第12章 自然對(duì)流邊界層-皮冬

1、第十二章 自由對(duì)流邊界層指導(dǎo)老師：程曉舫教授小組成員：皮冬, 劉豐收, 周濤濤, 宋瀾波, 吳昊, 杜志杰, 張贛, 胡磊： 本章內(nèi)容自然對(duì)流的概念自然對(duì)流邊界層方程組相似性討論等溫垂直平板層流自然對(duì)流相似解本章小結(jié)： 自然對(duì)流的概念在重力場(chǎng)、離心力場(chǎng)或其他力場(chǎng)的作用下，由于流體的溫度差或（和）濃度差形成密度差和浮升力，使流體產(chǎn)生流動(dòng)的現(xiàn)象稱為自然對(duì)流。自然對(duì)流中屬于作用在密度梯度上的體積力引起的一種浮力誘發(fā)運(yùn)動(dòng)，它不同于強(qiáng)迫對(duì)流，因此在描述自由對(duì)流邊界層的微分方程時(shí)，特別不能把密度這個(gè)物性定義為常數(shù)。 ： 自然對(duì)流邊界層方程組質(zhì)量方程含有質(zhì)量方程的動(dòng)量方程形式為含有質(zhì)量方程、動(dòng)量方程的能量方

2、程形式為： 自然對(duì)流邊界層方程組 考慮由浮力驅(qū)動(dòng)的層流邊界層流動(dòng)，假設(shè)二維、穩(wěn)態(tài)、無(wú)內(nèi)熱源、重力作用在負(fù)x方向； 動(dòng)量方程中體積力不能忽略，體積力可表示為 ； 與強(qiáng)迫對(duì)流邊界層方程相比的差異在于：密度是變化的，且表現(xiàn)為溫度的函數(shù)； 由于流速不高，故而可以忽略能量方程中粘性耗散項(xiàng)的影響。 浮力的影響僅限于動(dòng)量方程！壓力梯度項(xiàng) 在動(dòng)量方程中被保留，但在能量方程中卻被忽略。 考慮上述理由，在定常、變物性（密度）、無(wú)內(nèi)熱源條件下二維自然對(duì)流邊界層三方程如下所示：質(zhì)量方程：動(dòng)量方程：能量方程：自然對(duì)流邊界層方程組： 自然對(duì)流邊界層方程組對(duì)上述邊界層方程作進(jìn)一步處理 關(guān)于動(dòng)量方程中的壓力梯度項(xiàng)：壓力梯度可

3、根據(jù)邊界層外勢(shì)流區(qū)求得，由于自然對(duì)流邊界層外的流體是靜止的，于是由流體靜力學(xué)可知： 其中 為勢(shì)流區(qū)流體的密度。因此動(dòng)量方程中的壓力項(xiàng)和體積力項(xiàng)可合并成 ，即單位容積流體的浮升力。 如果密度變化只是(或主要)由溫度變化引起的，由容積熱膨脹系數(shù)的定義Boussinesq近似： 為了對(duì)邊界層方程式進(jìn)一步簡(jiǎn)化，引入自然對(duì)流中的Boussinesq假定，主要包含以下兩方面的內(nèi)容：（1）密度變化對(duì)流體動(dòng)力學(xué)的影響只通過(guò)動(dòng)量方程中的重力項(xiàng)來(lái)完成。各方程其他項(xiàng)中出現(xiàn)的密度都假定是常數(shù)，且等于 。（2）介質(zhì)熱物性 的變化對(duì)流場(chǎng)的影響不大，可以假定是常數(shù)。自然對(duì)流邊界層方程組于是關(guān)于自然對(duì)流邊界層三方程的最終形式

4、如下： 自然對(duì)流邊界層方程組質(zhì)量方程：動(dòng)量方程：能量方程：其中運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù) ，導(dǎo)溫系數(shù)： 相似性討論 同受迫對(duì)流一樣，對(duì)控制方程無(wú)量綱化可求得自然對(duì)流流動(dòng)和傳熱的無(wú)量綱參數(shù)。引入浮力的直接結(jié)果令： 相似性討論習(xí)慣上把雷諾數(shù)的平方定義為格拉曉夫數(shù)格拉曉夫數(shù)表征自然對(duì)流狀態(tài)下浮升力與粘性力的比值， 雷諾數(shù) 表征受迫對(duì)流狀態(tài)下慣性力與粘性力的比值。格拉曉夫數(shù)（準(zhǔn)確地說(shuō)是 ）在自然對(duì)流過(guò)程中的作用相當(dāng)于雷諾數(shù) 在受迫對(duì)流過(guò)程中的作用，其大小能確定邊界層的流動(dòng)狀態(tài)。： 等溫豎壁層流邊界層方程組的自相似性解垂直等溫表面層流自然對(duì)流圖1 熱的垂直平板上邊界層的發(fā)展在求解過(guò)程中要引入以下形式的相似參數(shù)進(jìn)行變量

5、代換其中，： 垂直等溫表面層流自然對(duì)流為了達(dá)到分離變量的目的，以定義如下的流函數(shù)表示速度分量其中 ， x速度分量y速度分量無(wú)量綱溫度： 垂直等溫表面層流自然對(duì)流， ： 垂直等溫表面層流自然對(duì)流， 動(dòng)量方程能量方程： 垂直等溫表面層流自然對(duì)流， ： 垂直等溫表面層流自然對(duì)流， ： 垂直等溫表面層流自然對(duì)流， 非線性常微分方程無(wú)窮大的邊界條件不好處理上述常微分方程組沒(méi)有解析解，只能獲得數(shù)值解。： 垂直等溫表面層流自然對(duì)流， 無(wú)量綱速度分布： 垂直等溫表面層流自然對(duì)流， 無(wú)量綱溫度分布： 垂直等溫表面層流自然對(duì)流， 根據(jù)相似性參數(shù)的定義，從上圖中可以確定對(duì)應(yīng)于任意x和y值的u和t的值。同時(shí)，上圖還可

6、以用于推導(dǎo)合適的傳熱關(guān)系式。于是，局部自然對(duì)流的換熱系數(shù)和努謝爾特?cái)?shù)分別為：由導(dǎo)熱的傅立葉定律得壁面熱流： 垂直等溫表面層流自然對(duì)流， 微分精確解：積分精確解：受迫對(duì)流微分精確解： 湍流的影響*， 自然對(duì)流邊界層不局限于層流，同受迫對(duì)流一樣，其中也可能發(fā)生流體力學(xué)不穩(wěn)定性，即可能出現(xiàn)從層流向湍流的過(guò)渡，其與流體浮力和粘性力的相對(duì)大小有關(guān)，習(xí)慣上用瑞利數(shù)（Raleigh number）表示過(guò)渡發(fā)生的條件。對(duì)于垂直平板，臨界瑞利數(shù)為適用于湍流的關(guān)系式主要依靠實(shí)驗(yàn)結(jié)果獲得： 本章小節(jié)， 1.對(duì)流的驅(qū)動(dòng)力有兩類：來(lái)自于流體外部力的驅(qū)動(dòng)，這類 對(duì)流稱為受迫對(duì)流；來(lái)自于流體內(nèi)部力的驅(qū)動(dòng)，這類對(duì) 流稱為自然對(duì)流。2.在自然對(duì)流微分方程的表達(dá)中，體積力不可忽略，并且密度必須考慮為變物性。3.在自然對(duì)流微分方程組的處理中，作為變物性的密度僅僅在動(dòng)量方程中予以考慮，在質(zhì)量方程和能量方程中作為常物性來(lái)考慮。4.對(duì)自然對(duì)流現(xiàn)象，相似性解