初中數(shù)學(xué)競賽——矩形及菱形

1、初中數(shù)學(xué)競賽矩形及菱形初二數(shù)學(xué)聯(lián)賽班 八年級第 2 講矩形和菱形知識總結(jié)歸納一 . 矩形的定義：定義：有一個角是直角的平行四邊形叫矩形，矩形也是我們平時所稱的長方形. 矩形的性質(zhì)：1）矩形擁有平行四邊形的全部性質(zhì)2）矩形的對角線相等3）矩形的四個角都是直角4）矩形是軸對稱圖形，它有兩條對稱軸三 . 矩形的判斷：1）定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形2）對角線相等的平行四邊形是矩形3）有三個角是直角的四邊形是矩形. 直角三角形的一條重要性質(zhì)：1）直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半2）性質(zhì)可以用來解決有關(guān)線段倍分的問題五 . 菱形的定義：定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形六 . 菱形的性

2、質(zhì)：1）菱形擁有平行四邊形的全部性質(zhì)2）菱形的四條邊相等3）菱形的兩條對角線相互垂直，而且每一條對角線均分一組對角七 . 菱形的判斷：1 / 31 1初中數(shù)學(xué)競賽矩形及菱形思想的發(fā)掘 能力的飛馳 12 / 31 2初中數(shù)學(xué)競賽矩形及菱形八年級 初二數(shù)學(xué)聯(lián)賽班1）由定義判斷：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形2）由對角線判斷：對角線相互垂直的平行四邊形是菱形3）由邊的關(guān)系判斷：四條邊相等的四邊形是菱形典型例題一 . 矩形【例 1】已知矩形的對角線長為 13，周長為 34，求這個矩形的面積【例 2】如圖， ABCD中，對角線 AC、 BD交于 O，在矩形 且長12cm，求AOD120，AC AB的A

3、 D3 / 31 3初中數(shù)學(xué)競賽矩形及菱形O B2 思想的發(fā)掘 能力的飛馳C4 / 31 4O初二數(shù)學(xué)聯(lián)賽班初中數(shù)學(xué)競賽矩形及菱形八年級【例 3】 如圖，在 ABC中， ABAC， D為 BC中點，四邊形 ADCE是矩形CD EABDE是平行四邊形求證：四邊形BA【例 4】 如圖，矩形ABCD的對角線 AC、 BD 訂交于點 O， E、 F、 G、 H分別是 OA、 OB、OC、 OD的中點，試說明：四 邊形 EFGH是矩形AEFBCDHG【例 5】 如圖，在 ABC中， ABAC， AD、 AE分別是 BAC與 BAC的外角的均分線， CE AE，求證： AC DEC5 / 31 5初中數(shù)學(xué)

4、競賽矩形及菱形思想的發(fā)掘 能力的飛馳D E3BAF6 / 31 6中，初中數(shù)學(xué)競賽矩形及菱形八年級 初二數(shù)學(xué)聯(lián)賽班D【例 6】如圖，在矩形 ABCDABAB交于點 F，求 AF的 長C16 8，若將 AC折疊，點 D落在點 E 處， BC 矩形沿 CE與【例 7】如圖，折 疊矩形求 BE的長邊 ABCD的B使點AA DFB E C7 / 31 7初中數(shù)學(xué)競賽矩形及菱形【例 8】如圖，在 ABCD E 是 AD的中點，將 ABE折疊后獲得 EBG，延長 BG交矩形 中， CD于1， 點 F，若 CF FD24，求 BC的長思想的發(fā)掘 能力的飛馳A8 / 31 8E DF初二數(shù)學(xué)聯(lián)賽班初中數(shù)學(xué)競賽

5、矩形及菱形八年級二 . 直角三角形的斜邊中線【例 9】 如圖，已知平行四邊形 APC BPD 90求證：平行四邊形ABCD，AC、 BD訂交于點 O， P 是平行四邊形 ABCD外一點，且ABCD是矩形PA DOB C【例 10】如圖，平行四邊形 ABCD中， DEAB于 E， BM=MC=DC求證： EMC=BEM思想的發(fā)掘 能力的飛馳 59 / 31 9B于初中數(shù)學(xué)競賽矩形及菱形八年級 初二數(shù)學(xué)聯(lián)賽班EB AMFDC【例 11】如圖，在中，均， 分，垂足為，交點 求 A A D B DD B證： CDABC B ACBD BC E D E C1BE2ADE C10 / 31 10初中數(shù)學(xué)競

6、賽矩形及菱形【例 12】如圖， ABC的邊 BC的中點為 N，過 A 的任向來線 AD BD與 D， CE AD于 E求證：NE NDA思想的發(fā)6 掘ENB能力的飛馳D11 / 31 11初二數(shù)學(xué)聯(lián)賽班初中數(shù)學(xué)競賽矩形及菱形八年級【例 13】如圖，分別以 ABC的 AC、 BC邊為腰， A 、 B 為直角極點，作等腰直角 ACE和等腰直角BCD，M為 DE中點，求證： AM BMEMDCAB【例 14】如圖，已 知五邊形證： MBMEEAD，M為 CD的中ABCDE中 ， ABC AED90，BAC 點，求AB12 / 31 12D初中數(shù)學(xué)競賽矩形及菱形EC M思想的發(fā)掘 能力的飛馳 713

7、/ 31 13初中數(shù)學(xué)競賽矩形及菱形八年級 初二數(shù)學(xué)聯(lián)賽班三 . 菱形【例 15】如圖，菱形 ABCD中， B 60， AB 2cm， E、 F 分別是 BC、 CD的中點，連 AE、 EF、AF，求 AEF的周長AB DE FC【例 16】以下列圖，在菱形A DOB CABCD中， AC與 BD交于 O， AC 6， BD 8，求菱形 ABCD的面積14 / 31 14初中數(shù)學(xué)競賽矩形及菱形【例 17】如圖， 到 BC的距離是多少？8P 是菱形 ABCD對角線 BD上一點， PE AB于點 E， PE 4cm，則點 P思想的發(fā)掘 能力的飛馳15 / 31 15初中數(shù)學(xué)競賽矩形及菱形初二數(shù)學(xué)聯(lián)

8、賽班 八年級【例 18】如圖，用兩張等寬的紙帶交織重疊地放到一起，重合的四邊形 形請給出證明，假如不是菱形請說明原由A DB C【例 19】如圖，在 ABCD中， EF經(jīng)過對角線的交點 O，且 EFAC分別交說明四邊形 AECF是菱形A F BAEBPCABCD是菱形嗎？假如是菱CD、 AB于 E、 F試DOE C思想的發(fā)掘 能力的飛馳 916 / 31 16初中數(shù)學(xué)競賽矩形及菱形八年級 初二數(shù)學(xué)聯(lián)賽班【例 20】如圖，在 ABC 中，高，交 AD于 F， DEACB90AB于 E， AD是 BAC的均分線， BC于 D， CH是 AB邊交 上的，求證：四邊形 CDEF是菱形CDFAH【例 2

9、1】如圖，已知菱形 1）求證： BDEC；2）若 E50，求 BAO的大小DCA B EABCD的對角線訂交于點 O，延長 AB至點 E, 使 BE AB，連 CE【例 22】如圖，在菱形 ABCD 中 ，E 為 AB 上一點， DE交 AC于 F求證：FBC AEDD C17 / 31 17初中數(shù)學(xué)競賽矩形及菱形FA E B10 思想的發(fā)掘 能力的飛馳18 / 31 18初二數(shù)學(xué)聯(lián)賽班初中數(shù)學(xué)競賽矩形及菱形八年級【例 23】延長菱形一邊 DC 至 E，使交對角線 BD于 H，CG，又 CEDC，F(xiàn)、 G在 BC上，且 BF FAB1DAB，AF4求證： FHC2CE。GDHA思想飛馳【例 2

10、4】設(shè)凸四邊形的 4 個極點滿足條件：每一點到其余四邊形是什么四邊形？請證明你的結(jié)論C EGFB3 個點的距離之和都相等試判斷這個1【例 25】已知， ABC中， B2C， M是 BC中點， AD BC于 D求證： DMAB219 / 31 19初中數(shù)學(xué)競賽矩形及菱形A思想的發(fā)掘 能力的飛馳 11B CD M20 / 31 20初中數(shù)學(xué)競賽矩形及菱形八年級 初二數(shù)學(xué)聯(lián)賽班【例 26】以下列圖，矩形 ABCD內(nèi)一點 P 到 A、 B、 C的長分別是 3、 4、 5，求 PD的長A DPB C【例 27】如圖，已知矩形 ABCD中， CE BD于點 E，延長 EC，與 BAD的均分線 AF訂交于點

11、 F，求證： CF BDFD CEA B12 思想的發(fā)掘 能力的飛馳21 / 31 21初中數(shù)學(xué)競賽矩形及菱形初二數(shù)學(xué)聯(lián)賽班 八年級【例 28】如圖，點 P 是邊長為 1 的菱形 ABCD對角線 AC上的一個動點，點 M、 N分別是 AB、 BC邊的中點， MP NP的最小值是多少？AMBDPCN【例 29】如圖，在矩形 ABCD中， E 為 CB的延長線上一點，且 ACCE，F(xiàn) 為 AE 的中點求證：BF FDFEADB C【例 30】如圖，在 ABCD中， AB 2AD， F 為 AB的中點， CE AD交 AD（或延長線）于E求證： BFE 3AEF思想的發(fā)掘 能力的飛馳 1322 /

12、31 22F初中數(shù)學(xué)競賽矩形及菱形八年級 初二數(shù)學(xué)聯(lián)賽班A BED C作業(yè)1. 如圖，在 ABCD中， AC、 BD訂交于點 O，且 AOB使等邊三角形，邊長為 2，求 BC的長ABDOC2. 的長A如圖，在矩形 ABCD中， AB 3， BC 4，若將矩形折疊，使點與點 B 重合，求折痕 EFE DB F C23 / 31 23初中數(shù)學(xué)競賽矩形及菱形14 思想的發(fā)掘 能力的飛馳24 / 31 24B初二數(shù)學(xué)聯(lián)賽班初中數(shù)學(xué)競賽矩形及菱形八年級3. 如圖，矩形 ABCD邊 AD沿折痕 AE折疊，使點 D落在 BC上的 F 處，已知 AB 6，ABF的面積是 24，求 FC的值A(chǔ) DEF C4.

13、能判斷一個四邊形是菱形的條件是（ ）對角線相互均分且相等對角線相互垂直且相等C對角線相互垂直且對角相等5. D對角線相互垂直，且一條對角線均分一組對角已知菱形周長為 24，一條對角線長為 8，求菱形的面積思想的發(fā)掘 能力的飛馳 1525 / 31 25初中數(shù)學(xué)競賽矩形及菱形八年級 初二數(shù)學(xué)聯(lián)賽班6. ABC中，分別以 AB、 AC為斜邊作等腰直角三角形 ABM和 CAN，P 是 BC的中點 , 求證： PM PNMANBCP如圖，在 ABC中， D是 BC邊的中點， E、 F 分別在 AD及其延長線上， CEBF，連 BE、 CF1）求證： BDFCDE（2）若 ABAC，求證：四邊形 BFCE 是 菱 形AEDB CF8. 已知：銳角三角形 ABC中， BD、 CE是兩條高， F、 G分別是 BC、DE的中點，求證： FG垂直均分 DEA26 / 31 26初中數(shù)學(xué)競賽矩形及菱形D16E G思想的發(fā)掘 能力的飛馳B F C27 / 31 27PN初二數(shù)學(xué)聯(lián)賽班初中數(shù)學(xué)競賽矩形及菱形八年級9. 以下列圖，在 ABC中，分 DAC，交 BC于點 N求證：四邊形BAC 90， AD BC于 D， BE均分 ABC，交 AD于點 M,AN平AMNE是菱形BDMA CEOFB10. 如圖在矩形 ABCD中，已知 AD12， 5 ， P 是 AD邊上任意一 BD