1.2 基本不等式1

1、附件：教學(xué)設(shè)計方案模版教學(xué)設(shè)計方案課程7.4基本不等式及其應(yīng)用課程標(biāo)準(zhǔn)考綱要求：1、了解基本不等式的證明過程。2、會用基本不等式解決簡單的最大（?。┲祮栴}。從考查形式上，單純對基本不等式的命題，主要出現(xiàn)在選擇題和填空題中；在解答題中，多與函數(shù)、三角結(jié)合，難度適中。從能力要求上看，要求學(xué)生具備較高的轉(zhuǎn)化能力，具備將特殊問題轉(zhuǎn)化為常規(guī)問題的能力。教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)是高三第一輪復(fù)習(xí)課（人教B版），是學(xué)生對基本不等式認(rèn)知的加深。從能力要求上看，要求學(xué)生具備較高的轉(zhuǎn)化能力，具備將特殊問題轉(zhuǎn)化為常規(guī)問題的能力。教學(xué)目標(biāo)1、能夠復(fù)述基本不等式及其變形；2、理解基本不等式及其變形式的結(jié)構(gòu)特點；3、會用基本不等式

2、求解一類函數(shù)的最值，明確應(yīng)用條件“一正、二定、三相等”。學(xué)習(xí)目標(biāo)掌握基本不等式及其應(yīng)用學(xué)情分析對我級高三理科普通班，基礎(chǔ)相對較弱，能力有待提高。主要表現(xiàn)在學(xué)習(xí)習(xí)慣、運算能力、抽象思維能力等方面。對于基本不等式的結(jié)構(gòu)生疏，適用條件不清晰，有濫用基本不等式的情況。重點、難點教學(xué)重點：在運用中要注意“一正”、“二定”、“三相等”。教學(xué)難點：的及其變形式的運用。教與學(xué)的媒體選擇PPT課程實施類型偏教師課堂講授類偏自主、合作、探究學(xué)習(xí)類備注教學(xué)活動步驟序號1（一）基礎(chǔ)知識梳理1基本不等式eq r(ab)eq f(ab,2)(1)基本不等式成立的條件：a0，b0(2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)ab時取等號2

3、.幾個重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR).(2)eq f(b,a)eq f(a,b)2(a，b同號).(3)abeq blc(rc)(avs4alco1(f(ab,2)2 (a，bR).(4)eq f(a2b2,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(ab,2)2 (a，bR).3.三個正數(shù)的基本不等式已知a,b,c均為正實數(shù)，則（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）。2（二）基本不等式的應(yīng)用1）例題1、判斷下面說法是否正確函數(shù)的最小值是2. ( )若則的最小值為 ( )3、函數(shù)的最小值為4.( )小結(jié)：利用基本不等式求函數(shù)最值時，注意條件：“一正、二定、三相等”一個也不能少2）例題2、(

4、1)已知正實數(shù)a,b滿足2a+3b=4,求ab的范圍；（2）已知正數(shù)a,b滿足，求ab的最小值；（3）已知xeq f(5,4)，求f(x)4x2eq f(1,4x5)的最大值。解：（1）解：。（2）解：。（3）因為x0，則f(x)4x2eq f(1,4x5)(54xeq f(1,54x)3231.當(dāng)且僅當(dāng)54xeq f(1,54x)，即x1時，等號成立.故f(x)4x2eq f(1,4x5)的最大值為1.小結(jié)：在利用基本不等式求最值時，要根據(jù)式子的特征靈活變形，“拆”“拼”“湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”、“定”、“等”、“ 和定積最大，積定和最小”的條件，然后再利用基本不等式.變式練

5、習(xí)1、（1）若函數(shù)f(x)xeq f(1,x2)(x2)在xa處取最小值，則a等于()。A1eq r(2) B1eq r(3) C3 D4（2）已知x為正實數(shù)且x2eq f(y2,2)1，求xeq r(1y2)的最大值；解：（1）因為x2，所以x20，則f(x)xeq f(1,x2)(x2)eq f(1,x2)22eq r(x2)f(1,x2)24，當(dāng)且僅當(dāng)x2eq f(1,x2)，即x3時取等號即當(dāng)f(x)取得最小值時，x3，即a3.選C。（2）因為x0，所以xeq r(1y2)eq r(2)eq r(x2(f(1,2)f(y2,2)eq f(r(2)x2(f(1,2)f(y2,2),2)，

6、又x2(eq f(1,2)eq f(y2,2)(x2eq f(y2,2)eq f(1,2)eq f(3,2)，所以xeq r(1y2)eq r(2)(eq f(1,2)eq f(3,2)eq f(3r(2),4)，當(dāng)且僅當(dāng)x2=eq f(1,2)eq f(y2,2)，即x2=，(y2)取等號。即(xeq r(1y2)maxeq f(3r(2),4).3）例題3、設(shè)求的最大值.解：因為，當(dāng)且僅當(dāng)取等號。變式練習(xí)2、（1）設(shè)求的最小值。解：因為當(dāng)且僅當(dāng)取等號。小結(jié)：當(dāng)分子為一次，分母為二次（或分母為一次，分子為二次）的式子，可通過變形成可以利用基本不等式求最值。（2）求函數(shù)yeq f(r(x1),

7、x3r(x1)的最大值.解：（1）令teq r(x1)0，則xt21，所以yeq f(t,t213t)eq f(t,t2t4).當(dāng)t0，即x1時，y0；當(dāng)t0，即x1時，yeq f(1,tf(4,t)1)，因為teq f(4,t)2eq r(4)4(當(dāng)且僅當(dāng)t2時取等號)，所以yeq f(1,tf(4,t)1)eq f(1,5)即y的最大值為eq f(1,5)(當(dāng)t2，即x5時y取得最大值).4）*例題4、（1）若兩個正實數(shù)x，y滿足，并且恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為。（2）已知正實數(shù)a,b滿足a+2b=1，求的最小值。小結(jié)：條件最值的求解通常有兩種方法：一是消元法，即根據(jù)條件建立兩個量之間的

8、函數(shù)關(guān)系，然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解；二是將條件靈活變形，利用常數(shù)代換的方法構(gòu)造和或積為常數(shù)的式子，然后利用基本不等式求解最值.要特別注意：多次用到基本不等式時，要注意只有多次同時取等號時，才能取到最值。變式練習(xí)3、（1）若正數(shù)x，y滿足x3y5xy，則3x4y的最小值是（2）已知x0，y0，x3yxy9，求x3y的最小值.（3）設(shè)正實數(shù)x，y，z滿足x23xy4y2z0.則當(dāng)eq f(xy,z)取得最大值時，eq f(2,x)eq f(1,y)eq f(2,z)的最大值為()A0 B1 C.eq f(9,4) D3（4）（2014重慶）若，則的最小值為。解：（1）由x3y5xy可得e

9、q f(1,5y)eq f(3,5x)1，3x4y(3x4y)(eq f(1,5y)eq f(3,5x)eq f(9,5)eq f(4,5)eq f(3x,5y)eq f(12y,5x)eq f(13,5)eq f(12,5)5.(當(dāng)且僅當(dāng)eq f(3x,5y)eq f(12y,5x)，即x1，yeq f(1,2)時，等號成立)，3x4y的最小值是5.（2）由已知得xeq f(93y,1y).方法一(消元法)x0，y0，y0，y0，9(x3y)xyeq f(1,3)x(3y)eq f(1,3)(eq f(x3y,2)2，當(dāng)且僅當(dāng)x3y時等號成立.設(shè)x3yt0，則t212t1080，(t6)(t

10、18)0，又t0，t6.故當(dāng)x3，y1時，(x3y)min6.（3）解析：選B.zx23xy4y2(x0，y0，z0)，eq f(xy,z)eq f(xy,x23xy4y2)eq f(1,f(x,y)f(4y,x)3)eq f(1,43)1.當(dāng)且僅當(dāng)eq f(x,y)eq f(4y,x)，即x2y時等號成立，此時zx23xy4y24y26y24y22y2，eq f(2,x)eq f(1,y)eq f(2,z)eq f(2,2y)eq f(1,y)eq f(2,2y2)eq f(1,y2)eq f(2,y)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,y)1)eq sup12(2)1，當(dāng)y1時，eq f(2,x)eq f(1,y)eq f(2,z)的最大值為1.教學(xué)活動詳情教學(xué)活動1：基礎(chǔ)知識梳理活動目標(biāo)鞏固復(fù)習(xí)基本不等式。解決問題進(jìn)一步熟悉基本不等式。技術(shù)資源學(xué)案、PPT、實物投影。常規(guī)資源無活動概述教師提問，個別學(xué)生口答。教與學(xué)的策略以學(xué)生口答為主，師生合作學(xué)習(xí)。反饋評價現(xiàn)場了解學(xué)生對基本知識點的掌握情況。達(dá)到了復(fù)習(xí)鞏固的目的。教學(xué)活動2活動目標(biāo)1、基本不等式的簡單應(yīng)用，特別提醒注意應(yīng)用的三個條件。2、在變化中讓學(xué)生學(xué)會應(yīng)用基本不等式的技巧，從而理解基本不等式在求最值中的作用。解決問