高考必備-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)對(duì)點(diǎn)提分專題9.2用樣本估計(jì)總體及統(tǒng)計(jì)圖表(文理科通用)(學(xué)生版)

1、 第九篇 統(tǒng)計(jì)專題 9.02 用樣本估計(jì)總體及統(tǒng)計(jì)圖表【考試要求】能根據(jù)實(shí)際問題的特點(diǎn)，選擇恰當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)圖表對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行可視化描述，體會(huì)合理使用統(tǒng)計(jì)圖表的重要性；能用樣本估計(jì)總體的集中趨勢(shì)參數(shù)(平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù) )，理解集中趨勢(shì)參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義；能用樣本估計(jì)總體的離散程度參數(shù)(標(biāo)準(zhǔn)差、方差、極差 )，理解離散程度參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義；了解樣本估計(jì)總體的取值規(guī)律； 5.能用樣本估計(jì)百分位數(shù)，理解百分位數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.知識(shí)梳理】頻率分布直方圖頻率分布表的畫法：第一步：求極差，決定組數(shù)和組距，組距極差；組數(shù)；第二步：分組，通常對(duì)組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間； 第三步：登記頻數(shù)，計(jì)算頻率，列

2、出頻率分布表 .(2) 頻率分布直方圖：反映樣本頻率分布的直方圖(如圖 )橫軸表示樣本數(shù)據(jù)，縱軸表示)叫做這組頻率距 ，每個(gè)小矩形的面積表示樣本落在該組內(nèi)的頻率頻率分布折線圖和總體密度曲線頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形上端的中點(diǎn)，就得到頻率分布折線圖 .總體密度曲線：隨著樣本容量的增加，作圖時(shí)所分的組數(shù)增加，組距減小，相應(yīng)的頻率分布折線圖就會(huì) 越來越接近于一條光滑曲線，統(tǒng)計(jì)中稱這條光滑曲線為總體密度曲線.樣本的數(shù)字特征眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù)，叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).中位數(shù)：把 n 個(gè)數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)組數(shù)據(jù)的中位數(shù)

3、 .a1 a2 an平均數(shù)：把 1 2n n稱為 a1， a2， an這 n 個(gè)數(shù)的平均數(shù) .標(biāo)準(zhǔn)差與方差：設(shè)一組數(shù)據(jù) x1，x2，x3， xn的平均數(shù)為 x，則這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差和方差分別是 s 1n (x1x)2( x2 x) 2( xnx)2，1 s2n(x1 x)2 ( x2 x)2 (xn x)2.百分位數(shù) 如果將一組數(shù)據(jù)從小到大排序，并計(jì)算相應(yīng)的累計(jì)百分位，則某一百分位所對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)的值就稱為這一百分 位的百分位數(shù) .可表示為：一組 n 個(gè)觀測(cè)值按數(shù)值大小排列 .如，處于 p%位置的值稱第 p 百分位數(shù) 【微點(diǎn)提醒】頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)的關(guān)系最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)

4、即是眾數(shù).中位數(shù)左邊和右邊的小長(zhǎng)方形的面積和是相等的.平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘以小長(zhǎng)方形底邊中 點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和 .平均數(shù)、方差的公式推廣mxa.若數(shù)據(jù) x1，x2， xn的平均數(shù)為 x，那么 mx1 a， mx2 a， mx3 a， mxna 的平均數(shù)是數(shù)據(jù) x1，x2， xn 的方差為 s2.數(shù)據(jù) x1 a， x2a， xna 的方差也為 s2；數(shù)據(jù) ax1，ax2， axn 的方差為 a2s2.中位數(shù)相當(dāng)于第 50 百分位數(shù) .疑誤辨析】判斷下列結(jié)論正誤 (在括號(hào)內(nèi)打“”或“” )(1) 平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中

5、趨勢(shì) .( )一組數(shù)據(jù)的方差越大，說明這組數(shù)據(jù)越集中 .( )頻率分布直方圖中，小矩形的面積越大，表示樣本數(shù)據(jù)落在該區(qū)間的頻率越大 .( )教材衍化】(必修 3P1002(1)改編)一個(gè)容量為 32 的樣本，已知某組樣本的頻率為 0.25，則該組樣本的頻數(shù)為 ( )A.4B.8C.12D.16（必修 3P70 示例改編 ）若某校高一年級(jí) 8 個(gè)班參加合唱比賽的得分分別為87，89，90， 91，92，93，94，96，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別是（ ）91.5 和 91.5 B.91.5 和 92C.91 和 91.5 D.92 和 92.為更好地了解該真題體驗(yàn)】（2018 全國(guó) 卷）某地

6、區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍，實(shí)現(xiàn)翻番 地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入變化情況，統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例，得到如圖所示的餅圖：則下面結(jié)論中不正確的是()新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟(jì)收入的一半（2019 新余二模 ）為了解戶籍、性別對(duì)生育二胎選擇傾向的影響，某地從育齡人群中隨機(jī)抽取了容量為 100 的樣本，其中城鎮(zhèn)戶籍與農(nóng)村戶籍各 50 人；男性 60 人，女性 40 人，繪制不同群體中傾向選擇生育二胎與 傾向選擇不生育二胎的人數(shù)比例圖（如圖所示

7、），其中陰影部分表示傾向選擇生育二胎的對(duì)應(yīng)比例，則下列敘述中錯(cuò)誤的是 （ ）A.是否傾向選擇生育二胎與戶籍有關(guān)是否傾向選擇生育二胎與性別無關(guān)傾向選擇生育二胎的人員中，男性人數(shù)與女性人數(shù)相同D.傾向選擇不生育二胎的人員中，農(nóng)村戶籍人數(shù)少于城鎮(zhèn)戶籍人數(shù)（2019 上海黃浦區(qū)質(zhì)檢 ） 已知樣本容量為 200，在樣本的頻率分布直方圖中，共有n 個(gè)小矩形，若中間一個(gè)小矩形的面積等于其余 （n 1）個(gè)小矩形面積和的 31，則該組的頻數(shù)為 .3【考點(diǎn)聚焦】考點(diǎn)一 頻率分布直方圖【例 1】 （2019石家莊模擬 ）“一帶一路”是“絲綢之路經(jīng)濟(jì)帶”和“21 世紀(jì)海上絲綢之路”的簡(jiǎn)稱 .某市為了了解人們對(duì)“一帶一

8、路”的認(rèn)知程度，對(duì)不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，滿分為 100分（90 分及以上為認(rèn)知程度高 ）.現(xiàn)從參賽者中抽取了 x人，按年齡分成 5組，第一組： 20，25）， 第二組： 25，30），第三組： 30 ，35），第四組： 35，40），第五組： 40 ， 45 ，得到如圖所示的頻率分布 直方圖，已知第一組有 6 人 .（1） 求 x；（2）求抽取的 x 人的年齡的中位數(shù) （結(jié)果保留整數(shù) ）；（3）從該市大學(xué)生、軍人、醫(yī)務(wù)人員、工人、個(gè)體戶五種人中用分層抽樣的方法依次抽取 6 人，42 人， 36 人， 24人， 12人，分別記為 15組，從這 5 個(gè)按年齡分的組和

9、 5 個(gè)按職業(yè)分的組中每組各選派 1 人參加 知識(shí)競(jìng)賽，分別代表相應(yīng)組的成績(jī)，年齡組中15 組的成績(jī)分別為 93， 96，97，94，90，職業(yè)組中 1 5組的成績(jī)分別為 93，98，94， 95，90.（）分別求 5 個(gè)年齡組和 5 個(gè)職業(yè)組成績(jī)的平均數(shù)和方差；（）以上述數(shù)據(jù)為依據(jù)，評(píng)價(jià) 5 個(gè)年齡組和 5 個(gè)職業(yè)組對(duì)“一帶一路”的認(rèn)知程度，并談?wù)勀愕母邢?.規(guī)律方法】 1.頻率分布直方圖的性質(zhì)頻率(1)小長(zhǎng)方形的面積組距 組距 頻率；(2) 各小長(zhǎng)方形的面積之和等于 1；1組距頻率小長(zhǎng)方形的高 組矩 ，所有小長(zhǎng)方形的高的和為2.要理解并記準(zhǔn)頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)的關(guān)系.【訓(xùn)練

10、 1】 某公司為了解用戶對(duì)其產(chǎn)品的滿意度，從A，B 兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了 40個(gè)用戶，根據(jù)用戶對(duì)產(chǎn)品的滿意評(píng)分，得到 A地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖和B 地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布表 .A 地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖B 地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布表滿意度評(píng) 分分組50，60)60，70)70，80)80， 90)90 ，100頻數(shù)2814106(1) 在圖中作出 B 地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖，并通過直方圖比較兩地區(qū)滿意度評(píng)分的平均值及分散程度 (不要求計(jì)算出具體值，給出結(jié)論即可 )；B 地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖(2)根據(jù)用戶滿意度評(píng)分，將用戶和滿意度分為三

11、個(gè)等級(jí)：滿意度評(píng)分低于 70 分70 分到 89 分不低于 90 分滿意度等級(jí)不滿意滿意非常滿意估計(jì)哪個(gè)地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為不滿意的概率大？說明理由考點(diǎn)二 樣本的數(shù)字特征【例 2】(1)(2017 全國(guó)卷)為評(píng)估一種農(nóng)作物的種植效果，選了n塊地作試驗(yàn)田 .這 n塊地的畝產(chǎn)量 (單位：kg)分別為 x1，x2， xn，下面給出的指標(biāo)中可以用來評(píng)估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是( )x1， x2， xn 的平均數(shù)B. x1， x2， xn 的標(biāo)準(zhǔn)差C.x1，x2， xn的最大值D. x1， x2， xn的中位數(shù)(2)(2019 聊城模擬 )已知某 7 個(gè)數(shù)的平均數(shù)為 4，方差為 2，現(xiàn)加入一個(gè)新數(shù)

12、據(jù) 4，此時(shí)這 8 個(gè)數(shù)的平均數(shù)為x ，方差為 s2，則 ()x 4， s22C.x 4， s24， s222.用樣本估計(jì)總體就是利用樣本的數(shù)字特征來描述總體的數(shù)字特征.【訓(xùn)練 2】 抽樣統(tǒng)計(jì)甲、乙兩位射擊運(yùn)動(dòng)員的 5 次訓(xùn)練成績(jī) (單位：環(huán) ) ，結(jié)果如下：運(yùn)動(dòng)員第1次第 2 次第3次第4次第5次甲8791908993乙8990918892則成績(jī)較為穩(wěn)定 (方差較小 )的那位運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的方差為 【反思與感悟】用樣本估計(jì)總體是統(tǒng)計(jì)的基本思想 .用樣本頻率分布來估計(jì)總體分布的重點(diǎn)是頻率分布表和頻率分布直方圖的繪制及用樣本頻率分布估計(jì)總體分布；難點(diǎn)是頻率分布表和頻率分布直方圖的理解及應(yīng)用 .(1)

13、眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的量，平均數(shù)是最重要的量，與每個(gè)樣本數(shù)據(jù)有 關(guān)，這是中位數(shù)、眾數(shù)所不具有的性質(zhì) .(2) 標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小.標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度就越大3.頻率分布表和頻率分布直方圖都可直觀描述樣本數(shù)據(jù)的分布規(guī)律.【易錯(cuò)防范】直方圖與條形圖不要搞混頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)為頻率 /組距，每一個(gè)小長(zhǎng)方形的面積表示樣本個(gè)體落在該區(qū)間內(nèi)的頻率；條形圖的縱坐標(biāo)為頻數(shù)或頻率，把直方圖視為條形圖是常見的錯(cuò)誤 .【核心素養(yǎng)提升】【數(shù)據(jù)分析】 百分位數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義1.數(shù)據(jù)分析是指針對(duì)研究對(duì)象獲取數(shù)據(jù)，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、分析和推斷，形成關(guān)

14、于研究對(duì)象 知識(shí)的素養(yǎng) .數(shù)據(jù)分析過程主要包括：收集數(shù)據(jù)，整理數(shù)據(jù)，提取信息，構(gòu)建模型，進(jìn)行推斷，獲得結(jié)論2.數(shù)據(jù)分析是研究隨機(jī)現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)技術(shù)，是大數(shù)據(jù)時(shí)代數(shù)學(xué)應(yīng)用的主要方法，也是“互聯(lián)網(wǎng)”相關(guān) 領(lǐng)域的主要數(shù)學(xué)方法，數(shù)據(jù)分析已經(jīng)深入到科技術(shù)、工程和現(xiàn)代社會(huì)生活的各個(gè)方面 . 3.數(shù)據(jù)分析主要表現(xiàn)為：收集和整理數(shù)據(jù)，理解和處理數(shù)據(jù)，獲得和解釋結(jié)論，概括和形成知識(shí).百分位數(shù)是統(tǒng)計(jì)學(xué)述語，百分位數(shù)用于描述一組數(shù)據(jù)某一百分位置的水平，多個(gè)百分位數(shù)結(jié)合應(yīng)用，可全面描述一組觀察值的分布特征；百分位數(shù)還可用于確定非正態(tài)分布資料的醫(yī)學(xué)參考值范圍.但應(yīng)用百分位數(shù)時(shí)，樣本含量要足夠大，否則不宜取太靠近兩端的百

15、分位數(shù) .【案例】 階梯電價(jià)的設(shè)計(jì) （此材料見 2017 版課程標(biāo)準(zhǔn) P130）【情境】 為了實(shí)現(xiàn)綠色發(fā)展，避免浪費(fèi)能源，某市政府計(jì)劃對(duì)居民用電采用階梯收費(fèi)的方法.為此，相關(guān)部門在該市隨機(jī)調(diào)查了 200 戶居民六月份的用電量 （單位： kWh），以了解這個(gè)城市家庭用電量的情況 .數(shù)據(jù)如 下：10710178992081277422331131214135896660115189135146127203979662 65 111 56 151 106 8162916793 21215961 63 178 1941942161019813978110192105962250138251120112

16、1002019884137203260134156 61701007216417413193100163807695152182882471917013049114110163202265189414614914717733957109107182101148274 289 82213 165 224142611081379025420183253113130821701101086325023712084154288170123172 319 62133 130 1271077196140771061321061351321678225854251107699872 481091342504

17、2320113180144116530200174135160462139133304191283121132118134124178206626120274141 80 187 88 324 136 498 169 77 57 根據(jù)以上數(shù)據(jù)，應(yīng)當(dāng)如何確定階梯電價(jià)中的電量臨界值，才能使得電價(jià)更為合理？【評(píng)析】 分位數(shù)是用于衡量數(shù)據(jù)的位置的量度，但它所衡量的，不一定是中心位置.百分位數(shù)提供了有關(guān)各數(shù)據(jù)項(xiàng)如何在最小值與最大值之間分布的信息.對(duì)于無大量重復(fù)的數(shù)據(jù)，第 p 百分位數(shù)將它分為兩個(gè)部分 .大約有 p%的數(shù)據(jù)項(xiàng)的值比第 p 百分位數(shù)??；而大約有 （100 p）%的數(shù)據(jù)項(xiàng)的值比第 p 百分位數(shù)

18、大 .對(duì)第 p百 分位數(shù)，嚴(yán)格的定義如下：第 p 百分位數(shù)是這樣一個(gè)值，它使得至少有p%的數(shù)據(jù)項(xiàng)小于或等于這個(gè)值，且至少有（100 p）%的數(shù)據(jù)項(xiàng)大于或等于這個(gè)值 .【案例應(yīng)用 1】對(duì)于考試成績(jī)的統(tǒng)計(jì)，如果您的成績(jī)處在95 的百分位數(shù)上，則意味著 95%的參加考試者得到了和您一樣的考分或還要低的考分，而不是您答對(duì)了95%的試題 .也許您只答對(duì)了 20% ，即使如此，您取得的成績(jī)也與 95%的參加考試者一樣好，或者比 95%的參加考試者更好 .【案例應(yīng)用 2】 假設(shè)想為退休存夠錢 .可創(chuàng)建一個(gè)包括所有不確定變量的模型，如投資年回報(bào)率、通貨膨 脹、退休時(shí)的開支等，得到概率分布的結(jié)果如下圖所示，如果

19、選擇平均值，錢不夠的概率就會(huì)有 50%.所以 選第 90 百分位數(shù)所對(duì)應(yīng)的投資數(shù)，這樣錢不夠的概率將只有 10%.【分層訓(xùn)練】【基礎(chǔ)鞏固題組】 （建議用時(shí)： 40分鐘 ）一、選擇題1.某班的全體學(xué)生參加英語測(cè)試，成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，數(shù)據(jù)的分組依次為20， 40）， 40，60），60，80），80，100.若低于 60 分的人數(shù)是 15，則該班的學(xué)生人數(shù)是 （ ）A.45B.50C.55D.602.甲、乙、丙、丁四人參加某運(yùn)動(dòng)會(huì)射擊項(xiàng)目的選拔賽，四人的平均成績(jī)和方差如下表所示：甲乙丙丁 平均環(huán)數(shù) x8.38.88.88.7方差 s23.53.62.25.4從這四個(gè)人中選擇一人參加該運(yùn)

20、動(dòng)會(huì)射擊項(xiàng)目比賽，最佳人選是 ( )A.甲B.乙C.丙D. 丁甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5 次，兩人成績(jī)的條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，則 ( )A. 甲的成績(jī)的平均數(shù)小于乙的成績(jī)的平均數(shù)甲的成績(jī)的中位數(shù)等于乙的成績(jī)的中位數(shù)甲的成績(jī)的方差小于乙的成績(jī)的方差甲的成績(jī)的極差小于乙的成績(jī)的極差4.(2019 茂名聯(lián)考 )甲組數(shù)據(jù)為：5，12，16， 21，25，37，乙組數(shù)據(jù)為：1，6，14，18，38，39，則甲、乙的平均數(shù)、極差及中位數(shù)相同的是 (A. 極差C.中位數(shù)平均數(shù)D.都不相同、填空題某校女子籃球隊(duì) 7 名運(yùn)動(dòng)員身高 （單位： cm）的數(shù)據(jù)分別為： 171，172，17x，174，175，

21、180，181，已知記錄的平均身高為 175 cm，但記錄中有一名運(yùn)動(dòng)員身高的末位數(shù)字不清晰，如果把其末位數(shù)字記為x，那么 x 的值為 .（如圖 ），但是年齡組對(duì)某市“四城同創(chuàng)”活動(dòng)中 800 名志愿者的年齡抽樣調(diào)查統(tǒng)計(jì)后得到頻率分布直方圖為25，30）的數(shù)據(jù)不慎丟失，則依據(jù)此圖可得：（1）25 ，30）年齡組對(duì)應(yīng)小矩形的高度為 （2）據(jù)此估計(jì)該市“四城同創(chuàng)”活動(dòng)中志愿者年齡在25，35）的人數(shù)為已知樣本數(shù)據(jù) x1，x2， xn 的平均數(shù) x 5，則樣本數(shù)據(jù) 2x11， 2x21， 2xn 1 的平均數(shù)為三、解答題某校 2019 屆高三文 （1）班在一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中，全班 在 110120的學(xué)生有 14 人.N 名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖如下，已知分?jǐn)?shù)求總?cè)藬?shù) N 和分?jǐn)?shù)在 120125 的人數(shù) n；利用頻率分布直方圖，估算該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的眾數(shù)和中位數(shù)各是多少？根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法7 組： 20 ，30)，30 ，40)， 80 ，90，并整理得到如下頻率分布直方圖：估計(jì)其分?jǐn)?shù)小于70 的概率；(2017 北京卷 )某大學(xué)藝術(shù)專業(yè) 400 名學(xué)生參加某次測(cè)評(píng)， 從中隨