高中數(shù)學(xué)選修2-3同步練習(xí)題庫(kù)：分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理(較難)

1、共 10 頁(yè)，第 頁(yè)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理（較難）1、某次聯(lián)歡會(huì)要安排3個(gè)歌舞類(lèi)節(jié)目，2 個(gè)小品類(lèi)節(jié)目和一個(gè)相聲類(lèi)節(jié)目的演出順序，則同類(lèi)節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是 （ ）A72B 120C 144D 1682、現(xiàn)安排甲乙丙丁戊 5 名學(xué)生分別擔(dān)任語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、物理、化學(xué)學(xué)科的科代表，要求甲不當(dāng)語(yǔ)文 科代表，乙不當(dāng)數(shù)學(xué)科代表，若丙當(dāng)物理科代表則丁必須當(dāng)化學(xué)科代表，則不同的選法共有多少種 （ ） A53B67C85D 913、定義 “三角戀寫(xiě)法 ”為 “三個(gè)人之間寫(xiě)信，每人給另外兩人之一寫(xiě)一封信，且任意兩個(gè)人不會(huì)彼此給對(duì)方寫(xiě)信 ”，若五個(gè)人 中的每個(gè)人都恰好給其余四人中的某一個(gè)人寫(xiě)了一

2、封信，則不出現(xiàn) “三角戀寫(xiě) 法”寫(xiě)法的寫(xiě)信情況的種數(shù)為（ ）A704B864C1004D 10144、將一個(gè)四棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱的兩端異色，如果只有 5 種顏色可供使用，則不同的染色方法的總數(shù)是（ ）A540B480C420D 3605、對(duì)于自然數(shù)作豎式運(yùn)算 時(shí)不進(jìn)位，那么稱(chēng) 是“良數(shù)”，如 32是“良數(shù)”，由于計(jì)算 時(shí)不進(jìn)位， 23是“良數(shù)”，由于計(jì)算 時(shí)要進(jìn)位，那么小于 1000 的“良數(shù) ”有 （）A36 個(gè)B39個(gè)C48個(gè)D64 個(gè)6、設(shè)集合那么集合 中滿(mǎn)足條件的元素的個(gè)數(shù)為）A130B90C60D 1207、現(xiàn)準(zhǔn)備將 6臺(tái)型號(hào)相同的電腦分配給 5所小學(xué)，其中 A

3、、B 兩所希望小學(xué)每個(gè)學(xué)校至少 2臺(tái)，其他小學(xué) 允許 1 臺(tái)也沒(méi)有，則不同的分配方案共有（ ）A13 種B15種C20種D30種8、設(shè)集合那么集合 中滿(mǎn)足條件”的元素個(gè)數(shù)為（ ）ABCD9、將 1，2，3，9這 9個(gè)數(shù)字填在如圖的 9個(gè)空格中，要求每一行從左到右，每一列從上到下分別依次增大 .當(dāng) 3，4 固定在圖中的位置時(shí)，填寫(xiě)空格的方法為（A6 種B12種C18 種D24 種10、已知 A與 B是集合 1 ， 2， 3， ， 100的兩個(gè)子集，滿(mǎn)足： A與 B的元素個(gè)數(shù)相同，且為 AB空集 若 nA時(shí)總有 2n+2B，則集合 AB 的元素個(gè)數(shù)最多為 （ ）A62B66C68D 7411、元宵

4、節(jié)燈展后，如圖懸掛有 9 盞不同的花燈需要取下，每次取 1 盞，共有 種不同取法（用數(shù)字作答）12、某校高三年級(jí) 5個(gè)班進(jìn)行拔河比賽，每?jī)蓚€(gè)班都要比賽一場(chǎng).到現(xiàn)在為止， 1班已經(jīng)比了 4場(chǎng)， 2班已經(jīng)比了 3場(chǎng)， 3班已經(jīng)比了 2場(chǎng)， 4班已經(jīng)比了 1場(chǎng)，則 5 班已經(jīng)比了 場(chǎng).13、某城市縱向有 6 條道路，橫向有 5 條道路，構(gòu)成如圖所示的矩形道路網(wǎng) （圖中黑線(xiàn)表示道路 ），則從西 南角 A 地到東北角 B 地的最短路線(xiàn)共有 條 .14、為了支援邊遠(yuǎn)山區(qū)的教育事業(yè)，我市決定將某校4 名男老師和 3 名女老師選派到該地區(qū) 3 所學(xué)校支教，則每所學(xué)校既有男老師又有女老師的分配方法共有 種15、

5、如圖，小華和小明兩個(gè)小伙伴在一起做游戲，他們通過(guò)劃拳（剪刀、石頭、布）比賽決勝誰(shuí)首先登上第 3 個(gè)臺(tái)階，他們規(guī)定從平地開(kāi)始，每次劃拳贏(yíng)的一方登上一級(jí)臺(tái)階，輸?shù)囊环皆夭粍?dòng)，平局時(shí)兩個(gè)人 都上一級(jí)臺(tái)階，如果一方連續(xù)兩次贏(yíng)，那么他將額外獲得一次上一級(jí)臺(tái)階的獎(jiǎng)勵(lì)，除非已經(jīng)登上第 3 個(gè)臺(tái)2）求 的分布列和數(shù)學(xué)期望16、如圖，在 78 的長(zhǎng)方形棋盤(pán)的每個(gè)小方格的中心點(diǎn)各放一個(gè)棋子。如果兩個(gè)棋子所在的小方格共邊或 共頂點(diǎn)，那么稱(chēng)這兩個(gè)棋子相連?，F(xiàn)從這 56 個(gè)棋子中取出一些，使得棋盤(pán)上剩下的棋子，沒(méi)有五個(gè)在一 條直線(xiàn)（橫、豎、斜方向）上依次相連。問(wèn)最少取出多少個(gè)棋子才可能滿(mǎn)足要求？并說(shuō)明理由。12、1、

6、B2、B3、A4、C5、C6、A7、B8、D9、A10、B11、 168013、 126參考答案14、21615、1)16、最少要取走 11個(gè)棋子，才可能使得余下的棋子沒(méi)有五子連珠解析】1、分兩類(lèi)，一類(lèi)是歌舞類(lèi)用兩個(gè)隔開(kāi)共種，第二類(lèi)是歌舞類(lèi)用三個(gè)隔開(kāi)共種，所N=+=120.種。選 B.2、丙當(dāng)物理課代表則丁必須當(dāng)化學(xué)課代表，以丙進(jìn)行分類(lèi) 第一類(lèi)，當(dāng)丙當(dāng)物理課代表時(shí)，丁必須當(dāng)化學(xué) 課代表，再根據(jù)甲當(dāng)數(shù)學(xué)課代表，乙戊可以當(dāng)英語(yǔ)和語(yǔ)文中的任一課，有 種，當(dāng)甲不當(dāng)數(shù)學(xué)課代 表，甲只能當(dāng)英語(yǔ)課代表，乙只能當(dāng)語(yǔ)文課代表，戊當(dāng)數(shù)學(xué)課代表，有 種，共計(jì) 種， 第二 類(lèi)，當(dāng)丙不當(dāng)物理課代表時(shí)，分四類(lèi)丙為語(yǔ)文課代

7、表時(shí)，乙只能從英語(yǔ)、物理和 U 學(xué)中選擇一課，剩下 的甲丁戊任意排給剩下的三課，有種 ，丙為數(shù)學(xué)課代表時(shí)，甲只能從英語(yǔ)、物理和化學(xué)課，剩下的乙丁戊任意排給剩下的三課，有種， 丙為英語(yǔ)課代表時(shí)，繼續(xù)分類(lèi)，甲當(dāng)數(shù)學(xué)課代表時(shí)，其他三位同學(xué)任意當(dāng)有種，當(dāng)甲不當(dāng)數(shù)學(xué)課代表，甲只能從物理和化學(xué)課中選一課,乙只能從語(yǔ)文和甲選完后的剰下的一課中選一課，丁和戊做剰下的兩課，有 ,共計(jì) 種丙為化學(xué)課代表時(shí)，同的選法 一樣有 種，根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理得，不同的選法共有 故選 . 【方法點(diǎn)睛】本題主要考查分類(lèi)計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理及排列組合的應(yīng)用，屬于難題.有關(guān)排列組合的綜合問(wèn)題，往往是兩個(gè)原理及排列組合問(wèn)題交叉應(yīng)用才能

8、解決問(wèn)題，解答這類(lèi)問(wèn)題理解題意很關(guān)鍵，一定多 讀題才能挖掘出隱含條件 .解題過(guò)程中要首先分清 “是分類(lèi)還是分步”、“是排列還是組合”，在應(yīng)用分類(lèi)計(jì)數(shù) 加法原理討論時(shí)，既不能重復(fù)交叉討論又不能遺漏，這樣才能提高準(zhǔn)確率 .3、由題意，寫(xiě)信的情況共有種，不妨設(shè)之間出現(xiàn)“三角戀寫(xiě)法”， 則共有 種情況，故出現(xiàn)“三角戀寫(xiě)法”寫(xiě)法的寫(xiě)信情況的種數(shù)為 種，所以不出現(xiàn)“三角戀寫(xiě)法”寫(xiě)法的寫(xiě)信 情況的種數(shù)為 ，故選 A.4、分兩步，由題設(shè)四棱錐的頂點(diǎn)所染顏色互不相同，則共有 ，當(dāng) 染好時(shí)，不妨設(shè)所染顏色依次為 ，若 染 ，則 可染 或 或 ，共三種，若 染 ，則 可染或 ，共 種，若 染 ，則 可染 或 ，共

9、種，即當(dāng) 染好時(shí)， 還有 種染法， 所以共有 ，故選 C.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查分類(lèi)計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理綜合應(yīng)用，屬于中檔題.兩個(gè)原理的應(yīng)用不是孤立的，往往是兩個(gè)原理交叉應(yīng)用才能解決問(wèn)題，解答這類(lèi)問(wèn)題理解題意很關(guān)鍵，一定多讀題才能挖掘出隱含 條件 .解題過(guò)程中要首先分清 “是分類(lèi)還是分步 ”，在應(yīng)用分類(lèi)計(jì)數(shù)加法原理討論時(shí)，既不能重復(fù)交叉討論又 不能遺漏，這樣才能提高準(zhǔn)確率 .5、如果 是良數(shù)，則 的個(gè)位數(shù)字只能是 ，非個(gè)位數(shù)字只能是 （首位不為 ），而小于的數(shù)至多三位，一位的良數(shù)有 ，共 個(gè)，二位良數(shù)個(gè)位可取 ，十位可取 ，共有個(gè)，三位良數(shù)個(gè)位可取 ，十位可取 ，百位可取 ，共有 ，綜上，

10、 小于“良數(shù) ”的個(gè)數(shù)為個(gè)，故選 C.【方法點(diǎn)睛】本題考查分類(lèi)技術(shù)加法原理分步計(jì)數(shù)乘法原理及新定義問(wèn)題，屬于難題.新定義題型的特點(diǎn)是：通過(guò)給出一個(gè)新概念，或約定一種新運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來(lái)創(chuàng)設(shè)全新的問(wèn)題情景，要求考生在閱 讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的 遇到新定義問(wèn)題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求， “照章辦事 ”， 逐條分析、驗(yàn)證、運(yùn)算，使問(wèn)題得以解決 .本題通過(guò)定義 “良數(shù) ”達(dá)到考查兩計(jì)數(shù)原理的目的 .6、由于只能取 或 ，且 “ ”，因此 個(gè)數(shù)值中有 個(gè)是 ， 個(gè)是和 個(gè)是 三種情況： 中

11、有 個(gè)取值為 ，另外 從 中取，共有方法數(shù)： ；中有 個(gè)取值為 ，另外 個(gè)從 中取，共有方法數(shù)： ； 中有 個(gè)取值為 ，另外 個(gè)從 中取，共有方法數(shù)： ，所以總共有方法數(shù)： ，即元 素個(gè)數(shù)為 .7、先給 A、B 兩所希望小學(xué)分配電腦，若每個(gè)學(xué)校2臺(tái)，由于電腦型號(hào)相同，故只有 1種情況，其次將剩余的 2 臺(tái)電腦分給其他 3所小學(xué)，若一所小學(xué) 2臺(tái)，其他的沒(méi)有，有 3種情況；若 2 所小學(xué)各 1臺(tái)，另 一所小學(xué)沒(méi)有，有 3 種情況，共有 6 中情況；若 A、B 兩所希望小學(xué)其中一所得 3臺(tái)，另一所 2臺(tái)，有 2種情況，再將剩余的 1臺(tái)電腦分給其他 3 所小學(xué)，有 3種情況，共 32=6種情況；若給

12、 A、B 兩所希望小學(xué)各分配 3臺(tái)電腦，有 1種情況；若 A、B 兩所希望小學(xué)其中一所得 4臺(tái)，另一所 2臺(tái)，有 2種情況 . 綜上，共 6+6+1+2=15 種情況，故選 B考點(diǎn)：計(jì)數(shù)原理 .8、試題分析：分以下三種情況討論，（1），則上述五個(gè)數(shù)中有一個(gè)為 或 ，其余四個(gè)數(shù)為零，此時(shí)集合 有個(gè)元素；或 ，其余三個(gè)數(shù)為零，其中這兩個(gè)或 ，其余兩個(gè)數(shù)為零，其中這兩個(gè)1、2、9只有一種填法， 5 只能填在右（2），則上述五個(gè)數(shù)中有兩個(gè)數(shù)為數(shù)的所有可能搭配有中，此時(shí)集合 有個(gè)；（3），則上述五個(gè)數(shù)中有三個(gè)數(shù)為數(shù)的所有可能搭配有中，此時(shí)集合 有個(gè)；綜上所述，集合 共有個(gè)元素 .故選 D.【考點(diǎn)定位】本

13、題考查分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，屬于較難題 .9、試題分析：每一行從左到右，每一列從上到下分別依次增大， 上角或左下角， 5 填后與之相鄰的空格可填 6、7、8任一個(gè)； 余下兩個(gè)數(shù)字按從小到大只有一種方法共有 23=6 種結(jié)果，故選 A.考點(diǎn)：計(jì)數(shù)原理 10、先證 |AB| 6，6只須證 |A| 3，3為此只須證若 A是1，2，49的任一個(gè) 34元子集，則必存在 n A，使得 2n+2B。證明如下：將1，2，49分成如下 33個(gè)集合： 1，4，3，8，5，12，23，48共 12個(gè)； 2 ，6 ，10 ， 22 ， 14 ， 30 ， 18 ， 38共 4個(gè)； 25 ，27 ，29 ，49 共 13個(gè)；

14、26 ，34 ，42 ，46 共 4個(gè)。由于 A是1 ， 2， ，49的 34元子集，從而由抽屜原理可知上述33個(gè)集合中至少有一個(gè) 2元集合中的數(shù)均屬于 A，即存在 n A，使得 2n+2B。如取 A=1， 3，5，23，2，10，14，18，25，27，29，49，26，34，42， 46，B=2 n+2|n A ，則 A、 B滿(mǎn)足題設(shè)且 |AB| 6。611、 點(diǎn)睛：求解排列、組合問(wèn)題常用的解題方法：(1)元素相鄰的排列問(wèn)題 “捆邦法 ”； (2)元素相間的排列問(wèn)題 “插空法 ”； (3)元素有順序限制的排列問(wèn) 題“除序法 ”； (4)帶有“含”與“不含”至“多”至“少 ”的排列組合問(wèn)題

15、間接法 .12、設(shè)、分別代表、 、 、 、 班，賽了 場(chǎng)，則是和、每人賽了 場(chǎng)；由于只賽了 場(chǎng)，則一定是找賽的；賽了 場(chǎng)，是和、賽的；賽了 場(chǎng)，是和、賽的；所以此時(shí)賽了 場(chǎng)，即是和、賽的，每班的比賽情況可以用如圖表示：答：號(hào)已經(jīng)比了 場(chǎng)，即 班已經(jīng)比了 場(chǎng)，故答案為.因此，從 A 地到 B 地歸結(jié)為走完 5 條13、要使路線(xiàn)最短，只能向右或向上走，途中不能向左走或向下走橫線(xiàn)段和 4 條縱線(xiàn)段 .設(shè)每走一段橫線(xiàn)段或縱線(xiàn)段為一個(gè)行走時(shí)段，從9個(gè)行走時(shí)段中任取 4 個(gè)時(shí)段走縱線(xiàn)段，其余5 個(gè)時(shí)段走橫線(xiàn)段，共有種走法，故從 A 地到 B 地的最短路線(xiàn)共有 126 條 .14、依題意：先分女教師有種；由

16、于每所學(xué)校至少有 1名男老師，則先將男老師分成 2，1，1 三組，有種，再將男老師分配到三所學(xué)校，有 種；根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得分配方法共有 種15、試題分析：( 1)根據(jù)等可能性知每次贏(yíng)、平、輸?shù)母怕式詾樵俜謨煞N情況分別計(jì)數(shù)：一種是小華在第 1 個(gè)臺(tái)階，并且小明在第 2個(gè)臺(tái)階，最后一次劃拳小華平；另一種是小華在第2個(gè)臺(tái)階，并且小明 也在第 2 個(gè)臺(tái)階，最后一次劃拳小華輸，逆推確定事件數(shù)及對(duì)應(yīng)劃拳的次數(shù)，最后利用互斥事件概率加法 公式求概率，（ 2）先確定隨機(jī)變量取法 ,再分別利用組合求對(duì)應(yīng)概率 ,列表可得分布列 ,最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公 式求期望 .試題解析：解：（ 1）易知對(duì)于每次劃拳比賽基本事件

17、共有個(gè)，其中小華贏(yíng)（或輸）包含三個(gè)基本事件上，他們平局也為三個(gè)基本事件，不妨設(shè)事件 “第 次劃拳小華贏(yíng) ”為 ；事件 “第 次劃拳 小華平 ”為 ；事件 “第 次劃拳小華輸 ”為 ，所以 因?yàn)橛螒蚪Y(jié)束時(shí)小華在第 2 個(gè)臺(tái)階，所以這包含兩種可能的情況： 第一種：小華在第 1 個(gè)臺(tái)階，并且小明在第 2 個(gè)臺(tái)階，最后一次劃拳小華平；其概率為 ， 第二種：小華在第 2 個(gè)臺(tái)階，并且小明也在第 2 個(gè)臺(tái)階，最后一次劃拳小華輸， 其概率為所以游戲結(jié)束時(shí)小華在第 2 個(gè)臺(tái)階的概率為（2）依題可知 的可能取值為 2、 3、 4、5，所以 的分布列為：2345所以 的數(shù)學(xué)期望為：16、最少要取出 11 個(gè)棋子，

18、才可能滿(mǎn)足要求。其原因如下： 如果一個(gè)方格在第 i行第 j 列，則記這個(gè)方格為 （i，j）。 第一步證明若任取 10 個(gè)棋子，則余下的棋子必有一個(gè)五子連珠，即五個(gè)棋子在一條直線(xiàn)（橫、豎、斜方 向）上依次相連。用反證法。假設(shè)可取出 10 個(gè)棋子，使余下的棋子沒(méi)有一個(gè)五子連珠。如圖 1，在每一行的前五格中必須各取出一個(gè)棋子，后三列的前五格中也必須各取出一個(gè)棋子。這樣， 10 個(gè)被取出的棋子不 會(huì)分布在右下角的陰影部分。同理，由對(duì)稱(chēng)性，也不會(huì)分布在其他角上的陰影部分。第1、2 行必在每行取出一個(gè)，且只能分布在 （1，4）、（1，5）、（2，4）、 （2，5）這些方格。同理 （6，4）、（6，5）、（7，4）、（7，5）這 些方格上至少要取出 2 個(gè)棋子。在第 1、2、3 列，每列至少要取出一個(gè)棋子，分布在（3，1）、（3，2）、（3，3）、 （4，1）、