工程振動測試技術05-第5章-數(shù)字信號分析(1)傅里葉分析課件

1、工程振動測試技術劉習軍 教授天津大學機械工程學院力學系第5章 數(shù)字信號分析(1)傅里葉分析 數(shù)字信號分析是振動測試中的一種重要方法，也是近年來測試技術的發(fā)展方向。將模擬信號進行轉化成數(shù)字信號（A/D轉換），依據(jù)快速傅里葉變換(FFT)理論進行數(shù)據(jù)分析，可進行實時分析，可處理非平穩(wěn)信號。 特點：精度高，速度快，容易實現(xiàn)。5.1 基本知識5.1.1 概述 信號分析是將一復雜信號分解為若干簡單信號，然后分別對這些信號分量的特性進行分析。 這樣的分解，可以抓住信號的主要成分進行分析，使復雜問題簡單化。實際上，這也是解決所有復雜問題最基本、最常用的方法。 信號分析中一個最基本的方法是：把頻率作為信號的自

2、變量，在頻域里進行信號的頻譜分析。 信號的頻譜主要有兩類：幅值譜和相位譜。 自然界的信號都有“特征頻譜”，頻譜也可以用于機器部件的故障診斷。當機器部件產(chǎn)生疲勞或裂縫時，其頻譜發(fā)生改變，與正常頻譜相比較，即可實現(xiàn)對故障的診斷，避免事故發(fā)生。 同理，可用于人體疾病的監(jiān)測和診斷。1. 周期性信號 周期信號的數(shù)學形式可采用傅里葉級數(shù)展開的形式 周期信號的幅頻曲線圖如圖所示。式中 為基頻；2. 準周期信號 準周期信號的數(shù)學形式為 如果上式中的任意兩個頻率fm/fn 之比不等于有理數(shù)，如圖所示的非周期信號的離散譜。則稱為準周期信號。例如 因為2/ 和3/ 不是有理數(shù)（基本周期無限長），所以稱為準周期信號，

3、但經(jīng)測試而得到的頻譜仍然為離散譜 。3. 非周期信號 非周期信號屬于瞬變型數(shù)據(jù)。它有一個重要特征，就是不能用離散譜加以表示。從數(shù)學上講，它不能表達為傅里葉級數(shù)，只能表示為傅里葉積分的形式，即一般在有限時間T內，可進行即時頻譜密度計算 5.1.2 振動信號的特征值 在振動信號處理中常用統(tǒng)計函數(shù)來描述它的基本特性，即均方值、自相關函數(shù)和自功率譜密度函數(shù)。這里，均方值提供了數(shù)據(jù)強度方面的描述；自相關函數(shù)和功率譜密度函數(shù)等分別在時域和頻域上提供了有關信息。 此外，在不少場合下還要描述兩個或幾個振動信號之間的一些相互特性，以確定它們各個振動信號之間的相互關系。如：互相關函數(shù)和互譜密度函數(shù)，它們分別描述了

4、各振動信號在幅值域與時域和頻率域上的有關相互關系。用以描述振動過程不變(靜止)的分量。1、均方值(1)均值 在時間歷程T內的振動信號x(t)所有值的算術平均值，稱為均值。表達式為 均方值x2描述了振動信號的平均能量或平均功率。均方值的正平方根x稱為均方根值或有效值。(2)均方值 在時間歷程T內，振動信號x(t)平方值的算術平均值，稱為均方值。表達式為 2、自相關函數(shù) 振動信號的自相關函數(shù)是描述在一個t時刻的信號與另一個t+時刻的信號之間的依賴關系。表達式為特點： 自相關函數(shù)Rx值可正可負，且在=0時，為最大值 Rxx(0)=x2 （均方值） 隨機噪聲的自相關函數(shù)為0， 周期性分量的自相關函數(shù)不

5、為零。 振動信號在單位帶寬f 內的平均功率稱為自功率譜密度函數(shù)Gxx(f)，即3、功率譜密度函數(shù) 功率譜是用以表示振動信號在某頻段的能量成分，振動信號在時間歷程T內的平均功率為， 功率譜密度函數(shù)與自相關函數(shù)互為正、逆傅里葉變換： 傅里葉變換對同理，振動信號的互功率譜密度函數(shù)定義為： 互譜密度函數(shù)一般是復數(shù)形式，即 實部Exy(f)稱為共譜密度函數(shù)；虛部Qxy(f)稱為重譜密度函數(shù)。 4、相干函數(shù) 相干函數(shù)是一個在頻域中描述兩個振動信號相關特性的函數(shù)。其定義為 如果在某個頻域上xz2()=0，則x(t)和y(t) 在此頻率上是不相干的； 如對所有頻率的xz2()=0 都成立，則x(t)和y(t)

6、 在統(tǒng)計意義上是獨立的。 相干函數(shù)在工程上也有許多應用: 檢驗互譜和傳遞函數(shù)測量的有效性，在相干函數(shù)為1時，充分有效。 確定許多單獨信號源對一給定測點信號的貢獻大小，2 越大，說明由x(t)引起的y(t)的成分越大。2 =1 表示y(t)全部由x(t)引起。2 =0表示y(t)全部由噪聲n(t)所引起。因而，可以用來分離噪聲。 5、倒頻譜分析 倒頻譜定義為功率譜函數(shù)的對數(shù)logGxx(f) 的功率譜。若時間歷程函數(shù)為x(t)，則倒功率譜為 若利用功率譜密度函數(shù)還不能把有關信號分析出來，則對功率譜密度函數(shù)再作一次譜分析，就能把有關信號分離出來，這就是倒頻譜分析。 某機器的齒輪箱修理前后的振幅譜有

7、一定差別，但不突出，特性不明顯。但倒頻譜中可看到修理后，振動信號大幅度地變小了。 修理前、后的振幅譜 修理前、后的倒頻譜其中，an和bn為傅里葉級數(shù)的系數(shù)，分別為5.2 傅立葉變換 復雜周期振動信號數(shù)據(jù)可按公式展開成傅里葉級數(shù)，如.傅立葉系數(shù)anbn如圖所示 傅里葉系數(shù)圖 根據(jù)歐拉公式得代入上式整理得 傅里葉變換對其中： X(nf1)在正負頻率上都有定義，只有在正頻率上有物理定義。 X(nf1)稱為x(t)的傅里葉變換，是一個復數(shù)，因此它也可以表示為傅里葉變換對 如果x(t)不是周期函數(shù)，那么在時間t的有限區(qū)間tt0，t0+T內，傅立葉級數(shù)及傅立葉系數(shù)的公式仍然成立： 它表明：在有限時間區(qū)間上

8、一個復雜波可以分解成為無限個簡諧波。 下面討論非周期函數(shù)x(t)在無限時間區(qū)間(-，+)的分解。先考察有限區(qū)間-T/2，T/2。由復雜周期函數(shù)的傅立葉變換 在傅立葉級數(shù)中1/T就是基頻f1，它也等于譜線間隔大小f，故有 2、非周期函數(shù)的傅立葉變換代入上式當T時，fdf 對nf1求和變成對f積分。得 此式稱為傅立葉積分，要求滿足絕對可積條件。 傅立葉積分可看作傅立葉級數(shù)的推廣，是非周期函數(shù)在無限區(qū)間上的分解，得到的頻率分量是連續(xù)頻譜。由此可得傅里葉變換對5.3 有限離散傅立葉變換周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開為非周期函數(shù)的傅里葉積分為以上是對于連續(xù)函數(shù)的傅立葉變換傅里葉變換對傅里葉變換對 對于離散函數(shù)

9、的傅立葉變換，只能在有限長度上進行，設有限長度為原始信號的時間周期長度為T，采樣點數(shù)為N，則t=kt，采樣時間間隔為tT/N，采樣頻率為fs=1/t ，頻率間隔為f=1/T，fn=nf，fm=(N/2) f 因此，這種周期信號的計算，只需取時域一個周期的N個抽樣和頻域一個周期的N個抽樣。則連續(xù)的周期函數(shù)的變換關系為：則離散的周期函數(shù)的變換關系為：將代入采樣、離散后的計算結果示意圖對于非周期信號x(t)的傅里葉變換關系式為 正變換和逆變換都是連續(xù)函數(shù)，但是，在計算處理時，當x(t)是周期函數(shù)時，T就是其周期，當x(t)不是周期函數(shù)時，T就是截斷的樣本長度，其變換關系仍然為。傅里葉變換對傅里葉變換

10、對 傅立葉積分變換對的離散表達式與傅立葉級數(shù)的離散表達式相同。 從式中可以看出，若計算某一個頻譜Xn，則需進行xk與e-j2nk/N的N次復數(shù)乘式運算和N1次的復數(shù)加法運算。若將N個頻譜全部計算完，則需： 復數(shù)乘法運算N2次， 復數(shù)加法運算N（N1）次。 若N=1024（210），計算2096128次復數(shù)運算。時間長，無法實時分析。.4 快速傅立葉變換（FFT） 快速傅立葉變換法的基本思想是巧妙地利用復指數(shù)函數(shù)的周期性、對稱性，充分利用中間運算結果，使計算工作量大大減少。 步驟： 對時域xi進行分解。將一長時間序列分解成比較短的子時間序列，子時間序列再繼續(xù)分解成更小的子時間序列，遞推下去直到最

11、后得到一個最簡單的子時間序列：一個數(shù)為止。利用傅氏變換計算公式對最后得到的最簡單的子時間序列的進行傅里葉變換。條件：為滿足分解和組合的需要，時間序列的長度必須滿足N=2P（P為整數(shù)）的關系。以N=8為例，時間序列如圖示，時間序列的分解示意圖將各子時間序列的傅里葉變換結果按一定規(guī)則進行組合。最后便得到原時間序列的傅里葉變換結果。 將原時間序列分解為兩個子序列，偶數(shù)排成一個序列，用yk表示。奇數(shù)排成一個序列，用zk表示。兩個子序列長度均為4。 將兩個子時間序列yk和zk進行傅立葉變換得 k=0,1,2,(N/2) 1 n =0,1,2(N/2)1 為建立兩個子時間序列的頻譜與原時間序列頻譜之間的關

12、系，現(xiàn)將原時間序列的傅立葉變換計算公式的偶數(shù)項和奇數(shù)項分開寫出，則有將子時間序列代入得 如果僅用n=0，1，（N/2）1來計算Xn的全部值，并注意到 ,則有n=0，1，2，（N/2）1n=0，1，2，（N/2）1復變量W稱為“旋轉因子”。將W代入上式得令n=0, 1, 2,(N/2)1（a） 同理，重復前面的方法，將yk和zk再分成更短的子序列，即1/4子序列。依此類推，可得到1/8子序列，一直到1/2p子序列，對于N=2P的時間序列，則最后每個子序列只包含有一項，而單項的傅里葉變換就等于它自己。即N=1,K=0,n=0(b) 將每一項最簡子序列進行傅里葉變換，然后再進行組合，最后可得到原時間

13、序列的傅里葉變換結果。因此，（a）、(b)式稱為快速傅里葉變換的基本計算迭代公式，此計算方法稱為FFT算法。該法的復數(shù)計算次數(shù)只有 （乘法） （加法）以N=1024為例，原為2096128次（兩百多萬次）。 現(xiàn)為15360次（一萬五千多次），運算次數(shù)減少（136倍）。下面以N=22的時序為例來說明快速傅里葉變換的計算過程，如圖所示，原時間序列yk經(jīng)兩次分解后得到4個單項子序列，然后利用（b）式對單項子序列進行傅里葉變換，將其結果再利用（a）式進行兩次組合，就得到了原時間序列的傅里葉變換結果。具體計算過程為（2）兩個1/2子序列的傅里葉變換（1）根據(jù)（b）式4個單項1/4子序列的傅里葉變換為 T

14、0=x0U0=x2V0=x1Q0=x3即單個數(shù)值的傅里葉變換就是它本身。根據(jù)式（a），得此時：（3）原時序頻譜計算則有此時： 上述這種計算過程稱為蝶形計算，可用蝶型交叉圖來表示。 每個蝶型有四個數(shù)據(jù)點，上面兩個是參加計算的數(shù)據(jù)，下面兩個是計算的結果，箭頭表示參加計算的數(shù)與結果之間的聯(lián)系，蝶型的一邊寫上“旋轉因子”數(shù)W。不管N有多長，其蝶型計算流程圖是一樣的。蝶型交叉圖 在蝶形計算中，數(shù)據(jù)是按它的奇偶位置來排列的，每進行一次計算都要排列一次。以N=16為例來說明排列情況，因為N=24，故共有4排，數(shù)據(jù)前后共排列了4次，排列情況如表所示。以上是針對時域離散化后所進行的快速傅立葉變換，對于傅立葉逆變

15、換，同理可進行在頻域離散化的快速傅立葉逆變換。5.5 頻率混淆與采樣定理 離散信號傅里葉變換的優(yōu)點：速度快，實時分析。頻率分辨率、分析精度高。功能多，時域分析、頻域分析、模態(tài)分析等。使用方便，由專用的分析儀或計算機完成。 問題：（1）無限長連續(xù)信號截斷的離散信號經(jīng)傅里葉變換后的結果是否相同?（2）采樣及截斷后所產(chǎn)生的問題？ 要把連續(xù)模擬信號轉換為離散數(shù)字信號，需要對連續(xù)模擬信號的時間歷程進行采樣。采樣就是將連續(xù)模擬信號轉換成離散數(shù)字信號。并且保證離散后的信號能唯一確定原連續(xù)信號，即要求離散信號能恢復成原連續(xù)信號。 1. 采樣定理 采樣就是將連續(xù)模擬信號轉換成離散數(shù)字信號。但必須滿足一定的條件，

16、這個條件就是采樣定理： 采樣頻率fS必須大于被分析信號成份中最高頻率fm值的兩倍以上，即：離散信號才能在一定程度上代表原信號。 采樣定理 采樣定理原信號 離散信號 t是采樣時間間隔。fm稱為被分析信號的最大頻率，一般由經(jīng)驗確定。物理概念:為保證信號頻率不變，即唯一確定，則在一個周期必須多于兩個點。 如果采樣頻率太低，采樣點太少，在一個周期內少于兩個點，以致不能復現(xiàn)原信號。就出現(xiàn)了虛假的低頻信號。稱為頻率混淆。 高、低頻混淆現(xiàn)象 例1、設所分析信號的頻率范圍為1HZ3kHZ，采用電荷放大器。試確定其采樣時間間隔和設置高、低頻截斷開關。 解：（1）由信號的最高分析頻率3kHZ ，根據(jù)采樣定理式，得

17、 （2）根據(jù)信號的區(qū)間范圍，為達到除混淆的目的，電荷放大器的高、低頻截斷開關設置為:低頻截斷開關置1HZ檔；高頻截斷開關置3kHZ檔。取例2、設分析信號的振幅為1.0毫米，頻率為fm=3HZ，采樣頻率為fs=5Hz。求：產(chǎn)生的高、低頻混淆頻率值，為防止產(chǎn)生高、低頻混淆現(xiàn)象應如何選取采樣頻率?fs/22.5Hz為防止產(chǎn)生高、低頻混淆現(xiàn)象應如何選取采樣頻率高于2fm的頻率。解：由信號的最高頻率3HZ ，根據(jù)鏡面頻率折射原理，得高、低頻混淆頻率應為折射點為 高、低頻混淆頻率示意圖實測中不出現(xiàn)功率譜密度函數(shù)的混淆示意圖 這是功率譜密度函數(shù)的混淆示意圖，混淆區(qū)域的頻譜將不是原來信號的真實頻譜，而產(chǎn)生了虛

18、假的頻譜線。因此，在實測中應嚴加注意。 5.6 泄漏與窗函數(shù)數(shù)字信號分析對有限時間長度T的離散時間序列進行離散傅里葉變換（DFT）運算，這意味著首先要對時域信號進行截斷。這種截斷將導致頻譜分析出現(xiàn)誤差，其效果是使得本來集中于某一頻率的功率（或能量），部分被分散到該頻率鄰近的頻域，這種現(xiàn)象稱為“泄漏”效應。以余弦信號x(t)=Acos(2f0t) 為例說明截斷前后的頻譜變化的泄漏效應。可看到當截斷長度是周期長度T時，周期延拓的虛擬無限長信號與原信號相同，如圖所示。當截斷長度不是周期長度T時，則周期延拓的虛擬無限長信號與原信號是不同的，如圖所示。這樣就造成了泄漏。(b) 截斷長度不是周期長度時虛擬

19、信號圖5-16 截斷長度不是周期長度時的虛擬信號示意圖 a. 有限時間長度T的離散時間序列信號被截斷，相當于原來的余弦信號乘以一個矩形窗函數(shù)。 b. 無限長度的余弦信號具有一個單一的頻率成分，其單邊譜是在f0處的單根分布的離散的譜線。余弦信號被矩形窗截斷形成的泄漏余弦信號被矩形窗截斷形成的泄漏 c. 矩形窗函數(shù)的頻譜是包含一個主瓣和許多旁瓣的連續(xù)譜。 d. 時域中余弦信號乘以矩形窗函數(shù)。頻域中的頻譜等于原信號的頻譜與窗函數(shù)頻譜的卷積。余弦信號被矩形窗截斷形成的泄漏 e. 卷積的結果將導致離散譜變?yōu)樵趂0處有一主瓣，兩旁各有許多旁瓣的連續(xù)譜。 f. 這也就是說，原來集中在頻率f0處的功率，泄漏到

20、了f0鄰近的很寬的頻帶上。泄漏示意圖 為了抑制“泄漏”，需采用特種窗函數(shù)來替代矩形窗函數(shù)。這一過程，稱為窗處理，或者叫加窗。就是認為創(chuàng)造一個周期函數(shù)，使原信號的數(shù)字信息滿足周期函數(shù)的定義。這樣的周期函數(shù)在延拓過程中不出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象的最容易辦到的是兩段為零的函數(shù)。這個過程稱為加窗。加窗的目的，是使在時域上截斷信號兩端的波形突變變?yōu)槠交陬l域上盡量壓低旁瓣的高度。常用窗函數(shù)的時域圖象 在數(shù)字信號處理中常用的窗函數(shù)有： 矩形（Rectangular）窗w(t)=1 0tT 漢寧（Hanning）窗 w(t)= 0tT凱塞貝塞爾（kaiser-bessel）窗0tT 平頂（Rectangular）窗0

21、tT常用窗函數(shù)的時域圖象常用窗函數(shù)的頻譜圖在一般情況下，壓低旁瓣通常伴隨著主瓣的變寬，但是旁瓣的泄漏是主要考慮因素，然后才考慮主瓣變寬的泄漏問題。 為了保持加窗后的信號能量不變，要求窗函數(shù)曲線與時間坐標軸所包圍的面積相等。對于矩型窗，該面積為T1，因此，對于任意窗函數(shù)W(t)，必需滿足積分關系式窗函數(shù)的選用： 隨機信號，通常選用漢寧窗。因為它可以在不太加寬主瓣的情況下，較大地壓低旁瓣的高度，從而有效地減少了功率泄漏。周期信號或準周期信號，選用旁瓣極低的凱塞貝塞爾窗或平頂窗。沖擊過程和瞬態(tài)過程的測量，一般選用矩形窗。而不宜用漢寧窗、凱塞貝塞爾窗或平頂窗。通常將截短了的矩形窗應用于沖擊過程中力的測

22、量（稱為力窗）。衰減振動信號，選用指數(shù)衰減窗（稱為指數(shù)窗）。寬帶隨機信號加漢寧窗前后的波形簡諧信號加平頂窗前后的波形 從頻域看，窗函數(shù)的作用就象是模擬分析儀中的帶通濾波器，窗函數(shù)的傅里葉頻譜就相當于帶通濾波器的濾波特性。常用窗函數(shù)的柵欄效應 N條譜線，就相當于N個并聯(lián)的恒帶寬濾波器，它們的中心頻率各等于相應的頻率采樣kf (k=1,2,3.N1)。如果信號中某頻率分量的頻率f，恰好等于Kf，即fi 恰好與顯示或輸出的頻率采樣完全重合，那么該譜線可給出精確的譜值；反之，若fi 與頻率采樣不重合，就會得到偏小的譜值。這種現(xiàn)象則稱為“柵欄效應”。常用窗函數(shù)的柵欄效應 由此可知，由于頻譜圖中的曲線由N

23、條譜線組成，若被測頻率f正好是在fk點，則測試數(shù)據(jù)沒有偏差，若被頻率f在fkf fk+1之間，則存在誤差，最大誤差處為 f=(fk+fk+1)/2點。常用窗函數(shù)的柵欄效應 四種常用的窗函數(shù)由于柵欄效應可能產(chǎn)生的最大偏度誤差值為：矩形窗_3.92dB或36.3漢寧窗_1.42dB或15.1 凱塞貝塞爾窗_1.02dB或11.1平頂窗_0.01dB或0.1常用窗函數(shù)的柵欄效應例題：已知： mm （）、若f0=50.51 Hz，采樣頻率為256.0 Hz，N256點，經(jīng)FFT計算的幅頻曲線的測試結果頻率應為 Hz，若采樣頻率為64.0 Hz，測試結果的頻率應為 Hz？（畫出幅頻曲線示意圖）。（）若f

24、0=50.26Hz，若采樣頻率為256 Hz，N512點。采樣的時間間隔t= ，傅里葉變換后在幅頻曲線中的頻率間隔f ，若加矩形窗振幅為 ，頻率為 ，若加平頂窗振幅為 ，頻率為 ，在此例中頻率的最大誤差是 Hz？是否滿足采樣定理？ 。5113.51/256 s0.5 Hz1.274 mm50.5Hz1.998mm50.5Hz0.25滿足（3）在測試過程中，振動信號經(jīng)FFT計算顯示，振幅為3mm，頻率為f=20Hz，通過什么方法才能判斷此信號沒有發(fā)生頻率混淆？5.7 數(shù)字濾波器濾波器分為模擬濾波器和數(shù)字濾波器兩種。模擬濾波器適用于連續(xù)時間系統(tǒng)。數(shù)字濾波器是指輸入、輸出均為數(shù)字信號，它適用于離散系

25、統(tǒng)，可用計算機軟件實現(xiàn)，也可用大規(guī)模集成數(shù)字硬件實現(xiàn)。數(shù)字濾波的概念和模擬濾波的概念基本相同，只是信號的形式和實現(xiàn)濾波方法不同。一般數(shù)字濾波器從功能上分類與模擬濾波器一樣，可以分成低通、高通、帶通和帶阻等濾波器。5.7.1 數(shù)字濾波器的基本概念1數(shù)字濾波器的分類 根據(jù)濾波計算原理的不同，數(shù)字濾波器又可以分為lIR(1nfinite lmpulse Response)濾波器和FIR(Finite lmpulse Resonse)濾波器。2，數(shù)字濾波器的技術要求一般選頻濾波器的技術要求由幅頻特性給出，相頻特性一般不作要求，但如果對輸出波形有要求，則需要考慮相頻特性的技術指標。5.7.2 數(shù)字濾波方

26、法線性濾波器輸入x(t)和輸出y(t)之間的一般關系可以用下式的卷積形式表示，即 式中h()是濾波器的權函數(shù)。濾波器的頻率響應函數(shù)H(f)是h()的傅立葉變換，即此式即為數(shù)字濾波器的技術要求的幅頻特性曲線。由此可設計出非循環(huán)數(shù)字濾波器循環(huán)數(shù)字濾波器 等多種濾波器。若深入研究可參考其他書籍。5.8 噪聲與平均技術 在數(shù)字信號的采集和處理過程中，都有不同程度的被噪聲污染的問題，如電噪聲、機械噪聲等。這種噪聲可能來自試驗結構本身，可能來自測試儀器的電源及周圍環(huán)境的影響等等。 通常采用平均技術來減小噪聲的影響，一般的信號分析儀都具有多種平均處理功能。可以根據(jù)研究的目的和被分析信號的特點，選擇適當?shù)钠骄愋秃推骄螖?shù)。 A(f)可代表自譜、互譜、有效值譜、頻響函數(shù)、相干函數(shù)等頻域函數(shù)，i為被分析記錄的序號，nd為平均次數(shù)。 對于平穩(wěn)隨機過程的測量分析，增加平均次數(shù)可減小相對標準偏差。1、譜的線性平均這是一種最基本的平均類型。n=0,1,N-1時間記錄的線性平均也稱為時域平均。 nd為平均次數(shù)，對于nd個時間記錄的數(shù)據(jù)，按相同的序號樣點進行線性平均。k=0,1,N12、時間記錄的線性平均 然后對平均后的時間序列再做FFT和其它處理,時域平