二次函數(shù)與線段問題(解析版)

1、二次函數(shù)與線段問題例1、如圖1-1,拋物線y=x22x3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果PAC的周長最小，求點(diǎn) P的坐標(biāo).圖1-1【解析】如圖1-2,把拋物線的對(duì)稱軸當(dāng)作河流，點(diǎn)A與點(diǎn)B對(duì)稱，連結(jié)BC,那么在 PBC中，PB + PC總是大于 BC的.如圖1-3,當(dāng)點(diǎn)P落在BC上時(shí)，PB+PC最小，因此PA+PC最小， .PAC的周長也最小.由 y=x22x 3,可知 OB=OC = 3, OD = 1 .所以 DB=DP=2,因此 P(1,-2). ：P / I /圖1-2圖1-3例2、如圖，拋物線y二x2 4x 4與y軸交于點(diǎn)A, B是OA的中點(diǎn).

2、一個(gè)動(dòng)點(diǎn) G從 2點(diǎn)B出發(fā)，先經(jīng)過x軸上的點(diǎn)M,再經(jīng)過拋物線對(duì)稱軸上的點(diǎn)N,然后返回到點(diǎn) A.如果動(dòng)點(diǎn)G走過的路程最短，請(qǐng)找出點(diǎn)圖2-1【解析】如圖2-2,按照“臺(tái)球兩次碰壁”的模型，作點(diǎn)A關(guān)于拋.物線的對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)A作點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)B ；連結(jié)A B與x軸交于點(diǎn)M ,與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)N.在RtAAB中，AA= 8, AB= 6,所以AB=10,即點(diǎn)G走過的最短路程為 10.根據(jù)相似比可以計(jì)算得到OM = 83MH = 4, NH = 1.所以 M(8,0), N(4, 1).例3、如圖3-1 ,拋物線4 2-x92與y軸交于點(diǎn)A,頂點(diǎn)為B.點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求線段PA 與

3、PB中較長的線段減去較短的線段的差的最小值與最大值，并求出相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo).P圖3-1例4、如圖4-1圖3-3【解析】題目讀起來像繞口令，其實(shí)就是求|PA-PB|的最小值與最大值.由拋物線的解析式可以得到A(0, 2), B(3, 6).設(shè)P(x, 0).絕對(duì)值|PAPB|的最小值當(dāng)然是 0 了，此時(shí)PA=PB,點(diǎn)P在AB的垂直平分線上(如 圖 3-2).解方程 x2+ 22=(x- 3)2+ 62,得 x 41.此時(shí) P (41 0) .66 在:. PAB中，根據(jù)兩邊之差小于第三邊，那么|PAPB|總是小于AB 了.如圖3-3,當(dāng) 點(diǎn)P在BA的延長線上時(shí)，|PA- PB|取得最大值，最大值

4、 AB = 5.此時(shí)P( - 0).2，/A=120,點(diǎn) P、Q、K 分別為線段 BC、CD、BD上的任意一點(diǎn)，求 PK+QK的最小值.這道題目應(yīng)用了兩個(gè)典型的最值結(jié)論：兩點(diǎn)之間，線段最短；垂線段最短.【解析】如圖4-2,點(diǎn)Q關(guān)于直線BD的對(duì)稱點(diǎn)為Q,在 KPQ中，PK + QK總是_大 于PQ的.如圖4-3,當(dāng)點(diǎn)K落在PQ上時(shí)，PK+QK的最小值為 PQ如圖4-4, PQ的最 小值為QH, QH就是菱形ABCD的高，QH=J3.【解析】E、F、P三個(gè)點(diǎn)都不確定，怎么辦？ BE =求PB + PA 3的最小值，先求 PB+PA的最，小值(如圖如圖5-3, PB+PA的最小值為 AB, AB=

5、6.所以1, AF=2是確定的，那么我們可以5-2).PE+PF的最小值等于 3.髡、圖5-1圖4-2圖4-3圖4-4例5、如圖5-1 ,菱形 ABCD中，/ A=60 , AB=3,。A、。B的半徑分別為 2和1 ,P、E、F分別是邊CD、OB和。A上的動(dòng)點(diǎn)，求 PE + PF的最小值.圖5-3圖5-2例 6、如圖 6-1,已知 A(0, 2)、B(6, 4)、E(a, 0)、F(a+1,0),求 a 為何.值時(shí)，四邊形 ABEF周長最??？請(qǐng)說明理由.圖6-1【解析】在四邊形 ABEF中，AB、EF為定值，求AE+BF的最小值，先把這兩條線段經(jīng)過平移，使得兩條線段有公共端點(diǎn).如圖6-2,將線

6、段BF向左平移兩個(gè)單位，得到線段 ME.如圖6-3,作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A , MA與x軸的交點(diǎn)E,滿足AE + ME最小.由 AOEA BHF ,得匹 尤.解方程a 6 (a 2)，得a -OA HB243yM圖6-2A圖6-3C分別在x軸和y例 7、如圖 7-1, ABC 中，/ ACB=90 , AC = 2, BC=1.點(diǎn) A、軸的正半軸上，當(dāng)點(diǎn) A在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn) C也隨之在y軸上運(yùn)動(dòng) 在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中,求點(diǎn)B到原點(diǎn)的最大距離.圖7-1【解析】如果把OB放在某一個(gè)三角形中，這個(gè)三角形的另外兩條邊的大小是確定的,那么根據(jù)兩邊之和大于第三邊，可知第三邊OB的最大值就是另兩邊的和.顯然

7、 OBC是不符合條件的，因?yàn)?OC邊的大小不確定.如圖7-2,如果選 AC的中點(diǎn)D,那么BD、OD都是定值，OD = 1, BD= J2 .在OBD中，總是有 OBvOD + BD.如圖7-3,當(dāng)點(diǎn)D,.落在OB上時(shí)，OB最大，最大值為 ，2 1.圖 7-2圖 7-3例8、如圖8-1 ,已知A( 2,0)、B(4, 0)、D( 5,36).設(shè)F為線段BD上一點(diǎn)(不含端點(diǎn))，連結(jié)AF, 一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段 AF以每秒1個(gè)單位的速度.運(yùn)動(dòng)到F,再沿線段FD以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到 D后停止.當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中用時(shí)最少?【解析】點(diǎn)B(4, 0)、D( 5,3/3)的

8、坐標(biāo)隱含了/ DBA =30 ,不由得讓我彳門聯(lián)想到 30角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.如果把動(dòng)點(diǎn)M在兩條線段上的速度統(tǒng)一起來，問題就轉(zhuǎn)化了.如圖8-2,在RtA DEF中，F(xiàn)D=2FE.如果點(diǎn)M沿線段FD以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn) 動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，那么點(diǎn)M沿線段FE以每秒1個(gè)單位的速度正好運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) E.因此當(dāng)AF + FE 最小時(shí)，點(diǎn)M用時(shí)最少.如圖 8-3,當(dāng) AEXDE 時(shí)，AF + FE 最小，此時(shí) F( 2,273).圖8-2圖8-3例 9、如圖 9-1,在 RtABC 中，/ C= 90 , AC=6, BC=8.點(diǎn) E 是 BC 邊上的點(diǎn), 連結(jié)AE,過點(diǎn)E作AE的垂線交AB邊于點(diǎn)F ,

9、求AF的最小值.圖9-1【解析】如圖9-2,設(shè)AF的中點(diǎn)為D,那么DA=DE=DF.所以AF的最小值取決于DE的最小值.如圖9-3,當(dāng)DELBC時(shí)，DE最小.設(shè) DA=DE = m,此時(shí) DB =5. 15.由 AB= DA+ DB，得 m -m 10 .解得 m 一 .此時(shí) AF = 2m 345 -m.315圖9-22圖9-3例10、如圖10-1 ,已知點(diǎn)尸是拋物線2上的一個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)D、E的坐標(biāo)分別為(0,1)、(1,2),連結(jié) PD、PE,求PD + PE的最小值.Dx圖 10-1【解析】點(diǎn)P不在一條筆直的河流上，沒有辦法套用“牛喝水”的模型. TOC o 1-5 h z 1cdccdcc1僅 P(x,x),那么 PD2=x (x1)(x1) .所以 PD = x1 .4444如圖10-2, 1x2 1的幾何意義可以理解為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)P到直線y=1的距離4PH.所以PD=