自控控制原理第4章課件

1、第四章 控制系統(tǒng)根軌跡分析法第一節(jié) 根軌跡的基本概念第二節(jié) 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則第三節(jié) 系統(tǒng)根軌跡的繪制第四節(jié) 參量根軌跡第五節(jié) 系統(tǒng)性能的根軌跡分析1第一節(jié) 根軌跡的基本概念一、問題的提出 在前一章控制系統(tǒng)的時域分析的討論中已經知道，只要能求得系統(tǒng)微分方程的特征方程的根即系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數的極點，則系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)性能就可以確定。但是在高階系統(tǒng)中，求解特征根的根是一件很困難的事，在實際工作中難以應用。 1948年伊文思根據反饋系統(tǒng)開環(huán)和閉環(huán)傳遞函數之間的關系，提出了求解特征方程根的圖解方法根軌跡法。根軌跡法是分析、設計線性定常系統(tǒng)的一種圖解方法。2 二、根軌跡的概念 定義: Gk(

2、s)的某個參數由0時，系統(tǒng)的閉環(huán)特征根在S平面上的變化軌跡。 例 已知系統(tǒng)的結構圖如下圖所示，請繪出K由0時的根軌跡。R(s)-Y(s)根軌跡的基本概念3解：閉環(huán)傳遞函數為 系統(tǒng)特征方程為 K01/2123s10-0.29-1-1+j-1+2j-1+js2-2-1.7-1-1-j-1-2j-1-jj根軌跡的基本概念4有了根軌跡圖，可以立即分析系統(tǒng)的各種性能（1）穩(wěn)定性 開環(huán)增益K從零變到無窮時，根軌跡不會越過虛軸進入右半s平面，因此系統(tǒng)對所有的K值都是穩(wěn)定的。（2）穩(wěn)態(tài)特性 開環(huán)系統(tǒng)在坐標原點有一個極點，所以屬于一型系統(tǒng)。因此根軌跡是的K值就是靜態(tài)速度誤差系數。如果給定系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差要求，則由根

3、軌跡圖可以確定閉環(huán)極點位置的允許范圍。（3）動態(tài)特性 由圖中可見，當0K1時，所有閉環(huán)極點都位于實軸上，系統(tǒng)為過阻尼系統(tǒng)，單位階躍響應為非周期過程；當K=1時，閉環(huán)兩個實數極點相重合，系統(tǒng)為臨界阻尼系統(tǒng)，單位階躍仍為非周期過程，但響應速度較0K1時，閉環(huán)極點為復數極點，系統(tǒng)為欠阻尼系統(tǒng)，單位階躍響應為阻尼震蕩過程，且超調量將會隨K值的增大而加大。上述分析表明，根軌跡與系統(tǒng)性能之間有著比較密切的關系。根軌跡的基本概念5 一般而言，繪制根軌跡時的可變參量可以是系統(tǒng)的任意參量。但最常用的可變參量是系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數Kg（也稱為根軌跡增益）。 Kg常規(guī)根軌跡 Kg以外的參數參量根軌跡以上二階系統(tǒng)的根軌

4、跡可以用解析法來求得，但對于高階系統(tǒng)來說，解析法就不適用了，工程上常采用圖解的方法來繪制。根軌跡的基本概念6第二節(jié) 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則本節(jié)重點: 掌握根軌跡的繪制方法本節(jié)難點： 根軌跡的出射角和入射角，以及根軌跡和虛軸的交點 一、根軌跡的幅值條件和相角條件 一般的閉環(huán)系統(tǒng)結構框圖如圖所示，其特征方程為其開環(huán)傳遞函數由等式兩邊幅角和相角分別相等的條件可得在S平面上的任一點，凡能滿足以上幅角和相角條件的，就是系統(tǒng)特征方程的根，就必定在根軌跡上。7開環(huán)傳遞函數通常又可以寫為其中 開環(huán)傳遞函數 開環(huán)零點、極點即其中 開環(huán)零點到S的矢量角 開環(huán)極點到S的矢量角在測量相角時，規(guī)定以逆時針方向為

5、正。繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則8例 已知開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數為 ，設 為該閉環(huán)系統(tǒng)的一個極點，求其對應的傳遞系數 。式中 為開環(huán)有限零點； 為開環(huán)極點。解：在右圖，各相角必滿足按幅值條件求得該點的根軌跡傳遞系數基本思想:根據幅值條件確定根軌跡上某一點對應的增益，由相角條件確定根軌跡上的某點位置。繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則9二、根軌跡繪制法則1.連續(xù)性 特征方程為代數方程，當Kg從0連續(xù)變化時，代數方程的根即特征根也連續(xù)變化。2.對稱性 因為特征根必為實數或為共軛復數，故根軌跡對稱于實軸3. 起點 （Kg =0）和終點（Kg = ）由式（4-8）可得： 當Kg =0 ，有 ，(i=1,2,

6、n) 。 為開環(huán)極點，故根軌跡從開環(huán)極點出發(fā)。 還是由（4-8）可得開環(huán)零點（有限，無限）為根軌跡終點。設N(s)為m階，有m個有限開環(huán)零點，還有n-m個無限零點。繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則104 .根軌跡數條數：開環(huán)極點數n，n條5.實軸上的根軌跡 在S平面實軸上的線段存在根軌跡的條件是：線段右側開環(huán)零點（有限零點）和開環(huán)極點數之和為奇數。6.分離點和會合點 分離點：根軌跡相遇后又分開的點。 分離角：離開分離點的角度。 會合點：根軌跡相會合的點。 會合角：進入會合點的角度。 一般來說，兩個開環(huán)極點之間會有一個分離點，兩個有限開環(huán)零點之間會有一個會合點。計算分離點和會合點的公式：求出的重根

7、要代入原方程，只有當Kg為正，才是分離點和會合點。j繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則11例 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為 ，求根軌跡的分離點和會合點。解：系統(tǒng)有一個開環(huán)零點為-1，有兩個開環(huán)極點分別為-0.1和-0.5。根據根軌跡繪制原則可知，根軌跡與實軸相重合的區(qū)間為 -0.1，-0.5,（-，-1。 求根軌跡的分離點和會合點：繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則12求對應分離點、會合點的Kg：7.漸近線（1）漸近線條數：n-m條，根軌跡沿漸近線傾角方向趨向無窮遠（2）漸近線交點：與實軸交于一點 坐標為（-，j0）jS1=-0.33Kg1=0.06S1=-1.67Kg1=2.74繪制根軌跡的基本條件和基

8、本規(guī)則13例 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數如下所示，請求出根軌跡的漸近線。解：系統(tǒng)沒有開環(huán)零點，有三個開環(huán)極點分別為0，-2和-4。8.與虛軸的交點 方法一：代數法 將s=jw代入系統(tǒng)特征方程，求出w的值。 方法二：勞斯判據繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則14例 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為 ，請求出根軌跡與虛軸的交點。解：系統(tǒng)的特征方程為:方法一：將 代入特征方程經整理得繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則15方法二：由特征方程可知，該系統(tǒng)為三階系統(tǒng)，系統(tǒng)型別為一型。列勞斯表若根軌跡與虛軸相交，則表示系統(tǒng)存在純虛根，該點對應的Kg使系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，因此 ，即又因為一對純虛根必為數值相同，符號相反的根，所

9、以用勞斯表S2行的系數可以構成輔助方程。繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則169.出射角與入射角 出射角：位于復平面上的開環(huán)極點，根軌跡離開此極點與正實軸的夾角。 入射角：位于復平面上的開環(huán)零點，根軌跡進入此零點與正實軸的夾角。例 求以下特征方程的根軌跡。解：繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則17其等效傳遞函數為其漸近線為其出射角為繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則18第三節(jié) 系統(tǒng)根軌跡的繪制 例4-6 圖4-1給出了典型二階系統(tǒng)的結構圖，在此基礎上增加一個極點如圖4-9所示，取a=4試繪制該系統(tǒng)根軌跡。解：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為 （1）系統(tǒng)有三個開環(huán)極點 ， ，（2）實軸上根軌跡區(qū)間為（-，-4， -1，

10、0 。 （3）根軌跡的分離點可按（4-14）式計算 解此方程可得 （4）根軌跡漸近線的傾角：19根軌跡漸近線與實軸的交點：（5）根軌跡與虛軸的交點系統(tǒng)特征方程為令 ，得 亦即解得 系統(tǒng)根軌跡的繪制 20例4-7 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為 ，試繪制系統(tǒng)根軌跡。 解：（1）系統(tǒng)有三個開環(huán)極點 ， ， （2）實軸上根軌跡區(qū)間為 -4，0 。 （3）根軌跡的分離點 代入到（4-14）式，得 解此方程可得 系統(tǒng)根軌跡的繪制 21（4）根軌跡漸近線的傾角 根軌跡漸近線與實軸的交點 （5）根軌跡與虛軸的交點系統(tǒng)特征方程為即 令 ，得亦即 系統(tǒng)根軌跡的繪制 22解得（6）根軌跡在復數極點 的出射角 由公式（4

11、-17）由對稱性知：根據計算結果繪制根軌跡如右圖。 系統(tǒng)根軌跡的繪制 23 第四節(jié) 參量根軌跡 前面幾個小節(jié)中討論的根軌跡都是以開環(huán)增益Kg作為參變量的，這種根軌跡稱為常規(guī)根軌跡。而在控制系統(tǒng)的分析設計中，有時還要考慮其它參數變化對系統(tǒng)的影響，因此還需繪制除Kg以外的其它參數變化時閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡。這種選擇除Kg以外其他參量作為可變參量繪制的根軌跡稱作參量根軌跡。一般系統(tǒng)參量根軌跡的繪制步驟可歸納如下：（1）求出原系統(tǒng)的特征方程；（2）以特征方程中不含該參量的各項除特征方程，得等效系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數。（3）根據上一節(jié)介紹的根軌跡繪制規(guī)則，繪制等效的根軌跡，即得原系統(tǒng)的參量根軌跡。系統(tǒng)特征方程如

12、下式所示：以所選可變參量代替Kg的位置24等效開環(huán)傳遞函數為例 已知系統(tǒng)的結構圖如右圖所示,試畫出其參量根軌跡。解：（1）求系統(tǒng)特征方程 （2）兩邊同除以R(s)-Y(s)j參量根軌跡25第五節(jié) 系統(tǒng)性能的根軌跡分析 一、增加開環(huán)零、極點對根軌跡的影響 在系統(tǒng)中加入適當的開環(huán)零點或極點可以改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)和動態(tài)性能。 26例4-9 若在典型的二階系統(tǒng)增加一個零點時，系統(tǒng)的結構圖為圖4-13。取繪制系統(tǒng)根軌跡圖并分析增加的零點對系統(tǒng)性能的影響。解：增加零點后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為 （1）系統(tǒng)有二個開環(huán)極點： ， 一個開環(huán)零點： （2）實軸上根軌跡區(qū)間為（-，-6和-4，0。（3）根軌跡的分離點可按式

13、（4-14）計算解此方程可得：即系統(tǒng)根軌跡的分離點、會合點為-2.53、-9.47系統(tǒng)性能的根軌跡分析27（4）根據相角條件可知，根軌跡各點應滿足令 ，得利用反正切公式可得對上式的兩邊取正切，整理后即得根軌跡方程式這是一個圓的方程，圓心為 ；半徑為。 系統(tǒng)的根軌跡如圖4-14所示。這個圓與實軸的交點即為分離點和會合點。系統(tǒng)性能的根軌跡分析28二、利用根軌跡分析系統(tǒng)的動態(tài)性能 根據系統(tǒng)的根軌跡，可以確定使系統(tǒng)穩(wěn)定適當的開環(huán)傳遞系數以及對應的閉環(huán)極點，再根據已知的閉環(huán)極點確定主導極點，進而分析系統(tǒng)的動態(tài)性能。例4-10 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數為 ，試確定阻尼比 時的主導極點和相應的 和 值。解：首先繪制

14、系統(tǒng)根軌跡，在此基礎上確定主導極點并求性能參數。 （1）系統(tǒng)有三個開環(huán)極點（起點）： ， ，（2）實軸上根軌跡區(qū)間為（-,-4和-2，0 。（3）根軌跡的分離點可按式（4-14）計算系統(tǒng)性能的根軌跡分析29解此方程可得（4）根軌跡漸近線的傾角根軌跡漸近線與實軸的交點（5）根軌跡與虛軸的交點系統(tǒng)特征方程為令 ，得亦即 系統(tǒng)性能的根軌跡分析30解得 ，根據計算結果繪制根軌跡如圖4-15。（6）確定閉環(huán)極點由 得： 。 式中 是等 線與負實軸方向的夾角。在圖4-15中作與負實軸夾角成60的等 線，與根軌跡的交點是 。從圖中量得 的值為：另一個閉環(huán)極點與是共軛復數：與 和 對應的開環(huán)傳遞系數 的值可由式（4-