立體幾何之垂直問題

1、立體幾何之垂直問題刊新課標(biāo)剖析段晨立體幾何在近五年北京卷（文）考查 19-24分要求層次內(nèi)容具體要求ABC高考通過對圖形的觀察、實驗和說理，使學(xué)生進(jìn)一步了解要求 線、面垂直的垂直關(guān)系的基本性質(zhì)以及判定方法，學(xué)會準(zhǔn)確地使用性質(zhì)與判定,數(shù)學(xué)語言表述幾何對象的位置關(guān)系，并能解決一些簡1 .若 l、m、A.若 /單的推理論證及應(yīng)用問題.2009 年2010 年2011 年2012 年2013 年北京（新課標(biāo)）（新課標(biāo)）（新課標(biāo)）（新課標(biāo)）局考第4題5分第16題14分第5題5分第16題14分第5題5分第16題14分第7題5分第16題14分第8題5分解讀第10題5分 第17題14分是不重合的平面，則下列命

2、題中為真命題的是（）n是互不相同的空間直線，,l , n ，貝 U l / n第3講尖子-目標(biāo)教師版33B.若 ，l ，則lC.若 l n , m n ,則 l / mD.若 l , l / ，則【解析】D.已知m , n是不同的直線，、 是不同的平面，給出下列命題： ， ，則 / ;若n, n，則 / ；若 n, m且 n / , m / ，則 a/ 3;若m,n為異面直線，n , n /, m , m II ，則 /.則其中正確的命題是 .（把你認(rèn)為正確的命題序號都填上）【解析】.在正四面體P ABC中，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點，下面結(jié)論中不.成立的是（）A. BC II 平

3、面 PDFB. DF 平面 PAEC.平面PDF 平面ABCD.平面PAE 平面ABC【解析】C. PA垂直于正方形 ABCD所在平面，連結(jié)PB、PC、PD、AC、BD ,則下列垂直關(guān)系正確的是 （ ）面PAB 面PBC 面PAB 面PAD面PAB 面PCD 面PAB 面PACA.B.C.D.【解析】ABD ,點E、F分別是AB、BD的中點,.如圖，在四面體 ABCD中，CB CD, AD求證：直線 EF II平面ACD ;平面EFC 平面BCD .【解析】 易知中位線EF / AD ,而AD 面ACD , EF 面ACD EF II 平面 ACD . EF II AD , AD BD , ，

4、EF BD又CB CD , F是BD的中點，CF BD . EF AcF F , BD 面 EFC又BD 面BCD ,平面EFC 平面BCD.6.如圖所示，4ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面 ABC，且AE AB 2a , CD a , F是BE 的中點.求證：DF /平面 ABC;求證： AF BD .34 第3講尖子-目標(biāo)教師版原圖：BEDC解析圖:EDC【解析】 取AE中點M ,連結(jié)DM , FM ,易知FM II AB , . FM II平面ABC .又AE和CD都垂直于平面 ABC , AE II CD , AM II CD1. AM -AE CD , . AMDC 是平行四

5、邊形， DM II AC , .DM II 平面 ABC. 2因此平面 DFM II平面ABC . DF 平面 DFM , DF II 平面 ABC . 連結(jié)AD ,由AE AB 2a, AE AB, F是BE的中點，可得 AFBE 2缶.由CD AC ,可得AD 類似的DE DB 75a ,于是 DF BD2 BF2 222從而 AF DF AD , 結(jié)合AF BE ,有AFCD2 AC2, a2 4a2，5a2 &a而a ,AF DF .平面 BDE , AF BD .3.1線面垂直與面面垂直的證明知識點睛教師備案 本講重點講解線、面垂直的關(guān)系，例題是按照題目難度區(qū)分的，兼顧了線線，線面，

6、面面的位置關(guān)系.解決垂直問題的關(guān)鍵是數(shù)學(xué)中轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，將線線垂直問題、 線面垂直問題和面面垂直問題互相轉(zhuǎn)化.若已知線面垂直，則必然可利用此線證明出面內(nèi)某條線垂直于此線所在的平面，從而找到新的線面垂直.第3講尖子-目標(biāo)教師版35線面垂直與面面垂直定八理 ) 推線面垂直線面垂直:點面距離:判定定理:如果一條直線AB和一個平面 相交于點O,并且和這個平面內(nèi)過 點O的任何直線都垂直，我們就說這條直線和這個平面互相垂直.如果一條直線和平面垂直，則線與面的交點叫做垂足，垂線上任 意一點到垂足間的線段，叫做這個點到這個平面的垂線段.垂線 段的長度叫做這個點到平面的距離.如果一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線

7、垂直，則這條直線與這個 平面垂直.論：如果兩條平行直線中，有一條垂直于平面，那么另一條直線也垂 直于這個平面.I性質(zhì)定理：如果兩條直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行.面面垂直面面垂直：如果兩個相交平面的交線與第三個平面垂直，又這兩個平面與第三W面相交所得的兩條交線互相垂直，就稱這兩個平面互相垂直.r趟定判定定理：如果一個平面過另一個平面的一條垂線，則兩個平面互相垂直.理性質(zhì)定理：如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線 垂直于另一個平面.考點1:線面垂直的判定、性質(zhì)及證明教師備案 證明線面垂直的一般思路是證明線線垂直，證明直線和平面內(nèi)的兩條相交直線垂直.除了 題目給出的

8、垂直條件外，幾何體本身的一些垂直特性也是解決問題必不可少的.等腰三角 形底邊的中點也是經(jīng)常可以利用的輔助點.主要的判定方法:用判定定理；用判定定理的推論;用面面垂直的性質(zhì)定理;如果一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，那么它也垂直于另一個.【例1】經(jīng)典精講如圖1,在三棱錐*如圖2,在正方體P ABC 中，PB PC, AB AC.求證：PAABCD AB1C1D1 中.求證：BDi 面 ABC.圖2【解析】取BC中點D ,連結(jié)AD、PD ,36 第3講尖子-目標(biāo)教師版. PB PC , D 為中點， . PD BC .同理：AD BC, BC 面 PAD.又PA 面 PAD， BC PA 連

9、結(jié)BD ,DD1 底面 ABCD ,又 AC 面 ABCD ,DD1 AC ,又底面ABCD為正方形，AC BD,又 BDPDD1 D , . AC 面 BDD1 .又 BDi 面 BDDi , AC BD1 .同理連結(jié)BCi可得BDi BiC .根據(jù)線面垂直的判定定理可得BDi面ABC .提高班學(xué)案i【拓U如圖，已知平行六面體 ABCD ABC Di的底面是菱形,且 AAB AAD 60 ,求證：CC BD .解析圖:【解析】二底面ABCD是菱形，BD AC連結(jié)BD, AC交于點O ,連結(jié)AB , ADAAB AAD 60 ,由 AAD AAB可知,ABD為等腰三角形，又 BO OD,AO

10、BD .又 ACAO O ,BD 面 AAO ,又 AA / CCi ,且 CCi 面 A AO , . CCi BD .N分別為PC、AB【例2】 島在四B隹P ABCD中，底面ABCD為矩形，PA 底面ABCD , M、 的中點.若 PDA 45 , 求證：MN 面PCD .【追問】設(shè)AB T2aD，則PC 面DMN .原圖:CA N B法一圖：A N B法二圖:【解析】法取PD中點Q ,連結(jié)AQ , MQ ,則MQ /-CD ;2MQ _lNA , ANMQ是平行四邊形；. PA 底面 ABCD,且 CD 面 ABCD, . CD PA;第3講尖子-目標(biāo)教師版37又由底面是矩形有 CD

11、AD, CD 面PAD；又 AQ 面 PAD , a AQ CD ;又 PDA 45 , .APD是等腰直角三角形；又 PQ QD , AQ PD ;又 CDPD D , AQ 面 PCD;又 MN / AQ , MN 面 PCD .法二：先完全仿照法一可證明 CD 面PAD ;取 CD 中點 R,連接 MR、NR、PN、NC ;則 MR II PD , NR II AD , 面 MRN II 面 PDA ;CD 面 MRN , MN CD ;PDA 45 , PA AD,又 BC AD , PA BC ,又 AN BN ,且 PAN CBN 90 ,，根據(jù)三角形全等可知 PN NC ;又 P

12、M MC , MN PC ;CD APC C , MN 面 PCD .【追問】PDA 45 , PA AD , PD 夜AD又AB /2AD , PD AB CD ,即APCD是等腰三角形. M是PC的中點，DM PC .由例題知 MN PC ,結(jié)合MN Cl DM M ,得PC 面DMN .尖子班學(xué)案1【拓2】在正方體 ABCD ABiCiDi中，P為DDi的中點，O為底面ABCD的中心.求證：BQ，面PAC .由于 AC BD ,且 AC BBi ,AC 面 BDD1B1 ,且 B1O面 BDD1B1,AB法二圖：ABBi Di缶.3 2 -a2BO連結(jié) PB ,設(shè) AB a ,則 ABi

13、 CBi 2 21 OBi2 OB2 BBi2a a222 TOC o 1-5 h z 222i29 2PBi2PD；BiDi2-a缶a2,2438 第3講尖子-目標(biāo)教師版 TOC o 1-5 h z 222123 2OP2PD2DO2-aaa2.224OB12 OP2 PB12.BiO OP,又 POAC O,1 BO 平面 PAC .（法二）由于 AC BD ,且 AC BBi ,AC 面 BDD1B1 ,且 BQ 面 BDD1B1 BO AC ,取 CD 中點 Q ,連結(jié) QCi , OQ ,則 OQ / BG 在正方形CCiDiD中，由P、Q分別為DDCD的中點， 可知 CP CiQ

14、,又 CP BCi ,且 CiQBCi G ,CP 面 BiGQO，又 BiO 面 BiCiQO ,CP BQ, . BO 面 PAC .考點2:面面垂直的判定、性質(zhì)及證明教師備案 面面垂直的證明一般都先證明線線垂直，進(jìn)而線面垂直，最后達(dá)到面面垂直的目的.反過 來由面面垂直的性質(zhì)又可以得到線面垂直.經(jīng)典精講【例3】 如圖，設(shè)平面 A EF , AB , CD，垂足分別為 B D ,且AB CD ,如果增加一個條件就能推出 BD EF ,給出四個條件： AC ;AC EF ;AC與BD在 內(nèi)的正投影在同一條直線上；AC與BD在平面 內(nèi)的正投影所在直線交于一點.那么這個條件不可能是（ ）A . B

15、.C.D.【解析】D;提高班學(xué)案2BiC A B.證明：平面 ABiC 平面A BCi.【鋪1】如圖，棱柱 ABC ABiG的側(cè)面BCGB1是菱形,【解析】因為側(cè)面BCCiB是菱形，所以BC BCi.又已知 BC AB,且 ABflBC B ,第3講尖子-目標(biāo)教師版39所以BC 平面ABC .又BC 平面AB1C , 所以平面ABC 平面ABG.【例4】 在在四B隹S ABCD中，底面ABCD是正方形，SA 底面ABCD , SA 中點，AN SC,且交SC于點N ,證明：平面 SAC 平面AMN .SMD J C BAB ,點M是SD的【解析】 SA 底面ABCD , CD 平面ABCD ,

16、. SA CD ;又CD AD, SA 平面 SAD, AD 平面 SAD, SAf! AD A,CD 平面SAD.AM 平面 SAD, . CD AM .又SA AD AB, M是SD的中點, .AM SD ;SD 平面 SCD, CD 平面 SCD, SdAcD D, .AM 平面 SCD.SC 平面 SCD, . AM SC.又AN SC, AM、AN 平面 AMN , AM A AN A, . SC 平面AMN ,又 SC 平面SAC, ，平面SAC平面AMN .尖子班學(xué)案2【拓2】如圖，已知 ABCD中，BCD 90 , BC CD 1, AB分別是AC、AD上的動點，且純處01 .

17、AC AD 求證：不論 為何值，總有平面 BEF 平面ABC;當(dāng)為何值時，平面BEF 平面ACD ?【解析】.ABCD.EF平面 BCD , AB CD .BC ,且 AB ABC B , . CDAF . ，故 EF / CD .AD平面ABC .平面ABC .平面BCD ,又EF 平面BEF,，不論 為何值，總有平面 BEF 平面ABC .由知，BE EF ,又平面BEF 平面ACD , BE 平面 ACD , BE AC .40 第3講尖子-目標(biāo)教師版BCD 90 , BC CD 1 , ADB 60.BD 拒，AB 亞tan60 娓,AC vAB2BC2 #7 .AE AC ,解得 A

18、E由射影定理AB2AE 6, .AC 76 .因此 時，平面BEF 平面ACD .目標(biāo)班學(xué)案1 PAD【拓3】如圖，四邊形ABCD是面積為2萬 的菱形， DAB為菱形的銳角，P是平面外的一點, 是邊長為2的正三角形，平面 PAD，平面ABCD , M是PC的中點.求證：PB AD ;求證：平面 ADM，平面PBC .原圖：AB解析圖：AB【解析】 DAB為菱形的銳角，過 B作BE，AD交AD于E ,則 Sabcd ad BE 273,又 AD 2 , BE J3 ,在 RD ABE 中，AB 2 , BE 出，則 AE 1 1AD ,2E是等邊 APAD邊AD的中點，PE，AD;又 BE n

19、PE E ,，AD，面 PBE,且 PB 面 PBE , PB AD . 取PB中點N ,連結(jié) MN、AN ,則MN C CB / AD . AN 面 ADMN，即 AN 面 ADM APAD是正三角形，且底面 ABCD是菱形，4ABP為等腰三角形, PB AN ,且由知 PB AD ,PB，面 ADMN，且 PB 面 PBC ,，平面ADM，平面PBC .考點3:線、面垂直綜合教師備案 直線、平面的平行、垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)是高考的重點，尤其是以多面體和旋轉(zhuǎn)體為載 體的線面位置關(guān)系的證明，幾乎是必考的內(nèi)容，難度上以中等題為主.經(jīng)典精講提高班學(xué)案3第3講尖子-目標(biāo)教師版41【鋪11（2011江

20、蘇16）如圖，在四B隹P ABCD中，平面PAD，平面ABCD , AB AD , BAD 60 , E、F分別是AP、AD的中點.求證： 直線 EF II平面 PCD ； 平面BEF 平面 PAD -PD【例5】 直三棱柱 ABC ABQ 中， C1AB1 90 , AC1 AB BB1 , M、 中點.*求證：MN /平面ABB1A ；*求證：MN 平面ACB1 .MN面 ABB1A，且 AB面 ABB1A ,MN II 面 ABB1A .一一，一 ，、第.1謖圖一.，【解析】因為E、F分別是AP、AD的中點，EF / PD ,又P , D 面 PCD, E 面 PCD , 直線EF II

21、平面PCD . AB AD , BAD 60 , F 是 AD 的中點，BF AD ,又平面PAD 平面 ABCD, 面 PAD n 面 ABCD AD , BF 面PAD ,所以平面 BEF 平面PAD .N分別是AG、B1C的【解析】連結(jié)AB , AB , BG ,由M , N分別是AC1 , BC1的中點，MN / AB ,.三棱柱ABC ABG中，側(cè)棱與底面垂直,，四邊形 ABB1A是正方形，AB AB1 ,MN AB1 ,連結(jié) BN , CM , MC1 A1M1, C1C A1B1 ,RtAMC1C RtAMA1B1 .CM B1M ,又N為B1C的中點，MN B1C , B1Cn

22、AB1 BMN 面 ACB1.（當(dāng)然也可以由CA 面ABB1A1得到CA A1B,從而CA MN ）尖子班學(xué)案342第3講尖子-目標(biāo)教師版E分別【拓2】（2010年朝陽一模文17）如圖，在三棱柱 ABC AB1C1中，每個側(cè)面均為正方形，D ,為側(cè)棱 AB, CC1的中點， AB,與AB的交點為O .求證：CD /面ABE ；解析圖:求證：ABi 平面AEB.【解析】 連接OD , OE ,因為O為AR的中點，D為AB的中點，1所以O(shè)D / BBi,且OD 1BBi,又E是Cg中點,21貝U EC II BB1 且 EC -BB1 ,2. EC / OD 且 EC OD .四邊形ECDO為平行

23、四邊形，EO / CD .又CD 平面ABE , EO 平面ABE ,則CD II平面A1BE .因為三棱柱各側(cè)面都是正方形，BB1 AB, BB1 BC ,BB1 平面 ABC .CD 平面 ABC ,所以 BB CD .由已知得 AB BC AC , CD AB .CD 平面 AABB1由可知 EO / CD , EO 平面 A1ABB1 . . EO AB1 .;側(cè)面是正方形，所以 AB A B .又 EOA1B O,EO 平面 AEB, AB 平面 A1EB .AB1 平面 ABE .目標(biāo)班學(xué)案2【拓3】如圖，四邊形 ABCD為矩形，BC 平面ABE, F為CE上的點，且BF 平面AC

24、E .求證：AE BE ; 設(shè)點M為線段AB的中點，點N為線段CE的中點.求證：MN II平面DAE .原圖：E解析圖：E【解析】 因為BC 平面ABE, AE 平面ABE,所以AE BC ,第3講尖子-目標(biāo)教師版43又BF 平面ACE , AE 平面 ACE,所以 AE BF ,又BF Cl BC B ,所以AE 平面BCE ,又BE 平面BCE ,所以AE BE .取DE的中點P ,連結(jié)PA , PN .丁點N為線段CE的中點，所以 PN / DC ,且PN 1DC , 2又四邊形ABCD是矩形，點M為線段AB的中點，1所以 AM / DC ,且 AM -DC , 2所以PN / AM ,

25、且PN AM ,故四邊形AMNP是平行四邊形，所以 MN II AP ,而AP 平面DAE , MN 平面DAE ,所以MN II平面DAE 整業(yè)3.2立體幾何垂直的探索性問題考點4:垂直的存在性問題教師備案 存在性問題是立體幾何問題中的難點，需要對空間線、面位置關(guān)系的定理和性質(zhì)了然于胸,進(jìn)行不斷的猜測和嘗試，由命題成立的必要條件探索充分條件，最后進(jìn)行論證.存在性問 題能很好的考察立體幾何的素養(yǎng)，空間想象和感知能力.當(dāng)然，學(xué)過空間向量后，幾何問 題代數(shù)化，這類問題的難度會下降一個檔次.經(jīng)典精講【例6】 馥（2012年浙江理）已知矩形 ABCD, AB 1 , BC 盤.將4ABD沿矩形的對角線

26、 BD所在的直線進(jìn)行翻折，在翻折過程中（）A.存在某個位置，使得直線 AC與直線BD垂直B.存在某個位置，使得直線 AB與直線CD垂直C.存在某個位置，使得直線 AD與直線BC垂直D.對任意位置，三對直線AC與BD ， AB與CD ， AD與BC ”均不垂直【追問】是否存在某個位置，使得直線AB與直線AC垂直?【解析】B.存在.BAC在翻折過程中，經(jīng)歷了銳角到鈍角的變化，故存在一個位置，使得BAC為直角，即直線AB與AC垂直.【點評】折疊問題是立體幾何中的一個難點，要注意折疊前后哪些量發(fā)生了變化，哪些沒有，位于折44第3講尖子-目標(biāo)教師版疊線同側(cè)與異側(cè)的元素間的位置關(guān)系是否變化，這是解決問題的

27、關(guān)鍵.【例7】 如圖，在四棱錐p ABCD中，PD 底面ABCD, ABCD為正方形，PD DC, F是PB的 1|應(yīng)求證：PA FC ;瞿在平面PAD內(nèi)是否存在一點 G ,使GF 平面PCB ?并證明你的結(jié)論.【解析】 取PA中點K ,連結(jié)KC , KF ,由已知有 PA PC AC ,則CK PA,由 PD 面 ABCD ,且 AB 面 ABCD, PD AB ,又 AB AD , AB PD , AB 面 PAD又K, F分別為PA,PB的中點，F(xiàn)K / AB ,FK PA,由 FK Ack K , PA 面 CFK , PA FC設(shè)G為AD中點，連結(jié) FG ,取PC中點E ,連結(jié)EF

28、, ED ,由PD 面ABCD,又底面為正方形，有 BC 面PCD ,BC DE ,又PD DC ,且點E為PC中點，則 DE PC ,DE 面 PBCFG / DE , FG 面 PCB即點G為AD的中點時滿足題意.目標(biāo)班學(xué)案3第3講尖子-目標(biāo)教師版45【拓3】如圖，在四棱錐 P ABCD中，底面 ABCD為正方形，PD 平面ABCD,且PD AB, E是 PB的中點.在平面 PAD內(nèi)求一點F ,使得EF 平面PBC .原圖:【解析】法設(shè)F為AD的中點， AC, BD交點為H,連接EF、HF、EH、PF .H、F分別為BD、AD的中點，HF / AB,故 HF BC ,又 EH BC , B

29、C 平面 EFH ,因此 BC EF .2225 22225 2設(shè) PD AB a ,貝U PF PD DF a , BF AB AF -a , 44E 為 PB 的中點，EF PB . EF 平面 PBC ,即點F為AD的中點時滿足題意.法二：設(shè)F為AD的中點，取 BC中點M ,連結(jié)EM , FM ,由PD 面ABCD,且底面為正方形，有 BC 面PCD ,BC PC.點E, M分別為PB, BC的中點，則 EM /PC,BC EM ,且 BC FM ,BC EF .取PC中點G ,連結(jié)DG , EG ,有平行四邊形 DGEF ,，EF / DG ,在等腰直角三角形 PDC中，G為PC中點，

30、DG PC , EF PC .EF PC,又 EF BC,且 BCPC C, EF 面 PBC .華山論劍箏形”是指兩組鄰邊分別相等的平面四邊形.如下左圖，在平面內(nèi)的 箏形” ABCD中，AB AD, BC CD.現(xiàn)將構(gòu)成 箏形”的兩個等腰三角形 4ABD和4CBD沿BD分別向上折 起構(gòu)成 空間箏形”（如下右圖），設(shè)A、C在 內(nèi)的投影分別為 A、C1，且A1、C1分別位于BD的兩側(cè). 求證： 空間箏形” ABCD的對角線AC與BD互相垂直;若折起的 空間箏形ABCD滿足AC II ，且SIabdS2cbdSA1BC1D ,證明此時有平面ABD 平面 BCD .【解析】取BD的中點M ,連結(jié)AM

31、 , MC ,由 AB AD 知，AM BD ;46 第3講尖子-目標(biāo)教師版同理，CM BD ,又AM , CM 平面 ACM ,AM）CM M , BD 平面 ACM .AC 平面 ACM , BD AC . TOC o 1-5 h z AC II ,平面 ACC1A nAC1 ,.AC / ACi , AC ACi.由知，AC BD , A1C1 BD .11Saabd AM BD，Sacbd CM BD，SaBC1 d 22222222由 Sa abd Sa CBD Sabcd 得，AM CMAC1AC1BD ，故4AMC為直角三角形，又 AM BD , BD, CMAM MC .AM

32、平面 BCD, AM平面ABD ,，平面ABD 平面BCD .實戰(zhàn)演練【演練1】已知m, n是兩條不同直線, A.若 ， ，則是三個不同平面，下列命題中正確的為B.若 m , n ，則 m / nC.若 m /, n / ，則 m / nD.若 m /, m/ ，則 /【解析】B;【演練2】如圖，正方形 ABCD所在平面與三角形 求證：AB 平面ADE .【解析】AE 平面CDE , CD 平面CDE , AE CD .在正方形ABCD中，CD AD , ADAaE a , CD 平面 ADE .AB II CD ， AB 平面 ADE .CDE所在平面相交于CD, AE 平面 CDE .【演

33、練3】在長方體 ABCD AB1C1D1中，點E , F分別在AA, 求證：BD1 面耳5 .【解析】 由AD 面ABB1A得AD1 RE；又 RE AB ,B1E 面 ABD1 ；be BD1 ；同理，由C1D1面BCCB1可得C1D1 BF ,又 BF BC1 ,BF 面 BC1D1 ；BF BR ；CC1 上且 RE A B , B1 F BC1,第3講尖子-目標(biāo)教師版47平面 BCD , BDflCM M ,BD1 面 B1EF .【演練4】如圖，四棱錐P且 MN PC , MN求證：平面PADPABCD的底面ABCD是平行四邊形, AB .平面PDC .N分別是AB、PC的中點,原圖：【解析】由MN又MNMNNCA M B,D .解析圖:AB ,且 AB / CD ,有 MNPC, PC 平面 PDC , CD 平面PDC .PCA M B平面PDC ,且PC】CD取PD的中點K ,連結(jié)由N為PC中點有NK/ CD / AB , NKi -AB 2MN II AK , AK面 PCD.又AK 面PAD ,面 PAD 面 PCD .【演練