2019年下半年真題試卷答案

1、一、單項(xiàng)選擇題2019 年下半年國(guó)家教師資格考試真題試卷B【解析】令 f（x） ln x ，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可知，f （x） limf（x x） f（x） limln（x x） ln（x）x0 xx0 x1x x x1111xxlimln1 lim ln1 lim ln1 x x ln e x 。x0 xx x0 x x0 x xB【解析】矩陣乘法運(yùn)算滿足結(jié)合律、左右分配率，即 MXY M（XY）， M（X Y） MX MY ，（X Y）M XM YM ，所以 B 項(xiàng)正確。但矩陣乘法一般不滿足交換律和消去律。3.D 【 解 析 】 若 可 積 函 數(shù) f（x） 在 a，a 上 是 偶 函 數(shù) ，

2、 則af（x）dx 2a f（x）dx ；若 f（x）在a，a 上是奇函數(shù)，則af（x）dx 0 。a0aex e xex e x因?yàn)?y x2 ， y 是區(qū)間（1，1）上的偶函數(shù)， y x3 ， y 是區(qū)間22（1，1）上的奇函數(shù)，所以有（1x2 x3）dx 1 x2dx 1 x3dx 1 x2dx 0 21 x2dx011110，1 ex e xdx 21 exe xdx0 ， 1 exe xdx 0。又函數(shù) y ln（x 2）在（1，1）120212上恒大于零，所以 1 ln（x 2）dx0 。1 x2 y2 ，ab0，A【解析】 a2b2表示坐標(biāo)平面 xOy 內(nèi)長(zhǎng)軸在 x 軸上的橢圓，

3、將該y2 z2z 0橢圓繞 x軸旋轉(zhuǎn)一周，即將方程x2 y2 a2b2 1 中的 x保持不變，y替換成，所以所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程為x2 a2y 2 b2z 2 1。b2C【解析】齊次線性方程組 AX 0 的全體解向量構(gòu)成該方程組的解空間，因?yàn)?， 和 ， 1212是方程組的兩個(gè)不同的基礎(chǔ)解系，所以， 和 ， 是解2121空間的兩個(gè)不同的基，而且這兩組向量等價(jià)，于是有r（ ， ） r（ ， ） 2 ，r（ ， ， ） r（ ， ） 2 。121212112B【解析】三個(gè)非零向量 a ， b ， c 共面，則 a b 垂直于向量 a ， b ， c 所在的平面，所以（a b） c 0 ，同理可知（a

4、 c） b 0 ，所以 A，D 兩項(xiàng)中的結(jié)論一定成立。共面的三個(gè)向量一定線性相關(guān)，即 C 項(xiàng)中的結(jié)論一定成立。而a b c 0不一定成立，如a ， b ， c 同向時(shí)a b c 0 。D【解析】圖形的平移不改變圖形的形狀和大小，因此平移后的圖形與平移前的圖形全等，而全等是相似比為 1 的相似，所以 A，B，C 三項(xiàng)中所述的圖形的關(guān)系是正確的。但平移后得到的圖形和原來(lái)的圖形不一定對(duì)稱，只有一些特殊的圖形平移后和原來(lái)的圖形是對(duì)稱的，如中心對(duì)稱圖形在平移后得到的圖形和原來(lái)的圖形是中心對(duì)稱的。D【解析】義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）指出，“教學(xué)活動(dòng)是師生積極參與、交往互動(dòng)、共同發(fā)展的過(guò)程。有效

5、的教學(xué)活動(dòng)是學(xué)生學(xué)與教師教的統(tǒng)一， 學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師是學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者”。二、簡(jiǎn)答題（參考答案） 10 1 x 3 y 1 x 3，9.（1）由題意得， y 2 x 3 21 ，即 121則 1 1 1 11 y2 0 x25x 5 yx 5， x （2 y 3），332 232有 11代入橢圓方程得（y 3）2 （y 5）2 1。x2 （3 y2 5），12（2）平面內(nèi)任意兩點(diǎn)的距離都可通過(guò)平移轉(zhuǎn)化為原點(diǎn)到對(duì)應(yīng)點(diǎn)（x，y）的距離，不妨取原點(diǎn)（0，0）與點(diǎn)（2，3）。由（1）可得，（0， 0）在題中變換下的像為（3，5），（2，3）在題中變換下的像為（4，6），記22 321

6、3兩點(diǎn)在變換前的距離為d，變換后的距離為 d ， 則 d ，（4 3）2 （6 5）22d ，顯然在該變換下平面內(nèi)兩點(diǎn)的距離發(fā)生變化。平面內(nèi)任意直線（斜率存在）都可以通過(guò)平移轉(zhuǎn)化為過(guò)原點(diǎn)的直線y kx。若k=0，由（1）可得，直線y=0在題中變換下的方程為（3 y 5） 0，即y=5，斜率仍為0；若 k 0，不妨令 k 3，直線 y 3 x在題中變換下的方程為（3 y 5）223 （2 x 3），即2y x 2，斜率為1。綜上，在題中變換下斜率為0的直線的斜率不發(fā)生變化， 斜率不為0的直線的斜率發(fā)生變化。10.（1）如圖所示，畫(huà)出f（x） sin x和g（x） x2 x的大致圖像，根據(jù)圖像易知

7、（0，0），（，0）是兩函數(shù)圖像的兩個(gè)交點(diǎn)。因?yàn)?g（x）在（， ）上單調(diào)遞增，且g 3 3 2 3 32 1 f（x），所以兩函數(shù)圖像在（， ） 2 2 2 4上無(wú)交點(diǎn)，又g（x）在（ ，0）上單調(diào)遞減，且g 2 32 1 f（x），所以兩函數(shù)圖像在 （ ，0）2 2 2 4上也無(wú)交點(diǎn)，因此兩函數(shù)圖像有且僅有（0，0），兩個(gè)交點(diǎn)，則兩函數(shù)所圍平面圖形如圖中陰影部分所示，故所求面積（，0） sin（x2 x）d cos3 2 2 3 。Sxx0 xxx 13260（2）由旋轉(zhuǎn)體體積公式可得， 1 cos 2x xsin2x 2V sin 2 xdx dx 。002 2420取5次球，最多取到3

8、個(gè)白球的對(duì)立事件是取到4個(gè)白球或5個(gè)白球。設(shè)取C4C15C51到白球的數(shù)量為 X ，則 P（X 4）88 ， P（X 5）8 ， 故C516516739C57816所求概率 P（X 3） 1 39 78 78 。研究中學(xué)幾何問(wèn)題主要有以下三種方法。結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想，借助代數(shù)知識(shí)來(lái)解決幾何問(wèn)題。中學(xué)數(shù)學(xué)中，在研究幾何圖形的性質(zhì)（或位置關(guān)系）時(shí)，經(jīng)常需要將其抽象成適當(dāng)?shù)臄?shù)量關(guān)系，使抽象思維和形象思維結(jié)合起來(lái)，從而實(shí)現(xiàn)抽象的數(shù)量關(guān)系與直觀的具體形象的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化。例如，在研究點(diǎn)、線、面三者之間的關(guān)系時(shí)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想將代數(shù)公式與幾何圖形聯(lián)系在一起，結(jié)合代數(shù)語(yǔ)言通過(guò)代數(shù)方程將問(wèn)題簡(jiǎn)化。運(yùn)用化歸思想，將

9、幾何問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)化研究。中學(xué)數(shù)學(xué)中新知識(shí)的學(xué)習(xí)，是一個(gè)在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上發(fā)展未知知識(shí)的過(guò)程，而這一過(guò)程是化歸思想的體現(xiàn)。在研究中學(xué)幾何圖形問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常借助已學(xué)幾何知識(shí)，將復(fù)雜的幾何圖形轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單圖形來(lái)解決。例如，在學(xué)習(xí)圓錐的側(cè)面積公式時(shí)，將其轉(zhuǎn)化為扇形的面積公式來(lái)研究。利用方程思想，研究幾何圖形未知元素的求解問(wèn)題。在研究幾何圖形相關(guān)邊長(zhǎng)、角度等問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常需要利用已知量，根據(jù)圖形邊、角等的數(shù)量關(guān)系，設(shè)置未知量，建立方程（或方程組）、不等式（或不等式組）來(lái)求解。而方程思想就是從問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系入手，應(yīng)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將問(wèn)題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（方程（組）、不等式（組），然后通過(guò)解方程或不等式來(lái)解決問(wèn)題。

10、例如，在解三角形的問(wèn)題中，已知直角三角形的周長(zhǎng)和一邊，求另外兩邊的邊長(zhǎng)，就要通過(guò)設(shè)未知量，結(jié)合周長(zhǎng)和勾股定理建立一元二次方程進(jìn)行求解。在整個(gè)教學(xué)過(guò)程中，教師調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，應(yīng)遵循情意原則、過(guò)程原則和調(diào)控原則。具體分析如下。情意原則情意原則是發(fā)揮學(xué)生主體性必須堅(jiān)持的原則，學(xué)生學(xué)習(xí)的情意性越濃，其主體性發(fā)揮得就越好。在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中貫徹情意原則，可以通過(guò)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，激發(fā)學(xué)生的情感，使學(xué)生具有強(qiáng)烈的求知欲，從而調(diào)動(dòng)其參與數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的積極性。過(guò)程原則過(guò)程原則是指數(shù)學(xué)教學(xué)必須以知識(shí)的發(fā)生發(fā)展和認(rèn)知形成的內(nèi)在聯(lián)系為線索，充分展現(xiàn)和經(jīng)歷其中的思維活動(dòng)，使學(xué)生真正參與到發(fā)現(xiàn)的過(guò)程中來(lái)。在教學(xué)中貫徹過(guò)

11、程原則，應(yīng)采用多種教學(xué)方式相結(jié)合，以此來(lái)調(diào)動(dòng)學(xué)生強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)欲望，激發(fā)其學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)和興趣。調(diào)控原則調(diào)控原則強(qiáng)調(diào)“反饋-調(diào)節(jié)”機(jī)制的應(yīng)用，其實(shí)質(zhì)是通過(guò)及時(shí)調(diào)控，采取有步驟地設(shè)置思維障礙等方法，鋪設(shè)恰當(dāng)?shù)恼J(rèn)知階梯，呈現(xiàn)與學(xué)生“思維最近發(fā)展區(qū)”相適應(yīng)的學(xué)習(xí)任務(wù)，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。三、解答題（參考答案）14.（1）步驟的證明依據(jù)是拉格朗日中值定理。因?yàn)樵?，1上可導(dǎo)，所以由拉格朗日中值定理可知， （0，x）（0，1）1。f（x） f（0） f （ ）x1f（x），有步驟的證明依據(jù)是題中所給條件， x 0，1 ，有f （x） f（x）。步驟是在區(qū)間（0，x）上使用拉格朗日中值定理，步驟是在縮小的區(qū)間（

12、0， ）上繼續(xù)使用拉格朗日中值定理。1將上述過(guò)程不斷地進(jìn)行下去，可得f（） f（0）xn1 f （ ）xn1 f （ ）xn f（ ）x（n0 x）n1，所以nn1nnnn121f（x） f（x） f（0） f（ ）x f（ ）x2 f（ ）x（n0 x）12n。nn121因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在0，1上可導(dǎo)，所以函數(shù)f（x）在0，1上連續(xù)，從而函數(shù) f（x）在0，1上有界，即M R ，對(duì)x 0，1 ，有f（x） M。當(dāng) x 0，1)時(shí)， 0 f（x） lim f（）xn lim Mxn 0， 即nnnf（x） 0 ，再根據(jù)函數(shù)連續(xù)性可得， f（1） limx1f（x） 0 ，所以 f（x） 0 ，

13、x 0，1 。四、論述題（參考答案）15.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）中指出，教學(xué)活動(dòng)是師生積極參與、交往互動(dòng)、共同發(fā)展的過(guò)程；數(shù)學(xué)課堂教學(xué)應(yīng)激發(fā)學(xué)生興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性，引發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思考，鼓勵(lì)學(xué)生的創(chuàng)造性思維；注重培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，使學(xué)生掌握恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法。因此，結(jié)合新課標(biāo)對(duì)課程基本理念的闡述，教師在教學(xué)中幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣應(yīng)該做到以下幾點(diǎn)：教師在教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)該將教學(xué)內(nèi)容與實(shí)際生活相結(jié)合，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，從而使其意識(shí)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要性及實(shí)用性；教師應(yīng)通過(guò)布置復(fù)習(xí)相關(guān)舊知和預(yù)習(xí)相關(guān)新知的學(xué)習(xí)任務(wù)，來(lái)幫助學(xué)生養(yǎng)成課后鞏固和課前預(yù)習(xí)的良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)

14、慣；教師在教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)通過(guò)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境等啟發(fā)性環(huán)節(jié)，幫助學(xué)生養(yǎng)成自主思考的良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣；教師在教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)設(shè)置與新課相關(guān)的探究活動(dòng)，使學(xué)生在活動(dòng)中積累基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，并培養(yǎng)其合作交流的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣；教師在教學(xué)過(guò)程中，要注重結(jié)合所授知識(shí)向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想方法，注意培養(yǎng)學(xué)生準(zhǔn)確地使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言的習(xí)慣，進(jìn)而提高學(xué)生思考問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力；教師要注重對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的評(píng)價(jià)，從而幫助學(xué)生全面了解自身的學(xué)習(xí)情況，幫助其養(yǎng)成定期對(duì)自己學(xué)習(xí)情況查漏補(bǔ)缺的學(xué)習(xí)習(xí)慣。五、案例分析題（參考答案）16.（1）錯(cuò)誤：該學(xué)生在約分的過(guò)程中沒(méi)有考慮約去的分式不能為0的情況。該學(xué)生產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因：沒(méi)有遵循分式方程

15、的標(biāo)準(zhǔn)解法解此方程；對(duì)約分相關(guān)內(nèi)容存在知識(shí)漏洞，且思考問(wèn)題不夠全面。一般解法如下：方程兩邊同時(shí)乘以 x 2 得，1 x 1（3 x 2）；去括號(hào)，化簡(jiǎn)得，1 x 7 3x ；移項(xiàng)得， 4x 8 ；解得， x 2 ；將x 2代人原方程驗(yàn)證增根，發(fā)現(xiàn)x 2 0 ，即分式方程的分母為0，不成立；得出結(jié)論，原方程無(wú)解。中學(xué)階段解方程常用的數(shù)學(xué)思想方法主要有以下幾種?；瘹w思想化歸思想是在研究和解決某一數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)采用某種手段將問(wèn)題通過(guò)變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而得以解決的一種思想方法，其實(shí)質(zhì)是將復(fù)雜問(wèn)題通過(guò)某種變換轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題。在解方程中實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化的解題方法有配方法、因式分解法、待定系數(shù)法等。以因式分解法為例，

16、如將一元二次方程x（x 3） x 3 0 ，轉(zhuǎn)化為（x 1）（x 3） 0 ，分別求解一元一次方程 x 1 0和 x 3 0，從而得到答案。整體思想整體思想是從問(wèn)題的整體性質(zhì)出發(fā)，突出對(duì)問(wèn)題整體結(jié)構(gòu)的分析和改造， 發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的整體結(jié)構(gòu)特征，用“集成”的眼光將某些式子看成一個(gè)整體，把握這些式子之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)行有目的、有意識(shí)的整體處理。這一思想在運(yùn)用換元法解方程時(shí)得以體現(xiàn)：在解較為復(fù)雜的方程時(shí)，通過(guò)變量間的某種聯(lián)系，將其中的某些部分看成一個(gè)整體用新的變量符號(hào)代替（換元），將復(fù)雜的方程進(jìn)行化簡(jiǎn)求解，如分式方程x x 1 5，令y x，將上式化簡(jiǎn)為x 1x215x 1y ，求出 y 的值，進(jìn)而求出 x

17、的值。y2分類思想分類思想是根據(jù)數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，將數(shù)學(xué)研究對(duì)象分為不同種類的一種數(shù)學(xué)思想。例如，在求解帶有絕對(duì)值的方程時(shí)，要分別討論 x 3 5 和 x 3 5 這兩種情況來(lái)求解。六、教學(xué)設(shè)計(jì)題（參考答案）x 3 517.（1）角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。教學(xué)過(guò)程一、導(dǎo)入新課1.復(fù)習(xí)舊知教師帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)角平分線的概命及作法。2.情境導(dǎo)入教師設(shè)置問(wèn)題情境：如圖（多媒體展示），將AOB對(duì)折，再折出一個(gè)直角三角形（使第一條折痕為斜邊），然后展開(kāi)，觀察兩次折疊形成的三條折痕，你能得出什么結(jié)論？活動(dòng)：教師讓學(xué)生拿出紙剪成多媒體所示的圖（a），按照上述步驟依次折疊，

18、最后形成圖（d），給學(xué)生分小組，預(yù)留時(shí)間供其進(jìn)行合作探究，教師巡視指導(dǎo)。【設(shè)計(jì)意圖】新課之前復(fù)習(xí)舊知，可以幫助學(xué)生鞏固舊知，同時(shí)在舊知的基礎(chǔ)上發(fā)展新知，貫徹鞏固與發(fā)展相結(jié)合的原則；教師創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，讓學(xué)生自主探究新知，充分體現(xiàn)教學(xué)過(guò)程中以學(xué)生為主體的課標(biāo)要求，同時(shí)可以培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力和合作交流的意識(shí)。二、明確定理學(xué)生匯報(bào)定理內(nèi)容，教師做適當(dāng)點(diǎn)評(píng)，并講解；OC為AOB的角平分線；DE和DF分別為角平分線上一點(diǎn)D到角兩邊的距離；DE=DF（學(xué)生直觀探究的結(jié)論）。教師講授定理：經(jīng)探究可知，角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，我們稱這一結(jié)論為角平分線的性質(zhì)定理?！驹O(shè)計(jì)意圖】教師結(jié)合導(dǎo)入的問(wèn)題，逐一

19、介紹定理相關(guān)概念，并進(jìn)一步明確定理內(nèi)容，對(duì)定理進(jìn)行了清晰詳細(xì)的描述，可以使學(xué)生很好地理解定理，并對(duì)定理內(nèi)容形成深刻記憶。三、證明定理教師引導(dǎo)學(xué)生分析要證定理的“已知”和“求證”：已知為“一個(gè)點(diǎn)在一個(gè)角的角平分線上”，要證結(jié)論為“這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等”。教師引導(dǎo)學(xué)生將定理內(nèi)容符號(hào)化，并抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題：如圖，AOC=BOC，點(diǎn)P在OC上， PD OA， PE OB ，垂足分別為點(diǎn)D，E，求證PD=PE?；顒?dòng)：教師預(yù)留時(shí)間供學(xué)生思考探究，學(xué)生自主解題，教師巡視，并做如下啟發(fā)。師：我們學(xué)過(guò)什么知識(shí)可以證明兩條線段相等？ 師：ODP和OEP的關(guān)系是什么？教師結(jié)合講解，板書(shū)證明過(guò)程：PD OA，PE OB ，PDO PEO 90 。又AOC BOC，OP OP ， PDO PEO（AAS）。 PD PE ?！驹O(shè)計(jì)意圖】教師引導(dǎo)學(xué)生將定理進(jìn)行拆分 ，并引導(dǎo)其將定理內(nèi)容符號(hào)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，無(wú)形中向?qū)W生滲