工程振動(dòng)測(cè)試技術(shù)08-第8章-數(shù)字信號(hào)分析(2)小波分析課件

1、工程振動(dòng)測(cè)試技術(shù)劉習(xí)軍 教授天津大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院力學(xué)系Theoretical Mechanics第8章 數(shù)字信號(hào)分析(II)-小波分析 小波分析是在Fourier分析的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，小波分析比Fourier分析有著許多本質(zhì)性的進(jìn)步。Fourier分析進(jìn)行的是頻譜分析，小波分析提供了一種自適應(yīng)的時(shí)域和頻域同時(shí)局部化的分析方法。它在局部時(shí)-頻分析中具有很強(qiáng)的靈活性，被喻為時(shí)-頻分析的顯微鏡。 小波分析方法已廣泛應(yīng)用于信號(hào)處理、圖像處理、模式識(shí)別、語音識(shí)別、地震勘探、CT成像、故障監(jiān)控等眾多的學(xué)科和相關(guān)技術(shù)的研究中。 小波分析是泛函分析、數(shù)值分析和廣義函數(shù)論等眾多學(xué)科知識(shí)結(jié)合結(jié)果。傅里葉變換是把

2、一個(gè)周期信號(hào)（時(shí)間變量為t的函數(shù)）分解為不同的頻率分量，這些基本的構(gòu)造是正弦函數(shù)和余弦函數(shù)，例如：傅里葉級(jí)數(shù)為Theoretical Mechanics 小波變換是在克服傅立葉變換缺點(diǎn)的基礎(chǔ)上發(fā)展而來的，從信號(hào)處理的角度認(rèn)識(shí)小波，需要傅立葉變換、傅立葉級(jí)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)。其中8.1 傅里葉變換的特點(diǎn)Theoretical Mechanics其基函數(shù)分別為則對(duì)于非周期信號(hào)的傅里葉積分為 于是，周期函數(shù)x(t) 就與下面的傅立葉序列產(chǎn)生了一一對(duì)應(yīng)，即 從數(shù)學(xué)上已經(jīng)證明了，傅立葉級(jí)數(shù)的前N項(xiàng)和是原函數(shù)x(t) 在給定能量下的最佳逼近。 把信號(hào) 用正弦和余弦信號(hào)展開Theoretical Mechanic

3、s然后忽略掉與濾除頻率相應(yīng)的系數(shù)。2、信號(hào)濾波：信號(hào)分析的作用1、信號(hào)壓縮： 將信號(hào)表示成傅里葉級(jí)數(shù)，只需利用有關(guān)系數(shù)即可重構(gòu)。可壓縮數(shù)據(jù)量。Theoretical Mechanics例如：則得若為噪音，則令0.3為0，重構(gòu)即可濾波前的圖形 濾波后的圖形Theoretical Mechanics傅里葉變換的幾個(gè)重要性質(zhì)：性質(zhì)1、正交性性質(zhì)2、系數(shù)收斂原理即隨著n 變大，傅里葉系數(shù)an 和bn 收斂于零。推論：壓縮原理 保留比較大的有限個(gè)傅里葉系數(shù)，舍去所有較小的傅里葉系數(shù)。（在反變換時(shí)只應(yīng)用較大的數(shù)）性質(zhì)3、 對(duì)稱性設(shè) ，常數(shù) ，則物理意義：對(duì)a1 ，信號(hào)x(t) 被橫向壓縮為x(at) ，此

4、時(shí) X()卻被拉伸為 ，同理，對(duì)于a 1 ，信號(hào)x(t) 被橫向拉伸了， X() 被壓縮了。 例如：若a1，認(rèn)為x(t) 、 x(at) 中t與a在同一時(shí)間軸上標(biāo)注，則t變小。 如t=10，則at =10, t =10/a 則t 變小。性質(zhì)4、 伸縮性質(zhì)注：傅里葉級(jí)數(shù)只適合于濾除或壓縮具有近似周期性的信號(hào)。而對(duì)于局部信號(hào)就無能為力了。這種分析方法是信號(hào)的一種全局的變換手段，要么完全在時(shí)域，要么完全在頻域。利用傅里葉變換，可將一個(gè)時(shí)域信號(hào) 轉(zhuǎn)化到頻域 上，使得信號(hào)的頻域特性一目了然。因此，傅里葉變換在近、現(xiàn)代的工程領(lǐng)域中得到了非常廣泛的應(yīng)用。 存在兩點(diǎn)不足：(1)不能分析信號(hào)時(shí)域的局部特性；(2

5、) 對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)的處理效果不好。Theoretical Mechanics傅氏變換的缺點(diǎn)： 只適用于分析平穩(wěn)信號(hào)，對(duì)于非平穩(wěn)信號(hào)無能為力； 為了得到一個(gè)時(shí)域信號(hào)的頻域特征，必須使用信號(hào)在時(shí)域中的全部信息，甚至將來信息； 如果信號(hào)在某一時(shí)刻的小領(lǐng)域內(nèi)發(fā)生變化，而頻譜無法標(biāo)定變化的時(shí)間位置和發(fā)生變化的強(qiáng)度； 對(duì)于包含高頻信息和低頻信息的信號(hào)來說，時(shí)域精度和頻域精度不容易調(diào)整。 即傅里葉變換不能分析局部時(shí)域信號(hào)的局部頻譜特性。Theoretical Mechanics非平穩(wěn)信號(hào)如：音樂信號(hào)、語音信號(hào)等。 WFT的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：正變換反變換傅里葉變換對(duì)8.2 短時(shí)傅里葉變換短時(shí)傅里葉變換是對(duì)傅里葉變換

6、的改進(jìn)，增強(qiáng)了處理非平穩(wěn)信號(hào)的能力，又稱為信號(hào)短時(shí)的時(shí)-頻分析或窗口傅里葉變換（WFT）Theoretical Mechanics時(shí)窗函數(shù)w(t-b)的時(shí)域局部化表現(xiàn)組成窗函數(shù)的條件 時(shí)窗函數(shù)，它與傅里葉分析的區(qū)別是在變換時(shí)引入了時(shí)窗函數(shù)w(t-b) 。并通過參數(shù)b的變化，來實(shí)現(xiàn)信號(hào)的局部化，b 表示平移的時(shí)間。在短時(shí)傅里葉變換中被用作窗函數(shù)的是Gaussian函數(shù)，它的表達(dá)式為， 參數(shù) 決定著窗函數(shù)的大小，如圖所示。a取1，0.25，0.625時(shí)的Gaussian函數(shù)窗函數(shù) 在時(shí)域內(nèi)能夠分析的信號(hào)長(zhǎng)度為其時(shí)窗半徑在頻域內(nèi)能夠分析的信號(hào)的頻率范圍稱為頻窗半徑 為經(jīng)數(shù)學(xué)推導(dǎo)， t、的大小為當(dāng)參數(shù)

7、 a值的大小確定后，處于窗函數(shù)內(nèi)的信號(hào)長(zhǎng)度和可分析的頻率范圍也就隨之確定下來。當(dāng)窗函數(shù)的中心移動(dòng)到t=b位置時(shí)，時(shí)-頻窗的范圍為STFT 時(shí)-頻窗參數(shù)a的大小決定窗口的形狀，當(dāng)窗函數(shù)為Gaussian函數(shù)時(shí)，窗口的面積為定值對(duì)于其它窗函數(shù)，由Heisenberg不確定性定理說明短時(shí)傅里葉變換的時(shí)間和頻率分辨率不可能同時(shí)達(dá)到最高。短時(shí)傅里葉變換的反演公式為局限性：時(shí)頻窗的形狀和大小是固定的，它無法自適應(yīng)的調(diào)整分析窗口的大小，以較好的分析不同頻段的信號(hào)。 如何在信號(hào)分析時(shí)，找到一個(gè)自適應(yīng)的時(shí)-頻局部化方法是關(guān)鍵所在。8.3 小波變換短時(shí)傅里葉變換中的窗函數(shù)如果選擇為Gaussian函數(shù)，則這種變換

8、被稱為Gabor變換。小波變換是在Gabor變換的基礎(chǔ)上發(fā)展而來的，它在窗函數(shù)中引入尺度參數(shù)來實(shí)現(xiàn)窗口函數(shù)的伸縮，從而達(dá)到在分析信號(hào)時(shí)自動(dòng)調(diào)節(jié)時(shí)-頻窗的目的，這適應(yīng)了實(shí)際分析的需要。小波變換很適合于探測(cè)正常信號(hào)中夾帶的瞬態(tài)反?，F(xiàn)象并展示其成分，可以區(qū)分突發(fā)信號(hào)和穩(wěn)定信號(hào)并確定其能量分布狀態(tài)，被譽(yù)為信號(hào)分析的“數(shù)學(xué)顯微鏡”。Theoretical Mechanics自適應(yīng)窗函數(shù)的設(shè)計(jì)窗口Fourier變換（WFT）的變換公式為： 其思想是先將時(shí)域局部化為f(t)w(t-b)，再對(duì)其進(jìn)行傅里葉變換。 換一個(gè)思維方式，若把w(tb)e+it看成為變換函數(shù)，即則 其中，“-”表示共軛。 一、 連續(xù)小波

9、變換將其抽象為Theoretical Mechanics 這樣也可把 看作對(duì)x(t)在時(shí)域和頻域都能起限制作用的窗函數(shù)。其中 b平移量(時(shí)間參數(shù)) a伸縮量(頻率參數(shù))小波，顧名思義指小區(qū)域的波，是一種特殊的長(zhǎng)度有限（緊支集）、快速衰減、均值為0的波形。 定義如下：設(shè)，且則按照如下方式生成的函數(shù)族稱為小波函數(shù)，其中 為基本小波或母小波?；拘〔?需滿足以下的允許性條件Theoretical Mechanics其中 小波特點(diǎn)1、具有快速衰減性 2、具有波動(dòng)性連續(xù)小波變換表達(dá)式為稱為小波系數(shù)小波反變換公式傅氏變換 其中Theoretical Mechanics“”為傅氏變換記號(hào)。 由此可知，小波變

10、換是通過伸縮因子和平移因子的變化，小波窗沿時(shí)間軸移動(dòng)在不同尺度上對(duì)整個(gè)時(shí)間域上的函數(shù)變化進(jìn)行分析。 小波變換是把信號(hào)分解成母小波按不同尺度伸縮和平移的小波函數(shù)上。Theoretical Mechanics a）正弦波傅里葉變換 b）小波小波變換傅里葉變換與小波變換元素示意圖 物理意義：小波函數(shù)(t)相當(dāng)于傅里葉變換中的e-jt，不同的是e-jt在（-，+）無衰減，(t)在很短時(shí)間內(nèi)衰減。Theoretical MechanicsTheoretical Mechanics是 經(jīng)平移和伸縮的結(jié)果其中b=1二、連續(xù)小波變換的時(shí)間-尺度特性當(dāng)尺度參數(shù)a 增大時(shí)， 小波的時(shí)域?qū)挾茸冋喈?dāng)于鏡頭向目標(biāo)推

11、進(jìn)，在近距離下觀測(cè)目標(biāo)（信號(hào)）的細(xì)節(jié)。當(dāng)尺度參數(shù)a 固定時(shí)，時(shí)間參數(shù)b 的變化相當(dāng)于目標(biāo)（信號(hào)）做平行移動(dòng)，但和目標(biāo)的距離保持不變。其中 b平移量 a伸縮量小波系數(shù)Wx(a,b)是時(shí)間參數(shù)（平移因子 b）和尺度因子a 的函數(shù)，它是雙窗的，所以說小波變換是一種信號(hào)的時(shí)間-尺度分析。可以自動(dòng)調(diào)整時(shí)頻分辨率。用鏡頭觀測(cè)目標(biāo)的例子可以形象說明 ：在尺度上的伸縮變化和時(shí)域上的平移變換與鏡頭相對(duì)于目標(biāo)的推進(jìn)(遠(yuǎn)離)和平行移動(dòng)是非常類似的。三、連續(xù)小波變換的時(shí)間頻率特性 在容許條件的基礎(chǔ)上，小波函數(shù) 在時(shí)域上是振蕩的，其傅里葉變換 在頻域上是一個(gè)帶通函數(shù)，而且在時(shí)域和頻域上均具有良好的局部性。根據(jù)帶通函數(shù)的

12、定義，其時(shí)-頻窗函數(shù)的主要參數(shù)為：時(shí)窗中心時(shí)窗半徑 頻窗中心 頻窗半徑 這些參數(shù)決定了時(shí)-頻窗函數(shù)的特性。Theoretical Mechanics時(shí)窗中心 時(shí)窗半徑 頻窗中心 頻窗半徑 有關(guān)計(jì)算公式時(shí)-頻窗面積為Theoretical Mechanics若取a=1,b=0，則標(biāo)記為 ， ， ，說明了時(shí)-頻窗的中心與半徑與a、b的關(guān)系小波變換時(shí)-頻窗(a1a2) 信號(hào)經(jīng)小波變換后，得到的結(jié)果用小波系數(shù)來表示為Wx(a,b) ，小波系數(shù)Wx(a,b) 是尺度參數(shù)a、平移參數(shù)b的函數(shù)。Theoretical Mechanics綜合以上分析，傅立葉變換、短時(shí)傅立葉變換和小波變換三者的基函數(shù)實(shí)際上都是

13、一組具有不同頻率不同時(shí)寬的函數(shù)簇。其區(qū)別在于，傅立葉變換的基函數(shù)是沒有衰減的，短時(shí)傅立葉變換和小波變換的基函數(shù)的兩端是很快衰減到零的，所以它們具有時(shí)間局部性。而小波變換的時(shí)寬又是變化的，因此小波變換的時(shí)頻分辨率也是變化的，具有多分辨率的分析特性。進(jìn)行連續(xù)小波變換的思路（1）選擇小波函數(shù)及其尺度a值；（2）從信號(hào)起始位置開始，將小波函數(shù)和信號(hào)代入公式計(jì)算小波系數(shù)；（3）改變參數(shù)b，沿時(shí)間軸移動(dòng)小波函數(shù)，在新的位置計(jì)算小波系數(shù)，直到信號(hào)終點(diǎn)；（4）改變尺度a值，重復(fù)(2)、(3)步。四、小波變換的基本步驟Theoretical Mechanics小波運(yùn)算的基本步驟： (1) 選擇一個(gè)小波函數(shù)，并將

14、這個(gè)小波與要分析的信號(hào)起始點(diǎn)對(duì)齊； (2) 計(jì)算在這一時(shí)刻要分析的信號(hào)與小波函數(shù)的逼近程度，即計(jì)算小波變換系數(shù)C，C越大，就意味著此刻信號(hào)與所選擇的小波函數(shù)波形越相近，如圖所示。Theoretical Mechanics (3) 將小波函數(shù)沿時(shí)間軸向右移動(dòng)一個(gè)單位時(shí)間，然后重復(fù)步驟(1)、(2)求出此時(shí)的小波變換系數(shù)C，直到覆蓋完整個(gè)信號(hào)長(zhǎng)度，如圖所示：Theoretical Mechanics (4) 將所選擇的小波函數(shù)尺度伸縮一個(gè)單位，然后重復(fù)步驟(1)、(2)、(3)，如圖所示 (5) 對(duì)所有的尺度伸縮重復(fù)步驟(1)、(2)、(3)、(4)。Theoretical Mechanics傅里

15、葉變換與小波變換的過程示意圖Theoretical Mechanics 小波系數(shù)表示小波與信號(hào)相似的程度，小波系數(shù)越大，兩者越相似。 小波系數(shù)的大小還反映了信號(hào)在這一頻率中心周圍的頻率成分的多少，小波系數(shù)越大，信號(hào)在這一頻率中心周圍的頻率成分就越多。四、小波函數(shù)圖形及選取不同的小波具有不同的時(shí)頻特征, 選用不同的小波進(jìn)行信號(hào)處理會(huì)產(chǎn)生不同的分析結(jié)果，即小波函數(shù)的選擇十分重要，因此，選擇合適的小波是小波變換成敗的關(guān)鍵。因?yàn)樾〔ê瘮?shù)直接影響著小波分析的結(jié)果。一般來說，可根據(jù)應(yīng)用需要,選擇合適的小波，通常往往也通過經(jīng)驗(yàn)或不斷的試驗(yàn)來選擇小波。從數(shù)學(xué)角度選擇小波函數(shù)，要依據(jù)正交、線性相位、連續(xù)、緊支撐

16、 “四項(xiàng)原則”來進(jìn)行選擇。由于小波函數(shù)表達(dá)式不像傅里葉變換中的函數(shù)那么簡(jiǎn)單，為了對(duì)小波函數(shù)有一個(gè)初步的了解，下面給出幾種常用小波的圖形。Theoretical Mechanics1、Daubechies小波一些常用的小波：Theoretical Mechanics2、Coiflets小波3、Symlets小波Theoretical Mechanics4、Morlet小波 5、Mexican Hat小波6、Meyer小波 由于小波選擇的靈活性，許多工作者定義了許多小波，在使用中可以根據(jù)解決的問題進(jìn)行選擇。也可以自己定義小波，但要滿足小波的條件。例8-2、一個(gè)不同時(shí)段、不同頻率的信號(hào)組成了分時(shí)段信

17、號(hào)，在t=00.25s時(shí)段，頻率為100Hz，t=0.250.5s時(shí)段，頻率為200Hz，振幅均為1cm，其時(shí)間的交接點(diǎn)為0.25s，數(shù)學(xué)表達(dá)式為分別對(duì)其進(jìn)行傅里葉變換和小波變換，分析其結(jié)果有何不同。解：選用采樣頻率 fs=4000Hz，采樣點(diǎn)數(shù)為N2000，則t=1/fs，采樣時(shí)長(zhǎng)T=0.5s，生成的時(shí)間歷程曲線如圖所示，分別對(duì)其進(jìn)行傅里葉變換和小波變換，求得結(jié)果如圖所示。t=00.25s,t=1/fs, f1=100Hz; t=0.250.5s, t=1/fs , f2=200Hz; 原時(shí)間歷程曲線局部放大圖t=00.25s,t=1/fs, f1=100Hz; t=0.250.5s, t=

18、1/fs , f2=200Hz; t=00.25s,t=1/fs, f1=100Hz; t=0.250.5s, t=1/fs , f2=200Hz; 傅里葉變換結(jié)果t=00.25s,t=1/fs, f1=100Hz; t=0.250.5s, t=1/fs , f2=200Hz; 小波變換結(jié)果在實(shí)際信號(hào)處理中，信號(hào)多是以離散形式存在的，因此用離散小波變換更方便。離散小波變換就是將尺度參數(shù)和位移參數(shù)進(jìn)行離散取值。通常將a,b(t)中的連續(xù)變量a和b取作整數(shù)離散形式：8.4 離散小波變換對(duì)應(yīng)的離散小波變?yōu)樾盘?hào) 的離散小波變換系數(shù)為離散小波變換的重構(gòu)公式為離散小波變換僅僅是對(duì)參數(shù)a、b進(jìn)行離散化處理，

19、而并沒有對(duì)信號(hào) 以及離散小波 中的時(shí)間 t 變量 進(jìn)行離散化，因此，被稱為離散柵格 a、b 下的小波變換。目前，常用的方法是取 a0=2，b0=1 ，即按下面的式子對(duì)尺度因子和平移因子進(jìn)行二進(jìn)離散化二進(jìn)離散小波二進(jìn)離散小波可以看做一組倍頻程帶通濾波器，二進(jìn)離散小波變換也因此可以看做是一組具有倍頻程帶通濾波功能的恒帶寬濾波過程。相應(yīng)的小波變換為：Theoretical Mechanics8.5 正交小波的快速算法(Mallat算法)多分辨率分析是一種對(duì)信號(hào)的空間分解方法，分解的最終目的是力求構(gòu)造一個(gè)正交小波基，這些頻率分辨率不同的正交小波基相當(dāng)于帶寬各異的帶通濾波器。Mallat算法是一種用于實(shí)

20、現(xiàn)小波多分辨率分析的快速算法，它是由S.Mallat于1988年提出的一個(gè)突破性成果，它在小波分析中的作用就相當(dāng)于快速傅里葉變換（FFT）在傅里葉變換中的作用。 Mallat算法的核心思想是由小波濾波器H、G和h、g對(duì)信號(hào)進(jìn)行快速分解和重構(gòu)。在Mallat算法中，H、G為分解濾波器，h、g為重構(gòu)濾波器，四者之間的具體關(guān)系如下：在分解算法中，每一次分解信號(hào)都被分解為低頻和高頻兩個(gè)分量。分解算法如下：其中Aj 為信號(hào)x(t) 在第j層的低頻部分的小波系數(shù)，Dj 為信號(hào)x(t) 在第j層的高頻部分的小波系數(shù)。由此可知，Mallat算法每次只對(duì)信號(hào)的低頻部分進(jìn)行分解，而再不分解高頻部分。Mallat分

21、解算法圖示重構(gòu)算法可表示為Mallat重構(gòu)算法圖示反映了信號(hào)在Mallat算法中的重構(gòu)過程子帶信號(hào)與原始信號(hào)具有如下關(guān)系信號(hào)的3層小波分解及頻帶劃分規(guī)律x(t)為原信號(hào)，a為低頻部分，d為高頻部分，n為分解層次。它們包含了信號(hào)從高頻到低頻多個(gè)頻帶的信息，因此稱為多分辨率分析。同時(shí)還包含了原信號(hào)的時(shí)間信息 。 d1(fs/22-fs/2)a1(0-fs/22)a2(0-fs/23)d2(fs/23-fs/22)d3(fs/24-fs/23)x(t)(0-fs/2)a3(0-fs/24)Theoretical Mechanics 信號(hào)經(jīng)小波變換表現(xiàn)為不同子頻帶分量之和，反映低頻的局部分析在低頻子頻

22、帶中，反映高頻的局部分析在高頻子頻帶中。 小波變換并不像傅里葉變換那樣把時(shí)域信號(hào)表示為若干精確的頻率分量之和，而是表示為若干描述子頻帶的時(shí)域分量之和。這是小波分析的特點(diǎn)。 例8-4 設(shè)一個(gè)由四個(gè)不同頻率的正弦信號(hào)組合而成的振動(dòng)信號(hào)中夾雜瞬態(tài)衰減信號(hào)，數(shù)學(xué)表達(dá)式為試用小波變換中的Mallat計(jì)算法將其分解。 所包含的頻率成分15Hz30Hz45Hz60Hz130Hz采樣頻率：400Hz解：選取采樣頻率為400Hz，采樣點(diǎn)數(shù)為2048，選擇Daubechies小波db40，利用Mallat算法來分析信號(hào)，分解層數(shù)為3層，信號(hào)可被分解為4個(gè)分量，如圖所示。 原信號(hào)時(shí)間歷程曲線原信號(hào)的幅頻曲線小波變換

23、系數(shù)的時(shí)頻圖二進(jìn)離散小波分解，分解三層各層信號(hào)頻率范圍： a1：0100Hz d1：100Hz200Hz a2：050Hz d2：50Hz100Hz a3：025Hz d3：25Hz50Hz重構(gòu)一層的信號(hào)a1: 0100Hzd1: 100200Hzf=130Hz重構(gòu)二層的信號(hào)a2: 050Hzd2: 50100Hzf=60Hz重構(gòu)三層的信號(hào)a3: 025Hzd3: 2550Hz f=15Hz f=30Hz f=45Hz此次不能再分解由于30Hz 、45Hz的信號(hào)都在重構(gòu)三層部分，小波變換不能再繼續(xù)將高層兩個(gè)頻率信號(hào)分開。若要必須將其分開時(shí)，在工程實(shí)際中可以根據(jù)工作需要，通過控制采樣頻率和選擇合

24、適的小波分量來獲取特定頻率成分的信號(hào)。也可選用小波包變換將其分解。8.6 小波包變換 Mallat算法每次僅僅是對(duì)信號(hào)的低頻分量（近似部分）進(jìn)行分解，而沒有分解高頻分量（細(xì)節(jié)部分）。當(dāng)我們需要把信號(hào)分解的很細(xì)時(shí)，僅僅靠Mallat算法可能不足以滿足分析的需要。小波包變換是在小波多分辨率分析的基礎(chǔ)上建立起來的，它可以對(duì)信號(hào)任意子帶的分量進(jìn)行再次降半劃分。這就解決了多分辨率分析（Mallat算法）在信號(hào)的高頻區(qū)域內(nèi)分辨率較低的缺點(diǎn)。小波包變換思路類似與Mallat算法，小波包分解也是按照分解尺度由低到高逐層向下分解，每層分解信號(hào)的所有子帶均被一分為二，并傳至下一層。每層子帶都將覆蓋原信號(hào)所占的頻率

25、，而第 j層共有2j 個(gè)子帶，它們均分了信號(hào)的整個(gè)可分析的頻域。一般情況下子帶的頻域?qū)凑沼傻偷礁叩捻樞蚺帕?。因?yàn)榉纸鈺r(shí)每一層的小波基個(gè)數(shù)較多（第j 層共有2j 個(gè)小波基），所以此算法稱為小波包變換。小波包變換的快速算法設(shè) x(t)為一時(shí)間信號(hào)，pij 表示第 j層上的第 i個(gè)小波包，稱為小波包系數(shù)，G、H為小波分解濾波器，H與尺度函數(shù)有關(guān)，G與小波函數(shù)有關(guān)。二進(jìn)小波包分解的快速算法為：其中小波包分解快速算法應(yīng)注意：分解得到的p是小波包系數(shù)，不是原信號(hào)在某個(gè)頻段的分量，根據(jù)小波變換理論，可將信號(hào)的原始數(shù)據(jù)作為處于最低層的小波包系數(shù) 。由此可知，原始信號(hào)經(jīng)過以分析頻率fs的n層小波包分解后，頻域

26、將被分成2n 段，各小波包分量對(duì)應(yīng)的頻段分別為若頻率信號(hào)較多，從理論上來說，只要取得n值足夠大，總是可將各頻段信號(hào)進(jìn)行分解的。二進(jìn)小波包重構(gòu)的快速算法為式中h、g為小波重構(gòu)濾波器，h與尺度函數(shù)有關(guān)，g與小波函數(shù)有關(guān)。小波包重構(gòu)快速算法分析頻率為fs信號(hào)經(jīng)過n層的小波包分解后，頻域共被分成2n 段。 小波包快速算法的三個(gè)關(guān)鍵的運(yùn)算構(gòu)成是：1、與小波濾波器卷積；2、隔點(diǎn)采樣；3、隔點(diǎn)插零。小波包快速算法與Mallat算法的區(qū)別只是對(duì)每個(gè)尺度上高頻部分的處理不同，在Mallat算法中，對(duì)各尺度上高頻部分不再予以進(jìn)一步分解，而在小波包快速算法中，對(duì)各尺度上的高頻部分要再予以進(jìn)一步分解。因此。和小波變換相比，小波包具有更精細(xì)的信號(hào)分析能力，實(shí)際上無