高考數(shù)學(xué)專題05等差數(shù)列和等比數(shù)列的證明問(wèn)題(第二篇)(原卷版)

1、 / 7備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學(xué)大題精做之解答題題型全覆蓋高端精品第二篇數(shù)列與不等式專題05等差數(shù)列和等比數(shù)列的證明問(wèn)題類型對(duì)應(yīng)典例由遞推式證明一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列典例1由數(shù)列內(nèi)部構(gòu)造新數(shù)列證明為等差數(shù)列典例2由兩個(gè)數(shù)列結(jié)合構(gòu)造數(shù)列證明等差、等比數(shù)列典例3由復(fù)雜遞推式轉(zhuǎn)化構(gòu)造證明等差數(shù)列典例4由兩個(gè)數(shù)列的相關(guān)性證明數(shù)列為等差等比數(shù)列典例5探究數(shù)列是否為等差等比數(shù)列，說(shuō)明理由典例6與概率統(tǒng)計(jì)相結(jié)合的數(shù)列問(wèn)題的證明典例7【典例1】【2020屆廣東省中山市高三上學(xué)期期末】設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知a2 3，a. i 2a. 1.（1）證明an 1為等比數(shù)列；（2） 判斷n , a., Sn是否成等

2、差數(shù)列？并說(shuō)明理由【思路引導(dǎo)】an I 1（1） 由遞推關(guān)系求得a1 ,通過(guò)計(jì)算2 ,證得數(shù)列 an 1為等比數(shù)列.an 1an ,Sn 成（2） 由（1）求得數(shù)列 an的通項(xiàng)公式，由分組求和法求得Sn ,證得n SI 2an ,所以n， 等差數(shù)列.【典例2】【江西省名校（臨川一中、南昌二中）2019屆高三5月聯(lián)合】2 2 2已知數(shù)列an有an0，Sn是它的前n項(xiàng)和，a13且Sn3na“Sn 1 ,n2 .（1） 求證：數(shù)列 an an 1為等差數(shù)列.（2）求an的前n項(xiàng)和Sn.【思路引導(dǎo)】2 2(1)先化簡(jiǎn)已知得(SnSn)3n ,(SnSn)3(n1),再求出a.a.=6n3 ,再證明數(shù)列

3、an an 1為等差數(shù)列；(2)對(duì)n分奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況討論得解 【典例3】【2019年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷(理科 )(新課標(biāo))已知數(shù)列an和bn滿足a1=1,b1=0, 4an 1 3an bn4 , 4bn 1 3bn an 4.(1 )證明：an+bn是等比數(shù)列,r On -HrA 阜壟韭勘萬(wàn).an -n是等差數(shù)列;(2 )求an和bn的通項(xiàng)公式【思路引導(dǎo)】(1)可通過(guò)題意中的4an 1 3anbn 4 以及 4bn 1 3bnan 4對(duì)兩式進(jìn)行相加和相減即可推導(dǎo)出數(shù)列an bn是等比數(shù)列以及數(shù)列an bn是等差數(shù)列；可通過(guò)(1)中的結(jié)果推導(dǎo)出數(shù)列an bn以及數(shù)列 anbn的通項(xiàng)公式，

4、然后利用數(shù)列an bn以及數(shù)列an bn的通項(xiàng)公式即可得出結(jié)果.【典例4】【安徽省阜陽(yáng)市2019-2020學(xué)年高三教學(xué)質(zhì)量統(tǒng)測(cè)】已知數(shù)列 an滿足a1 1 ,且an 3an 1an an 1證明數(shù)列 1是等差數(shù)列，并求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式;an 1(2) 若 bnan,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.1【思路引導(dǎo)】(1)由 an 3an 1anan 11,利用定義能證明1an 11是以一為公差的等差數(shù)列，從而求出a22 1 ； (2)n由bn2nan1n 2n 1 ,利用錯(cuò)位相減法即可求得數(shù)列bn的前n項(xiàng)和.【典例5】【2020屆福建省莆田市(第一聯(lián)盟體 )上學(xué)期高三聯(lián)考】在正項(xiàng)數(shù)列an 中，已知

5、aI1, an 1an2 且a an 1an* bn 2(1)證明：數(shù)列 bn是等差數(shù)列；(2)設(shè) bn的前n項(xiàng)和為Sn ,證明：1S111S2S313Sn4 .【思路引導(dǎo)】2 2由題設(shè)條件證明數(shù)列an是等差數(shù)列，并得出數(shù)列 an的通項(xiàng)公式，進(jìn)而得出bn 2n 1 ,再由等差數(shù)列的定義證明即可；由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式得出Sn，再由裂項(xiàng)求和法證明不等式 【典例6】【2018年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)(新課標(biāo)I卷)】已知數(shù)列an滿足a 1，nan 2 n 1 an ,設(shè)bn n .n求 b , b2 , b3 ；判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列，并說(shuō)明理由；求an的通項(xiàng)公式.【思路引導(dǎo)】2

6、 n 1(1)根據(jù)題中條件所給的數(shù)列an的遞推公式nan12 n 1an,將其化為anIan ,分別令na nn 1和n 2 ,代入上式求得a2 4和a3 12 ,再利用bn an ,從而求得d 1 , b2 2 , b3 4 ；na2a 利用條件可以得到口 n ,從而可以得出bn I 2bn ,這樣就可以得到數(shù)列bn是首項(xiàng)為1,公n 1 n比為2的等比數(shù)列； 借助等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得an 2n 1 ,從而求得an n 2n 1.n【典例7】【河南省名校聯(lián)盟 2019-2020學(xué)年高三11月教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)】一種擲骰子走跳棋的游戲：棋盤(pán)上標(biāo)有第0站、第1站、第2站、第100站，共101站，設(shè)棋子

7、跳到第n站的概率為Pl ,一枚棋子開(kāi)始在第 0站，棋手每擲一次骰子，棋子向前跳動(dòng)一次若擲出奇數(shù)點(diǎn)，棋子向前跳一站；若擲出偶數(shù)點(diǎn)，棋子向前跳兩站，直到棋子跳到第99站(獲勝)或第100站(失敗)時(shí)，游戲結(jié)束(骰子是用一種均勻材料做成的立方體形狀的游戲玩具，它的六個(gè)面分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)1，2，3, 4，5, 6).(I)求Po , R , p2 ,并根據(jù)棋子跳到第n站的情況，試用Pn 2和Pn 1表示Pn ；求證：P1 Pni(n 12 ,100)為等比數(shù)列；求玩該游戲獲勝的概率.【思路引導(dǎo)】(1)在第0站是必然事件，所以 Po 1.棋子跳到第1站，只有一種情形，第一次擲骰子出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)，可求出P ,棋子

8、跳到第2站，包括兩種情形，第一次擲骰子岀現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)，前兩次擲骰子出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)，可求出P2.棋子跳到第n(2剟In 99)站，包括兩種情形，棋子先跳到第n 2站，又?jǐn)S骰子出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)，棋子先跳到第n 1站，又?jǐn)S骰子出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)，進(jìn)行求解.1 1 1由(1)知，Pn2 Pn22 Pn1，所以PIPn 1(PnIPl2)可證(3)該游戲獲勝的概率，即求P99 ,由(2)用累加法可求解.【針對(duì)訓(xùn)練】【2020屆湖南省益陽(yáng)市高三上學(xué)期期末】2 * 在數(shù)列 an中，有印 a2 a3a* n 2n n N .證明：數(shù)列 an為等差數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；1 記bn,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.an an 1【2020屆

9、廣東省東莞市高三期末調(diào)研測(cè)試】已知數(shù)列 an中，a11且2an I 6an 2n 1 n N求證：數(shù)列 an n為等比數(shù)列；2求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn.【2020屆安徽省皖東縣中聯(lián)盟上學(xué)期高三期末】已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn ,滿足Sn 2an n , nN（1）求證：數(shù)列 an 1為等比數(shù)列;(2)若 bnlog2 an 1 ,求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.bnbn 1【湖南省衡陽(yáng)市2019屆高三第二次聯(lián)考（二模）】1 1已知數(shù)列an ，bn滿足a11，b12，2an1a.，2g（1 ）證明：數(shù)列 an bn ， an bn為等比數(shù)列；10（2）記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，證明：Sn.3【2020屆

10、重慶市高三上學(xué)期期末測(cè)試卷】已知數(shù)列 an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn 2an n2.12 anbn（1）證明：數(shù)列 an 2n 3是等比數(shù)列;(2)設(shè) bn2n an ,證明:丄bi1b2bn6.【湖南省衡陽(yáng)市衡陽(yáng)縣、長(zhǎng)寧、金山區(qū)2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期12月聯(lián)考】(0,3 n 2) ， anIUUABUUInUuLr設(shè) n N* ,向量 AB (3n1,3)，BC（1 ）試問(wèn)數(shù)列 an 1 an是否為等差數(shù)列？為什么?（2）求數(shù)列丄的前n項(xiàng)和Sn.an【2020屆福建省漳州市高三第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)卷】已知數(shù)列 an滿足?。?）證明：數(shù)列 nan為等差數(shù)列；（2） 設(shè)bn2 an 2 a

11、n 1 ,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.【2020屆黑龍江省第一高級(jí)中學(xué)高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)】已知數(shù)列 an的前n項(xiàng)和為Sn，a12，Sn 13&2，n N證明：數(shù)列 Sn 1為等比數(shù)列；2 2已知曲線Cn : X 19 an y 1若Cn為橢圓，求n的值；若bnnlog33an,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.2 2【江蘇省泰州市2019屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題】已知數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn,2aj a? a3 ,且對(duì)任意的n N* ,n渚E有2nSn 1 (2n 5)Sn Sn 1 .若印 0, a2 3a1 ,求r的值；數(shù)列 an能否是等比數(shù)列？說(shuō)明理由；當(dāng)1時(shí)，求證：數(shù)列 an 是等差數(shù)列

12、.【天津市新華中學(xué) 2019屆高三高考模擬】已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn ,公比q 0,S22a22,S3a42.數(shù)列bn滿足2 *a2 4b, nbn I (n 1)bn n n n N .求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式；證明數(shù)列 bn為等差數(shù)列；na n為奇數(shù)2 設(shè)數(shù)列Cn的通項(xiàng)公式為：Cn,其前n項(xiàng)和為T(mén)n ,求T2n .n為偶數(shù)4【2019年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷(理科 )(新課標(biāo))為了治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn).試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)對(duì)于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥.-輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn).當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效為了方便描述問(wèn)題，約定：對(duì)于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得 1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得 1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分甲、乙兩種藥的治愈率分別記為和 輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X. #/ 71)求 X 的分布列；(2)若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開(kāi)始時(shí)都賦予