平行四邊形性質(zhì)和判定綜合習(xí)題(答案詳細(xì))

1、（不的中位線,的中點.第十九章平行四邊形性質(zhì)和判定綜合習(xí)題精選一.解答題（共30小題）1.（2011資陽）如圖，已知四邊形ABCD為平行四邊形，AE丄BD于E,CFBD于F.（1）求證：BE=DF；（2）若M、N分別為邊AD、BC上的點，且DM=BN，試判斷四邊形MENF的形狀必說明理由）.2.（2011昭通）如圖所示，-AECF的對角線相交于點O，DB經(jīng)過點O,分別與AE，CF交于B，D.求證：四邊形ABCD是平行四邊形.（2011徐州）如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，BF=DE,AE丄BD,CF丄BD,垂足分別為E，F(xiàn).（1）求證：ABE竺CDF；（2）若AC與BD交于點O,求證：A

2、O=CO.4.（2011銅仁地區(qū)）已知：如圖，在厶ABC中，ZBAC=90，DE、DF是厶ABC連接EF、AD.求證：EF=AD.5.（2011瀘州）如圖，已知D是厶ABC的邊AB上一點，CEIIAB，DE交AC于點O,且OA=OC,猜想線段CD與線段AE的大小關(guān)系和位置關(guān)系,并加以證明.6.（2010恩施州）如圖，已知，-ABCD中，AE=CF,M、N分別是DE、BF求證：四邊形MFNE是平行四邊形.7.（2009永州）如圖，平行四邊形ABCD,E、F兩點在對角線BD上，且BE=DF,連接AE,EC,CF,FA.求證：四邊形AECF是平行四邊形.8.（2009來賓）在qABCD中，分別以AD

3、、BC為邊向內(nèi)作等邊厶ADE和等邊BCF,連接BE、DF.求證：四邊形BEDF是平行四邊形.9.（2006黃岡）如圖所示，DBIIAC,且DB=AC,E是AC的中點，求證：BC=DE.10.（2006巴中）已知：如圖，在梯形ABCD中，ADIIBC,AD=24cm,BC=30cm，點P自點A向D以lcm/s的速度運動，到D點即停止.點Q自點C向B以2cm/s的速度運動，到B點即停止，直線PQ截梯形為兩個四邊形.問當(dāng)P,Q同時出發(fā)，幾秒后其中一個四邊形為平行四邊形？11.（2002三明）如圖：已知D、E、F分別是ABC各邊的中點,求證：AE與DF互相平分.12.已知：如圖，在-ABCD中，對角線

4、AC交BD于點O,四邊形AODE是平行四邊形.求證：四邊形ABOE、四邊形DCOE都是平行四邊形.13.如圖，已知四邊形ABCD中，點E,F,G,H分別是AB、CD、AC、BD的中點，并且點E、F、G、H有在同一條直線上.求證：EF和GH互相平分.14.如圖：qABCD中，MNIIAC,試說明MQ=NP.15.已知：如圖所示，平行四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，EF經(jīng)過點O并且分別和AB，CD相交于點E，F(xiàn),點G，H分別為OA,OC的中點.求證：四邊形EHFG是平行四邊形.16.如圖，已知在-ABCD中，E、F是對角線BD上的兩點，BE=DF,點G、H分別在BA和DC的延長線上，且

5、AG=CH，連接GE、EH、HF、FG.求證：四邊形GEHF是平行四邊形；若點G、H分別在線段BA和DC上，其余條件不變，則(1)中的結(jié)論是否成立？(不用說明理由)17.如圖，在ABC中，D是AC的中點，E是線段BC延長線一點，過點A作BE的平行線與線段ED的延長線交于點F,連接AE、CF.求證：AF=CE；如果AC=EF，且/ACB=135,試判斷四邊形AFCE是什么樣的四邊形，并證明你的結(jié)論.18.如圖平行四邊形ABCD中，ZABC=60,點E、F分別在CD、BC的延長線上，AEIIBD,EF丄BF,垂足為點F,DF=2求證：D是EC中點；求FC的長.19.(2010廈門)如圖，已知ABC

6、是等邊三角形，點D、F分別在線段BC、AB上,ZEFB=60,DC=EF.求證：四邊形EFCD是平行四邊形；若BF=EF，求證：AE=AD.20.(2010濱州)如圖，四邊形ABCD,E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點.請判斷四邊形EFGH的形狀？并說明為什么；若使四邊形EFGH為正方形，那么四邊形ABCD的對角線應(yīng)具有怎樣的性質(zhì)？21.(2008佛山)如圖，ACD、ABE、BCF均為直線BC同側(cè)的等邊三角形.當(dāng)ABhAC時，證明：四邊形ADFE為平行四邊形；當(dāng)AB=AC時，順次連接A、D、F、E四點所構(gòu)成的圖形有哪幾類？直接寫出構(gòu)成圖形的類型和相應(yīng)的條件.22.如圖，以ABC的

7、三邊為邊，在BC的同側(cè)分別作三個等邊三角形即ABD、BCE、ACF,那么，四邊形AFED是否為平行四邊形？如果是，請證明之，如果不是，請說明理由.23.（2007黑龍江）在厶ABC中，AB=AC，點P為ABC所在平面內(nèi)一點，過點P分別作PEIIAC交AB于點E,PFIIAB交BC于點D，交AC于點F.若點P在BC邊上（如圖1）,此時PD=0，可得結(jié)論：PD+PE+PF=AB.請直接應(yīng)用上述信息解決下列問題：當(dāng)點P分別在ABC內(nèi)（如圖2），ABC外（如圖3）時，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立,PD，PE，PF與AB之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請寫出你的猜想，不需要證明.24.（200

8、6大連）如圖1，P為RtAABC所在平面內(nèi)任意一點（不在直線AC上）,ZACB=90,M為AB邊中點.操作：以PA、PC為鄰邊作平行四邊形PADC，連續(xù)PM并延長到點E，使ME=PM，連接DE.探究：（1）請猜想與線段DE有關(guān)的三個結(jié)論；（2）請你利用圖2,圖3選擇不同位置的點P按上述方法操作；（3）經(jīng)歷（2）之后，如果你認(rèn)為你寫的結(jié)論是正確的，請加以證明；如果你認(rèn)為你寫的結(jié)論是錯誤的，請用圖2或圖3加以說明；（注意：錯誤的結(jié)論，只要你用反例給予說明也得分）（4）若將RtAABC”改為任意ABC”，其他條件不變，利用圖4操作，并寫出與線段DE有關(guān)的結(jié)論（直接寫答案）.25.(2005貴陽)在一

9、次數(shù)學(xué)實踐探究活動中，小強(qiáng)用兩條直線把平行四邊形ABCD分割成四個部分，使含有一組對頂角的兩個圖形全等；根據(jù)小強(qiáng)的分割方法，你認(rèn)為把平行四邊形分割成滿足以上全等關(guān)系的直線有組;請在圖中的三個平行四邊形中畫出滿足小強(qiáng)分割方法的直線；由上述實驗操作過程，你發(fā)現(xiàn)所畫的兩條直線有什么規(guī)律？26.如圖，在直角梯形ABCD中，ABIICD，乙BCD=RtZ，AB=AD=10cm,BC=8cm.點P從點A出發(fā)，以每秒3cm的速度沿折線ABCD方向運動，點Q從點D出發(fā)，以每秒2cm的速度沿線段DC方向向點C運動.已知動點P、Q同時發(fā)，當(dāng)點Q運動到點C時，P、Q運動停止，設(shè)運動時間為t.求CD的長；當(dāng)四邊形PB

10、QD為平行四邊形時，求四邊形PBQD的周長；在點P、點Q的運動過程中，是否存在某一時刻，使得BPQ的面積為20cm2若存在，請求出所有滿足條件的t的值；若不存在，請說明理由.27.已知平行四邊形的三個頂點的坐標(biāo)分別為O(0,0)、A(2,0)、B(1，1)，則第四個頂點C的坐標(biāo)是多少?28.已知平行四邊形ABCD的周長為36cm,過D作AB，BC邊上的高DE、DF，且cm，求平行四邊形ABCD的面積.2冬如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知O為原點，四邊形ABCD為平行四邊形，A、B、C的坐標(biāo)分別是A(-3,血)，B(-2，3)，C(2，3)，點D在第一象限.求D點的坐標(biāo)；將平行四邊形ABCD先向右

11、平移個單位長度，再向下平移個單位長度所得的四邊形A1B1C1D1四個頂點的坐標(biāo)是多少？求平行四邊形ABCD與四邊形A1B1C1D1重疊部分的面積？30.如圖所示.-ABCD中，AF平分/BAD交BC于F，DE丄AF交CB于E.求證：BE=CF.于F.答案與評分標(biāo)準(zhǔn)一.解答題（共30小題）1.（2011資陽）如圖，已知四邊形ABCD為平行四邊形，AE丄BD于E,CFBD（1）求證：BE=DF；（2）若M、N分別為邊AD、BC上的點，且DM=BN，試判斷四邊形MENF的形狀（不必說明理由）.考點：平行四邊形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)。分析：（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和已知條件證明ABE竺

12、CDF即可得到BE=DF；（2）根據(jù)平行四邊形的判定方法：有一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形判定四邊形MENF的形狀.解答：（1）T四邊形ABCD是平行四邊形，AB=CD，ABIICD，ZABD=ZCDB，/AE丄BD于E，CF丄BD于F,ZAEB=ZCFD=90，ABE竺CDF（A.A.S.），BE=DF；（2）四邊形MENF是平行四邊形.證明：有（1）可知：BE=DF，四邊形ABCD為平行四邊行，ADIIBC，ZMDB=MBD，DM=BN，DNF竺BNE，NE=MF，ZMFD=ZNEB，ZMFE=ZNEF，MFIINE，四邊形MENF是平行四邊形.點評：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及

13、平行四邊形的判定和全等三角形的判定以及全等三角形的性質(zhì).（2011昭通）如圖所示，-AECF的對角線相交于點O，DB經(jīng)過點O,分別與AE，CF交于B，D.求證：四邊形ABCD是平行四邊形.考點：平行四邊形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)。專題：證明題。分析：平行四邊形的對角線互相平分，對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.解答：證明：四邊形AECF是平行四邊形OE=OF，OA=OC，AEIICF，ZDFO=ZBEO，ZFDO=ZEBO，F(xiàn)DOEBO，OD=OB，OA=OC，四邊形ABCD是平行四邊形.點評：本題考查平行四邊形的性質(zhì)定理和判定定理，以及全等三角形的判定和性質(zhì).（2011徐州）如

14、圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE丄BD，CF丄BD,垂足分別為E，F(xiàn).（1）求證：ABE竺CDF；（2）若AC與BD交于點O,求證：AO=CO.考點：平行四邊形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)。專題：證明題。分析：（1）由BF=DE,可得BE=CF,由AE丄BD,CFBD,可得ZAEB=ZCFD=90,又由AB=CD,在直角三角形中利用HL即可證得：ABE竺CDF；（2）由厶ABECDF,即可得ZABE=ZCDF,根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行，即可得ABIICD,又由AB=CD,根據(jù)有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，即即可證得四邊形ABCD是平行四邊形，則可得AO

15、=CO.解答：證明：（1）TBF=DE，BF-EF=DE-EF，即BE=DE，AE丄BD，CF丄BD,ZAEB=ZCFD=90,AB=CD,RtAABE竺RtACDF(HL)；(2)TABE竺CDF,ZABE=ZCDF,ABICD,TAB=CD,四邊形ABCD是平行四邊形,AO=CO.點評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)與平行四邊形的判定與性質(zhì).此題難度不大，解題的關(guān)鍵是要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.（2011銅仁地區(qū)）已知：如圖，在ABC中，ZBAC=90,DE、DF是厶ABC的中位線，連接EF、AD.求證：EF=AD.考點：平行四邊形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理。專題：證明題。分析：由DE

16、、DF是厶ABC的中位線，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，即可求得四邊形AEDF是平行四邊形，又ZBAC=90,則可證得平行四邊形AEDF是矩形，根據(jù)矩形的對角線相等即可得EF=AD.解答：證明：TDE,DF是厶ABC的中位線，DEIIAB,DFIIAC,四邊形AEDF是平行四邊形，又TZBAC=90,平行四邊形AEDF是矩形，EF=AD.點評：此題考查了三角形中位線的性質(zhì)，平行四邊形的判定與矩形的判定與性質(zhì).此題綜合性較強(qiáng)，但難度不大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.（2011瀘州）如圖，已知D是厶ABC的邊AB上一點，CEIIAB,DE交AC于點O,且OA=OC,猜想線段CD與線段AE的大小關(guān)

17、系和位置關(guān)系，并加以證明.考點：平行四邊形的判定與性質(zhì)。專題：探究型。分析：根據(jù)CEIIAB,DE交AC于點O,且OA=OC,求證ADO竺ECO,然后求證四邊形ADCE是平行四邊形，即可得出結(jié)論.解答：解：猜想線段CD與線段AE的大小關(guān)系和位置關(guān)系是：平行且相等.證明：TCEIIAB,ZDAO=ZECO,TOA=OC,ADO竺ECO,AD=CE,四邊形ADCE是平行四邊形，CDAE.點評:甩題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識點的理解和掌握，解答此題的關(guān)鍵是求證ADO竺ECO,然后可得證四邊形ADCE是平行四邊形，即可得出結(jié)論.（2010恩施州）如圖，已知，qABCD中，AE=CF,M、N

18、分別是DE、BF的中點.求證：四邊形MFNE是平行四邊形.考點：平行四邊形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)。專題：證明題。分析：平行四邊形的判定方法有多種，選擇哪一種解答應(yīng)先分析題目中給的哪一方面的條件多些，本題所給的條件為M、N分別是DE、BF的中點，根據(jù)條件在圖形中的位置，可選擇利用“一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形來解決.解答：證明：由平行四邊形可知，AD=CB，ZDAE=ZFCB，又:AE=CF，DAE竺BCF，DE=BF，ZAED=ZCFB又M、N分別是DE、BF的中點，ME=NF又由ABIIDC,得ZAED=ZEDCZEDC=ZBFC，MEIINF四邊形MFNE為平行四邊

19、形.點評：平行四邊形的判定方法共有五種，應(yīng)用時要認(rèn)真領(lǐng)會它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，同時要根據(jù)條件合理、靈活地選擇方法.（2009永州）如圖，平行四邊形ABCD，E、F兩點在對角線BD上,且BE=DF，連接AE，EC,CF，F(xiàn)A.求證：四邊形aecf是平行四邊形.考點：平行四邊形的判定與性質(zhì)。專題：證明題。分析：根據(jù)兩條對角線相互平分的四邊形是平行四邊形即可證明四邊形aecf是平行四邊形.解答：證明：連接AC交BD于點O,四邊形ABCD為平行四邊形，OA=OC,OB=OD.BE=DF,OE=OF四邊形aecf為平行四邊形.點評：平行四邊形的判定方法共有五種，應(yīng)用時要認(rèn)真領(lǐng)會它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，同時

20、要根據(jù)條件合理、靈活地選擇方法.（2009來賓在qABCD中，分別以AD、BC為邊向內(nèi)作等邊厶ADE和等邊BCF,連接BE、DF.求證：四邊形BEDF是平行四邊形.考點：平行四邊形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)。專題：證明題。分析：由題意先證ZDAE=ZBCF=60,再由SAS證厶DCF竺BAE,繼而題目得證.解答：證明：四邊形ABCD是平行四邊形，CD=AB,AD=CB,ZDAB=ZBCD.又ADE和厶CBF都是等邊三角形，DE=BF,AE=CF.ZDAE=ZBCF=60.ZDCF=ZBCD-ZBCF,ZBAE=ZDAB-ZDAE,ZDCF=ZBAE.DCF竺BAE（

21、SAS）.DF=BE.四邊形BEDF是平行四邊形.點評：本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理和判定定理是解題的關(guān)鍵.平行四邊形的五種判定方法與平行四邊形的性質(zhì)相呼應(yīng)，每種方法都對應(yīng)著一種性質(zhì)，在應(yīng)用時應(yīng)注意它們的區(qū)別與聯(lián)系.（2006黃岡）如圖所示，DBIIAC,且DBAC，E是AC的中點，求證：BC=DE.2考點：平行四邊形的判定與性質(zhì)。專題：證明題。分析：可根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明四邊形DBCE是平行四邊形，即可證明BC=DE.解答：證明：E是AC的中點，EC=AC，又:DB=AC，DB=EC.又:DBIIEC，四邊形DBCE是平行四邊形.BC=DE.點

22、評：本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理和判定定理是解題的關(guān)鍵.平行四邊形的五種判定方法與平行四邊形的性質(zhì)相呼應(yīng)，每種方法都對應(yīng)著一種性質(zhì)，在應(yīng)用時應(yīng)注意它們的區(qū)別與聯(lián)系.（2006巴中）已知：如圖，在梯形ABCD中，ADIIBC，AD=24cm,BC=30cm，點P自點A向D以lcm/s的速度運動，到D點即停止.點Q自點C向B以2cm/s的速度運動，到B點即停止，直線PQ截梯形為兩個四邊形.問當(dāng)P，Q同時出發(fā)，幾秒后其中一個四邊形為平行四邊形？考點：平行四邊形的判定與性質(zhì)；梯形。專題：動點型。分析：若四邊形PDCQ或四邊形APQB是平行四邊形，那么QD=CQ或AP=BQ,根據(jù)這

23、個結(jié)論列出方程就可以求出時間.解答：解：設(shè)P，Q同時出發(fā)t秒后四邊形PDCQ或四邊形APQB是平行四邊形，根據(jù)已知得到AP=t，PD=24-t，CQ=2t，BQ=30-2t.（1）若四邊形PDCQ是平行四邊形，則PD=CQ，24-t=2t.t=8.8秒后四邊形PDCQ是平行四邊形；（2）若四邊形APQB是平行四邊形，則AP=BQ，t=30-2t.t=10.10秒后四邊形APQB是平行四邊形點評：此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，不過用運動的觀點結(jié)合梯形的知識出題學(xué)生不是很適應(yīng).（2002三明）如圖：已知D、E、F分別是ABC各邊的中點，求證：AE與DF互相平分.考點：平行四邊形的判定與性質(zhì)

24、；三角形中位線定理。專題：證明題。分析：要證AE與DF互相平分，根據(jù)平行四邊形的判定，就必須先四邊形ADEF為平行四邊形.解答：證明：TD、E、F分別是ABC各邊的中點，根據(jù)中位線定理知：DEIIAC，DE=AF，EFIIAB，EF=AD，四邊形ADEF為平行四邊形.故AE與DF互相平分.點評：本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理和判定定理是解題的關(guān)鍵.三角形的中位線的性質(zhì)定理，為證明線段相等和平行提供了依據(jù).已知：如圖，在qABCD中，對角線AC交BD于點O,四邊形AODE是平行四邊形.求證：四邊形ABOE、四邊形DCOE都是平行四邊形.考點：平行四邊形的判定與性質(zhì)。專題：證明

25、題。分析：因為qABCD,ob=od，又aode是平行四邊形，ae=od，所以ae=ob，又AEIIOD,根據(jù)平行四邊形的判定，可推出四邊形ABOE是平行四邊形.同理，也可推出四邊形dcoe是平行四邊形.解答：證明：QABCD中，對角線AC交BD于點O,OB=OD，又四邊形aode是平行四邊形，AEIIOD且AE=OD，AEIIOB且AE=OB，四邊形ABOE是平行四邊形，同理可證，四邊形dcoe也是平行四邊形.點評：此題要求掌握平行四邊形的判定定理：有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.如圖，已知四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)，G，H分別是AB、CD、AC、BD的中點，并且點E、F、G、H有

26、在同一條直線上.求證：EF和GH互相平分.考點：平行四邊形的判定與性質(zhì)。專題：證明題。分析：要證明EF和GH互相平分，只需構(gòu)造一個平行四邊形，運用平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對角線互相平分即可證明.解答：證明：連接EG、GF、FH、HE,點E、F、G、H分別是AB、CD、AC、BD的中點.在厶abc中，eg=2bc；在厶DBC中，HF=BC,2EG=HF.同理EH=GF.四邊形EGFH為平行四邊形.EF與GH互相平分.點評：本題考查的是綜合運用平行四邊形的性質(zhì)和判定定理.熟練掌握性質(zhì)定理和判定定理是解題的關(guān)鍵.平行四邊形的五種判定方法與平行四邊形的性質(zhì)相呼應(yīng)，每種方法都對應(yīng)著一種性質(zhì)，在應(yīng)用

27、時應(yīng)注意它們的區(qū)別與聯(lián)系.如圖：qABCD中，MNIIAC,試說明MQ=NP.考點：平行四邊形的判定與性質(zhì)。專題：證明題。分析：先證AMQC為平行四邊形，得AC=MQ,再證APNC為平行四邊形，得ac=np，進(jìn)而求解.解答：證明：四邊形abcd是平行四邊形，AMIIQC,APIINC.又:MNIIAC,四邊形AMQC為平行四邊形，四邊形APNC為平行四邊形.ac=mqac=np.MQ=NP.點評：本題考查的知識點為：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.15.已知：如圖所示，平行四邊形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,EF經(jīng)過點O并且分別和AB,CD相交于點E，F(xiàn),點G，H分別為OA,OC

28、的中點.求證：四邊形EHFG是平行四邊形.考點：平行四邊形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)。專題：證明題。分析：要證四邊形EHFG是平行四邊形，需證OG=OH,OE=OF,可分別由四邊形ABCD是平行四邊形和OEB竺OFD得出.解答：證明：如答圖所示，T點O為平行四邊形ABCD對角線AC,BD的交點，上.，OA=OC,OB=OD.G,H分別為OA,OC的中點,OG=OA,OH=OC,OG=OH.又:ABIICD,.Z1=Z2.在厶OEB和厶OFD中，Z1=Z2,OB=OD,Z3=Z4,OEB竺OFD,OE=OF.四邊形EHFG為平行四邊形.點評：此題主要考查平行四邊形的判定：對角線互相平分

29、的四邊形是平行四邊形.如圖，已知在-ABCD中，E、F是對角線BD上的兩點，BE=DF,點G、H分別在BA和DC的延長線上，且AG=CH，連接GE、EH、HF、FG.求證：四邊形GEHF是平行四邊形；若點G、H分別在線段BA和DC上，其余條件不變，則(1)中的結(jié)論是否成立？(不用說明理由)考點：平行四邊形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)。專題：證明題；探究型。分析：(1)先由平行四邊形的性質(zhì)，得AB=CD,ABIICD,根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等得ZGBE=ZHDF.再由SAS可證GBEHDF,利用全等的性質(zhì)，證明ZGEF=ZHFE,從而得GEIIHF,又GE=HF,運用一組對邊平行且相等的

30、四邊形是平行四邊形得證.(2)仍成立.可仿照(1)的證明方法進(jìn)行證明.解答：(1)證明：T四邊形ABCD是平行四邊形，AB=CD,ABIICD,ZGBE=ZHDF.又:AG=CH,BG=DH.又:BE=DF,GBE竺HDF.GE=HF,ZGEB=ZHFD,ZGEF=ZHFE,GEIHF,四邊形GEHF是平行四邊形.(2)解：仍成立.(證法同上)點評：本題考查的知識點為：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.如圖，在ABC中，D是AC的中點，E是線段BC延長線一點，過點A作BE的平行線與線段ED的延長線交于點F,連接AE、CF.求證：AF=CE；如果AC=EF，且ZACB=135,試判斷四邊形

31、AFCE是什么樣的四邊形，并證明你的結(jié)論.考點：平行四邊形的判定與性質(zhì)；正方形的判定。專題：證明題。分析：(1)由AFIIEC,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到ZDFA=ZDEC,ZDAF=ZDCE,而DA=DC,易證得DAF竺DCE,得到結(jié)論；(2)由AFIIEC,AF=CE,根據(jù)平行四邊形的判定得到四邊形AFCE是平行四邊形，再根據(jù)對角線相等即AC=EF,可判斷平行四邊形AFCE是矩形，則/FCE=ZCFA=90，通過ZACB=135,可得到ZFCA=135-90=45,則易判斷矩形AFCE是正方形.解答：（1）證明：TAFIIEC,ZDFA=ZDEC,ZDAF=ZDCE,TD是AC的中點，DA=DC

32、,DAF竺DCE,AF=CE；(2)解：四邊形AFCE是正方形.理由如下：TAFIIEC,AF=CE,四邊形AFCE是平行四邊形，又TAC=EF,平行四邊形AFCE是矩形，ZFCE=ZCFA=90,而ZACB=135,ZFCA=135-90=45,ZFAC=45,FC=FA,矩形AFCE是正方形.點評：本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.也考查了矩形、正方形的判定方法.18.如圖平行四邊形ABCD中，ZABC=60,點E、F分別在CD、BC的延長線上，AEIIBD,EF丄BF,垂足為點F,DF=2求證：D是EC中點；求FC的長.考點：平行四邊形的判定與性質(zhì)

33、。分析：(1)根據(jù)平行四邊形的對邊平行可以得到ABIICD,又AEIIBD,可以證明四邊形ABDE是平行四邊形，所以AB=DE,故D是EC的中點；(2)連接EF,則厶EFC是直角三角形，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可以得到CDF是等腰三角形，再利用ZABC=60推得ZDCF=60,所以CDF是等邊三角形，F(xiàn)C=DF,FC的長度即可求出.解答：(1)證明：在平行四邊形ABCD中，ABIICD,且AB=CD,又TAEIIBD,四邊形ABDE是平行四邊形，AB=DE,CD=DE,即D是EC的中點；(2)解：連接EF,TEF丄BF,EFC是直角三角形，又TD是EC的中點，DF=CD=DE=

34、2,在平行四邊形ABCD中，ABIICD,TZABC=60,ZECF=ZABC=60,CDF是等邊三角形,FC=DF=2.故答案為：2.點評：本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半以及等邊三角形的判定,熟練掌握性質(zhì)定理并靈活運用是解題的關(guān)鍵，（2）中連接EF構(gòu)造出直角三角形比較重要.19.（2010廈門）如圖，已知ABC是等邊三角形，點D、F分別在線段BC、AB上，ZEFB=60，DC=EF.（1）求證：四邊形EFCD是平行四邊形；（2）若BF=EF，求證：AE=AD.考點：平行四邊形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)。專題：證明題。分析：（1

35、）由厶ABC是等邊三角形得到ZB=60，而ZEFB=60，由此可以證明EFIIDC，而DC=EF，然后即可證明四邊形EFCD是平行四邊形；（2）如圖，連接BE，由BF=EF，ZEFB=60可以推出厶EFB是等邊三角形，然后得到EB=EF，ZEBF=60，而DC=EF，由此得到EB=DC,又然后即可證明AEB竺ADC，利用全等三角形的性質(zhì)就ABC是等邊三角形，所以得到ZACB=60，AB=AC,證明AE=AD.解答：證明：（1）ABC是等邊三角形，.ZABC=60，ZEFB=60，ZABC=ZEFB，.EFIIDC（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）,DC=EF，四邊形EFCD是平行四邊形；（2）連接BE

36、BF=EF，ZEFB=60，EFB是等邊三角形，EB=EF，ZEBF=60DC=EF，EB=DC，ABC是等邊三角形，ZACB=60，AB=AC，ZEBF=ZACB，AEB竺ADC，AE=AD.點評：此題把等邊三角形和平行四邊形結(jié)合在一起，首先利用等邊三角形的性質(zhì)證明平行四邊形，然后利用等邊三角形的性質(zhì)證明全等三角形，最后利用全等三角形的性質(zhì)解決問題.20.（2010濱州）如圖，四邊形ABCD，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點.（1）請判斷四邊形EFGH的形狀？并說明為什么；（2）若使四邊形EFGH為正方形，那么四邊形ABCD的對角線應(yīng)具有怎樣的性質(zhì)？考點：平行四邊形的判定；三

37、角形中位線定理；正方形的性質(zhì)。專題：證明題。分析：（1）連接AC，利用中位線定理即可證明四邊形EFGH是平行四邊形；（2）由于四邊形EFGH為正方形，那么它的鄰邊互相垂直且相等，根據(jù)中位線定理可以推出四邊形ABCD的對角線應(yīng)該互相垂直且相等.解答：解：（1）如圖，四邊形EFGH是平行四邊形連接AC，TE、F分別是AB、BC的中點，EFIIAC,=1AC2同理HGIIAC,EFIIHG,EF=HGEFGH是平行四邊形；（2）四邊形ABCD的對角線垂直且相等.假若四邊形EFGH為正方形，它的每一組鄰邊互相垂直且相等，根據(jù)中位線定理得到四邊形ABCD的對角線應(yīng)該互相垂直且相等.點評：此題主要考查了三

38、角形的中位線定理，及平行四邊形的判定，正方形的性質(zhì)等知識.（2008佛山）如圖，ACD、ABE、BCF均為直線BC同側(cè)的等邊三角形.（1）當(dāng)ABhAC時，證明：四邊形ADFE為平行四邊形；（2）當(dāng)AB=AC時，順次連接A、D、F、E四點所構(gòu)成的圖形有哪幾類？直接寫出構(gòu)成圖形的類型和相應(yīng)的條件.考點：平行四邊形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)。專題：證明題。分析：（1）要證明ADEF是平行四邊形，可通過證明EF=AD，DF=AE來實現(xiàn)，AD=AC，AE=AB，那么只要證明ABC竺DFC以及FEB竺CAB即可.AD=DC，CF=CB，又因為上FCB=ZACD=60,那么都減去一個上

39、ACE后可得出/BCA=ZFCD，那么就構(gòu)成了SAS，AB0DFC，就能求出AE=DF，同理可通過證明厶FEB竺CAB得出EF=AD.（2）可按/BAC得度數(shù)的不同來分情況討論，如果ZBAC=60，乙EAD+ZBAC+ZDAC=180，因此，A與F重合A、D、F、E四點所構(gòu)成的圖形為一條線段.當(dāng)ZBACh60時，由（1）AE=AB=AC=AD，因此A、D、F、E四點所構(gòu)成的圖形是菱形.解答：（1）證明：ABE、BCF為等邊三角形，AB=BE=AE，BC=CF=FB，ZABE=ZCBF=60.ZCBA=ZFBE.ABC竺EBF.EF=AC.又:ADC為等邊三角形，CD=AD=AC.EF=AD.同

40、理可得AE=DF.四邊形AEFD是平行四邊形.（2）解：構(gòu)成的圖形有兩類，一類是菱形，一類是線段.當(dāng)圖形為菱形時，ZBACh60（或A與F不重合、ABC不為正三角形）當(dāng)圖形為線段時，ZBAC=60（或A與F重合、ABC為正三角形）.點評：本題的關(guān)鍵是通過三角形的全等來得出線段的相等，要先確定所要證得線段所在的三角形，然后看證明三角形全等的條件是否充足，缺少條件的要根據(jù)已知先求出了.如圖，以厶ABC的三邊為邊，在BC的同側(cè)分別作三個等邊三角形即ABD、BCE、ACF，那么，四邊形AFED是否為平行四邊形？如果是，請證明之，如果不是，請說明理由.考點：平行四邊形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊

41、三角形的性質(zhì)。專題：探究型。分析：由等邊三角形的性質(zhì)易得BED竺BCA，CBA竺CEF，從而得到DE=FC=AF，AD=BC=EF，再由兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形得到四邊形AFED是平行四邊形.解答：解：四邊形AFED是平行四邊形.證明如下：在厶BED與厶BCA中，BE=BC,BD=BA（均為同一等邊三角形的邊）ZDBE=ZABC=60-ZEBABED竺BCA（SAS）DE=AC又:AC=AF.DE=AF在厶CBA與厶CEF中,CB=CE，CA=CFZACB=ZFCE=60+ZACECBA竺CEF（SAS）BA=EF又:BA=DA，DA=EF故四邊形AFED為平行四邊形（兩組對邊分別相等

42、的四邊形是平行四邊形）.點評：本題考查了平行四邊形的判定，在應(yīng)用判定定理判定平行四邊形時，應(yīng)仔細(xì)觀察題目所給的條件，仔細(xì)選擇適合于題目的判定方法進(jìn)行解答，避免混用判定方法.23.（2007黑龍江）在厶ABC中，AB=AC，點P為ABC所在平面內(nèi)一點，過點P分別作PEIIAC交AB于點E,PFIIAB交BC于點D，交AC于點F.若點P在BC邊上（如圖1）,此時PD=0，可得結(jié)論：PD+PE+PF=AB.請直接應(yīng)用上述信息解決下列問題：當(dāng)點P分別在ABC內(nèi)（如圖2），ABC外（如圖3）時，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立,PD，PE，PF與AB之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請寫出你的猜想，

43、不需要證明.考點：平行四邊形的性質(zhì)。專題：探究型。分析:在圖2中,因為四邊形PEAF為平行四邊形，所以PE=AF，又三角形FDC為等腰三角形，所以FD=PF+PD=FC,即PE+PD+PF=AC=AB，在圖3中,PE=AF可證，F(xiàn)D=PF-PD=CF，即PF-PD+PE=AC=AB.解答：解：圖2結(jié)論：PD+PE+PF=AB.證明：過點P作MNIIBC分別交AB，AC于M,N兩點,由題意得PE+PF=AM.T四邊形BDPM是平行四邊形，MB=PD.PD+PE+PF=MB+AM=AB,即PD+PE+PF=AB.圖3結(jié)論：PE+PF-PD=AB.點評：此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，難易程度適中，

44、讀懂信息，把握規(guī)律是解題的關(guān)鍵.24.（2006大連）如圖1,P為RtAABC所在平面內(nèi)任意一點（不在直線AC上）,ZACB=90,M為AB邊中點.操作：以PA、PC為鄰邊作平行四邊形PADC,連續(xù)PM并延長到點E,使ME=PM,連接DE.探究：（1）請猜想與線段DE有關(guān)的三個結(jié)論；（2）請你利用圖2,圖3選擇不同位置的點P按上述方法操作；（3）經(jīng)歷（2）之后，如果你認(rèn)為你寫的結(jié)論是正確的，請加以證明；如果你認(rèn)為你寫的結(jié)論是錯誤的，請用圖2或圖3加以說明；（注意：錯誤的結(jié)論，只要你用反例給予說明也得分）（4）若將RtAABC”改為任意ABC”，其他條件不變，利用圖4操作，并寫出與線段DE有關(guān)的

45、結(jié)論（直接寫答案）.考點：平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)。專題：探究型。分析：連接BE,根據(jù)邊角邊可證三角形PAM和三角形EBM全等，可得EB和PA既平行又相等，而PA和CD既平行且相等，所以DE和BC平行相等，又BC丄AC,所以DE也和AC垂直.以下幾種情況雖然圖象有所變化，但是證明方法一致.解答：解:(1)DEIIBC，DE=BC，DE丄AC.如圖4,如圖5.方法一：如圖6，連接BE，PM=ME，AM=MB，ZPMA=ZEMB,PMA妥EMB.PA=BE，ZMPA=ZMEB，.PAIIBE.T平行四邊形PADC，.PAIIDC，PA=DC.BEIDC，BE=DC，.四邊形DEBC

46、是平行四邊形.DEIIBC，DE=BC.ZACB=90,.BC丄AC，DE丄AC.方法二：如圖7,連接BE，PB，AE，PM=ME,AM=MB,四邊形PAEB是平行四邊形.PAIIBE,PA=BE,余下部分同方法一：方法三：如圖8,連接PD,交AC于N,連接MN,平行四邊形PADC,AN=NC,PN=ND.AM=BM,AN=NC,MNIIBC,MN=BC.又:PN=ND,PM=ME,MNIDE,MN=DE.DEIIBC,DE=BC.ZACB=90,BC丄AC.DE丄AC.(4)如圖9,DEIIBC,DE=BC.點評：此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，以及全等的應(yīng)用,難易程度適中.25.(2

47、005貴陽)在一次數(shù)學(xué)實踐探究活動中，小強(qiáng)用兩條直線把平行四邊形ABCD分割成四個部分，使含有一組根據(jù)小強(qiáng)的分割方法，你認(rèn)為把平行四邊形分割成滿足以上全等關(guān)系的直線有無數(shù)組；請在圖中的三個平行四邊形中畫出滿足小強(qiáng)分割方法的直線；由上述實驗操作過程，你發(fā)現(xiàn)所畫的兩條直線有什么規(guī)律？考點：平行四邊形的性質(zhì)。專題：作圖題。分析：注意由于平行四邊形是中心對稱圖形，故只要過它的對稱中心畫直線即可.解答：解：(1)無數(shù)；作圖的時候要首先找到對角線的交點，只要過對角線的交點，任畫一條直線即可.如圖有：AE=BE=DF=CF,AM=CN.這兩條直線過平行四邊形的對稱中心(或?qū)蔷€的交點).點評：平行四邊形是中心對稱圖形