高中數(shù)學(xué)題型全面歸納（教師版）：2.1 映射與函數(shù)4

1、第二章 函數(shù)映射定義表示解析法列表法三要素圖象法定義域?qū)?yīng)關(guān)系值域性質(zhì)奇偶性周期性對(duì)稱性單調(diào)性定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，在x0處有定義的奇函數(shù)f (0)01、函數(shù)在某個(gè)區(qū)間遞增(或減)與單調(diào)區(qū)間是某個(gè)區(qū)間的含義不同；2、證明單調(diào)性：作差（商）、導(dǎo)數(shù)法；3、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性最值二次函數(shù)、基本不等式、打鉤（耐克）函數(shù)、三角函數(shù)有界性、數(shù)形結(jié)合、導(dǎo)數(shù).冪函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)三角函數(shù)基本初等函數(shù)抽象函數(shù)復(fù)合函數(shù)賦值法、典型的函數(shù)函數(shù)與方程二分法、圖象法、二次及三次方程根的分布零點(diǎn)函數(shù)的應(yīng)用建立函數(shù)模型使解析式有意義函數(shù)換元法求解析式分段函數(shù)注意應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性求值域周期為T的奇函數(shù)f (T)f ( eq f(T,2

2、)f (0)0復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：同增異減一次、二次函數(shù)、反比例函數(shù)指數(shù)函數(shù)圖象、性質(zhì)和應(yīng)用平移變換對(duì)稱變換翻折變換伸縮變換圖象及其變換本章知識(shí)結(jié)構(gòu)圖函數(shù)八字圖圖像方程不等式式式函數(shù)性質(zhì)質(zhì)本章以函數(shù)為核心,其內(nèi)容包括函數(shù)的圖像與性質(zhì).函數(shù)的性質(zhì)主要包括函數(shù)的定義域、解析式、值域、奇偶性、單調(diào)性、周期性及對(duì)稱性函數(shù).的圖像包括基本初等函數(shù)的圖像及圖像變換.函數(shù)知識(shí)的外延主要結(jié)合于函數(shù)方程（函數(shù)零點(diǎn)）及函數(shù)與不等式的綜合.函數(shù)方程（函數(shù)零點(diǎn)）問(wèn)題常借助函數(shù)圖像求解函數(shù)與不等式的綜合可通過(guò)函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)圖像轉(zhuǎn)化求解.第一節(jié) 映射與函數(shù)考綱解讀1、了解函數(shù)的構(gòu)成要素，了解映射的概念.2、在實(shí)際情況中，

3、會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ鐖D像法、列表法、解析法）表示函數(shù).3、了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用.命題趨勢(shì)探究 有關(guān)映射與函數(shù)基本概念的高考試題，考查重點(diǎn)是函數(shù)的定義、分段函數(shù)的解析式和函數(shù)值的求解，主要以考查學(xué)生的基本技能為主，預(yù)測(cè)2019年試題將加強(qiáng)對(duì)分段函數(shù)的考查，考試形式多以選擇題或填空題為主.知識(shí)點(diǎn)精講1、映射 設(shè)A，B是兩個(gè)非空集合，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)法則f，對(duì)A中的任何個(gè)元素x，在B中有且僅有一個(gè)元素y與之對(duì)應(yīng)，則稱f是集合A到集合B的映射.注 由映射的定義可知，集合A到集合B的映射，元多個(gè)元素對(duì)應(yīng)一個(gè)元素，但不允許個(gè)元素對(duì)應(yīng)多個(gè)元素， 即可以一對(duì)一，也可多對(duì)一，但不

4、可一對(duì)多.注 象與原象如果給定一個(gè)從集合A到集合B的映射，那么與A中的元素a對(duì)應(yīng)的B中的元素b叫a的象記作bf(a),a叫b的原象A的象記為f(A)2、一一映射設(shè)A，B是兩個(gè)集合，f是A到B的映射，在這個(gè)映射下，對(duì)應(yīng)集合A中的不同元素，在集合B中都有不同的象，且集合B中的任意一個(gè)元素都有唯一的原象，那么該映射f為AB的一一映射.注 由一一映射的定義可知，當(dāng)A，B都為有限集合時(shí)，集合A到集合B的一一映射要求一個(gè)元素只能對(duì)應(yīng)個(gè)元素，不可以多對(duì)一更不能一對(duì)多；同時(shí)還可知道，集合A與集合B中的元素個(gè)數(shù)相等.3、函數(shù)設(shè)集合A，B是非空的數(shù)集，對(duì)集合A中任意實(shí)數(shù)x按照確定的法則f集合B中都有唯一確定的實(shí)數(shù)

5、值y與它對(duì)應(yīng)，則這種對(duì)應(yīng)關(guān)系叫做集合A到集合B上的一個(gè)函數(shù)記作yf(x)xA其中叫做自變量，其取值范圍（數(shù)集A）叫做該函數(shù)的定義域，如果自變量取值a，則由法則f確定的值y稱為函數(shù)在a處的函數(shù)值，記作yf（a）或y|x=2，所有函數(shù)值構(gòu)成的集合叫做該函數(shù)的值域，可見(jiàn)集合C是集合B的子集 .注 函數(shù)即非空數(shù)集之間的映射注 構(gòu)成函數(shù)的三要素構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)法則、值域.由于值域是由定義域和對(duì)應(yīng)法則決定的，所以如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，并且對(duì)應(yīng)法則一致，就稱兩個(gè)函數(shù)為同一個(gè)函數(shù)，定義域和對(duì)應(yīng)法則中只要有一個(gè)不同，就是不同的函數(shù).題型歸納及思路提示題型10 映射與函數(shù)的概念思路提示 判斷一個(gè)

6、對(duì)應(yīng)是不是映射，應(yīng)緊扣映射的定義，即在對(duì)應(yīng)法則f下對(duì)應(yīng)集合A中的任一元素在B中都有唯的象，判斷一個(gè)對(duì)應(yīng)是否能構(gòu)成函數(shù)，應(yīng)判斷：（1）集合A與是否為非空數(shù)集；（2）f：AB是否為一個(gè)映射.例2.1 若f：AB構(gòu)成映射下列說(shuō)法中正確的有（ ） = 1 * GB3 * MERGEFORMAT A中任元素在B中必須有象且唯一； = 2 * GB3 * MERGEFORMAT B中的多個(gè)元素可以在A中有相同的原象； = 3 * GB3 * MERGEFORMAT B中的元素可以在A中無(wú)原象； = 4 * GB3 * MERGEFORMAT 象的集合就是集合BA = 1 * GB3 * MERGEFORM

7、AT = 2 * GB3 * MERGEFORMAT B. = 3 * GB3 * MERGEFORMAT = 4 * GB3 * MERGEFORMAT C. = 1 * GB3 * MERGEFORMAT = 3 * GB3 * MERGEFORMAT D. = 2 * GB3 * MERGEFORMAT = 3 * GB3 * MERGEFORMAT = 4 * GB3 * MERGEFORMAT 解析 由映射的定義可知, = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 集合A中任一元素在B中必須有象且唯是正確的；集合A中元素的任意性與集合B中元素的唯一性構(gòu)成映射的核心，顯然不正確，“一

8、對(duì)多”不是映射；因A在對(duì)應(yīng)法則f下的值域C是B的子集，所以正確； = 4 * GB3 * MERGEFORMAT 不正確，象的集合是集合B的子集，并不一定為集合B故選C變式1 在對(duì)應(yīng)法則f下，給出下列從集合A到集合B的對(duì)應(yīng) (2) ；（3）Ax|是平面內(nèi)的三角形，By|y是平面內(nèi)的圓，f：:xy是x的外接圓；（4）設(shè)集合Ax|是平面內(nèi)的圓，By|y是平面內(nèi)的矩形，f:：xy是x的內(nèi)接矩形其中能構(gòu)成映射的是_分析 判斷一個(gè)對(duì)應(yīng)是不是映射，應(yīng)緊扣映射定義，即在對(duì)應(yīng)法則 QUOTE * MERGEFORMAT 下，對(duì)應(yīng)集合A中的任一元素在B中能否都有唯一的象.解析 在（1）中，元素0在B中沒(méi)有象，不

9、滿足“任意性”，因此，（1）不能構(gòu)成映射。在（2）中，當(dāng) QUOTE * MERGEFORMAT 為偶數(shù)時(shí)，其象為1；當(dāng) QUOTE * MERGEFORMAT 為奇數(shù)時(shí)，其象為-1，而1，-1 QUOTE * MERGEFORMAT ，即A中任一元素在B中都有唯一的象，因此（2）能構(gòu)成映射。在（3）中，因?yàn)槿我蝗切味加形ㄒ坏耐饨訄A，所以（3）能夠成映射.在（4）中，因?yàn)槠矫鎯?nèi)的任一個(gè)圓，其內(nèi)接矩形有無(wú)數(shù)個(gè)，因此（4）不能構(gòu)成映射.綜上所述，能構(gòu)成映射的有（2）（3）評(píng)注 判斷一個(gè)對(duì)應(yīng)是否能夠成映射，應(yīng)緊扣映射定義，在映射 QUOTE * MERGEFORMAT 中，A,B的地位是不對(duì)等的，

10、它并不要求B中元素均有原象，或有原象也未必唯一，一般地，若A中元素的象的集合為C，則 QUOTE * MERGEFORMAT ，同時(shí)要注意映射中集合元素的對(duì)象是任意的，可以是數(shù)、點(diǎn)或其它任意對(duì)象.變式2 已知函數(shù)yf(x),定義域?yàn)锳1,2,3,4值域?yàn)镃5,6,7,則滿足該條件的函數(shù)共有多少個(gè)？分析 由函數(shù)定義，本題等價(jià)于將4件不同的東西分配給3人，且每人至少1件.解析 利用捆綁法，得 QUOTE * MERGEFORMAT ，故滿足條件的函數(shù)有36個(gè)例2.2有以下判斷：與表示同一函數(shù)；函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)最多有1個(gè)；與是同一函數(shù)；若，則.其中正確判斷的序號(hào)是_解析對(duì)于，由于函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

11、，而函數(shù)的定義域是R，所以二者不是同一函數(shù)；對(duì)于，若不是定義域內(nèi)的值，則直線與的圖象沒(méi)有交點(diǎn)，如果是定義域內(nèi)的值，由函數(shù)定義可知，直線與的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，即的圖象與直線最多有一個(gè)交點(diǎn)；對(duì)于，與的定義域、值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系均相同，所以和表示同一函數(shù)；對(duì)于，由于，所以.綜上可知，正確的判斷是.變式1 下列所給圖象是函數(shù)圖象的個(gè)數(shù)為()A1 B2C3 D4解析A中函數(shù)的定義域不是2,2，C中圖象不表示函數(shù)，D中函數(shù)值域不是0,2，故選B.題型11 同一函數(shù)的判斷思路提示 當(dāng)且僅當(dāng)給定兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則完全相同時(shí)，才表示同一函數(shù)，否則表示不同的函數(shù)例2.3 在下列各組函數(shù)中，找出是同一函數(shù)的一組

12、與y=1與（3）與解析 （1）的定義域?yàn)?y=1的定義域?yàn)镽,故該組的兩個(gè)函數(shù)不是同一函數(shù)；的定義域?yàn)?的定義域?yàn)镽，故該組的兩個(gè)函數(shù)不是同一函數(shù)；兩個(gè)函數(shù)的定義域均為0，且對(duì)應(yīng)法則也相同,故該組的兩個(gè)函數(shù)是同一函數(shù)故為同一函數(shù)的一組是（3）評(píng)注 由函數(shù)概念的三要素容易看出，函數(shù)的表示法只與定義域和對(duì)應(yīng)法則有關(guān)，而與用什么字母表示變量無(wú)關(guān)這被稱為函數(shù)表示法的無(wú)關(guān)特性變式1下列函數(shù)中與y是同一函數(shù)的是( ) (2) (4)A (1)(2) B(2)(3) C(2)(4) D(3)(5)分析 首先判定定義域，再判斷對(duì)應(yīng)法則，也可快速判斷值域.解析（1） QUOTE * MERGEFORMAT 的解

13、析式不同，不是同一函數(shù)；（2） QUOTE * MERGEFORMAT 的定義域和解析式完全相同，為同一函數(shù)（3） QUOTE * MERGEFORMAT ，但函數(shù)的定義域?yàn)?QUOTE * MERGEFORMAT 的定義域不相同，故不是同一函數(shù)；（4） QUOTE * MERGEFORMAT ，其定義域與解析式與 QUOTE * MERGEFORMAT 完全相同，為同一函數(shù)；（5） QUOTE * MERGEFORMAT 解析式不同，故不是同一函數(shù)，故選C評(píng)注 由于值域可由定義域和對(duì)應(yīng)法則唯一確定，所以兩個(gè)函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)定義域和對(duì)應(yīng)法則分別相同時(shí)，才是同一函數(shù)，即使定義域和值域都分別相同的兩個(gè)

14、函數(shù)，也不一定是同一函數(shù)，因此函數(shù)的定義域和值域不能唯一地確定函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則。題型12 函數(shù)解析式的求法思路提示 求函數(shù)解析式的常用方法如下：當(dāng)已知函數(shù)的類型時(shí)，可用待定系數(shù)法求解.當(dāng)已知表達(dá)式為時(shí)，可考慮配湊法或換元法，若易將含的式子配成，用配湊法.若易換元后求出，用換元法.若求抽象函數(shù)的解析式，通常采用方程組法.求分段函數(shù)的解析式時(shí)，要注意符合變量的要求.一、待定系數(shù)法（函數(shù)類型確定）例2.4已知二次函數(shù)的圖像上任意一點(diǎn)都不在直線y=x的下方.求證:a+b+c1;設(shè)，若F(0)5，且F（x）的最小值等于2，求的解析式.解析（1）因?yàn)榈膱D像上任點(diǎn)都不在直線yx的下方，所以，即abc1.因?yàn)榈?/p>

15、圖像上任意一點(diǎn)都不在直線yx的下方，取相同x，二次函數(shù)值總大于一次函數(shù)值，所以，即，得，對(duì)任意xR成立.因?yàn)閍0.所以a0且 = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 又得C=2所以.所以F（x）的最小值為.整理得. = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 將 = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 式與c=2代人 = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 式，整理得且即=0，所以b=5，a=2.故變式1已知是一次函數(shù)，若，求.解析 設(shè) QUOTE * MERGEFORMAT ，所以 QUOTE * MERGEFORMAT .評(píng)注 當(dāng)已知 QUOTE * MERGE

16、FORMAT 的函數(shù)類型，要求 QUOTE * MERGEFORMAT 的解析式時(shí)，可根據(jù)類型設(shè)出解析式，再確定系數(shù)得出解析式二、換元法或配湊法（適用于了型）例2.5已知，求函數(shù)的解析式.分析 把看成一個(gè)整體，可用換元法求解析式解析 解法一（換元法）令=t（），則得，所以，即解法二(配湊法）：,即評(píng)注 利用換元法求函數(shù)解析式時(shí)，應(yīng)注意對(duì)新元t范圍的限制變式1 已知,求的解析式.分析 利用換元法求解.解析：令 QUOTE * MERGEFORMAT 評(píng)注 對(duì)于 QUOTE * MERGEFORMAT 形式的表達(dá)式求解 QUOTE * MERGEFORMAT 的有效方法：令 QUOTE * MER

17、GEFORMAT ，解出 QUOTE * MERGEFORMAT ，代入函數(shù)表達(dá)式，但應(yīng)注意新元的范圍。變式2設(shè)=，又記(k=1,2,),則=( ). B. C. D.解析 QUOTE * MERGEFORMAT 即 QUOTE * MERGEFORMAT , 可看作周期為4的變換，所以 QUOTE * MERGEFORMAT ，故選C.評(píng)注 QUOTE * MERGEFORMAT 只表示表達(dá)式相同，其定義域不同， QUOTE * MERGEFORMAT .本題亦可用特殊值法. QUOTE * MERGEFORMAT .故選 C例2.6 已知函數(shù)滿足,則的表達(dá)式為_(kāi).解析 ,又或2,故(x2或

18、x0時(shí),1-a1.得 解得 .（不符，故舍去）；當(dāng)a1,1+a1,得2(1+a)+a=-(1-a)-2a解得.綜上, . 變式1 已知實(shí)數(shù)a0,函數(shù)若則a的值為_(kāi)分析 以分段函數(shù)的分界點(diǎn)為討論的標(biāo)準(zhǔn).解析 分段函數(shù)的分界點(diǎn)為1，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí). = 1 * GB3 當(dāng)時(shí)，由得：解得； = 2 * GB3 當(dāng)時(shí)，因此滿足，得，滿足； = 3 * GB3 當(dāng)時(shí)，因此解得，不滿足.綜上，的值為或.變式2 (2017武漢調(diào)研)函數(shù)滿足，則a所有可能的值為()A1或eq f(r(2),2) Beq f(r(2),2)C1 D1或eq f(r(2),2)解析：，；當(dāng)時(shí)，.最有效訓(xùn)練題4（限時(shí)45分鐘）1.下

19、列對(duì)應(yīng)法則中，構(gòu)成從集合A到集合B的映射的是( )A. B . C. D. 2.如圖2-2所示，（a），（b），（c）三個(gè)圖像各表示兩個(gè)變量x，y的對(duì)應(yīng)關(guān)系則有A 都表示映射，且（a），（b），（c）表示y為x的函數(shù)B 都表示y是x的函數(shù)C 僅（b）（c）表示y是x的函數(shù) D 都不能表示y是x的函數(shù)3.下列各組函數(shù)中是同一函數(shù)的是（ ）A. 與 B. 與C. 與 D. 與 4.設(shè)集合A和B都是坐標(biāo)平面上的點(diǎn)集，映射f：AB使集合A中的元素（x，y）映射成集合B中的元素（xy，x-y），則在映射f下，象（2，1）的原象是（ ）A.(3，1) B. C. D. 5(2016安徽六校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)x|x|，若f(x0)4，則x0的值為()A2 B2C2或2 D.eq r(2)6.(2016唐山期末)已知的值域?yàn)镽，那么a的取值范圍是()A(，1 B(1，eq f(1,2)C1，eq f(1,2) D(0，eq f(1,2)7.定義在R上的函數(shù)滿足，則f(-3)=_.8.設(shè)函數(shù) ,則 的值為_(kāi).9.設(shè)函數(shù) ,若 則關(guān)于的方程的解的個(gè)數(shù)為_(kāi).10若