2001-數(shù)一真題、答案及解析

1、2001 年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試?yán)砉?shù)學(xué)一試題詳解及評(píng)析一、填空題cos x （ c , c(1)設(shè) y ec sin x cx為任意常數(shù)）為某二階常系數(shù)線性齊次微分方程的1212同解，則該方程為.【答】y 2 y 2 y 0 .【詳解】 方法一 看出所給解對(duì)應(yīng)的特征根為1,2 1 i ，從而特征方程為 1 i , 1 i 2 2 2 0, 于是所求方程為 y 2 y 2 y 0 .方法二 將已知解代入 y by cy 0 ，得 2c . 由 于 ex sin x 與 cc cce sin x b c cx2c e cos x b c cx12121221 cc, b c cce cos

2、 x 線性無(wú)關(guān)，故b c cx 2cc 2c ，解得b 2, c 212121221顯然解法 2 較解法 1 麻煩.cos x ，求得方法三、由通解 y ec sin x cx12c cos xsin x cy ec cx1212 ex 2ccos xysin x 2c21從這三個(gè)式子消去c 與c ，得 y 2 y 2 y 012x2 y2 z2 , 則 div gradr | .1,2,2（2）設(shè)r 23.【答】【詳解】 根據(jù)定義有g(shù)radr r i r j r k x i j z kyrrr x y z r r r r2 x2r 2 y2r 2 z22r 2 2rdiv gradr r3r

3、3r3r3223div gradr |于是1,2,212 22 221 y0f x, y dx .(3)交換二次積分的積分次序：dy1221 x【答】dx0f x, y dy .1【詳解】因?yàn)? y002f x, y dx,dyf x, y dx dy111 y2D x, y | 1 y 0,1 y x 2,積分區(qū)域?yàn)橛挚蓪?D 改寫(xiě)為D x, y |1 x 2,1 x y 2,于是有1 y00220f x, y dydyf x, y dx dyf x, y dx dx111 yx2121 xf x, y dydx01(4)設(shè)矩陣 A 滿足 A2 A 4E O ,其中 E 為單位矩陣，則 A

4、E 1 .12 A 2E .【答】【答】 由題設(shè)， A2 A 4E O ，有A2 A 2E 2E ， A E A 2E 2E,1 A E A 2E E,也即211 A E A 2E 故2（5）設(shè)隨機(jī)變量 X 的方差為 2，則根據(jù)切比雪夫不等式有估計(jì) P X E X 2 .12【答】.【詳解】 根據(jù)切比雪夫不等式有 122- 2 -二、選擇題f x 在定義域內(nèi)可導(dǎo)， y f x 的圖形如右圖所示，則導(dǎo)函數(shù) y f x 的（1）設(shè)函數(shù)圖形為【 】【答】應(yīng)選（D）f x 是嚴(yán)格單調(diào)增加的，因此當(dāng) x 0【詳解】 從題設(shè)圖形可見(jiàn)，在 y 軸的左側(cè)，曲線 y f x 0 對(duì)應(yīng) y f x 圖形必在 x

5、軸的上方，由此可排除（A），（C）；時(shí)，一定有f x 的圖形在 y 軸右側(cè)有三個(gè)零點(diǎn)，因此由羅爾中值定理知，其導(dǎo)函數(shù) y f x 圖又 y 形在 y 軸一定有兩個(gè)零點(diǎn)，進(jìn)一步可排除（B）.故正確為（D）.（2）設(shè)函數(shù) f x, y 在點(diǎn)0, 0 附近有定義，且 f 0, 0 3, f 0, 0 1，則xy（A） dz|0,0 3dx dy.（B）曲面 z f x, y 在點(diǎn)0, 0, f 0, 0 的法向量為3,1,1f x, y y 0z （C）曲線在點(diǎn)0, 0, f 0, 0 的切向量為1, 0, 3- 3 -f x, y y 0z （D）曲線在點(diǎn)0, 0, f 0, 0 的切向量為3,

6、0,1【 】【答】 應(yīng)選（C）【詳解】 題設(shè)只知道一點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)存在，但不一定可微，因此可立即排除（A）；至于（B），（C）,(D)則需要通過(guò)具體的計(jì)算才能進(jìn)行區(qū)分，令 F x, y, z z f x, y ，則有, F f , F 1yyz因此過(guò)點(diǎn)0, 0, f 0, 0 的法向量為3, 1,1 ，可排除（B）；x xf x, y y 0z 曲線點(diǎn)，其中點(diǎn)0, 0, f 0, 0 的切向量為y 0f x, 0可表示為參數(shù)形式： z 1, 0, f 0, 0 1, 0, 3x故正確選項(xiàng)為（C）.（3）設(shè) f 0 0 ，則 f x 在點(diǎn) x 0 可導(dǎo)的充要條件為1（B） lim 1 f 1 eh

7、存在.f 1 cosh 存在.f h sinh 存在.（A） limh0 h2h0 h11 f 2 h f h 存在【 】（C） lim（D） lim2h0 hh0 h【答】 應(yīng)選（B）.【詳解】因?yàn)閘im 1 f 1 eh 1 eh x lim f x xln 1 xh0 hxx0在點(diǎn) x 0 可導(dǎo)，則極限 lim 1 f 1 eh 一定存在；反過(guò)來(lái)， 若f x可見(jiàn)，若 h0 hlim 1 f 1 eh 存在，則h0 hf 1 eh f 1 eh f x xhx 1 eh lim limlim1 ehhhx0h0h0f x 在點(diǎn) x 0 可導(dǎo)，因此正確選項(xiàng)為（B）.存在，即- 4 -C）,(

8、D)均為必要而非充分條件，可舉反例說(shuō)明不成立.比如， f x x , 在至于（A），（x 0 處不可導(dǎo)，但 lim 1 cosh 1lim 1 f 1 cosh limh0 h2h2h22 hh0h0 lim 1 sinhlim 1 f h sinh lim 0h0 h2h2h3h0h0均存在，可排除（A）、（C）.1, x 0f x 在 x 0 處不可導(dǎo)，但又如0, x 0lim 1 f 2 h f h lim 11 0h0 h存在，進(jìn)一步可排除（D）.hh00111000 ，則 A 與 B1 ,1（4）設(shè)110011110000（A）合同且相似（B）合同但不相似（C）不合同但相似（D）不合

9、同且不相似【 】【答】 應(yīng)選(A)【詳解】 因?yàn)锳 是實(shí)對(duì)稱矩陣，且其特征值為： 1 4, 2 3 4 0, 故存在正交矩陣Q, 使得00T AQ0000可見(jiàn)，則 A 與 B 既合同又相似.(5)將一枚硬幣重復(fù)擲 n 次，以 X 和Y 分別表示正面向上和反面向上的次數(shù)，則 X 和Y 的相關(guān)系數(shù)等于12（A）-1（B）0（C）（D）1【 】- 5 -h sinh1 cosh【答】 應(yīng)選（A）【詳解】 設(shè) X 和Y 分別表示正面向上和向上的次數(shù)，則有Y n X ，因此 X 和Y 的相關(guān)系數(shù)為 r 1arctan ex三、求dxe2 x【詳解】arctan ex1d ee2 xdx arctan e

10、 2x2 x1 dexarctan e e2 xxe1 e 2 2 x2 x 1 ex arctan ex C22四、設(shè)函數(shù) z f x, y 在點(diǎn)1,1 處可微，且ddx3 x|求x1 1f 1,1 1,【詳解】由題設(shè)，有 d x dx d 3 x| |x23dxx1x1 3 2 x f x, f x, x f x, f x, x f x, x xyx 31 2 32 3 51f x, xy|x111n 0n1f x ，試將 f x 展開(kāi)成 x 的冪級(jí)數(shù)，并求級(jí)數(shù)五、設(shè)x1 4n21, x 0的和.11x 1,1【詳解】 因- 6 -nxx 1,1arctan x arctan故0n1于是n

11、1 nx2n2fn 1n1n11n1n 1 x2n x2nn1 2n 1n1 2n 12 1n2n 1 1 n1x2n , x 1,11n411n1 f 1 1 2.2因此1 4n2六、計(jì)算 I L y z dx 2z x dy 3x y dz ，其中 L 是平面 x y z 2 與222222x 1的交線，從 z 軸正向看去， L 為逆時(shí)針?lè)较?y柱面【詳解 1】記 S 為平面 x y z 2 上 L 所圍成部分的上側(cè)， D 為 S 在 xOy 坐標(biāo)面上的投影.由公式得I 2 y 4z dydz 2z 6x dzdx 2x 6 y dxdyS23 4x 2 y 3z dS S 2 x y 6

12、dxdyD 12 dxdyD 24.公式，取平面 x y z 2 被 L 所圍成的部分為 S ，按斯【詳解 2】轉(zhuǎn)換投影法.用托克斯公 式的規(guī)定 ，它的方 向向上， S 在 xOy 平面上 的投影域 記為 1. S 為 z 2 x y, z 1, z 1, 于是D, D x, y |x yxy- 7 -I y z dx 2z xdy 3x ydz222222 L 2 y 4z dydz 2z 6x dzdx 2x 6 y dxdyS z , z dxdy 2 y 4z, 2z 6x, 2x 2 y xy ,1S 24x 2 y 3z dxdy 2 x y 6dxdyS 12 dxdy 24DD

13、其中 x y dxdy xdxdy ydxdy 0 0 0 ，用得性質(zhì)：x 為 x 得奇函數(shù)，D 對(duì)DDD稱于 y 軸； y 為 y 的奇函數(shù)， D 對(duì)稱于 x 軸；積分均應(yīng)為零.【詳解 3】降維法，取 S 如解法 1 中定義，代入 I 中，I y2 2 x y 2 dx 2 2 x y 2 x2 dy 3x2 y2 dx dy L1 y2 4x2 4xy 4x 4 y 4dx 3y2 2x2 8xy 8x 8 y 8dy L1公式 2 x y 6dxdy 24D其中， L1 為 L 在 xOy 平面上投影，逆時(shí)針.【詳解 4】逐個(gè)投影法，由公式I1 2 y 4z dydz 2 y 2z dy

14、dz,SD其中 Dyz y, z | 2 y z得到 Dyz 的 4 條邊的方程： 1, 分別令 y 0, y 0, 2 y z 0, 2 y z 0, 可y右： 2 y z 3 ；上： z 3 ；左： 2 y z 1；下： z 1.1 3 z 3 y 2z dy 16于是 I 2dz2111 z 12類(lèi)似地， I2 22 3xdzdx 8SI3 2 x y dxdy 0 （S、偶數(shù)及對(duì)稱性）I I1 I2 I3 24- 8 -【詳解 5】x 1, z 2 x y參數(shù)法. L :y當(dāng) x 0 ， y 0 時(shí)， L1 : y 1 x, z 2 x y, x 從 1 到 0.y z dx 2z x

15、dy 3x ydz222222L1021 x1 2 x211 7 .3當(dāng) x 0, y 0, L2 : y 1 x, z 1 2x, x 從 0 到-112x 4 3L 02當(dāng) x 0, y 0, L3 : y 1 x, z 3, x 從1 到 079302x 2x 26 dx 2L31當(dāng) x 0, y 0, L4 : y x 1, z 3 2x, x 從 0 到 11L18x 12 dx 3.04I L L 24LLL1234f x 在1,1 內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且 f x 0, 試證：七、設(shè) y 于1,1 內(nèi)的任意 x 0, 存在唯一的 x0,1 ，使 f x f 0 xf x x（1）對(duì)成

16、立；12（2） lim x .x0【詳解 1】非零 x 1,1 ，由f x f 0 xf （1）日中值定理得 1f x 0, 所以 f x 在 1,1f x 在 1,1因?yàn)閮?nèi)連續(xù)且內(nèi)不變號(hào)，不妨設(shè)f x 0 ，則 f x 在1,1 內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)且增加，故唯一.- 9 -（2）對(duì)于非零 x 1,1 ，由拉格朗日中值定理得 1f x f xf 于是有f x x f 0f x f 0 f 0 xxx2上式兩邊取極限，得f x x f 0左端 limf x f 012f 0右端 lim2xx012lim x .故x0【詳解 2】（1） 同【詳解 1】.（2） 由泰勒公式得f x f 0 f 0 x 1

17、f x2 , 在 0 與 x 之間2所以xf x x f x f 0 f 0 x 1 f x2 ，2從而f x x f 0 x x1 x f ,2f x x f 0 x x 0 ， lim f x lim f f 0由于limf 0 x0 x012lim x .故x0【詳解 3】（1） 同【詳解 1】.f x 0, 故 f x 存在單值連續(xù)可導(dǎo)的反函數(shù)，記為 x, 則有（2） 因- 10 - f 0 , f x f 0 lim 0,所以xx0 f x f 0 f 0 xf x f x f 0 limx2xxf x f 0 lim2xx0 1 f 0 f 02但因 f x x ，兩邊對(duì) x 求導(dǎo)

18、，有 f x f x 1，以 x 0 代入，1lim x .于是有2x0【詳解 4】（1） 同【詳解 1】.f x, 將 f x x 再展開(kāi)，有f 0 x x o x xf x f 0 （2） 由f x x 代入上式，得f 0 f 0 x x2 o f x f 0 f 0 x x所以f x f 0 f 0 x o f 0 x x 令 x 0 取極限，f x f 0 f 0 x12f 0limx2x0o x x2lim 0.x0- 11 -八 、 設(shè)有 一高度為 h t t為時(shí)間 得雪堆再 融化過(guò)程 中，其側(cè) 面積滿足 方 程2 x2 y2 h t z h t （設(shè)長(zhǎng)度為厘米，時(shí)間為小時(shí)），已知

19、體積減少的速率與側(cè)面積成正比（比例系數(shù) 0.9），問(wèn)高度為 130 厘米）的雪堆全部融化需多少小時(shí)？【詳解】記V 為雪堆體積， S 為雪堆的側(cè)面積，則V 0dz ht dxdyx2 y2 1 ht 2 ht z2 12h t 2 h t h t z dz0 h3 t 41 z 2 z 2 dxdyS xyh2 t 2x y 2 216 x2 y2 h2 t 1dxdyh2 t 22 2x y 12ht 2h t h2 t 16r2 rdr2013 h2 t 12dh t dVdt1310 0.9S t , 將上述V t 和 S t 代入，得 由題意知dt1310h t t C解得由 h 0 1

20、30, 得h t 13 t 130.10令 h t 0 得t 100 （小時(shí)）.因此高度為 130 厘米得雪堆全部融化所需要時(shí)間為 100 小時(shí).九 、 設(shè) 1,2 ,L,s為 線 性 方 程 組 Ax 0 的 一 個(gè) 基 礎(chǔ) 解 系 ，- 12 -1 t11 t22 , 2 t12 t23,L, s t1s t21, 其中 t1 , t2 為實(shí)常數(shù).試問(wèn) t1, t2 滿足什么關(guān)系時(shí)， 1, 2 ,L, s 也為 Ax 0 的一個(gè)基礎(chǔ)解系.【詳解】由于1,2 ,L,s 為均為1,2 ,L,s 的線性組合，所以1,2 ,L,s 為均為 Ax 0 的解.下面證明 1, 2 ,L, s 線性無(wú)關(guān).

21、設(shè)k11 k22 L kss 0t1k1 t2ks 1 t2k1 t1k2 2 L t2ks1 t1ks s 0即由于1,2 ,L,s 線性無(wú)關(guān)，因此其系數(shù)全為零，即 t1k1 t2ks 0 t k t k 02 11 2Mt2ks1 t1ks 0其系數(shù)行列式t1 t20t1000L L Mt2000Mt1 1ts t stt2112M0M0M0 1ts 0 ，即當(dāng) s 為偶數(shù)， t t ；當(dāng) s 為奇數(shù)， t t 時(shí)，上述方程組可見(jiàn)，當(dāng)ts121212只有零解 k1 k2 L ks 0 ，因此向量組 1, 2 ,L, s 線性無(wú)關(guān)，從而 1, 2 ,L, s 也為 Ax 0 的一個(gè)基礎(chǔ)解系.

22、十、已知 3 階矩陣 A 與三維向量 x, 使得向量組 x, Ax, A2 x 線性無(wú)關(guān)，且滿足A3x 3Ax 2 A2 x（1） 記 P x, Ax, A2 x, 求 2 階矩陣 B, 使 A PBP1;A E（2） 計(jì)算行列式.【詳解】- 13 -（1）方法一：因?yàn)锳x AxA Ax A2 xA A2 x A3x 3Ax 2 A2 x于是綜合上述三式有，Ax, Ax, A2 x Ax, A2 x, A3x Ax, A2 x, 3Ax 2 A2 x00010 3 , x, Ax, A x120200 0即AP P 103 PB0120000 也即 A PBP1; 其中 B 13 012方法二

23、：a1a3 a2 b設(shè)bb , 則由 AP PB 得3 c3 12c2c1a1a2 ba3 ,Ax, A x, A x x, Ax, A xb232b3 12c2c1c3 上式可寫(xiě)成Ax a x b Ax c A2 x,(1)(2)(3)111A2 x a x b Ax c A2 x,222A3x a x b Ax c A2 x,333將 A3x 3Ax 2 A2 x 代入（3）式得3Ax 2 A2 x a x b Ax c A2 x（4）333由于 x, Ax, A2 x 線性無(wú)關(guān)，故- 14 -a1 c1 0, b1 1;由（1）式a2 b2 0, c1 1;由（2）式a3 0, b3 0, c3 2;由（4）式故00 00B 13 012方法三：將 A3x 3Ax 2 A2 x 改寫(xiě)成A A2 x Ax 3 A2 x Ax故1 3 為 A 的特征值， A2x Ax 為屬于-3 的特征向量；2 1 為 A 的特征值， A2x 3Ax 為屬于 1 的特征向量； 0 為 A 的特征值， A2 x 2 Ax 3Ax 為屬于-3 的特征向