建筑力學(xué)第四章課件

1、4.1軸向拉壓桿的內(nèi)力及軸力圖第4章桿件的內(nèi)力4.1.1軸向拉伸和壓縮的概念在一對(duì)大小相等、方向相反、作用線與桿軸線重合的外力作用下,桿件將產(chǎn)生軸向伸長(zhǎng)或縮短變形,這種變形稱為軸向拉伸(見圖4-1a)或軸向壓縮(見圖4-1b)。產(chǎn)生軸向拉伸或壓縮的桿件稱為拉桿或壓桿。圖4-1a)軸向拉伸b)軸向壓縮桿,圖4-2b所示房屋的磚柱,圖4-2c所示起重架的桿AC、BC等,它們?cè)诠こ讨卸际浅惺芾驂毫Φ?。圖4-2在房屋建筑工程中,經(jīng)常遇到拉桿或壓桿。例如圖4-2a所示屋架的弦、腹進(jìn)行桿件的強(qiáng)度計(jì)算,先要分析桿件的內(nèi)力?，F(xiàn)以圖4-3a所示拉桿為例確定桿件任意橫截面m-m上的內(nèi)力。運(yùn)用截面法,將桿沿截面

2、m-m截開,取左段為研究對(duì)象(如圖4-3b所示)?？紤]左段的平衡,可知截面m-m上的內(nèi)力必是與桿軸相重合的一個(gè)力FN,且由平衡條件Fx=0可得FN=F,其指向背離截面。若取右段為研究對(duì)象,如圖4-3c所示,同樣可得出相同的結(jié)果。4.1.2軸力圖4-3作用線與桿軸線相重合的內(nèi)力,稱為軸力,用符號(hào)FN表示。當(dāng)桿件受拉時(shí),軸力為拉力,其方向背離截面;當(dāng)桿件受壓時(shí),軸力為壓力,其方向指向截面。通常規(guī)定:拉力為正,壓力為負(fù)。軸力的單位為牛頓(N)或千牛頓(kN)。【例4-1】桿件受力如圖4-4a所示,在力F1、F2、F3作用下處于平衡。已知F1=6kN,F2=5kN,F3=1kN,求桿件AB和BC段的軸

3、力。圖4-4圖4-5必須指出:在計(jì)算桿件內(nèi)力時(shí),不能隨意使用力的可傳性和力偶的可移性原理,這些原理只有在研究力和力偶對(duì)物體的運(yùn)動(dòng)效果時(shí)才適用,而在研究物體的變形時(shí)不適用。例如圖4-54.1.3軸力圖表明各橫截面軸力沿桿軸線變化規(guī)律的圖形稱為軸力圖。以平行于桿軸線的坐標(biāo)x表示桿件橫截面的位置,以垂直于桿軸線的坐標(biāo)FN表示軸力的數(shù)值,將各橫截面的軸力按一定比例畫在坐標(biāo)圖上,并連以直線,就得到軸力圖。軸力圖可以形象地表示軸力沿桿軸線變化的情況,明顯地找到最大軸力所在的位置和數(shù)值。圖4-6【例4-2】桿件受力如圖4-6a所示,已知F1=20kN,F2=30kN,F3=10kN,試畫出桿的軸力圖。4.2

4、.1扭轉(zhuǎn)的概念在垂直于桿件軸線的兩個(gè)平面內(nèi),作用一對(duì)大小相等、轉(zhuǎn)向相反*4.2圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的內(nèi)力的力偶時(shí),桿件就會(huì)產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形。扭轉(zhuǎn)變形是桿件的基本變形之一,它的特點(diǎn)是各橫截面繞桿軸線發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。桿件任意兩橫截面之間相對(duì)轉(zhuǎn)過(guò)的角度稱為扭轉(zhuǎn)角(如圖4-7所示)。工程中受扭的桿件很多,例如汽車轉(zhuǎn)向盤的操縱桿(如圖4-8a所示)、擰螺釘?shù)穆葆斝?如圖4-8b所示)、建筑工地上的卷?yè)P(yáng)機(jī)軸。房屋的雨篷梁、現(xiàn)澆框架的邊梁、平面曲梁或折梁、吊車梁也有扭轉(zhuǎn)變形。工程中將受扭的圓截面桿稱為圓軸。1.扭矩如圖4-9a所示圓軸,在垂直于軸線的兩個(gè)平面內(nèi),受一對(duì)外力偶矩Me作用,現(xiàn)求任意截面m-m的內(nèi)力。求內(nèi)力的基

5、本方法仍是截面法,用一個(gè)假想橫截面在軸的任意位置m-m將軸截開,取左段為研究對(duì)象(見圖4-9b)。4.2.2圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的內(nèi)力扭矩在對(duì)圓軸進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算之前先要計(jì)算出圓軸橫截面上的內(nèi)力扭矩。扭矩的單位與力矩相同,常用牛頓米(Nm)或千牛米(kNm)。圖4-92.扭矩正負(fù)號(hào)規(guī)定為了使由截面的左、右兩段軸求得的扭矩具有相同的正負(fù)號(hào),對(duì)扭矩的正、負(fù)作如下規(guī)定:采用右手螺旋法則,以右手四指表示扭矩的轉(zhuǎn)向,當(dāng)大拇指的指向背離截面時(shí),扭矩為正號(hào);反之,當(dāng)大拇指指向截面時(shí)為負(fù)號(hào),如圖4-10所示。圖4-104.2.3扭矩圖反映扭矩沿桿軸線變化規(guī)律的圖形,稱為扭矩圖。扭矩圖的繪制方法與軸力圖相似,即以平行于桿軸線

6、的橫坐標(biāo)表示截面位置,以垂直于桿軸線的縱坐標(biāo)表示扭矩的大小。正扭矩畫在橫坐標(biāo)軸的上方,負(fù)扭矩畫在橫坐標(biāo)軸的下方,就得到扭矩圖。圖4-11【例4-3】如圖4-11a所示圓軸,A、B、C處各作用著外力偶,試畫出該軸的扭矩圖。4.3.1平面彎曲1.彎曲變形和平面彎曲概念4.3梁的內(nèi)力桿件受到垂直于桿軸線的外力作用或在縱向平面內(nèi)受到力偶作用(見圖4-12),桿件的軸線由直線變成曲線,這種變形稱為彎曲。工程上將以彎曲變形為主要變形的桿件稱為梁。圖4-12彎曲變形是工程中最常見的一種基本變形,例如房屋建筑中的樓(屋)面梁(見圖4-13a、b)和陽(yáng)臺(tái)挑梁(見圖4-13c、d)受到樓面荷載和自重的作用,將發(fā)生

7、彎曲變形。其他如樓(屋)面板、門窗過(guò)梁、吊車梁、樓梯踏步板、樓梯斜梁等,都是以彎曲變形為主的構(gòu)件。圖4-13工程中常見的梁,其橫截面往往有一根對(duì)稱軸(見圖4-14)。對(duì)稱軸與梁軸線所組成的平面,稱為縱向?qū)ΨQ平面(見圖4-15)。外力偶都位于縱向?qū)ΨQ平面內(nèi),梁變形后,軸線將在此縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)彎曲。這種梁的彎曲平面與外力作用平面相重合的彎曲,稱為平面彎曲。平面彎曲是一種最簡(jiǎn)單,也是最常見的彎曲變形,本節(jié)將主要討論等截面直梁的平面彎曲問(wèn)題。工程中對(duì)于單跨靜定梁按其支座情況分為下列三種形式:(1)懸臂梁梁的一端為固定端,另一端為自由端(見圖4-16a)。(2)簡(jiǎn)支梁 梁的一端為固定鉸支座,另一端為可動(dòng)

8、鉸支座(見圖4-16b)。(3)外伸梁 其約束情況與簡(jiǎn)支梁相同,但梁的一端或兩端伸出支座(見圖4-16c)。根據(jù)梁的支座約束力能否用靜力平衡條件完全確定,可將梁分為靜定梁和超靜定梁兩類。2.單跨靜定梁的幾種形式圖4-164.3.2梁彎曲時(shí)的內(nèi)力剪力和彎矩1.剪力和彎矩的概念現(xiàn)以圖4-17所示簡(jiǎn)支梁為例,其支座約束力FRA、FRB均可由平衡方程求得。假想將梁沿m-m截面截開。由于梁本身平衡,所以它每部分也平衡。取左段為研究對(duì)象,在FRA作用下為維持豎直方向平衡,須有一個(gè)與FRA大小相等、方向相反的力FV與之平衡;為保持該段不轉(zhuǎn)動(dòng),須有一個(gè)與力矩MO(F)=FRAx大小相等、方向相反的力偶矩M與之

9、平衡,FV與M即為梁m-m截面上的內(nèi)力,其中FV稱為剪力,M稱為彎矩。圖4-17剪力的常用單位為牛頓(N)或千牛頓(kN),彎矩的常用單位為牛頓米(Nm)或千牛頓米(kNm)。由此可見,梁發(fā)生彎曲時(shí),橫截面上產(chǎn)生兩種內(nèi)力剪力和彎矩。剪力:與橫截面相切的內(nèi)力,用字母“FV”表示。彎矩:作用面與橫截面相垂直的內(nèi)力偶矩,用字母“M”表示。圖4-182.剪力FV和彎矩M的正負(fù)號(hào)規(guī)定(1)剪力的正負(fù)號(hào)截面上的剪力FV使所考慮的脫離體有順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)時(shí)規(guī)定為正(如圖4-18a所示),反之為負(fù)(如圖4-18b所示)。圖4-19(2)彎矩的正負(fù)號(hào) 截面上的彎矩使所考慮的脫離體產(chǎn)生向下凸的變形時(shí)規(guī)定為正(見

10、圖4-19a),反之向上凸時(shí)規(guī)定為負(fù)(見圖4-19b)。3.用截面法計(jì)算指定截面上的剪力和彎矩用截面法計(jì)算指定截面上的剪力和彎矩的步驟如下:2)用假想的截面在需求內(nèi)力處將梁截成兩段,取其中一段為研究對(duì)象。3)畫出研究對(duì)象的受力圖(注意:截面上的剪力和彎矩計(jì)算時(shí)均按正方向假設(shè))。4)建立平衡方程,計(jì)算內(nèi)力。1)計(jì)算支座約束力。【例4-4】簡(jiǎn)支梁如圖4-20a所示。已知F1=30kN,F2=30kN,試求截面1-1上的剪力和彎矩。圖4-20【例4-5】一個(gè)懸臂梁,其尺寸及梁上荷載如圖4-21a所示,求1-1截面上的剪力和彎矩。圖4-214.直接用外力計(jì)算截面上的剪力和彎矩通過(guò)上述例題,可以總結(jié)出直

11、接根據(jù)外力計(jì)算梁內(nèi)力的規(guī)律。1)求剪力的規(guī)律梁內(nèi)任意橫截面上的剪力在數(shù)值上等于該截面一側(cè)所有外力在垂直于軸線方向投影的代數(shù)和。若外力對(duì)所求截面產(chǎn)生順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)時(shí),等式右方取正號(hào);反之,取負(fù)號(hào)。此規(guī)律可記為“順轉(zhuǎn)剪力正”。2)求彎矩的規(guī)律:梁內(nèi)任一橫截面上的彎矩在數(shù)值上等于該截面一側(cè)所有外力(包括力偶)對(duì)該截面形心力矩的代數(shù)和。將所求截面固定,若外力矩使所考慮的梁段產(chǎn)生下凸彎曲變形時(shí)(即上部受壓,下部受拉),等式右方取正號(hào);反之,取負(fù)號(hào)。此規(guī)律可記為“下凸彎矩正”。利用上述規(guī)律直接由外力求梁內(nèi)力的方法稱為簡(jiǎn)便法。用簡(jiǎn)便法求內(nèi)力可以省去畫受力圖和列平衡方程,從而簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程?，F(xiàn)舉例說(shuō)明。圖4

12、-22【例4-6】用簡(jiǎn)便法求圖4-22所示簡(jiǎn)支梁1-1截面上的剪力和彎矩。4.3.3梁的內(nèi)力圖為了計(jì)算梁的強(qiáng)度和剛度,除了要計(jì)算指定截面的剪力和彎矩外,還必須知道剪力和彎矩沿梁軸線的變化規(guī)律,從而找到梁內(nèi)剪力和彎矩的最大值以及它們所在的截面位置。1.用內(nèi)力方程法繪制梁的內(nèi)力圖(1)剪力方程和彎矩方程從剪力和彎矩的計(jì)算過(guò)程可以看出,梁內(nèi)各截面上的剪力和彎矩一般是隨截面的位置而變化的。圖4-23(2)剪力圖和彎矩圖【例4-7】簡(jiǎn)支梁受均布荷載作用如圖4-24a所示,試畫出梁的剪力圖和彎矩圖。圖4-24剪力等于零的截面上彎矩有極值。結(jié)論:在均布荷載作用的梁段,剪力圖為斜直線,彎矩圖為二次拋物線。在圖

13、4-25【例4-8】簡(jiǎn)支梁受集中力作用如圖4-25a所示,試畫出梁的剪力圖和彎矩圖。結(jié)論:在無(wú)荷載梁段剪力圖為平行線,彎矩圖為斜直線。在集中力作用處,左右截面上的剪力圖發(fā)生突變,其突變值等于該集中力的大小,突變方向與該集中力的方向一致;而彎矩圖出現(xiàn)轉(zhuǎn)折,即出現(xiàn)尖點(diǎn),尖點(diǎn)方向與該集中力方向一致?！纠?-9】如圖4-26所示簡(jiǎn)支梁受集中力偶作用,試畫出梁的剪力圖和彎矩圖。圖4-26結(jié)論:梁在集中力偶作用處,左右截面上的剪力無(wú)變化,而彎矩出現(xiàn)突變,其突變值等于該集中力偶矩。2.利用荷載、剪力和彎矩之間的關(guān)系繪制梁的內(nèi)力圖(1)荷載、剪力和彎矩之間的關(guān)系利用上述荷載、剪力和彎矩之間的微分關(guān)系及規(guī)律,可

14、更簡(jiǎn)捷地繪制梁的剪力圖和彎矩圖,其步驟如下:1)求支座約束力。(2)繪制剪力圖和彎矩圖的步驟2)分段,即根據(jù)梁上集中荷載和力偶作用點(diǎn)、均布荷載的起止點(diǎn)、梁的支承點(diǎn)將梁分段。3)根據(jù)各段梁上的荷載情況,判斷其剪力圖和彎矩圖的大致形狀。4)利用計(jì)算內(nèi)力的簡(jiǎn)便方法,直接求出若干控制截面上的FV值和M值。面是指對(duì)內(nèi)力圖形能起控制作用的截面。一般情況下,選梁段的界線截面、剪力等于零的截面、跨中截面為控制截面。5)逐段直接繪出梁的FV圖和M圖。圖4-27【例4-10】一外伸梁,梁上荷載如圖4-27a所示,已知l=4m,利用荷載、剪力和彎矩之間的關(guān)系繪出此梁的剪力圖和彎矩圖。3.按疊加原理繪彎矩圖(1)疊加

15、原理由于在小變形條件下,梁的內(nèi)力、支座約束力、應(yīng)力和變形等參數(shù)均與荷載呈線性關(guān)系,每一個(gè)荷載單獨(dú)作用時(shí)引起某一參數(shù)變化不受其他荷載的影響。梁在幾個(gè)荷載共同作用時(shí)所引起的某一參數(shù)(內(nèi)力、支座約束力、應(yīng)力和變形等),等于梁在各個(gè)荷載單獨(dú)作用時(shí)所引起同一參數(shù)的代數(shù)和,這種關(guān)系稱為疊加原理,如圖4-29所示。圖4-29用疊加法繪彎矩圖的步驟:1)作出梁在每一個(gè)荷載單獨(dú)作用下的彎矩圖。2)將各彎矩圖中同一截面上的彎矩代數(shù)相加(注意:不是圖形的簡(jiǎn)單拼合)?！纠?-12】試用疊加法畫出圖4-30a所示簡(jiǎn)支梁的彎矩圖。圖4-30解:(1)先將梁上荷載分為集中力偶M和均布荷載q兩組。(2)分別畫出M和q單獨(dú)作用時(shí)的彎矩圖(如圖4-30b、c所示),然后將這兩個(gè)彎矩圖相疊加。注:用疊加法作圖,一般不能直接找出最大彎矩的精確值,若需要確定最大彎矩的精確值,應(yīng)找出剪力FV=0的截面位置,求出該截面的