作軸的垂線，將曲邊梯形分割為個小曲邊梯形，其中第個小曲邊梯形的面積記為. 圖6-1（2）（2）近似代替用小矩形的面積代替小曲邊梯形的面積.設(shè)表示第個小曲邊梯形的面積，則曲邊梯形的面積為.在每個小區(qū)間上任意取一點(diǎn)，以為底邊，為高的小矩形面積近似代替小曲邊梯形的面積，則有（如圖6-1(2)）.（3）求和求個小矩形面積之和.個小矩形構(gòu)成的階梯形的面積和，是原曲邊梯形面積的一個近似值

4、既有（4）取極限由近似值過渡到精確值.分割越細(xì)，就越接近于曲邊梯形的面積， 若用來表示所有小區(qū)間中的最大區(qū)間長度，當(dāng)分點(diǎn)數(shù)無限增大且時，和式的極限就是曲邊梯形的面積，即. 變速直線運(yùn)動的路程設(shè)物體運(yùn)動的速度是時間區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)且，考慮從時刻到時刻所走過的路程（1）分割把整個運(yùn)動時間分成個時間段.用分點(diǎn)：將時間區(qū)間分成個小區(qū)間: ，每個小區(qū)間的長度記為近似代替以勻速直線運(yùn)動的路程代替變速直線運(yùn)動的路程.在每一時間區(qū)間內(nèi)任取一時刻，則物體在該時間區(qū)間走過的路程近似為， 求和求個小時間段路程之和.將每個時間區(qū)間上物體所通過的路程的近似值累加起來，就得到時間區(qū)間上物體所通過的路程的近似值，即取極限-

5、由近似值過渡到精確值.當(dāng)分點(diǎn)無限增加時，記小區(qū)間最大的一個長度為，當(dāng)時，則和式的極限就是物體從時刻到時刻的路程，即.以上兩個實(shí)際問題，其一是幾何問題：求曲邊梯形的面積，其二是物理問題：變速直線運(yùn)動的路程，這兩個問題的內(nèi)容雖然不同，但解決問題的方法卻完全相同：都是采取分割、近似代替、求和、取極限的方法，而最后都?xì)w結(jié)為同一種結(jié)構(gòu)的和式的極限.事實(shí)上，很多實(shí)際問題的解決都可以采取這種方法歸結(jié)為這種和式結(jié)構(gòu)的極限.現(xiàn)拋開問題的實(shí)際內(nèi)容，只從數(shù)量關(guān)系上的共性加以概括總結(jié)，便得到了定積分的概念.定積分的概念定義設(shè)函數(shù)在上有定義，任取分點(diǎn)將分成個小區(qū)間，記為區(qū)間長度，并在每個小區(qū)間上任取一點(diǎn)，得出乘積的和式

6、若時，和式的極限存在，且此極限值與區(qū)間的分法及點(diǎn)的取法無關(guān)，則稱這個極限值為函數(shù)在上的定積分，記為，即 . 這里稱為被積函數(shù)，稱為被積表達(dá)式，叫積分變量，叫積分區(qū)間，稱為積分下限，稱為積分上限.若在上的定積分存在，則稱在上可積.根據(jù)定義，上述兩個實(shí)例可以分別寫成定積分的形式如下：曲邊梯形的面積用定積分可以表示為.變速直線運(yùn)動的物體的路程可以表為：.關(guān)于定積分的定義，有以下說明：(1)定積分的值只與被積函數(shù)、積分區(qū)間有關(guān)，與積分變量的符號無關(guān).即.(2)定義中要求，若、時有如下規(guī)定：當(dāng)時，即互換定積分的上、下限，定積分要變號.當(dāng)時，.（3）定積分是一個數(shù)，不定積分是一個函數(shù)的原函數(shù)的全體因此，定

7、積分和不定積分是兩個完全不同的概念在怎樣的條件下，在上的定積分一定存在呢？有下面的定理：定理1 如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在上可積.在有限區(qū)間上，函數(shù)連續(xù)是可積的充分條件，但不是必要條件.如果在上有界，且只有有限個間斷點(diǎn)，則在上可積.定理2 如果函數(shù)在閉區(qū)間上可積，則在上有界.函數(shù)有界是可積的必要條件；無界函數(shù)一定不可積.由此可知，初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是可積的.定積分的幾何意義在閉區(qū)間上，若函數(shù)，則曲邊梯形的圖形在軸的上方，此時在幾何上表示由曲線，直線和軸圍成的曲邊梯形的面積.積分值是正的，即；如圖6-1(3)特別的，在閉區(qū)間上，若函數(shù)，則在閉區(qū)間上，若函數(shù)，則曲邊梯形的圖形在軸的下方，此

8、時在幾何上表示由曲線，直線和軸圍成的曲邊梯形的面積的相反數(shù).積分值是負(fù)的，即，如圖6-1（4）在閉區(qū)間上，若有正有負(fù)時，則積分值就表示曲線在軸上方和軸下方的面積的代數(shù)和. 如圖6-1（5）所示 . 或 .綜上所述，曲線，線及軸所圍成的平面圖形的面積為. 例1 用定積分表示圖6-1（6），6-1（7）中陰影部分的面積.解 (1)；(2).例2 利用定積分的幾何意義，說明的成立解 的幾何意義是由曲線，圍成的圖形的面積，如圖6-1（8）所示，求得面積為，故 定積分的性質(zhì)設(shè)、在區(qū)間上可積，則根據(jù)定義可推證定積分有以下的性質(zhì)：性質(zhì)1 常數(shù)因子可直接提到積分符號前面.特別的，若函數(shù)，則.性質(zhì)2 代數(shù)和的積分等于積分的代數(shù)和，即.這一結(jié)論可以推廣到有限多個函數(shù)代數(shù)和的情況.即性質(zhì)3 如果對，那么.這一性質(zhì)稱為定積分的區(qū)間可加性，無論還是，性質(zhì)均成立.性質(zhì)4 如果在上有，則.注：比較兩個定積分的大小，必須在同一積分區(qū)間上比較兩個被積函數(shù)的大小.性質(zhì)5 （估值定理）若函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為和，則這是因?yàn)?，由性質(zhì)5得，再由性質(zhì)1和性質(zhì)2即可得結(jié)論.性質(zhì)6(積分中值定理) 設(shè)在閉區(qū)間上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)，使 .其幾何意義是：設(shè)，則由曲線，直線及軸所圍成的曲邊梯形面積等于以區(qū)間為底，以為高的矩形的面積. 我們稱為