厄米算符的本征函數(shù)系的完備性課件

1、引言一切力學(xué)量均可用算符表示？本章學(xué)習(xí)的主要問題是：1、算符的定義 2、算符的運算3、QM與MA中的算符的區(qū)別4、算符的本征值問題5、算符隨時間的變化6、其它問題本章是量子力學(xué)的基礎(chǔ)一個基本概念：厄米算符（作用與性質(zhì)）二個基本假定：力學(xué)量用算符表示； 任意態(tài)用厄米算符本征態(tài)表示三個力學(xué)量計算值：確定值、可能值、 平均值四個力學(xué)量的本征態(tài)和本征值。代表對波函數(shù)進行某種運算或變換的符號由于算符只是一種運算符號，所以它單獨存在是沒有意義的，僅當它作用于波函數(shù)上，對波函數(shù)做相應(yīng)的運算才有意義，例如：4.1.1.算符定義4.1 線性算符、對易關(guān)系與厄米算符表示 把函數(shù) u 變成 v， 就是這種變 換的算

2、符。 u = v d / dx 就是算符，其作用 是對函數(shù) u 微商， 故稱為微商算符。du / dx = v x 也是算符。 它對 u 作用 是使 u 變成 v。x u = v（1）線性算符(c11+c22)= c11+c22其中c1, c2是任意復(fù)常數(shù)， 1, 1是任意兩個波函數(shù)。滿足如下運算規(guī)律的 算符 稱為線性算符（2）算符相等若兩個算符 、對體系的任何波函數(shù) 的運算結(jié)果都相 同，即= ，則算符 和算符 相等記為 = 。例如：開方算符、取復(fù)共軛均不是線性算符。 4.1.2.算符的一般特性（3）算符之和 若兩個算符 、 對體系的任何波函數(shù) 有： ( + ) = + = 則 + = 稱為算

3、符之和。顯然，算符求和滿足交換率和結(jié)合率。例如：體系Hamilton 算符注意，算符運算沒有相減，因為減可用加來代替。 - = + （-）。 很易證明線性算符之和仍為線性算符。（4）算符之積若 ( ) = () = 則 = 其中是任意波函數(shù)。一般來說算符之積不滿足 交換律，即 這是算符與通常數(shù)運算 規(guī)則的唯一不同之處。（5）對易關(guān)系若 ，則稱 與 不對易。顯然二者結(jié)果不相等，所以:對易關(guān)系量子力學(xué)中最基本的 對易關(guān)系。若算符滿足 = - ， 則稱 和 反對易。寫成通式:但是坐標算符與其非共軛動量 對易，各動量之間相互對易。注意： 當 與 對易， 與 對易，不能推知 與 對易與否。例如：（6）對

4、易括號為了表述簡潔，運算便利和研究量子 力學(xué)與經(jīng)典力學(xué)的關(guān)系，人們定義了 對易括號： , - 這樣一來， 坐標和動量的對易關(guān)系 可改寫成如下形式： 不難證明對易括號滿足如下對易關(guān)系： 1) , = - , 2) ,+ = , + , 3) , = ,+ , 4) , + , + , , = 0 上面的第四式稱為 Jacobi 恒等式。返回（7）逆算符1. 定義: 設(shè)= , 能夠唯一的解出 , 則可定義 算符 之逆 -1 為: -1 = 并不是所有算符都存 在逆算符,例如投影 算符就不存在逆.2.性質(zhì) I: 若算符 之逆 -1 存在,則 -1 = -1 = I , , -1 = 0 證: = -

5、1 = -1 ( ) = -1 因為是任意函數(shù),所以-1 = I成立. 同理, -1 = I 亦成立.3.性質(zhì) II: 若 , 均存在逆算符, 則 ( )-1 = -1 -1例如: 設(shè)給定一函數(shù) F(x), 其各階導(dǎo)數(shù)均存在, 其冪級數(shù)展開收斂則可定義算符 的函數(shù) F()為:（9）復(fù)共軛算符算符的復(fù)共軛算符 *就是把表達式中 的所有量換成復(fù)共軛.例如: 坐標表象中（8）算符函數(shù)利用波函數(shù)標準條件: 當|x| 時, 0。由于、是 任意波函數(shù), 所以同理可證:（10）轉(zhuǎn)置算符(11)厄密共軛算符由此可得：:轉(zhuǎn)置算符 的定義厄密共軛 算符亦可 寫成：算符 之厄密共軛算符 + 定義:可以證明: ( )

6、+ = + + ( .)+ = . + + +(12) 厄密算符1. 定義: 滿足下列關(guān)系 的算符稱為 厄密算符.2. 性質(zhì)性質(zhì) I: 兩個厄密算符之和仍是厄密算符。 即 若 + = , + = 則 (+)+ = + + + = (+) 性質(zhì) II: 兩個厄密算符之積一般不是厄密 算符, 除非二算符對易。 因為 ( )+ = + + = 僅當 , = 0 成立時, ( )+ = 才成立。返回（一）厄米算符的本征值是實數(shù) （二）厄米算符的本征函數(shù)具有正交性（三）厄米算符的本征函數(shù)系的完備性（四）兩個厄米算符具有共同的本征函數(shù)系的充要條件 4.2 厄米算符的性質(zhì)一、厄密算符的本征值是實數(shù)。 當體系

7、處于 F 的本征態(tài)n 時，則每次測量結(jié)果都是 Fn 。由 本征方程可以看出，在n（設(shè)已歸一）態(tài)下證（1）正交性定理1： 厄密算符屬于不同本征值的本征函數(shù)彼此正交證：設(shè)取復(fù)共軛，并注意到 Fm 為實。兩邊右乘 n 后積分二式相減 得：若mFn，則必有：證畢（2）分立譜、連續(xù)譜正交歸一表示式1. 分立譜正 交歸一條 件分別為：2. 連續(xù)譜正 交歸一條 件表示為：3. 正交歸一系滿足上式的函數(shù)系 n 或 稱為正交歸一（函數(shù)）系。二、厄密算符的本征函數(shù)具有正交性。 （4）簡并情況上面證明厄密算符本征函數(shù)的正交性時，曾假設(shè) 這些本征函數(shù)屬于不同本征值，即非簡并情況。如果 F 的本征值Fn是f度簡并的，則

8、對應(yīng)Fn有f個本征函數(shù)：n1 ,n2 , ., nf 滿足本征方程：一般說來，這些函數(shù) 并不一定正交?？梢宰C明由這 f 個函數(shù)可以線性組合成 f 個獨立的新函數(shù)，它們?nèi)詫儆诒菊髦?Fn 且滿足正交歸一化條件。但是證明由這 f 個n i 線性組合成 f 個新函數(shù) n j可以滿足正交歸一化條件：證明分如下兩步進行1. nj 是本征值 Fn 的本征函數(shù)。2. 滿足正交歸一條件的 f 個新函數(shù)n j可以組成。1. nj是本征值Fn的本征函數(shù)。2. 滿足正交歸一條件的f個新函數(shù)nj可以組成。方程的歸一化條件有 f 個，正交條 件有f(f-1)/2 個，所以共有獨立方 程數(shù)為二者之和等于 f(f+1)/2

9、 。為此只需證明線性 疊加系數(shù) Aji 的個 數(shù) f 2 大于或等于 正交歸一條件方程 個數(shù)即可。算符 F 本征值 Fn簡并的本質(zhì)是： 當 Fn 確定后還不能唯一的確定狀態(tài)，要想唯一的確定狀態(tài)還得尋找另外一個或幾個力學(xué)量算符，F(xiàn) 算符與這些算符兩兩對易，其本征值與 Fn 一起共同確定狀態(tài)。綜合上述討論可得如下結(jié)論： 既然厄密算符本征函數(shù)總可以取為正交歸一化 的，所以以后凡是提到厄密算符的本征函數(shù)時， 都是正交歸一化的，即組成正交歸一系。因為 f2 - f(f+1)/2 = f(f-1)/2 0， 所以，方程個數(shù)少于待定系數(shù) Aji 的個數(shù)，因而，我們有多種可能來確定這 f 2 個系數(shù)使上式成立

10、。f 個新函數(shù)nj 的確是算符 F 對應(yīng)于本征值 Fn 的正交歸一化的本征函數(shù)。(I) 數(shù)學(xué)中已經(jīng)證明某些滿足一定條件的厄密算符其本征函數(shù)組成完備系（參看：梁昆淼，數(shù)學(xué)物理方法P324；王竹溪、郭敦仁，特殊函數(shù)概論1.10 用正交函數(shù)組展開 P41），即若：則任意函數(shù)(x) 可 按n(x) 展開：(II) 除上面提到的動量本征函數(shù)外,人們已經(jīng)證明了一些力學(xué)量 算符的本征函數(shù)也構(gòu)成完備系，如下表所示：但是對于任何一個力學(xué)量算符，它的本征函數(shù)是否一定完備并無一般證明，這將涉及到一個頗為復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題。不管怎樣，由上述兩點分析，量子力學(xué)認為：一切力學(xué)量算符的本征函數(shù)都組成完備系。三、厄密算符的本征函

11、數(shù)系的完備性。 （一）兩力學(xué)量同時有確定值的條件體系處于任意狀態(tài) （x）時，力學(xué)量 F 一般沒有確定值。如果力學(xué)量 F 有確定值， （x）必為 F 的本征態(tài)，即如果有另一個力學(xué)量 G 在 態(tài)中也有確定值， 則 必也是 G 的一個本征態(tài)，即結(jié)論：當在 態(tài)中測量力學(xué)量 F 和 G 時，如果同時具有確定值，那么 必是 二力學(xué)量共同本征函數(shù)。四、兩個厄密算符具有共同本征函數(shù)系的充要條件。 （二）兩算符對易的物理含義所以？是特定函數(shù)， 非任意函數(shù)也！例如： = 0 的態(tài)，Y m = Y00 Lx Lz 同時有確定值。但是，如果兩個力學(xué)量的共同本征函數(shù)不止一個，而是一組且構(gòu)成完備系，此時二力學(xué)量算符必可對

12、易?？疾烨懊娑剑憾ɡ恚喝魞蓚€力學(xué)量算符有一組共同完備的本征函數(shù)系，則二算符對易。證：由于 n 組成完備系，所以任意態(tài)函數(shù) (x) 可以按其展開：則因為 (x) 是任意函數(shù)逆定理：如果兩個力學(xué)量算符對易，則此二算符有組成完備系的共同的本征函數(shù)。證：考察：n 也是 G 的本征函數(shù)，同理 F 的所有本征函數(shù) n （ n = 1，2， )也都是 G 的本征函數(shù),因此二算符具有共同完備的本征函數(shù)系.僅考慮非簡并情況即：與 n 只差一常數(shù) Gn定理：一組力學(xué)量算符具有共同完備本征函數(shù)系的充要條件是這組算符兩兩對易。例 1：例 2：例 3：例 4：力學(xué)量完全集合（1）定義：為完全確定狀態(tài)所需要的一組兩兩對

13、易的力學(xué) 量算符的最?。〝?shù)目）集合稱為力學(xué)量完全集。例 1：三維空間中自由粒子，完全確定其狀態(tài)需要三個兩兩對易的力學(xué)量：例 2：氫原子，完全確定其狀態(tài)也需要三個兩兩對易的力學(xué)量：例 3：一維諧振子，只需要一個力學(xué)量就可完全確定其狀態(tài)：（2）力學(xué)量完全集中力學(xué)量的數(shù)目一般與體系自由度數(shù)相同。（3）由力學(xué)量完全集所確定的本征函數(shù)系，構(gòu)成該體系態(tài)空間的一組完備的本征函數(shù)，即體系的任何狀態(tài)均可用它展開。QM基本假定3,力學(xué)量與算符:經(jīng)典力學(xué)中的任一力學(xué)量F(r,p)對應(yīng)量子力學(xué)線性厄米算符,F的本征值為力學(xué)量的測量值(又稱可測值).如果粒子的波函數(shù)是力學(xué)量的本征函數(shù),本征值為f,則測量該粒子的力學(xué)量F

14、時得,F=f.4.3 QM基本假定3,力學(xué)量與算符 4.5 QM基本假定4,力學(xué)量平均值QM基本假定4,力學(xué)量平均值:量子力學(xué)中的所有力學(xué)量算符的本征函數(shù)都具備完備性.（一）力學(xué)量的可能值（二）力學(xué)量的確定值對基本假定的討論:對QM基本假定3的討論-對QM基本假定4的討論-（三）力學(xué)量的平均值力學(xué)量算符的本征函數(shù)組成完備系(I) 數(shù)學(xué)中已經(jīng)證明某些滿足一定條件的厄密算符其本征函數(shù)組成完備系（參看：梁昆淼，數(shù)學(xué)物理方法P324；王竹溪、郭敦仁，特殊函數(shù)概論1.10 用正交函數(shù)組展開 P41），即若：則任意函數(shù)(x) 可 按n(x) 展開：(II) 除上面提到的動量本征函數(shù)外,人們已經(jīng)證明了一些力

15、學(xué)量 算符的本征函數(shù)也構(gòu)成完備系，如下表所示：但是對于任何一個力學(xué)量算符，它的本征函數(shù)是否一定完備并無一般證明，這將涉及到一個頗為復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題。不管怎樣，由上述兩點分析，量子力學(xué)認為：一切力學(xué)量算符的本征函數(shù)都組成完備系。推論：當體系處于(x) 態(tài)時，測量力學(xué)量F具有確定值的 充要條件是(x) 必須是算符 F的一個本征態(tài)。證：1. 必要性。若F具有確定值 則(x) 必為 F 的本征態(tài)。確定值的意思就是 每次測量都為 。根據(jù)基本假定III，測量值必為本征值之一， 令 =m 是 F 的一個本征值，滿足本征方程又根據(jù)基本假定 IV，n(x) 組成完備系，且測得可能值是： 1,2,.,m 相應(yīng)幾率是

16、： |c1|2,|c2|2,.,|cm|2,.?，F(xiàn)在只測得m，所以|cm|2=1, |c1|2=|c2|2=.=0（除|cm|2外）。 于是得 (x)= m(x)，即 (x)是算符 F 的一個本征態(tài)。（一）力學(xué)量的確定值2. 充分性。若(x)是 F的一個本征態(tài)，即 (x)= m(x)，則 F 具有確定值。根據(jù)基本假定IV，力學(xué)量算符 F 的本征函數(shù)組成完備系。所以測得n 的幾率是 |cn|2。因為表明，測量 F 得m 的幾率為 1， 因而有確定值。量子力學(xué)基本假定III告訴人們，在任意態(tài)(r)中測量任一力學(xué)量 F，所得的結(jié)果只能是由算符 F 的本征方程解得的本征值n之一。但是還有 兩點問題 沒

17、有搞清楚：1. 測得每個本征值n的幾率是多少？也就是說，哪些本征值能夠測到，對應(yīng)幾率是多少，哪些測不到，幾率為零。2. 是否會出現(xiàn)各次測量都得到同一個本征值，即有確定值。要解決上述問題， 我們還得從討論 本征函數(shù)的另一 重要性質(zhì)入手。(1) 力學(xué)量算符本征函數(shù)組成完備系1. 函數(shù)的完備性有一組函數(shù)n(x) (n=1,2,.),如果任意函數(shù)(x)可以按這組函數(shù)展開:則稱這組函數(shù)n(x) 是完備的。例如：動量本征函數(shù) 組成完備系（二）力學(xué)量的可能值（2） 力學(xué)量的可能值和相應(yīng)幾率現(xiàn)在我們再來討論在一般狀態(tài) (x) 中測量力學(xué)量F，將會得到哪些值，即測量的可能值及其每一可能值對應(yīng)的幾率。根據(jù)量子力學(xué)

18、基本假定III，測力學(xué)量 F 得到的可能值必是力學(xué)量算符 F的本征值 n n = 1,2,. .之一,該本征值由本征方程確定：而每一本征值n各以一定幾率出現(xiàn)。 那末這些幾率究竟是多少呢？下面 我們討論這個問題。由于n(x)組成完備系，所以體系 任一狀態(tài)(x)可按其展開：展開系數(shù) cn 與x無關(guān)。為求 cn ，將m*(x) 乘上式并對 x 積分得：討論：與波函數(shù)(x) 按動量本征函數(shù) 展開式比較二者完全相同我們知道：(x) 是坐標空間的波函數(shù)； c (p) 是動量空間的波函數(shù)； 則 cn 則是 F 空間的波函數(shù)， 三者完全等價。證明：當(x)已歸一時，c(p) 也是歸一的，同樣 cn 也是歸一的

19、。證：所以|cn|2 具有幾率的意義，cn 稱為幾率振幅。我們知道|(x)|2 表示在x點找到粒子的幾率密度，|c(p)|2 表示粒子具有動量 p 的幾率，那末同樣，|cn|2 則表示 F 取 n 的幾率。量子力學(xué)基本假定IV綜上所述，量子力學(xué)作如下假定：任何力學(xué)量算符 F 的本征函數(shù)n(x)組成正交歸一完備系，在任意已歸一態(tài)(x)中測量力學(xué)量 F 得到本征值n 的幾率等于(x)按n(x)展開式： 中對應(yīng)本征函數(shù)n(x)前的系數(shù) cn 的絕對值平方。力學(xué)量平均值就是指多次測量的平均結(jié)果， 如測量長度 x，測了 10 次，其中 4 次得 x1，6 次得 x2，則 10 次測量的平均值為：如果波函

20、數(shù)未歸一化同樣，在任一態(tài)(x) 中測量某力學(xué)量 F 的 平均值（在理論上） 可寫為：則這兩種求平均 值的公式都要 求波函數(shù)是已 歸一化的此式等價于 以前的平均 值公式：（三）力學(xué)量的平均值 4.4 QM中常用的力學(xué)量算符（一）坐標算符 對于y、z有類似的討論。（二）動量算符（1）動量算符的厄密性使用波函數(shù)在無窮遠 處趨于零的邊界條件。（2）動量本征方程其分量形式：證：由證明過程可見，動量算符的厄密性與波函數(shù)的邊界條件有關(guān)。I. 求解這正是自由粒子的 de Broglie 波的空 間部分波函數(shù)。如果取 |c|2 (2)3=1則 p(r) 就可 歸一化為 -函數(shù)。解之得到如下一組解：于是： II.

21、 歸一化系數(shù)的確定采用分離變量法，令：代入動量本征方程且等式兩邊除以該式，得：xyzAAoL（3）箱歸一化在箱子邊界的對應(yīng)點A, A上加上其波函數(shù)相等的條件，此邊界條件稱為周期性邊界條件。據(jù)上所述，具有連續(xù)譜的本征函數(shù)如:動量的本征函數(shù)是不能歸一化為一的，而只能歸一化為-函數(shù)。 但是，如果我們加上適當?shù)倪吔鐥l件，則可以用以前的歸一化方法來歸一，這種方法稱為箱歸一化。周期性邊界條件這表明，px 只能取分立值。 換言之， 加上周期性邊界條件后， 連續(xù)譜變成了分立譜。所以 c = L-3/2， 歸一化的本征函數(shù)為：波函數(shù)變?yōu)檫@時歸一化系數(shù) c 可由歸一化條件來確定：討論：（1）箱歸一化實際上相當于如

22、圖所示情況：(a)A(b)A(c)yx（2）由 px = 2nx / L, py = 2ny / L, pz = 2nz / L, 可以看出，相鄰兩本征值的間隔 p = 2 / L 與 L 成反比。當 L 選的足夠大時，本征值間隔可任意小，當 L 時，本征值變成為連續(xù)譜。（3）從這里可以看出，只有分立譜才能歸一化為一，連續(xù)譜歸一化為 函數(shù)（4）p(r) expiEt/ 就是自由粒子波函數(shù)，在它所描寫的狀態(tài)中，粒子動量有確定值，該確定值就是動量算符在這個態(tài)中的本征值。（5）周期性邊界條件是動量算符厄米性的要求。（三）角動量算符（1）角動量算符的形式根據(jù)量子力學(xué)基本假定III， 量子力學(xué)角動量算符

23、為:(I) 直角坐標系角動量平方算符經(jīng)典力學(xué)中，若動量為 p，相對點O 的 位置矢量為 r 的粒子繞 O 點的角動量是：由于角動量平方算符中含有關(guān)于 x，y，z 偏導(dǎo)數(shù)的交叉項,所以直角坐標下角動量平方算符的本征方程不能分離變量,難于求解,為此我們采用球坐標較為方便.直角坐標與球坐標之間的變換關(guān)系xz球 坐 標ry這表明： r = r (x, y, z) x = x (r, , )(II) 球坐標將（1）式兩邊分別對 x y z 求偏導(dǎo)數(shù)得：將（2）式兩邊分別對 x y z 求偏導(dǎo)數(shù)得：對于任意函數(shù)f (r, , ) （其中，r, , 都是 x, y, z 的函數(shù)）則有：將（3）式兩邊分別對

24、x y z 求偏導(dǎo)數(shù)得：將上面結(jié)果 代回原式得：則角動量算符 在球坐標中的 表達式為：（3）角動量算符的對易關(guān)系證：（2）本征方程(I) Lz的本征方程求 歸 一 化 系 數(shù)正交性：I。波函數(shù)有限條件，要求 z 為實數(shù)； II。波函數(shù)單值條件，要求當 轉(zhuǎn)過 2角回到原位時波函數(shù)值相等，即：合記之得 正交歸一化 條件：最后得 Lz 的本征函數(shù) 和本征值：討論：厄密性要求第一項為零所 以則這正是周期性邊界條件(II) L2的本征值問題L2 的本征值方程可寫為：為使 Y(,) 在 變化的整個區(qū)域(0, )內(nèi)都是有限的， 則必須滿足： = （ + 1), 其中 = 0, 1, 2, .其中 Y(,)

25、是 L2 屬于本征值 2 的本征函數(shù)。此方程就是大 家熟悉的球諧函數(shù)方程，其求解 方法在數(shù)學(xué)物理方法中已有詳細 的講述，得到的結(jié)論是：該方程的解就是球函數(shù) Yl m(,)，其表達式：歸一化系數(shù)，由歸一化條件確定其正交歸一 條件為：具體計算請參考有關(guān)數(shù)學(xué)物理方法的書籍，在這里就不作詳細介紹了。(III) 本征值的簡并度由于量子數(shù) 表征了角動量的大小， 所以稱為角量子數(shù)；m 稱為磁量子數(shù)?？芍?，對應(yīng)一個 值，m 取值為 0, 1, 2, 3, ., 共 (2 +1)個值。因此當 確定后，尚有(2 +1)個磁量子狀態(tài)不確定。換言之，對應(yīng)一個值有(2 +1)個量子狀態(tài)，這種現(xiàn)象稱為簡并， 的簡并度是

26、(2 +1) 度。根據(jù)球函數(shù)定義式（4）角動量升降階算符(I) 定義顯 然 有 如 下 性 質(zhì) 所以，這兩個算符 不是厄密算符。(II) 對易關(guān)系不 難 證 明可見，(L+ Yl m) 也是 Lz 與 L2 的共同本征函 數(shù)，對應(yīng)本征 值分別為 (m+1) 和 l (l+1) 2。(III) 證明：證：將 Eq. (1) 作用于 Yl m 得：將 Eq. (2) 作用于 Yl m 得：由于相應(yīng)于這些本征值的本征函數(shù)是 Yl, m+1 所以，L+ Yl m 與 Yl, m+1 二者僅差一個常數(shù)，即求: 常系數(shù) al m, bl m首先對 式左邊 積分 并注意 L- = L+再計算 式右積分比較二

27、式由（4）式例：證明在 LZ 本征態(tài) Ylm 下， = = 0證：方法 I代入平均值公式：同理：由角動量對易關(guān)系：代入平均值公式：同理：方法 II返回QM基本假定3,力學(xué)量與算符:經(jīng)典力學(xué)中的任一力學(xué)量F(r,p)對應(yīng)量子力學(xué)線性厄米算符,F的本征值為力學(xué)量的測量值(又稱可測值).如果粒子的波函數(shù)是力學(xué)量的本征函數(shù),本征值為f,則測量該粒子的力學(xué)量F時得,F=f.4.3 QM基本假定3,力學(xué)量與算符 4.5 QM基本假定4,力學(xué)量平均值QM基本假定4,力學(xué)量平均值:量子力學(xué)中的所有力學(xué)量算符的本征函數(shù)都具備完備性.4、6 不確定關(guān)系（一）不確定關(guān)系的嚴格推導(dǎo) （二）坐標和動量的不確定關(guān)系 （三

28、）角動量的不確定關(guān)系（一）不確定關(guān)系的嚴格推導(dǎo)（1）引由上節(jié)討論表明，兩力學(xué)量算符對易則同時有確定值；若不對易，一般來說，不存在共同本征函數(shù)，不同時具有確定值。問題：兩個不對易算符所對應(yīng)的力學(xué)量在某一狀態(tài)中究竟不確定到什么程度？即不確定度是多少？不確定度：測量值 Fn 與平均值 的偏差的大小。（1）不確定關(guān)系的嚴格推導(dǎo)證：II 不確定關(guān)系的嚴格推導(dǎo)設(shè)二厄密算符對易關(guān)系為：是算符或普通數(shù)最后有：對任意實數(shù) 均成立由代數(shù)二次式理論可知，該不等式成立的條件是系數(shù)必須滿足下列關(guān)系：兩個不對易算符均方偏差關(guān)系式不確定關(guān)系均方偏差其中：（二）坐標和動量的不確定關(guān)系表明：坐標與動量的均方偏差不能同時為零，其一越小，另一就越大。（1）不確定關(guān)系（2）線性諧振子的零點能振子能量被積函數(shù)是x 的奇函數(shù)n 為實處 n =0于是：二均方偏差不能同時為零，故 E 最小值也不能是零。為求 E 的最小值，取式中等號。則：求極值：解得