工程力學第13章-壓桿穩(wěn)定課件

1、第13章 壓桿穩(wěn)定13.1壓桿穩(wěn)定性的概念在第6章中討論壓桿的強度計算時,認為桿總是在直線形狀下保持平衡,桿的失效都是由于強度不足而引起的。事實上,這種考慮僅對于粗短的壓桿才有意義。對于細長的壓桿,在其破壞以前,就已不能保持其原有的直線形狀的平衡,即本篇引言中所述的失穩(wěn)。構(gòu)件一旦失穩(wěn),可能導致整個承載系統(tǒng)或結(jié)構(gòu)不能安全可靠的工作,甚至會造成嚴重的后果。為了進一步介紹有關(guān)壓桿穩(wěn)定性的概念,現(xiàn)研究一根理想狀態(tài)下的等直細長壓桿,此壓桿由均質(zhì)材料制成,在兩端受軸向壓力F作用(圖13-1a)。設(shè)此桿在F力作用下處于直線形狀的平衡狀態(tài)。如果對桿施加一微小橫向力,則壓桿將發(fā)生彎曲變形。若壓桿在彈性階段內(nèi)工作

2、,則當橫向力撤除后,壓桿將隨軸向壓力F的大小不同而會出現(xiàn)兩種不同的情況:當壓力F未達到某一界限值時,已變彎的壓桿會在橫向力撤除后自行恢復到原來的直線形狀(圖13-1b);但當壓力F超過某一界限值后,則已變彎的壓桿將在橫向力撤除后,不能再恢復到原來的直線形狀(圖13-1c)。前一情況表明,壓桿的原有直線形狀的平衡是穩(wěn)定的,而后一情況則表明壓桿的原有直線形狀的平衡是不穩(wěn)定的。由上述可見,此細長壓桿在直線形狀下的平衡是否穩(wěn)定,與壓力F的大小有關(guān)。當軸向壓力由小逐漸增大到某一界限值時,壓桿在直線形狀下的平衡將由穩(wěn)定的過渡到不穩(wěn)定的。上述過渡,使壓桿的直線平衡形式發(fā)生質(zhì)的變化,它具有臨界狀態(tài)的性質(zhì),故軸

3、向壓力F的這一界限值,稱為壓桿的臨界力,用Fcr表示。當軸向壓力達到此值時,壓桿即向失穩(wěn)過渡。所以,對于壓桿穩(wěn)定性的研究,其關(guān)鍵在于確定壓桿的臨界力。為了確定臨界力的大小,現(xiàn)在研究如圖13-2所示的長為l0、兩端為球形鉸支座的細長壓桿AB。設(shè)此壓桿受軸向壓力Fcr作用而在微彎的變形形狀下保持平衡。如前所述,壓桿在臨界力作用下,原有直線形狀的平衡將從穩(wěn)定過渡到不穩(wěn)定,也就是說,在臨界力作用下,壓桿就開始有可能在微彎的形狀下保持平衡。因此,可以認為使壓桿在微彎的形狀下保持平衡的最小F值,就是此細長壓桿的臨界力Fcr。要確定此臨界力的值,應從研究壓桿在微彎形狀下的撓曲線著手。如果桿內(nèi)的應力不超過材料

4、的比例極限,就可以利用梁彎曲變形的公式來寫出此壓桿撓曲線的近似微分方程式,即13.2細長壓桿的臨界力13.2.1兩端鉸支約束細長壓桿的臨界力式中,Fcr是不考慮正負號的數(shù)值,而在圖13-2所選擇的坐標系內(nèi),當壓桿的撓曲線向下凸出時,w為負值;而為正值,如果撓曲線向上凸出,則w為正值,而 為負值。為了使等式兩邊的符號一致,所以在式(a)的右邊加上了負號。若令 ,則經(jīng)過移項后,式(a)可改寫為式中,積分常數(shù)A、B以及 是未知量。這里的k之所以是個未知量,是因為現(xiàn)在還不知道Fcr的大小。根據(jù)桿端的邊界條件:當x=0時,w=0,代入式(c)可以解得B=0。于是式(c)可改寫為w=Asinkx(d)桿的

5、另一端的邊界條件:當x=l0時,w=0,代入式(d)后得Asinkl0=0(e)由式(e)可知,A或sinkl0應等于零。但若A=0,則壓桿軸線上各點的撓度都等于零,這與壓桿在微彎的變形形狀下保持平衡的前提相矛盾;因而只能是sinkl0等于零。滿足這一條件的kl0值應為kl0=n式中,n=0、1、2。由此得或使壓桿失穩(wěn)的最小軸向壓力應該在式(f)中取n=1。這就是所求的壓桿的臨界力Fcr,其計算公式為式(13-1)通常又稱為兩端鉸支細長壓桿的歐拉公式。在工程實際中,將遇到不同形式的桿端約束。要計算這些壓桿的臨界力Fcr,須依具體情況作具體分析。以圖13-4所示長為l、下端固定、上端自由的圓截面

6、直桿為例,當作用力F小于臨界力Fcr時,受橫向干擾后,桿在微彎位置AC保持平衡。將曲線AC對稱于m-m向下延長得CB,則ACB曲線就和圖13-2所示的AB曲線完全相似,都是正弦曲線的半波。于是長為l、一端固定、一端自由的壓桿的臨界力,就可以按兩端鉸支細長壓桿的臨界力公式(13-1)來計算,但是,須將公式中的桿長l0用AB的長度2l來代替,即令l0=2l,代入公式(13-1)得依上討論推知:長為l,桿端具有各種約束的細長桿的臨界力,可統(tǒng)一表達為式中,稱為長度因數(shù),它反映了各種不同支承情況對臨界力的影響;l稱為計算長度。13.2.2其他約束情況下細長壓桿的臨界力從公式(13-2)可知,臨界力Fcr

7、的大小,與壓桿材料的彈性模量E、桿的計算長度l、截面對中性軸的慣性矩I值有關(guān)。幾種常見的理想桿端約束情況的值列于表13-1中。從表中可以看到,兩端都有支座的壓桿,其長度因數(shù)在0.5到1.0的范圍內(nèi)。在實際情況中,壓桿的桿端很難做到完全固定,只要桿端截面稍有發(fā)生轉(zhuǎn)動的可能,這種桿端就不能看成是理想的固定端,而是接近于鉸支端的情況,因此在設(shè)計中,常將壓桿的長度因數(shù)取為接近于1.0的值,而使臨界載荷偏于安全方面。在各種實際的桿端約束情況下,壓桿的長度因數(shù)在一般的設(shè)計規(guī)范中都有具體的規(guī)定。由于習慣上常用應力來計算,我們也可以用臨界力除以截面面積得出cr稱為臨界應力,單位為Pa。若將慣性矩I=i2A代入

8、式(13-3),便得到臨界應力的公式式中, , 稱為慣性半徑,它是表示截面尺寸和形狀的另一個幾何量; ,稱為壓桿的柔度,它是壓桿的計算長度l與慣性半徑i之比,故又稱長細比,它是一個量綱為一的量,可以綜合地反映桿長、支承情況及桿的截面尺寸和形狀等結(jié)構(gòu)因素對臨界力的影響。對于一定材料制成的壓桿,2E是常數(shù),因此壓桿的臨界應力與柔度的平方成反比,而壓桿也總是在柔度大的彎曲平面內(nèi)失穩(wěn)。13.3歐拉公式的應用范圍臨界應力總圖13.3.1臨界應力與柔度在臨界力公式的推導中,我們曾用到公式=。但此式只在彈性范圍內(nèi)才能成立,所以當臨界應力不超過比例極限p時,公式(13-4)才是正確的,即必須所以令式中,p是與

9、比例極限相應的柔度。例如,Q235鋼E=206GPa,p=200MPa,所以也就是說,對于Q235鋼制成的壓桿,只有當100時,才能用公式(13-4)計算臨界應力。表13-2中列出了一些材料的p值。p的壓桿稱為細長桿(又稱大柔度桿)。它的破壞是由于彈性范圍內(nèi)的失穩(wěn)所致。13.3.2歐拉公式的應用范圍壓桿的柔度越小,則它抵抗失穩(wěn)的能力越大。實驗指出,當壓桿的柔度小于某一數(shù)值s(即相應于屈服極限值的柔度。例如,對于Q235鋼,s=61.6),其破壞與否主要決定于強度,它的承載能力取決于強度指標(如第6章所述)。柔度s的壓桿稱為粗短桿(又稱小柔度桿)。工程中常用桿件的柔度是界于p與s之間的中長桿(又

10、稱中柔度桿),它的破壞主要是由于超過彈性范圍的失穩(wěn)所致。對于這類中長桿,人們也曾進行過不少研究,提出了各種不同的計算公式:如直線公式、拋物線公式等。計算臨界應力的直線公式的形式如下cr=a-b(ps)(13-5)式中,a、b和s的數(shù)值因材料不同而異,表13-2中列舉了某些材料的數(shù)據(jù)。綜上所述,可將各類柔度壓桿的臨界應力計算公式歸納如下1)對于細長桿(p),用歐拉公式2)對于中長桿(ps),用直線公式cr=a-b13.3.3中小柔度桿的臨界應力3)對于粗短桿(s),用壓縮強度公式cr=s(屈服極限)若將以上三種柔度范圍內(nèi)的臨界應力與柔度間的關(guān)系在cr-坐標系內(nèi)繪成圖線,所得到的圖線就稱為壓桿的臨

11、界應力總圖。對于塑性材料制成的壓桿,其臨界應力總圖如圖13-5所示。從圖中可以看出,對于由穩(wěn)定性控制的細長桿和中長桿,它們的臨界應力都隨壓桿柔度的增加而減小;對于由壓縮強度控制的粗短桿,一般不考慮柔度對臨界應力的影響。前節(jié)討論了壓桿在各種柔度下的臨界應力?，F(xiàn)在來研究怎樣進行壓桿穩(wěn)定性的校核。在機械工程中,壓桿的穩(wěn)定校核,通常采用安全因數(shù)進行校核,即式中,、F分別為壓桿的工作應力和工作壓力;nst為壓桿工作時的實際穩(wěn)定安全因數(shù);nst為規(guī)定的穩(wěn)定安全因數(shù)。由于桿的初曲率、載荷的偏心、材料的不均勻等因素對壓桿的臨界力影響較大,所以規(guī)定的穩(wěn)定安全因數(shù)nst應取得大些。必須指出,截面有局部削弱(如油孔

12、、螺釘?shù)?的壓桿,除校核穩(wěn)定外,還必須作強度校核,在校核強度時,A為考慮了削弱的橫截面的凈面積。而壓桿保持穩(wěn)定性的能力,是對壓桿的整體而言的,截面的局部削弱,對臨界力數(shù)值的影響很小,可以不必考慮,所以,在穩(wěn)定計算中,A為不考慮削弱的橫截面面積。綜上所述,穩(wěn)定校核的步驟如下:13.4壓桿穩(wěn)定性的校核1)根據(jù)壓桿的實際尺寸及其支承情況,分別計算其在各個彎曲平面內(nèi)彎曲時的柔度,從而得出max。2)根據(jù)最大柔度max,確定計算該壓桿的臨界應力公式,然后算出其cr值,或Fcr值。3)利用式(13-6)對壓桿進行穩(wěn)定校核。從式(13-4)、式(13-5)可知,提高壓桿承載能力可以從下列兩方面入手。1.材料

13、對于p的細長壓桿,臨界應力 制成壓桿的材料的彈性模量E大,則壓桿的臨界應力cr大,故選用E值較大的材料能提高細長壓桿的穩(wěn)定性。但由于壓桿的臨界應力cr值與材料的強度指標無關(guān),故在E值相同的材料中,就沒有必要選用高強度材料,例如,合金鋼與普通碳鋼的E都在200GPa左右,若選用合金鋼作細長壓桿,除造成浪費外,是沒有意義的。對于中長桿,從圖13-5可以看到,屈服極限及比例極限的增長引起了臨界應力cr的增長,故選用高強度鋼能提高中長壓桿的穩(wěn)定性。2.柔度對于一定材料制成的壓桿,其臨界應力與柔度 的平方成反比,柔度越小,穩(wěn)定性越好。為了減小柔度,在可能的條件下可以從下列幾方面采取措施:1) 改善支承情

14、況因壓桿兩端固定得越牢固,值越小,計算長度l就越小,它的臨界應力就越大,故采用值小的支座形式,可以提高壓桿的穩(wěn)定性。但實際上很難達到理想固定端情況。13.5提高壓桿穩(wěn)定性的措施2) 在其他條件相同的情況下,桿長l越小,則越小,臨界應力就越高如圖13-8a所示兩端鉸支的桿,若在桿中點增加另一鉸鏈支座(圖13-8b),則其長度為原來的一半,柔度即為原來的一半,而其臨界應力成為原來的四倍。3) 選擇合理的截面形狀當壓桿兩端在各個彎曲平面的約束條件相同時(即值相同),則它的失穩(wěn)總是發(fā)生在最小剛度平面內(nèi)。因此當截面面積一定時,使Iz=Iy,并且盡可能地使I值大些,可以提高其抗失穩(wěn)的能力。例如圖13-9所示截面面積相同的各圖中,圖13-9b