MATLAB系統(tǒng)根軌跡和頻域分析實(shí)驗(yàn)教程文件

1、Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。MATLAB系統(tǒng)根軌跡和頻域分析實(shí)驗(yàn)-實(shí)驗(yàn)三MATLAB系統(tǒng)根軌跡和頻域分析實(shí)驗(yàn)一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?學(xué)習(xí)使用MATLAB求特征多項(xiàng)式的根，分析系統(tǒng)穩(wěn)定性；2學(xué)習(xí)使用MATLAB由傳遞函數(shù)求零點(diǎn)和極點(diǎn)；3學(xué)習(xí)使用MATLAB繪制根軌跡；4掌握由根軌跡分析系統(tǒng)性能的方法；5學(xué)習(xí)使用MATLAB繪制Bode圖和Nyquist圖；6掌握使用Bode圖和Nyquist圖分析系統(tǒng)性能的方法。二、實(shí)驗(yàn)儀器計(jì)算機(jī)三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容3.1特征多項(xiàng)式求解3.1.1直接求特征多項(xiàng)式的根設(shè)P為特征多項(xiàng)式的系數(shù)矢量，用MATLAB函數(shù)roo

2、ts()可直接求出方程P=0在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的解，該函數(shù)的調(diào)用格式為：v=roots(p)例二十三已知系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為：特征方程的解可由下面的MATLAB命令得出：p=1,0,3,2,1,1v=roots(p)結(jié)果顯示：v=0.3202+1.7042i0.3202-1.7042i-0.72090.0402+0.6780i0.0402-0.6780i利用多項(xiàng)式求根函數(shù)roots()，可方便的求出系統(tǒng)的零點(diǎn)和極點(diǎn)，然后根據(jù)零極點(diǎn)分析系統(tǒng)穩(wěn)定性和其他性能。3.1.2由根創(chuàng)建多項(xiàng)式如果已知多項(xiàng)式的因式分解式或特征根，可由MATLAB函數(shù)poly()直接得出特征多項(xiàng)式系數(shù)矢量，其調(diào)用格式為：p=poly(

3、v)。如上題中：v=0.3202+1.7042i；0.3202-1.7042i；-0.7209；0.0402+0.6780i；0.0402-0.6780i；p=poly(v)結(jié)果顯示：p=1.0000-0.00003.00002.00001.00001.0000由此可見，函數(shù)roots()與函數(shù)poly()互為逆運(yùn)算。3.1.3多項(xiàng)式求值在MALAB中通過函數(shù)polyval()可求得多項(xiàng)式在給定點(diǎn)的值，該函數(shù)的調(diào)用格式為：polyval(p,v)。對于上題中的p值，求取多項(xiàng)式在x點(diǎn)的值，可輸入如下命令：p=1,0,3,2,1,1；x=1polyval(p,x)結(jié)果顯示：ans=83.1.5由傳

4、遞函數(shù)求零點(diǎn)和極點(diǎn)在MATLAB控制系統(tǒng)工具箱中，給出了由傳遞函數(shù)對象G求系統(tǒng)零點(diǎn)和極點(diǎn)的函數(shù)，其調(diào)用格式分別為：Z=tzero(G)P=pole(G)注意：上式中要求的G必須是零極點(diǎn)模型對象。例二十四已知傳遞函數(shù)為輸入如下命令：num=6.8,61.2,95.2；den=1,7.5,22,19.5,0；G=tf(num,den)；G1=zpk(G)；Z=tzero(G)；P=pole(G)；結(jié)果為：Z=-7-2P=0-3.0000+2.0000i-3.0000-2.0000i-1.50003.1.6零極點(diǎn)分布圖在MATLAB中，可利用pzmap()函數(shù)繪制連續(xù)系統(tǒng)的零、極點(diǎn)圖，從而分析系統(tǒng)的

5、穩(wěn)定性，該函數(shù)調(diào)用格式為：pzmap(num,den)。例二十五給定傳遞函數(shù)：利用下列命令可自動(dòng)打開一個(gè)圖形窗口，顯示該系統(tǒng)的零、極點(diǎn)分布圖。用鼠標(biāo)點(diǎn)擊圖中零、極點(diǎn)可自動(dòng)顯示其坐標(biāo)值。num=3,2,5,4,6den=1,3,4,2,7,2pzmap(num,den)title(Pole-ZeroMap)%圖形標(biāo)題3.2根軌跡法控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，由其閉環(huán)極點(diǎn)唯一確定，而系統(tǒng)過渡過程的基本特性，則與閉環(huán)零極點(diǎn)在s平面的位置有關(guān)。根軌跡法就是在已知控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)零極點(diǎn)分部的基礎(chǔ)上，研究某些參數(shù)變化時(shí)控制系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)零極點(diǎn)分布影響的一種圖解方法。利用根軌跡法，能夠分析系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)特性以及

6、參數(shù)變化對瞬態(tài)響應(yīng)特性的影響。也可以根據(jù)對瞬態(tài)響應(yīng)的要求去確定可變參數(shù)或調(diào)整零極點(diǎn)的位置和個(gè)數(shù)。因此，根軌跡法可以用于解決線性系統(tǒng)的分析和綜合問題。3.2.1求系統(tǒng)根軌跡rlocus命令可求得系統(tǒng)的根軌跡格式：r，k=rlocus（num，den）r，k=rlocus（num，den，k）不帶輸出變量時(shí)則繪出系統(tǒng)的根軌跡圖，帶輸出變量時(shí)給出一組r，k的對應(yīng)數(shù)據(jù)。若給定了k的取值范圍，則該命令將按要求繪出圖形或數(shù)組或者輸出指定增益k所對應(yīng)的r值。每條根軌跡都以不同的顏色區(qū)別。例二十六某系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：要繪制系統(tǒng)的根軌跡，則輸入：n=2d=1320rlocus(n,d)執(zhí)行后得到下面圖形。若要

7、得到指定增益k值對應(yīng)的r值則輸入：n=2d=1320r，k=rlocus（n，d，5）結(jié)果如下：r=-3.30890.1545+1.7316i0.1545-1.7316ik=53.2.2求根軌跡增益rlocfind命令可求得給定根的根軌跡增益。格式：k，poles=rlocfind（n，d）k，poles=rlocfind（num，den，p）當(dāng)代有輸出變量時(shí)，可得到所有極點(diǎn)的座標(biāo)數(shù)據(jù)和增益值。不帶輸出時(shí)只得到所選點(diǎn)的座標(biāo)和增益值。注意：在執(zhí)行這條命令前最好先執(zhí)行一次根軌跡的繪圖命令，這樣就可直接在根軌跡圖上選取我們感興趣的點(diǎn)。其中的p是系統(tǒng)的根，由此可得到對應(yīng)的增益值。3.2.3繪制和wn格

8、sgrid命令是在圖形中繪制出阻尼系數(shù)和自然頻率柵格，其阻尼系數(shù)從01，步長為0.1。命令格式：sgridsgrid（z，wn）例二十七繪制系統(tǒng)帶柵格的根軌跡圖則執(zhí)行：n=11d=123rlocus(n,d)sgrid%加入柵格當(dāng)該命令帶有指定的z（），w（）時(shí)，則將按指定的參數(shù)繪制有關(guān)圖形。例二十八在上題中繪制=0.8，=2的根軌跡圖執(zhí)行：n=1，1；d=1，2，3；rlocus（n，d）z=0.8；w=2；%加入指定的柵格sgrid（z，w）得到所需圖形。3.3頻域法頻域分析法是利用頻率特性研究控制系統(tǒng)的一種方法。頻率特性是指系統(tǒng)或環(huán)節(jié)在正弦信號(hào)作用下，穩(wěn)態(tài)輸出與輸入之比對于頻率的關(guān)系。在

9、控制系統(tǒng)的頻域分析法中常用到的坐標(biāo)系統(tǒng)是極坐標(biāo)系和對數(shù)坐標(biāo)系。在分析方法中常用的有三種：Bode圖、Nyquist曲線和Nichols圖。3.3.1波特圖法bode命令可獲得連續(xù)系統(tǒng)的波特圖或有關(guān)數(shù)據(jù)組。命令格式：mag，phase，w=bode（num，den）mag，phase，w=bode（num，den，w）當(dāng)不帶輸出變量時(shí)則直接繪出圖形。而帶有輸出變量時(shí)則得到一組相關(guān)數(shù)據(jù)。其中的w是頻率的取值范圍，若缺省則該項(xiàng)由函數(shù)自動(dòng)確定。繪圖時(shí)的橫坐標(biāo)是以對數(shù)分度的。為了指定頻率的范圍，可采用以下命令格式：logspace(d1,d2)或ogspace(d1,d2,n)式是在指定頻率范圍內(nèi)按對數(shù)

10、距離分成50等份的，即在兩個(gè)十進(jìn)制數(shù)w1=10d1和w2=10d2之間產(chǎn)生一個(gè)由50個(gè)點(diǎn)組成的分量，矢量中的點(diǎn)數(shù)50是一個(gè)默認(rèn)值。例如要在w10.1rad/s與w2100rad/s之間的頻區(qū)畫伯德圖，則輸入命令時(shí)，d1=log10(w1),d2=log10(w2),在此頻區(qū)按對數(shù)距離等分成50個(gè)頻率點(diǎn)，返回到工作空間中，即：w=logspace(-1,2)要對計(jì)算點(diǎn)數(shù)進(jìn)行人工設(shè)定，則采用公式。例如要在w1=1與w2=1000之間產(chǎn)生100個(gè)對數(shù)等分點(diǎn)，可輸入以下命令：w=logspace(0,3,100)利用波特圖我們可以分析系統(tǒng)的幅、相裕度、帶寬、穩(wěn)定性、擾動(dòng)抑制能力等問題。利用波特圖分析系

11、統(tǒng)穩(wěn)定性的方法如下：a：相角裕量r0，幅值裕量k0，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。b：r=0；k=0，系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定。c：r0；k0，系統(tǒng)不穩(wěn)定。例二十九繪制系統(tǒng)的bode圖并判斷系統(tǒng)閉環(huán)后是否穩(wěn)定？則執(zhí)行：n=1,1d=4,3,2,0bode(n,d),grid（繪制波特圖并加?xùn)鸥瘢├L圖時(shí)的頻率范圍是自動(dòng)確定的，從0.01rad/s-1000rad/s,且幅值取分貝值，w軸取對數(shù)，圖形分成兩個(gè)子圖，均是自動(dòng)完成的。執(zhí)行后可以在上圖中觀察得到r0，k0，因此閉環(huán)后系統(tǒng)是穩(wěn)定的。3.3.2求增益和相位裕度從前面的例題中可以看出要求系統(tǒng)的相位和增益裕度的準(zhǔn)確值直接調(diào)用bode命令是不太容易的。而使用margin命

12、令則可以較容易的得到所需值。margin可求出開環(huán)系統(tǒng)的幅值裕度和相角裕度，其格式為:margin(num,den)gm,pm,wcg,wcp=margin(mag,phase,w)margin(num,den)可計(jì)算系統(tǒng)的相角裕度和幅值裕度，并繪制出Bode圖。margin(mag,phase,w)可以由幅值裕度和相角裕度繪制出Bode圖，其中，mag、phase和w是由bode得到的幅值裕度、相角裕度和頻率。當(dāng)帶輸出變量引用函數(shù)時(shí)，僅計(jì)算幅值裕度、相角裕度及幅值穿越頻率wcg和相角穿越頻率wcp，不繪制Bode圖。例三十：求例二十九中系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的相對穩(wěn)定裕度。執(zhí)行：n=11；d=43

13、20；margin（n，d）執(zhí)行后得到相應(yīng)圖形和有關(guān)數(shù)據(jù)k=15.6dbr=46.43.3.3奈奎斯特法奈奎斯特法是利極坐標(biāo)圖對系統(tǒng)進(jìn)行分析的一種方法。頻率特性的極坐標(biāo)圖是當(dāng)w由零變化到無窮大時(shí)，表示在極坐標(biāo)上的幅與相角的關(guān)系圖，采用極坐標(biāo)圖，可以在一張圖紙上描繪出整個(gè)頻域的頻率響應(yīng)。奈奎斯特穩(wěn)定數(shù)據(jù)如下：（1）開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，如果曲線不包圍（）點(diǎn)，則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則為不穩(wěn)定的。（2）開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定時(shí)，如果曲線反時(shí)針方向環(huán)繞（）點(diǎn)的次數(shù)N等于右半平面內(nèi)的極點(diǎn)數(shù)p，那么閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則是不穩(wěn)定的。nyquist命令可以求得連續(xù)系統(tǒng)的奈奎斯特曲線。命令格式：re，im，w=nyquis

14、t（num，den）re，im，w=nyquist（num，den，w）當(dāng)帶有輸出變量時(shí)，可得到相應(yīng)的一組數(shù)據(jù)，不帶輸出變量時(shí)，則繪出奈奎斯特曲線。也可用指定頻率向量w指定所要繪制的曲線范圍。例三十一：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為繪出系統(tǒng)的奈奎斯特圖并判斷系統(tǒng)閉環(huán)后是否穩(wěn)定。輸入：n=1；d=1210.5；nyquist（n，d）執(zhí)行后可得到所需圖形。從圖形上可以看出由于曲線不包圍（）點(diǎn)，因此閉環(huán)后系統(tǒng)是穩(wěn)定的。在某些場合我們需要在奈奎斯特曲線上加上單位圓幫助我們了解相位，幅值裕量的粗值。下面的方法可以使我們獲得帶單位圓的奈奎斯特圖，同時(shí)還可獲得不同增益下的奈奎斯特圖。例三十二：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為繪制k

15、=10，26，50時(shí)的帶單位圓的奈奎斯特圖，并估算系統(tǒng)的增僧裕量。單位圓的繪制是通過繪tjw的實(shí)部與虛部的軌跡而獲得。輸入：n=10;%取k=10時(shí)的值d=conv(12,125);w=0:0.01:10;%確定頻率范圍e=exp(j*w);%給出指數(shù)函數(shù)ejwr=real(e);%求指數(shù)函數(shù)的實(shí)部，結(jié)果不顯示i=imag(e);%求函數(shù)ejw的虛部，結(jié)果不顯示a,b=nyquist(n,d,w);%求指定頻率范圍內(nèi)的奈氏值，不顯示結(jié)果n1=26;%取k=26d1=d;%保留原分母矢量a1,b1=nyquist(n1,d1,w);%求k=0.5時(shí)的奈氏值，結(jié)果不顯示n2=50;%取k=50d2=d;%分母保留a2,b2=nyquist(n2,d2,w);plot(r,i,a,b,a1,b1,a2,b2),grid%繪出：r，i；a，b；a1，b1；a2，b2；的對應(yīng)圖形并加上柵格。執(zhí)行以上程序后可在上圖上得k=10，26，50并加有單位圓的奈奎斯特圖。一般來說由于此列的關(guān)系顯示的圖形不是一個(gè)正規(guī)的圓。從圖形上我們可以看出開環(huán)增益對閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。當(dāng)值變化時(shí)，幅頻特性成比例變化，而相頻特性不受影響。因此取時(shí)，曲線恰好通過（）點(diǎn)，這是臨界穩(wěn)定狀態(tài)；當(dāng)時(shí)，幅相曲線將從（）點(diǎn)的右方穿過負(fù)實(shí)軸，不再包圍（）點(diǎn)，這時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的；而時(shí)，開環(huán)頻率特性隨著從變