動物數(shù)量的預(yù)計模型論文

1、承諾書我們仔細(xì)閱讀了中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的競賽規(guī)則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵 件、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問 題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的，如果引用別人的成果或其他 公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正 文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反 競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽選擇的題號是（從A/B/C/D中選擇一項填寫）：我們的參賽報名號為（如果賽區(qū)設(shè)置報名號的話）：賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會

2、評閱前進(jìn)行編號）：賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進(jìn)行編號）：賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時使用）：動物數(shù)量的預(yù)計模型摘要針對動物數(shù)量的預(yù)計，通過查閱相關(guān)數(shù)據(jù)信息，采用Leslie矩陣建立動物 數(shù)量預(yù)計的差分方程模型，對農(nóng)場特定動物的數(shù)量進(jìn)行了預(yù)計?？紤]到農(nóng)場的長 久經(jīng)營和可持續(xù)性發(fā)展，又建立了農(nóng)場動物的穩(wěn)定收獲模型（穩(wěn)定收獲是指，各 個時間段同一年齡組動物的收獲量不變）。在Leslie矩陣對各年齡組動物數(shù)量預(yù)計中，將動物按年齡大小等間隔地 劃分成m個年齡組（譬如每3歲一組），分析討論在不同時間段不同年齡組動物 數(shù)量的變化。假設(shè)在時間段t第/年齡組的動物總數(shù)為、）,i = 1,2,m，定義向量

3、x（t）=吁）,x）,.,弋小，并設(shè)第i年齡組的繁殖率為b，即b是單位時間內(nèi)第i年 齡組的每個雌性動物平均繁殖下一代的個數(shù)；第i年齡組的死亡率為，即是 單位時間內(nèi)第i年齡組動物死亡數(shù)目與總數(shù)目之比，* = 1 -d稱為存活率。設(shè)b、 S,不隨時間t變化，根據(jù)b、5,和x（t）的定義可以得到x（t）與X（t+1）應(yīng)滿足關(guān)系：r 血一x（t+i）= Y b x（t） ii ii=1xo+i） = sx0,i = 1,2,，m-1；（II） b 0,i = 1,2 ,m，且至少一個b 0。則矩陣L稱為Leslie矩陣。若題中給出Leslie矩陣L和農(nóng)場動物數(shù)量分布的初始向量X（0），就可以運(yùn) 用此模

4、型求出t時段的農(nóng)場總分布向量X （t）。5.1.2模型I的建立由所查詢的資料得知設(shè)，在初始時刻03歲、46歲、79歲的三個年齡組動物數(shù)量分別為：xw=1000，x；0）=1000，x（0）=1000若以三年作為一個時間段，則第t個時間段，三個年齡組的動物數(shù)量可以用一個向量表示：Y L X (t)= X( t) x (t) x( t)J 123當(dāng)k=0, 1, 2, 3時，X(t)分別表示現(xiàn)在、三年后、六年后、九年后的動物數(shù)分布向量。根據(jù)第二年齡組和第三年齡組動物的繁殖能力，在第t個時間段，第二年齡組動物在其年齡段平均繁殖4個后代，第三年齡組動物在其年齡段平均繁殖3個后代。由此得第一個年齡組在第

5、t +1個時間段的數(shù)量如下：x(t+1)= 4 x(t)+ 3x(t)同理，根據(jù)第一年齡組和第二年齡組的存活率，可得等式xt+i)= 0.5 x(t)x(t+1) =0.25 x)建立數(shù)學(xué)模型如下：x(t+1)= 4 x (t)+ 3x (t) TOC o 1-5 h z x(t+1)= 0.5x(t)(t = 0，1，2，3)(5)21x (t+1)= 0.25 x (t)l 32寫成矩陣形式如下：x(t+1)043x (t)11x(t+1)=0.500 x (t)22x(t +1)00.250 x(t)33 TOC o 1-5 h z (t = 0，1，2，3)(6)由此得向量X(t)和X

6、(t+1)的遞推關(guān)系式：X(t+1)= L - X (t)(7)其中，矩陣-043-L = 0.500 稱為 Leslie 矩陣。由式(3)可得X(t+1)= Lt+1 - X(0)。00.25 05.1.3模型I的求解將第(6)式，運(yùn)用Matlab軟件進(jìn)行求解(程序運(yùn)行代碼見附錄)得出結(jié)果如下表：表1tt =0（現(xiàn)在）t=1 （三年后）t =2（六年后）t =3（九年后）x (t)(第一組)110007000275014375x (t)(第二組)2100050035001375x （t）（第三組）310002501258755.2模型II的建立及求解在按年齡分組的種群增長模型基礎(chǔ)上，建立種群

7、的穩(wěn)定收獲模型1。5.2.1模型II的準(zhǔn)備【1】穩(wěn)定狀況分析研究時間充分長后（及tT8 ）種群的年齡結(jié)構(gòu)及數(shù)量的變 化。Leslie稱矩陣的兩個基本定理：定理1 L矩陣有唯一的正特征根入1，且它是單重的，入對應(yīng)正特征向量(8)(9)s s s 12m 1 TXm-11L矩陣的其他m-1個特征根七都滿足|人 X ,t = 2,3,.,m該定理表明L矩陣的特征方程 TOC o 1-5 h z Xm -(b Xm-1 + b s Xm-2 hfb s s s X + b s s s ) = 0(10)12 1m-1 1 2 m-2 m 1 2m-1只有一個正單木做1,且容易驗證Lx *=X 1 x

8、*。定理2若L矩陣第一行又兩項順次的元素b力*都大于零，則（9）式中 僅不等號成立，及X X,t = 2,3,.,m（11）且由（7）式表示的x（k）滿足lim x（t） = cx*（12）t s X t1其中c是由b,s,及想x（0）決定的常數(shù)。從上述定理可以對時間充分長(t充分大)后種群按年齡組的分布x(t)的 性態(tài)做出如下分析。(為簡便起見人1記作人)由(12)式直接有x(t) = ck tx(t )*(13)這表明t充分大時種群按年齡組的分布x(t)趨向穩(wěn)定，其各年齡組的數(shù)量 占總量的比例，與特征向量X*中對應(yīng)分量占總量的比例是一樣的，即X*就表示 了種群按年齡組的分布狀況，故X*可稱

9、為穩(wěn)定分布，它與初始分布x(0)無關(guān)。由(II)式又可得到x(t +1) = k x(t )*或者更加清楚地寫作x (t +1) = x (t),i = 1,2,m(14)這表明k充分大時種群的增長也趨向穩(wěn)定，其各年齡組的數(shù)量都是上一時 段同一年齡組數(shù)量的入倍，即種群的增長完全由L矩陣的唯一正特征跟決定。 顯然，當(dāng)入1時種群遞增；入1時種群遞減，入 可稱固有增長率。入二1時種群總量不變。由(7)式克制這個條件等價于 TOC o 1-5 h z b + b s + b s s s = 1(15)12 1m 1 2m-1若將(15)式左端記作R = b + b s + b s s s(16)1 2

10、 1m 1 2m -1由這個表達(dá)式可以知道，R表示一個(雌性)個體在整個存活期內(nèi)繁殖的平均數(shù) 量，稱為總和繁殖率，顯然R=1時種群總量不變。由種群按年齡組的分布向量可 知，此時穩(wěn)定分布為R = 1,s ,s s，s s s t(17)11 21 2 m-1根據(jù)(II)式，這個結(jié)果表明x (t) n s x (t),i = 1,2,，m-1(18)i+1i i即當(dāng)t充分大且R=1時，存活率s.等于相鄰兩年齡組的種群數(shù)量x.+1(t)與x,(t)之比。5.2.2模型II的建立（1）設(shè)年齡分組區(qū)間、時段長好度都正等于種群的繁殖周期，種群的按年齡 組分布，Leslie矩陣及增長規(guī)律用表示Xg） = L

11、 X。）.如果時段t第i年齡組種 群的增加量就是這個時段的收獲量，表示為x（t）-x（t-1）= h（t） x（t）, i =1, 2,n, t = 1, 2,，其中h（t）為收獲系數(shù).i所謂穩(wěn)定收獲是指，各個時段同一年齡組的收獲量不變，即h（）和X（t）（在收 獲之后）與t無關(guān).用H表示以h（t）為對角元素的對角陣，可得到穩(wěn)定收獲模型可 i表示為Lx - x = HLx，其中x是種群的按年齡組的穩(wěn)定分布.（2）引理：證明種群獲得穩(wěn)定收獲的充要條件是：h（t）滿足i（1 -h（t）b + bs （1 -h（t） + + b ss s （1 -h（t）（1 -h（t） = 1 TOC o 1-5

12、 h z 112 12m 1 2 m 1m且x = cx * （ c是大于零的常數(shù)），其中x*=1,s (1 -h(舟，,ss .s (1 -h(t)(1-h(t)r = 1121 2 m 1mL中的b相當(dāng)于（I - H） L中的證明：由穩(wěn)定模型Lx - x = HLx有，上述模型可寫作(I - H)Lx = x，即(I - H)L的一 b 1 - h )b (1 - h )b (1 - h )b (1 - h )1121m-11m1s (1 - h )12000又(I - H) L =0s2Q-h):：:0000 s (1 hm-1m0特征根為X = 1.當(dāng)時間段t 一定時，可取h(t) =

13、 hii與種群年齡分組模型的L矩陣相比， TOC o 1-5 h z b (1 -h )(i = 1,2,.,m), L 中的 s 相當(dāng)于(I - H)L 中的 s (1 -h )(i = 1,2,.,m)，由此i iii i+1可以得到& = 1是X = 1的充要條件，將（I - H）L中的R = 1表示出來，即為證明.5.2 3模型II的求解（程序代碼見附錄）由引理和穩(wěn)定收獲模型可以得到： TOC o 1-5 h z (1-h )b + bs (1-h ) + bss (1-h )(1-h ) = 1(19)112 123 1 223由X = 8 (。為大于零的常數(shù)),取c =1時，得：X

14、* = 1,s (1-h ),ss (1-h )(1-h )T(20)121 223式中：b = 0,b = 4,b = 3,s = 0.5,s = 0.25又穩(wěn)定增長模型Lx - x = HLx(21)式中 x = x* ，h 01H = 0 h20 000，h3由（19），（20），（21）三式利用 lingo 軟件可以求出三個年齡組對應(yīng)的收獲系數(shù)，h1 = 0, h2 = 0.5, h3 = 1，對應(yīng)求出種群的穩(wěn)定分布為x*= 1,0.25,0t，而收獲量按年齡的穩(wěn)步分布為HLx*= 0,1/4,1/16t模型結(jié)果分析及檢驗6.1模型I的結(jié)果分析用Excel作出模型一所得結(jié)果見圖1：動物

15、數(shù)量的預(yù)測160001400012000100008000600040002000k xl (第一組)X2 (第二組)x3 (第三組)5234時間段圖 1 xxx從表中可以看出在第二個時間段，第一組動物的數(shù)量有所增加，第二、三組 動物的數(shù)量下降，由于第三組動物的存活率降低，所以減少數(shù)量較為明顯；在第 三個時間段，由于上一時間段中第二、三組數(shù)量的動物較少，因此繁殖也少，從 而使第一組動物數(shù)量下降，相反上一時間段的第一組動物會轉(zhuǎn)變?yōu)榈诙M動物， 從而使第二組動物的數(shù)量明顯增加；在第四時間段，由于第二組動物的數(shù)量和存 活率較高，從圖中可以明顯看出第一組動物數(shù)量顯著增多。結(jié)論：動物的總量隨著時間的斷的

16、增加而增加，偶數(shù)時間段第一組動物的數(shù) 量要比奇數(shù)時間段第一組動物的數(shù)量多，而第二、三組動物的數(shù)量則相反。 對模型二的結(jié)果分析：6.2模型II的結(jié)果分析由模型二所求得的收獲系數(shù)可以看出，收獲系數(shù)能有效的反應(yīng)，在時間段，內(nèi) 第/年齡組動物可收獲的數(shù)量。下面以提高動物的繁殖率和存活率作分析，討論 動物繁殖率和存活率的變化對動物數(shù)量的影響。當(dāng)提高動物的繁殖率時，若改變模型中b ,b的值，使得b =5,b = 6，則由 2323(19)，(20)，(21)可以求出對應(yīng)的收獲系數(shù)為：h = 0，h = 0.6,h = 1.0。(見123附錄截圖(2)由數(shù)據(jù)比較可以看出，穩(wěn)定模型中動物的收獲系數(shù)隨動物繁殖率

17、的提高而增 大。即提高動物的繁殖率會使得農(nóng)場主在相同時間段內(nèi)，對動物的收獲量增大， 從而能提高農(nóng)場主的經(jīng)濟(jì)利益。當(dāng)提高動物的存活率時，若改變模型中s ,s的值，使得s =0.6,s = 0.4，則 2312由(19)，(20)，(21 )可以求出對應(yīng)的收獲系數(shù)為：h = 0, h = 0.58,h =1.0。123(見附錄截圖(3)由數(shù)據(jù)比較可以看出，穩(wěn)定模型中動物的收獲系數(shù)也隨各年齡組動物存活率 的提高而增大。即提高動物的存活率也會使得農(nóng)場主在相同時間段內(nèi)，對動物的 收獲量增大，從而能提高農(nóng)場主的經(jīng)濟(jì)利益。模型評價及改進(jìn)針對動物數(shù)量的預(yù)計，通過查閱相關(guān)數(shù)據(jù)信息，采用Leslie矩陣建立差分方

18、程 模型，對農(nóng)場特定動物的數(shù)量進(jìn)行了預(yù)計。一、模型的優(yōu)點(diǎn)：1、leslie模型對各種群年齡組的增長預(yù)計，能得到很好的效果，是一個成 熟的數(shù)學(xué)模型，為答案的準(zhǔn)確性提供理論依據(jù)。2、利用Matlab軟件對數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，準(zhǔn)確性較高；用Excel作出圖形簡便， 直觀、快捷。3、模型II中，從農(nóng)場長久經(jīng)營和可持續(xù)發(fā)展的角度出發(fā)，為農(nóng)場建立了一 個穩(wěn)定收獲模型，更加完善了對農(nóng)場實際狀況的分析，這樣使得模型結(jié)果，更接 近于現(xiàn)實狀態(tài)，合理性、實用性更高，以便于為農(nóng)場主提供更多有科學(xué)性的建議。二、模型的缺點(diǎn)：1、模型中的數(shù)據(jù)，來源于一道數(shù)學(xué)建模題，沒有從統(tǒng)計學(xué)的角度，取得多 組數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，模型答案的準(zhǔn)確性有待

19、于考證。2、模型沒有對農(nóng)場特定動物進(jìn)行研究，不具體。3、在模型中我們是在食物和環(huán)境條件理想的狀況下進(jìn)行的，而實際的種群 在繁殖過程中受到很多方面因素的影響，如雌性個體的影響、氣候的影響、家畜 飼養(yǎng)中飼養(yǎng)者飼養(yǎng)技術(shù)的影響等都是十分顯著的，但是模型中并沒有表現(xiàn)出這些 特性的影響效果，從而使得本模型的預(yù)測與實際生活中有些出入，因而存在一定 的誤差。三、模型的推廣：本模型在以某農(nóng)場的特定動物作為研究對象的基礎(chǔ)上，給出了農(nóng)場各年齡組 動物數(shù)量的預(yù)測，對不同的農(nóng)場和動物具有一般性、普適性。此外，模型通過對 一些實際的問題進(jìn)行求解和對一些實際數(shù)據(jù)的檢驗，可以看出此模型在一定的條 件下是可以為人們提供有效的結(jié)

20、果，能為養(yǎng)殖場的經(jīng)營者帶來些啟示，使他們做 好養(yǎng)殖計劃，以帶來更多的經(jīng)濟(jì)效益。參考文獻(xiàn)姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學(xué)模型.北京:高等教育出版社,2003姜啟源.數(shù)學(xué)模型（第一版）.北京：高等教育出版社，1987動物數(shù)量預(yù)測，/view/17cd55dbce2f0066f53322d7.htl,8.12.9:10附錄第一問：(用Matlab軟件求解動物數(shù)量的預(yù)測)X=1000 1000 1000;L=0 4 3;0.5 0 0;0 0.25 0;for n=1:3Y=L*X;disp(Y);X=Y;end第二問：(用ling o軟件求解收獲系數(shù))model:sets:row/1.3/:X,F;col

21、/1.3/;matrix(row,col):H,L;endsetsfor(row(i):sum(col(j):L(i,j)*X(j)=F(i);(1-H(1,1)*(L(1,2)*L(2,1)*(1-H(2,2) + (L(1,3)*L(2,1)*L(3,2)*(1-H(2,2) )*(1-H(3,3)=1;for(row(i):sum(col(j):L(i,j)*X(j)-X(i)=sum(col(j):H(i,j)*F(j);X(1)=1;X(2)=L(2,1)*(1-H(2,2);X(3)=L(2,1)*L(3,2)*(1-H(2,2)*(1-H(3,3) );H(1,2)=0;H(1,

22、3)=0;H(2,1)=0;H(2,3)=0;H(3,1)=0;H(3,2)=0;data:L=0 4 30.5 0 00 0.25 0;enddataend程序運(yùn)行結(jié)果如下圖（1）：V己riableValue。-ooooooVari 己 lol 已ValueX( 1)1.000000) _ 2500000X(二1.000000X f 2 )0.2005013X( 2)0.2506266x( 3)0 . oooooo000000X( 30.000000F( 1)1.002506F(二1.002506F( 2)0.5000000F( 20.6000000F( 3)0.5012531E-01F( 30.1002506H( 1. 1)0.250O0O0E-O2H(二-)0.25OO0O2E-32H( lf 2)0.000000H(二 20.000000H( lf 3)0.000000H(二 30.000000H( 2f 1)0.000000H(.0.000000H( 2f 2)0.5989975H(