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文檔簡介
1、第七章玻耳茲曼統(tǒng)計(期末復(fù)習(xí))、熱力學(xué)第一定律的統(tǒng)計解釋:dU dW dQai i dU aid iidai比較可知:dWaid i dQidaiii即:從統(tǒng)計熱力學(xué)觀點看,做功:通過改變粒子能級引起內(nèi)能變化;傳熱:通過改變粒子分布引起內(nèi)能變化二、相關(guān)公式 1、非定域系及定域系的最概然分布ai ie2、配分函數(shù):量子體系:乙ieiaiiieN-iie iIie半經(jīng)典體系:乙eq,p dqidq2dqrdpidp2 dprhr經(jīng)典體系:乙ho內(nèi)能:nZ1-N1物態(tài)方程:N 1nzi p定域系:自由能:F -NkT i nZ i嫡:S ki nm.bMK S Nk i nZii nZiq,p dq
2、idq2dqdpidp2dpho3、熱力學(xué)公式(熱力學(xué)函數(shù)的統(tǒng)計表達式) 三、應(yīng)用:1、用玻耳茲曼分布推導(dǎo)單原子分子的理想氣體物態(tài)方程并 說明所推導(dǎo)的物態(tài)方程對多原子分子的理想氣體也適用。2、能量均分定理能量均分定理的內(nèi)容能量均分定理的應(yīng)用:A、熟練掌握用能量均分定理求理想氣體(單原子分子,多 原子分子)內(nèi)能、熱容量。知道與實驗結(jié)果的一致性及存在 的問題。B、知道經(jīng)典的固體模型,熟練掌握用能量均分定理求經(jīng)典 固體的內(nèi)能及定容熱容量。知道與實驗結(jié)果的一致性及存在 的問題。3、定域系的量子統(tǒng)計理論:、愛因斯坦固體模型;、熟練掌握用量子統(tǒng)計理論求愛因斯坦固體的內(nèi)能及其熱容 量;、知道愛因斯坦固體模型
3、成功之處及其不足和原因。四、應(yīng)熟練掌握的有關(guān)計算1、求配分函數(shù)乙進而求系統(tǒng)的熱力學(xué)性質(zhì)2、用S kln的證明及相關(guān)應(yīng)用四、解題指導(dǎo)1、求廣義力的基本公式 Y司的應(yīng)用;i y例1:根據(jù)公式Pai4,證明:對于極端相對論粒子,l V2 C 222x 1/2cp (Ax ny nz), nx ny nz 0, 1, 2,有p 1U。上述結(jié)論對玻爾茲曼、玻色、費米分布均存立。3V證明:令A(yù) c2 c (nXn2n;)1/2, A J 因此得到1 A 1 A 3 V773寶尸 3V壓強ai 一V3V iai因內(nèi)能Ulal ,所以 p 2。3V證畢由于在求證過程中,并未涉及分布ai的具體形式,故上述結(jié)論對
4、玻爾茲曼、玻色、費米分布均存立。2、嫡的統(tǒng)計表達式及玻耳茲曼關(guān)系的應(yīng)用 例2試證明,對于遵從玻爾茲曼分布的系統(tǒng),嫡函數(shù)可以表 示為S Nk Psln Psss a s式中Ps是總粒子處于量子態(tài)s的概率,Ps q k年,s 對粒子的所有量子態(tài)求和。對于滿足經(jīng)典極限條件的非定域系統(tǒng),嫡的表達式有何不同?證明:對于定域系S Nk in ZiinZiNkS Ps1nzi XN*證法(1 ):NkNkPsinZiPsinZiNkPsinZi證法(2):inin N!故:ai in N匹in NasS kT inNkPs in 乙SasNkPsinZiSNk Psin Pss對于滿足玻耳茲曼分布的定域系i
5、n al!al ini N inas sPs sSai,aiin 一ias in NN!討論:對滿足對S Nk in 乙inZ iai ias in asal in alaii曳in Ns Nai in i N in Nas,in ass N或 S kinass一 in 一Nkk in M.BPsin PsPs in Ps1的非定域系kin N! Nk Psin Psskin N! NkPs in Ps例3:對如圖所示的夫倫克爾缺陷,k inS0N! NkPs in Ps So(1)假定正常位置和填隙位置數(shù)均為N,證明:由N個原子構(gòu)成的晶體,在晶體中形成n個缺位和填隙原子而具有的嫡等于S 2k
6、 inN!n!(N n)!(2)設(shè)原子在填隙位置和正常位置的能量差為u,試由自由能F nu TS為極小證明在溫度為T時,缺位和填隙原子數(shù)為n Ne u/2kT(設(shè) n N )證明:(1)當(dāng)形成缺陷時,由現(xiàn)幾個缺陷的各種占據(jù)方式就對應(yīng)不同的微觀狀態(tài),N個正常位置由現(xiàn) n個空位的可能方 式數(shù)為N!/n!(N n)!,同樣離開正常位置的n個原子去占據(jù) N個間隙位置的方式數(shù)也為N!/n!(N n)!,從而形成n個空位并有n個間隙位置為n個原子占據(jù)的方式數(shù)即微觀態(tài)數(shù)N!/n!(N n)! 2 ,由此求得嫡-N!S kin 2k lnn!(N n)!(2)系統(tǒng)的自由能F nu TS,取無缺陷時的晶體自由能
7、為零時,平衡態(tài)時系統(tǒng)的自由能為極小。將自由能 F對缺陷 數(shù)n求一階導(dǎo)數(shù)并令其為零,求得缺位和填隙原子數(shù)為n Ne u/2kT(設(shè) n N)3、求配分函數(shù),確定體系熱力學(xué)性質(zhì)例4:已知粒子遵從玻爾茲曼分布,能量表示式為 1/2 /2 _2 ,(PxPy Pz) axbx2m其中,a、b為常數(shù),求粒子的平均能量。解:方法一:由配分函數(shù)求dxdydzdp xdpydpz1(pX py p|) ax2 bxZie 3 - e mdxdydzdp xdpydpzh3h3Ah72 axbxdx32-b22e奇e2b一x2adx1nzi ln Bln Zib2e 4a2lnb24a-b 2kT4ab - x
8、 2ab24adxb24ab22e 4ae方法二由玻爾茲曼分布公式求由玻爾茲曼分布,粒子坐標(biāo)在dxdydz ,動量在dpxdpydpz 范圍的概率為1dW eZidxdydzdpxdpydpzdxdydzdpxdpydpzh3h3由此求得一個粒子平均能量積分范圍為:x, y, z V;px, py, pz代入積分,利用 函數(shù),最后得到方法三1 / 2(px2mb22kT 4a用能量均分定理求;(pi p2 p;) ax2 bx2m22b 2 b TOC o 1-5 h z pypz) a(x 2;)石 能量表示式中,按照能量均分定律,每一平方項的平均值為 $T ,在上式中,對變量的平方項有 4
9、項,于是,I,2,21 /_ 2_ 2_ 2b、2bb丁(px py pz) a(x )2kT2m2a4a4a例5、試求雙原子分子理想氣體的振動嫡解:雙原子分子原子間的振動在溫度不太高時可視為簡諧振動,振動能量為n (n g)hn 0,1,2單個分子的振動配分函數(shù)h /27n e TOC o 1-5 h z 乙 e ;h-n 01 e1h1nzi- h ln(1 e )雙原子分子理想氣體的振動嫡/(e h 1) ln(1 eh )ln ZS Nkln Z11 Nk h令v/Thv為振動特征溫度,則上式寫為S NkT exp( v/T) 1ln(1v/Te )3N例6、試求愛因斯坦固體的嫡。解:
10、據(jù)愛因斯坦模型,理想固體中原子的熱運動可以視為 個獨立諧振子的振動,且各振子頻率都相同并設(shè)為常數(shù) 固體中一個振子能量為:l0、1、21n (n 萬),一個振子配分函數(shù)Zn1en 0固體中共3 N個諧振子,由此得到固體的嫡11mle )1nziS 3Nk1n 乙 -3Nk-e例7、定域系統(tǒng)含有 N個近獨立粒子,每個粒子有兩個非簡并能級i和2,求溫度為T的熱平衡態(tài)下系統(tǒng)的內(nèi)能和嫡, 在 高、低溫極限下將結(jié)果化簡,并加解釋。解:1個粒子的配分函數(shù)為Z121(21)-1i e e e 1 e 1nZ11 1n1 e (2 1)求得系統(tǒng)的內(nèi)能和嫡分別為N( 21)S Nk1n Z11nZ1Nk 1n1 e ( 2 1)(21 )(21)e討論:當(dāng)
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