教學(xué)課件·固體電子學(xué)

1、固體電子學(xué)成績考核平時(shí)成績（40）考試成績（60）平時(shí)作業(yè)： 獨(dú)立完成期末考試：閉卷考試(?)第一章：晶體的結(jié)構(gòu)和晶體的結(jié)合固體晶體非晶體（研究固體的開始）1.1晶體的特征與晶體結(jié)構(gòu)的周期性1.1.1 晶體的特征立方體八面體立方體和八面體的混合體氯化鈉的若干外形發(fā)育良好的單晶，外形上最顯著的特征是晶面有規(guī)則的幾何配置。晶面守恒定律： 屬于同一品種的晶體兩個(gè)對(duì)應(yīng)晶面（或晶棱）間的夾角恒 定不變。宏觀性質(zhì)的各向異性：力學(xué)性質(zhì)（硬度、彈性模量等）光學(xué)性質(zhì)（折射率）電學(xué)性質(zhì)（電阻系數(shù)等）熔點(diǎn)（長程有序）：非晶態(tài)固體，例如白蠟、玻璃、橡膠等沒有固定熔點(diǎn)，又被稱為過冷液體。水雪PS：由大量單晶晶粒組成的晶

2、體稱為多晶體。多晶體的宏觀性質(zhì)表現(xiàn)為各向同性。-1.1.2 晶體結(jié)構(gòu)的周期性 晶體是由粒子（原子，分子，離子）有規(guī)則地、周期性地重復(fù)排列而形成的。基元與結(jié)點(diǎn)示意圖基元結(jié)點(diǎn)或陣點(diǎn)空間陣點(diǎn)或布喇菲點(diǎn)陣晶體結(jié)構(gòu)=基元+布喇菲點(diǎn)陣布喇菲（Bravais）格子原胞：晶體結(jié)構(gòu)的最小重復(fù)單元R=m1a+m2b+m3ca1=OAa2=OBa3=OC簡單格子：基元中只包含一個(gè)粒子。復(fù)式格子：基元中包含兩個(gè)或兩個(gè)以上的粒子。子晶格：每個(gè)基元中相應(yīng)同等粒子構(gòu)成的結(jié)點(diǎn)。PS:如果晶體由一種粒子組成，但晶體中粒子周圍的分布情況不同，則這樣的晶格 不是簡單格子而是復(fù)式格子。V(r)=V(r+R)r:為原胞中任一點(diǎn)的位矢R

3、：為任一格矢OABCa3a2a11.1.3 原胞與晶胞原胞：結(jié)點(diǎn)只在頂角，體積最小，只能反映晶體周期性。晶胞：能同時(shí)反映晶體周期性與對(duì)稱性的重復(fù)單元。原胞 基矢 a1,a2,a3晶胞 基矢 a,b,c立方晶系（晶格常數(shù)，晶軸方向）1. 簡單立方晶胞也是原胞。該原胞只包含一個(gè)結(jié)點(diǎn)。原胞基矢：a1=ai a2=aj a3=ak一個(gè)結(jié)點(diǎn)周圍的最近鄰結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為6個(gè)，距離為a 次近鄰結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為12個(gè)，距離為 a 晶胞原胞2. 體心立方晶胞原胞除頂角上有結(jié)點(diǎn)外，還有一個(gè)結(jié)點(diǎn)在立方體的中心。原胞基矢：一個(gè)結(jié)點(diǎn)周圍的最近鄰結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為8個(gè)，距離為 a 次近鄰結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為6個(gè)，距離為 a 晶胞體積為 ，原胞體積為

4、。晶胞不是原胞。該原胞包含2個(gè)結(jié)點(diǎn)。3.面心立方晶胞原胞除頂角上有結(jié)點(diǎn)外，在立方體的6個(gè)面上有6個(gè)結(jié)點(diǎn)。原胞基矢：一個(gè)結(jié)點(diǎn)周圍的最近鄰結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為12個(gè)，距離為 a晶胞體積為 ，原胞體積為 。晶胞不是原胞。該原胞包含4個(gè)結(jié)點(diǎn)。1.1.4 實(shí)際晶體舉例1.氯化銫結(jié)構(gòu) 氯化銫型結(jié)構(gòu)是復(fù)式格子，由兩個(gè)簡立方布喇菲格子沿立方體空間對(duì)角線位移1/2長度套構(gòu)而成。 在晶胞立方體的頂角上是Cl離子，而在體心上是Cs離子。 如以鈉離子位置為原點(diǎn)取原胞，則銫離子位置在原胞中心a(i+j+k)/2處。 由格點(diǎn)構(gòu)成的最小重復(fù)單元為簡立方，因此稱氯化銫結(jié)構(gòu)為簡立方結(jié)構(gòu)。 2.氯化納結(jié)構(gòu)Na離子和Cl離子均構(gòu)成面心立方格

5、子，這兩個(gè)面心立方點(diǎn)陣交錯(cuò)排列而構(gòu)成氯化鈉結(jié)構(gòu)。 以鈉離子位置為原點(diǎn)取原胞，則氯離子位置在原胞中心a(i+j+k)/2處。這個(gè)原胞中包含一個(gè)Na離子和一個(gè)Cl離子。 按氯離子的面心立方格子選基矢，會(huì)得同樣的結(jié)果。 復(fù)式格子是由若干相同結(jié)構(gòu)的子晶格互相位移套構(gòu)而成。說結(jié)構(gòu)、取原胞都是針對(duì)布拉非點(diǎn)陣而言。2.金剛石結(jié)構(gòu) 金剛石晶體是由碳原子構(gòu)成的兩個(gè)面心立方點(diǎn)陣沿晶胞立方結(jié)構(gòu)的對(duì)角線移動(dòng)1/4 對(duì)角線長度而構(gòu)成的，如圖所示。 金剛石雖由一種原子構(gòu)成，但由于相鄰兩原子周圍的情況不同，所以金剛石結(jié)構(gòu)不是布喇菲格子。 在一個(gè)面心立方原胞內(nèi)還有四個(gè)原子，分別位于四個(gè)空間對(duì)角線的1/4處，即每個(gè)原子有四個(gè)最

6、鄰近的原子，這四個(gè)最鄰近原子處在正四面體的頂角上。 碳原子的結(jié)合是由碳原子公有外殼層的4個(gè)電子形成共價(jià)鍵，每個(gè)碳原子和周圍4個(gè)原子共價(jià)。圖中棒狀線條代表共價(jià)鍵。價(jià)鍵的取向不同，兩種碳原子周圍的情況不同，因此金剛石結(jié)構(gòu)是各復(fù)式格子?！纠?-1】以金鋼石結(jié)構(gòu)晶胞中心為原點(diǎn)，寫出金剛石晶 胞中B類碳原子的直角坐標(biāo)。假設(shè)晶胞邊長a=1，A類原子位于頂角和面心，頂角坐標(biāo)可表示為 ，面心坐標(biāo)可表示為，。A類碳原子沿體對(duì)角線1,1,1方向平移1/4到B類原子，則坐標(biāo)由（x,y,z）變?yōu)檠伢w對(duì)角線（x+1/4, y+1/4, z+1/4）,留在晶胞內(nèi)的點(diǎn)應(yīng)該滿足|x |1/2， |y |1/2， |z |1/

7、2，所以有4點(diǎn)，即B1 （-1/4，-1/4，-1/4），B2 （-1/4，1/4，1/4）， B3（1/4，-1/4，1/4），B4 （1/4，1/4，-1/4）。 金剛石結(jié)構(gòu)是個(gè)復(fù)式格子，它由兩個(gè)面心立方的晶胞沿其空間對(duì)角線位移1/4長度套構(gòu)而成。 原胞的取法同面心立方布喇菲原胞的取法相同，原胞中包含兩個(gè)不等同的碳原子。 重要的半導(dǎo)體材料，如單晶鍺、單晶硅等的結(jié)構(gòu)和金剛石的結(jié)構(gòu)相同。立方系的硫化鋅也具有與金剛石類似的結(jié)構(gòu)，其中硫和鋅分別組成面心立方的布喇菲格子而沿空間對(duì)角線位移 1/4 長度套構(gòu)而成。 4.閃鋅礦結(jié)構(gòu)許多重要的化合物半導(dǎo)體，如銻化銦、砷化鎵、磷化銦等都是閃鋅礦結(jié)構(gòu)。族元素A

8、l、Ga、In 和族元素P、As、Sb按照1:1化學(xué)比合成的-族化合物。晶格結(jié)構(gòu)與金剛石結(jié)構(gòu)類似不同的是，閃鋅礦結(jié)構(gòu)由兩種不同的原子組成。兩類原子各構(gòu)成面心立方子晶格，沿空間對(duì)角線位移1/4的長度套構(gòu)而成。4.密堆積結(jié)構(gòu) 先把一些全同小球平鋪在平面上，并使這些球相切。其中，任一個(gè)球都和6個(gè)球相切，每三個(gè)相切球的中心構(gòu)成一等邊三角形，且每球的周圍有6個(gè)空隙，這樣由原子構(gòu)成的一層平面，稱為密排面。 第二層也是同樣的密排面。但是，由于在每個(gè)球周圍同一平面上只有相間的3個(gè)空隙的中心，所以第二層小球要放在第一層相間的3個(gè)空隙里，這會(huì)構(gòu)成又一個(gè)等邊三角形。 第二層的每個(gè)球和第一層相應(yīng)位置的三個(gè)球緊密相切。

9、 第三層也是密排面，但其堆法有兩種，從而決定了密堆積結(jié)構(gòu)有以下兩種： 1.六角密積將第三層球放在C位，則第四層球放入第三層球形成的間隙A位處，并依靠ABCABC規(guī)律重復(fù)堆積下去，如圖所示。 金屬Cu，Al，Au等的結(jié)構(gòu)屬于這種結(jié)構(gòu)。 2.立方密積 將第三層球放到A位，并依照ABABAB的順序堆積下去。立方密堆積結(jié)構(gòu)也是面心立方結(jié)構(gòu)。 金屬Zn、Mg、Be等屬于這樣的晶體結(jié)構(gòu)。1.2晶列與晶面 倒格子 晶體具有各向異性，因此有必要識(shí)別和標(biāo)志晶格中的不同方向。 1.2.1晶列（Crystal Array） 由于布喇菲格子的所有格點(diǎn)周圍情況均相同，從格點(diǎn)沿某有方向的排列規(guī)律看，所有格點(diǎn)可以看成分列在

10、一系列相互平行的直線系上，這些直線稱為晶列，如圖所示。 同一格點(diǎn)可以形成無數(shù)個(gè)方向不同的晶列，每個(gè)晶列定義了一個(gè)方向，稱為晶向，如圖所示。2.晶列指數(shù)（Index of Crystal Array） 同一族中的晶列（晶列族）互相平行，并且完全等同。它們具有三個(gè)特征：同族晶列具有相同的取向，即晶向；同族晶列上格點(diǎn)具有相同的周期；相鄰晶列間的距離相等。 A 取某一格點(diǎn)O為原點(diǎn)，以a1, a2, a3為原胞的三個(gè)基矢，則晶格中其它任一格點(diǎn)A的位矢可以寫成 若 l1、l2、l3 是互質(zhì)整數(shù)，就可用l1,l2,l3來表征晶列OA的方向。這三個(gè)互質(zhì)的整數(shù)，稱為晶列指數(shù)。若系數(shù)l1、l2、l3 不是互質(zhì)的，

11、需要簡約為互質(zhì)后才能代表晶列方向。 圖中的晶列指數(shù)即為122晶列中相鄰格點(diǎn)距離越遠(yuǎn)，晶列指數(shù)越大。等效晶列。格點(diǎn)之間距離近相互作用就強(qiáng)，所以晶體中重要的晶列是那些指數(shù)較小的晶列。 對(duì)于晶胞，取任一格點(diǎn)O為原點(diǎn)，并以a、b、c為基矢時(shí)，任何其它格點(diǎn)A的位矢為 若m、n、p是互質(zhì)整數(shù)，就可用m,n,p來表征晶列OA的方向。這三個(gè)互質(zhì)的整數(shù)，也稱為晶列指數(shù)。xyzOA 1.2.2 晶面 1.晶面指數(shù)（Index of Lattice Plane） 通過任一格點(diǎn)還可以作全同的晶面與某一晶面平行，從而構(gòu)成一族平行晶面，并使所有的格點(diǎn)都在該族平行晶面上。 這樣一族晶面平行、等距且各晶面上格點(diǎn)分布情況相同，

12、如圖所示。 通過一格點(diǎn)，可以作無限多族的平行晶面。 描述晶面方位采用的方法是：* 選取某一格點(diǎn)為原點(diǎn)，并以原胞的三個(gè)基矢為坐標(biāo)軸。 這里，三個(gè)軸不一定相互正交。 * 將晶面與三個(gè)坐標(biāo)軸交點(diǎn)的位矢分別表示為 這里，h1、h2、h3互為質(zhì)數(shù)。 * 用(h1h2h3)表示晶面的方位，稱為晶體面指數(shù)。 利用晶面族中離原點(diǎn)最近的晶面確定晶面指數(shù) 任一晶面族的晶面指數(shù)，可以由晶面族中任一晶面在基矢坐標(biāo)軸上截距系數(shù)的倒數(shù)求出。 晶面指數(shù)可正可負(fù)，當(dāng)晶面在基矢坐標(biāo)軸正方向相截時(shí)，截距系數(shù)為正，在負(fù)方向相截時(shí)，截距系數(shù)為負(fù)。 天然長度單位表示的截距之比等于晶面指數(shù)的倒數(shù)之比。把晶面在坐標(biāo)軸上的截距的倒數(shù)的比簡約

13、為互質(zhì)的整數(shù)比，所得的互質(zhì)整數(shù)就是晶面指數(shù)。 2.密勒指數(shù)(Miller Indices) 在結(jié)晶學(xué)中，常以晶胞的基矢為坐標(biāo)軸來表示面指數(shù)。在這樣的坐標(biāo)系中，表征晶面取向的互質(zhì)整數(shù)稱為晶面族的密勒指數(shù)，通常用（hkl）表示。 如圖所示，ABC面截距為4a、b、c，截距的倒數(shù)為1/4、1、1，其密勒指數(shù)為(1，4，4)；又EFG面截距為-3a、-b、2c ，截距的倒數(shù)為-1/3、-1、1/2，其密勒指數(shù)為 立方晶系的幾種重要密勒指數(shù)。由于坐標(biāo)軸選在晶軸方向，除晶軸的指數(shù)簡單外，密勒指數(shù)簡單的面也特別重要的面。 在密勒指數(shù)簡單的晶面族中，面間距d較大。對(duì)于一定的晶格，單位體積內(nèi)格點(diǎn)數(shù)一定，因此在晶

14、面間距大的晶面上，格點(diǎn)（即原子）的面密度必然大。 顯然，面間距大的晶面，由于單位表面能量小，容易在晶體生長過程中顯露在外表，故這種晶面容易解理。 由于面上原子密度大，對(duì)x射線的散射強(qiáng)，因而密勒指數(shù)簡單的晶面族，在x射線衍射中，常被選作衍射面。 oooooo(100)(010)(001)(001)(010)(100)這些晶面是等效的，晶面間距和晶面上原子的分布完全相同。等效鏡面族100。 正格子原胞是由其基矢組成的平行六面體，體積為 根據(jù)倒格子基矢與正格子基矢關(guān)系，得b2b3a1a2a3 1.倒格子的定義1.2.3 倒格子幾種不同晶格的正格子和倒格子：* 正格子原胞體積和倒格子原胞體積的關(guān)系 倒

15、格子原胞的體積為根據(jù)矢量運(yùn)算公式，有 2.倒格矢與正格矢的關(guān)系 于是可得倒格子原胞體積 除因子 外，正格子原胞體積與倒格子原胞體積互為倒數(shù)。 2.倒格矢與正格矢的關(guān)系 倒格子的體積為:再看倒格子的倒格子。若將倒格子的倒格子的基矢取為c1，c2，c3。 顯然，根據(jù)正格子可以得出倒格子，反之亦然。 正格子基矢在空間平移構(gòu)成正格子，倒格子基 矢在空間平移構(gòu)成倒格子；由正格子組成的空間是位置空間，稱為坐標(biāo)空間。而由倒格子組成的空間則為狀態(tài)空間，稱為倒格子空間，或K 空間。正格子與倒格子互為傅里葉空間變換，正格子對(duì)應(yīng)的是空間坐標(biāo)，倒格子對(duì)應(yīng)的是波矢空間。 正格子基矢組成的平行六面體為正格子原胞，由倒格子

16、基矢組成的平行六面體則稱為倒格子原胞。 晶列和晶面在倒格子空間有同正格子空間相對(duì)應(yīng)的定義。3.倒格矢與正格子晶面族的關(guān)系 如圖，晶面族 由圖可知，矢量中，最靠近原點(diǎn)的晶面ABC在基矢上的截距分別為 都在ABC面上。一般倒格矢可表示為： Kh=h1b1+h2b2+h3b3 根據(jù)倒格矢定義(aibi=2ij)可以證明：即晶面族與倒格矢正交。* 晶面間距與倒格矢長度的關(guān)系 ABC是晶面族 由于該晶面的法線可以用 中最靠近原點(diǎn)的晶面，其面間距等于原點(diǎn)到ABC面的距離。 表示，所以有即：倒格矢的長度反比于晶面族的面間距。 1.3晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性 晶系1.3.1 物體的對(duì)稱性與對(duì)稱性操作旋轉(zhuǎn)反射正交變換如

17、果一個(gè)物體在某一正交變換下不變，我們就稱這個(gè)變換為物體的一個(gè)對(duì)稱操作。 1.對(duì)稱元素（symmetry elements） 標(biāo)志晶體對(duì)稱性的幾何元素，稱為對(duì)稱元素，是在對(duì)稱操作中保持不動(dòng)的軸、面或點(diǎn) 。 對(duì)稱元素包括對(duì)稱面（或鏡面）、對(duì)稱中心（或反演中心）、旋轉(zhuǎn)軸和旋轉(zhuǎn)反演軸。 與上述對(duì)稱元素相應(yīng)的對(duì)稱操作分別是：* 對(duì)對(duì)稱面的反映；* 晶體各點(diǎn)通過中心的反演；* 繞軸的一次或多次旋轉(zhuǎn)；* 一次或多次旋轉(zhuǎn)之后再經(jīng)過中心的反演。 轉(zhuǎn)動(dòng)（rotation） 若晶體與直角坐標(biāo)系繞 軸轉(zhuǎn)過角，則晶體中 任一點(diǎn) 變?yōu)榱硪稽c(diǎn) 其變換關(guān)系為 或用矩陣表示為轉(zhuǎn)動(dòng)操作由下面變換矩陣A表示，即中心反演（inver

18、sion through a point） 取中心為原點(diǎn)，將晶體中任一點(diǎn) 另一點(diǎn) ,其變換關(guān)系為 其矩陣表示形式為 用變換矩陣A表示中心反演操作，即 對(duì)稱中心和反演操作無論熊夫利符號(hào)，還是國際符號(hào)均用i表示。 鏡面反映（reflection across a plane） 以變成另一點(diǎn) ，這一變換稱為鏡像變換， 其矩陣形式為 作為鏡面，將晶體中任一點(diǎn) 用變換矩陣A表示平面反映操作操作，即 標(biāo)志對(duì)稱面的符號(hào)，熊夫利符號(hào)用，國際符號(hào)用m，平面反映操作也用同樣的符號(hào)表示。 繞面中心連線轉(zhuǎn)動(dòng)/2，3/2。3個(gè)立方軸，共9個(gè)對(duì)稱操作。繞對(duì)棱中心連線（也稱面對(duì)角線），轉(zhuǎn)動(dòng)，6個(gè)不同的面對(duì)角，共6個(gè)對(duì)稱操作

19、。繞對(duì)角連線（也稱體對(duì)角線），轉(zhuǎn)動(dòng)2/3，4/3。4個(gè)不同的體對(duì)角線，共8個(gè)對(duì)稱操作。原位操作，不動(dòng)也算一個(gè)對(duì)稱操作。立方體的幾何中心也是對(duì)稱中心，進(jìn)行中心反演操作，以上每一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)加以個(gè)中心反演都是對(duì)稱操作。 立方體的對(duì)稱操作-共48個(gè)正六角柱的對(duì)稱操作-24個(gè)繞底面中心連線轉(zhuǎn)動(dòng)/3，2/3，4/3， 5/3 。共5個(gè)對(duì)稱操作。繞對(duì)棱中心連線，轉(zhuǎn)動(dòng)，3條這樣的線，共3個(gè)對(duì)稱操作。繞相對(duì)面中心連線，轉(zhuǎn)動(dòng)。三條這樣的線，共3個(gè)對(duì)稱操作。原位操作，不動(dòng)也算一個(gè)對(duì)稱操作。幾何中心也是對(duì)稱中心，進(jìn)行中心反演操作，以上每一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)加以個(gè)中心反演都是對(duì)稱操作。 由于晶面作有規(guī)則地配置，因此晶體在外型上具有一定

20、的對(duì)稱性質(zhì)。 對(duì)稱性是指在一定的幾何操作下，物體保持不變的特性。 與一般幾何圖形的對(duì)稱不同，由于晶格周期性的限制，晶體僅具有為數(shù)不多的對(duì)稱類型。 在晶體中，布拉菲格子是按其對(duì)稱性來進(jìn)行分類。 2.晶體的對(duì)稱性1.3.2 晶體的對(duì)稱點(diǎn)群 描述晶格的全部對(duì)稱性的對(duì)稱操作的集合，稱為對(duì)稱群（symmetry group） ，或空間群。設(shè)正交變換A和正交變換B都是晶體的對(duì)稱操作，那么經(jīng)過變換A后緊接著進(jìn)行變換B晶體保持不變。這就是說，如果A和B是對(duì)稱操作，則C=AB也是對(duì)稱操作。一般來說，一個(gè)物體的全部對(duì)稱操作將構(gòu)成一個(gè)閉合的體系，其中任意兩個(gè)對(duì)稱操作相乘結(jié)果仍包含在這個(gè)體系之中。* 這個(gè)性質(zhì)，稱為群

21、的閉合性。 1.對(duì)稱操作的組合 2.點(diǎn)群 在圖中， 是晶體中某一晶面（紙面）上的一個(gè)晶列，AB是這晶列上相鄰兩個(gè)格點(diǎn)的距離。 如果晶格繞通過格點(diǎn) A并垂直于紙面的 u軸逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)過角后，能自身重合，則由于晶格的周期性，通過格點(diǎn) B 也有一個(gè)旋轉(zhuǎn)軸 u。 通過A處的u軸順時(shí)針方向轉(zhuǎn)過后，使 點(diǎn)轉(zhuǎn)到 。若B通過u軸逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)過角后， 點(diǎn)轉(zhuǎn)到 經(jīng)過轉(zhuǎn)動(dòng)后，要使晶格能自身重合，則 點(diǎn)必須 是格點(diǎn)。由于 和AB平行，而且滿足 因此，的值只能取 對(duì)于晶體，當(dāng)n=1，2，3，4，6時(shí)，晶格繞過格點(diǎn)的固定軸轉(zhuǎn)過角度 后，能使晶格能自身重合 。這里，n稱為轉(zhuǎn)軸的次數(shù)或度數(shù)。 顯然，在晶體中只能有1、2、3、

22、4、6度等5個(gè)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸。分別對(duì)應(yīng)著n度旋轉(zhuǎn)對(duì)稱操作。 與上述相應(yīng)的熊夫利符號(hào)分別是 表中列出了文獻(xiàn)資料中常用的對(duì)稱軸度數(shù)與對(duì)應(yīng)的幾何符號(hào)。表 對(duì)稱軸度數(shù)的符號(hào)表對(duì)稱軸的度數(shù)2346符號(hào) 一般地，幾何符號(hào)標(biāo)記在對(duì)稱軸兩端。 若晶體繞某一固定軸旋轉(zhuǎn) 2/n以后，再經(jīng)過中心反演，晶體能自身重合，則稱該軸n度旋轉(zhuǎn)反演軸，這種復(fù)合對(duì)稱操作稱為旋轉(zhuǎn)反演對(duì)稱操作。 晶體的旋轉(zhuǎn)反演軸也只有1，2，3，4，6度。 國際符號(hào)用表示相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)軸和 旋轉(zhuǎn)操作。 第一章 晶體的結(jié)構(gòu)和晶體的結(jié)合1.1 晶體特征與晶體的周期性1.2 晶列與晶面 倒格子1.3晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性 晶系1.4確定晶體結(jié)構(gòu)的方法1.5晶體的結(jié)合

23、2.倒格矢與正格矢的關(guān)系 倒格子的體積為:再看倒格子的倒格子。若將倒格子的倒格子的基矢取為c1，c2，c3。 顯然，根據(jù)正格子可以得出倒格子，反之亦然。 正格子基矢在空間平移構(gòu)成正格子，倒格子基 矢在空間平移構(gòu)成倒格子；由正格子組成的空間是位置空間，稱為坐標(biāo)空間。而由倒格子組成的空間則為狀態(tài)空間，稱為倒格子空間，或K 空間。正格子與倒格子互為傅里葉空間變換，正格子對(duì)應(yīng)的是空間坐標(biāo)，倒格子對(duì)應(yīng)的是波矢空間。 正格子基矢組成的平行六面體為正格子原胞，由倒格子基矢組成的平行六面體則稱為倒格子原胞。 晶列和晶面在倒格子空間有同正格子空間相對(duì)應(yīng)的定義。3.倒格矢與正格子晶面族的關(guān)系 如圖，晶面族 由圖可

24、知，矢量中，最靠近原點(diǎn)的晶面ABC在基矢上的截距分別為 都在ABC面上。一般倒格矢可表示為： Kh=h1b1+h2b2+h3b3 根據(jù)倒格矢定義(aibi=2ij)可以證明：即晶面族與倒格矢正交。* 晶面間距與倒格矢長度的關(guān)系 ABC是晶面族 由于該晶面的法線可以用 中最靠近原點(diǎn)的晶面，其面間距等于原點(diǎn)到ABC面的距離。 表示，所以有即：倒格矢的長度反比于晶面族的面間距。 1.3晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性 晶系1.3.1 物體的對(duì)稱性與對(duì)稱性操作旋轉(zhuǎn)反射正交變換如果一個(gè)物體在某一正交變換下不變，我們就稱這個(gè)變換為物體的一個(gè)對(duì)稱操作。 1.對(duì)稱元素（symmetry elements） 標(biāo)志晶體對(duì)稱性的幾

25、何元素，稱為對(duì)稱元素，是在對(duì)稱操作中保持不動(dòng)的軸、面或點(diǎn) 。 對(duì)稱元素包括對(duì)稱面（或鏡面）、對(duì)稱中心（或反演中心）、旋轉(zhuǎn)軸和旋轉(zhuǎn)反演軸。 與上述對(duì)稱元素相應(yīng)的對(duì)稱操作分別是：* 對(duì)對(duì)稱面的反映；* 晶體各點(diǎn)通過中心的反演；* 繞軸的一次或多次旋轉(zhuǎn)；* 一次或多次旋轉(zhuǎn)之后再經(jīng)過中心的反演。 轉(zhuǎn)動(dòng)（rotation） 若晶體與直角坐標(biāo)系繞 軸轉(zhuǎn)過角，則晶體中 任一點(diǎn) 變?yōu)榱硪稽c(diǎn) 其變換關(guān)系為 或用矩陣表示為轉(zhuǎn)動(dòng)操作由下面變換矩陣A表示，即中心反演（inversion through a point） 取中心為原點(diǎn)，將晶體中任一點(diǎn) 另一點(diǎn) ,其變換關(guān)系為 其矩陣表示形式為 用變換矩陣A表示中心反演操

26、作，即 對(duì)稱中心和反演操作無論熊夫利符號(hào)，還是國際符號(hào)均用i表示。 鏡面反映（reflection across a plane） 以變成另一點(diǎn) ,這一變換稱為鏡像變換， 其矩陣形式為 作為鏡面，將晶體中任一點(diǎn) 用變換矩陣A表示平面反映操作操作，即 標(biāo)志對(duì)稱面的符號(hào)，熊夫利符號(hào)用，國際符號(hào)用m，平面反映操作也用同樣的符號(hào)表示。 繞面中心連線轉(zhuǎn)動(dòng)/2，3/2。3個(gè)立方軸，共9個(gè)對(duì)稱操作。繞對(duì)棱中心連線（也稱面對(duì)角線），轉(zhuǎn)動(dòng)，6個(gè)不同的面對(duì)角，共6個(gè)對(duì)稱操作。繞對(duì)角連線（也稱體對(duì)角線），轉(zhuǎn)動(dòng)2/3，4/3。4個(gè)不同的體對(duì)角線，共8個(gè)對(duì)稱操作。原位操作，不動(dòng)也算一個(gè)對(duì)稱操作。立方體的幾何中心也是對(duì)稱

27、中心，進(jìn)行中心反演操作，以上每一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)加以個(gè)中心反演都是對(duì)稱操作。 立方體的對(duì)稱操作-共48個(gè)正六角柱的對(duì)稱操作-24個(gè)繞底面中心連線轉(zhuǎn)動(dòng)/3，2/3，4/3， 5/3 。共5個(gè)對(duì)稱操作。繞對(duì)棱中心連線，轉(zhuǎn)動(dòng)，3條這樣的線，共3個(gè)對(duì)稱操作。繞相對(duì)面中心連線，轉(zhuǎn)動(dòng)。三條這樣的線，共3個(gè)對(duì)稱操作。原位操作，不動(dòng)也算一個(gè)對(duì)稱操作。幾何中心也是對(duì)稱中心，進(jìn)行中心反演操作，以上每一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)加以個(gè)中心反演都是對(duì)稱操作。 由于晶面作有規(guī)則地配置，因此晶體在外型上具有一定的對(duì)稱性質(zhì)。 對(duì)稱性是指在一定的幾何操作下，物體保持不變的特性。 與一般幾何圖形的對(duì)稱不同，由于晶格周期性的限制，晶體僅具有為數(shù)不多的對(duì)稱類型

28、。 在晶體中，布拉菲格子是按其對(duì)稱性來進(jìn)行分類。 2.晶體的對(duì)稱性1.3.2 晶體的對(duì)稱點(diǎn)群 描述晶格的全部對(duì)稱性的對(duì)稱操作的集合，稱為對(duì)稱群（symmetry group） ，或空間群。設(shè)正交變換A和正交變換B都是晶體的對(duì)稱操作，那么經(jīng)過變換A后緊接著進(jìn)行變換B晶體保持不變。這就是說，如果A和B是對(duì)稱操作，則C=AB也是對(duì)稱操作。一般來說，一個(gè)物體的全部對(duì)稱操作將構(gòu)成一個(gè)閉合的體系，其中任意兩個(gè)對(duì)稱操作相乘結(jié)果仍包含在這個(gè)體系之中。* 這個(gè)性質(zhì)，稱為群的閉合性。 1.對(duì)稱操作的組合 2.點(diǎn)群 在圖中， 是晶體中某一晶面（紙面）上的一個(gè)晶列，AB是這晶列上相鄰兩個(gè)格點(diǎn)的距離。 如果晶格繞通過格

29、點(diǎn) A并垂直于紙面的 u軸逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)過角后，能自身重合，則由于晶格的周期性，通過格點(diǎn) B 也有一個(gè)旋轉(zhuǎn)軸 u。 通過A處的u軸順時(shí)針方向轉(zhuǎn)過后，使 點(diǎn)轉(zhuǎn)到 。若B通過u軸逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)過角后， 點(diǎn)轉(zhuǎn)到 經(jīng)過轉(zhuǎn)動(dòng)后，要使晶格能自身重合，則 點(diǎn)必須 是格點(diǎn)。由于 和AB平行，而且滿足 因此，的值只能取 對(duì)于晶體，當(dāng)n=1，2，3，4，6時(shí)，晶格繞過格點(diǎn)的固定軸轉(zhuǎn)過角度 后，能使晶格能自身重合 。這里，n稱為轉(zhuǎn)軸的次數(shù)或度數(shù)。 顯然，在晶體中只能有1、2、3、4、6度等5個(gè)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸。分別對(duì)應(yīng)著n度旋轉(zhuǎn)對(duì)稱操作。 與上述相應(yīng)的熊夫利符號(hào)分別是 表中列出了文獻(xiàn)資料中常用的對(duì)稱軸度數(shù)與對(duì)應(yīng)的幾何符號(hào)。表

30、 對(duì)稱軸度數(shù)的符號(hào)表對(duì)稱軸的度數(shù)2346符號(hào) 一般地，幾何符號(hào)標(biāo)記在對(duì)稱軸兩端。 若晶體繞某一固定軸旋轉(zhuǎn) 2/n以后，再經(jīng)過中心反演，晶體能自身重合，則稱該軸n度旋轉(zhuǎn)反演軸，這種復(fù)合對(duì)稱操作稱為旋轉(zhuǎn)反演對(duì)稱操作。 晶體的旋轉(zhuǎn)反演軸也只有1，2，3，4，6度。 國際符號(hào)用表示相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)軸和 旋轉(zhuǎn)操作。 以上十種對(duì)稱素的基礎(chǔ)上構(gòu)成的對(duì)稱操作群稱為點(diǎn)群。 晶胞的基矢沿對(duì)稱軸或沿對(duì)稱面的法線方向，構(gòu)成晶體的坐標(biāo)系。基矢的指向?yàn)樽鴺?biāo)軸方向，坐標(biāo)軸即是晶軸。 按坐標(biāo)的性質(zhì)，晶體可劃分為七大晶系。 根據(jù)晶胞上格點(diǎn)的分布特點(diǎn)，晶體結(jié)構(gòu)又分成14種布喇菲格子。 下面介紹七大晶系中晶軸的選取，并列出各晶系的布喇菲

31、原胞。 1.3.3 晶系 因?yàn)榻Y(jié)晶學(xué)中的三個(gè)基矢 a, b, c 沿晶體的對(duì)稱軸或?qū)ΨQ面的法向，因此在一般情況下，它們構(gòu)成的坐標(biāo)系是斜坐標(biāo)系。 設(shè)ab間的夾角為, bc間的夾角為, ca間的夾角為 ，如圖所示。 現(xiàn)列出按坐標(biāo)系性質(zhì)劃分的七大晶系： 1.三斜晶系 三斜晶系的晶胞就是一般的平行六面體，沒有任何對(duì)稱軸，幾何中心是其對(duì)稱中心，最多有兩種對(duì)稱操作，即不動(dòng)和中心反演。 這兩種對(duì)稱類型既無對(duì)稱軸又無對(duì)稱面，即 只有一種布拉菲格子，為簡單三斜。 2.單斜晶系 單斜晶系有的一個(gè)2度軸和對(duì)稱中心組合最多可得到4個(gè)不同的對(duì)稱操作。 有兩種布拉菲格子，為簡單單斜和底心單斜。 b垂直于a與c所在平面，b

32、是2度軸。 3.正交晶系 正交晶系的晶胞其實(shí)是一個(gè)長方體，對(duì)面中心連線都是2度軸，有三個(gè)2度軸。三種類型都具有相互垂直的對(duì)稱方向，其坐標(biāo)系特點(diǎn) 有四種布拉菲格子，為簡單正交、底心正交、體心正交和面心正交。 4.四方晶系（又稱正方晶系或四角晶系 ） 四角晶系其晶胞是一個(gè)四方體，上下底面為正方形，四個(gè)側(cè)面為長方形。上下底面的中心連線為4度軸，有一個(gè)，側(cè)對(duì)面中心連線是2度軸，有兩個(gè)；另外側(cè)棱中的對(duì)棱重點(diǎn)連線也是2度軸，也有兩個(gè)。最多可得到16個(gè)不同的對(duì)稱操作。它們都具有一個(gè)4度轉(zhuǎn)軸，取為c軸。其坐標(biāo)系特點(diǎn) 有兩種布拉菲格子，為簡單四角和體心四角。 5.六方晶系 六方晶系最多有24個(gè)不同的對(duì)稱操作。它

33、們都具有一個(gè)6度轉(zhuǎn)軸，取為c軸。其坐標(biāo)系特點(diǎn) 只有一種布拉菲格子，為六角。 6.三角晶系 三個(gè)角都相等的頂點(diǎn)有兩個(gè)，其連線是3度軸。與之垂直有兩個(gè)2度軸。最多12個(gè)對(duì)稱操作。 只有一種布拉菲格子，為三角。 7.立方晶系 立方晶系最多有48個(gè)不同的對(duì)稱操作。晶軸或沿4度軸，或沿2度軸，其坐標(biāo)系特點(diǎn) 有三種布拉菲格子，為簡單立方、體心立方和面心立方。 晶系是按照對(duì)稱性劃分的，同一晶系中不同的布喇菲點(diǎn)陣的對(duì)稱性相同。對(duì)于某些晶系，在體心或面心放置格點(diǎn)并不破壞其對(duì)稱性，但卻形成不同的周期性結(jié)構(gòu)，即有不同類型的布喇菲點(diǎn)陣。1.3.4 準(zhǔn)晶系晶體的分類：晶體和非晶體。受平移對(duì)稱約束，晶體的旋轉(zhuǎn)只能有1,2

34、,3,4,6次等五種旋轉(zhuǎn)軸。晶體中原子排列不允許出現(xiàn)5次或6次以上的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性。 1984年在AlMn合金中發(fā)現(xiàn)了一種新的相，從電子衍射斑可以看出具有5次對(duì)稱性，但是又沒有平移對(duì)稱性。這種特殊的物質(zhì)既不是 晶體又不是非晶，我們稱為準(zhǔn)晶體。 后來又發(fā)現(xiàn)了8次，10次，12次對(duì)稱軸的準(zhǔn)晶結(jié)構(gòu)。自然界中未發(fā)現(xiàn)準(zhǔn)晶體。1.4 確定晶體結(jié)構(gòu)的方法1.4.1晶體衍射的一般介紹 一定波長的射線與晶體中的原子發(fā)生散射，不同原子具有不同的散射作用。各個(gè)原子的散射互相干涉，在一定的方向構(gòu)成衍射極大。這種衍射圖形（條紋或斑點(diǎn)）在一定程度上反應(yīng)了原子排列的情況。 晶體的周期性決定了晶格可以作為波的衍射光柵，晶體中原子

35、間距的數(shù)量級(jí)為10-10m，所用射線的波長也在此量級(jí)。X射線衍射（1nm-0.1nm）電子衍射（0.05-0.25nm）中子衍射（約為電子波長的1/(2000)1/2）幾種常見的分析晶格結(jié)構(gòu)的方法：1.4.2 衍射方程AOCDS0S假設(shè)：彈性散射 入射線與衍射線平行 任一格點(diǎn)A的位矢：Rl=l1a1+l2a2+l3a3O格點(diǎn)與A格點(diǎn)散射的光程差為：|CO | +|OD|=Rl(S-S0)衍射加強(qiáng)要求光程差為波長的整數(shù)倍，即Rl(S-S0)=。這個(gè)式子稱為勞厄（Laue）衍射方程。用波矢表示：k0=(2/)S0和k=(2/)S，所以Rl(k-k0)=2。這里Rl是正格矢， (k-k0)相當(dāng)于倒格

36、矢， (k-k0)=h1b1+h2b2+h3b3提取公因子后， k-k0=nKh， kh=h1b1+h2b2+h3b3。 當(dāng)出射波矢和入射波矢相差一個(gè)或幾個(gè)倒格矢時(shí)，就滿足衍射加強(qiáng)條件。1.4.3反射公式kk0布拉格反射條件衍射極大的方向恰好是晶面族的反射方向。1.4.4 反射球若k-k0=nKh則nK必落在以k0和k的交點(diǎn)C為圓心，2/為半徑的球面上。反之，落在球面上的倒格點(diǎn)必滿足k-k0=nKh。這些倒格點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的晶面族將發(fā)生反射，所以這樣的球被稱為反射球。反射球中心并非倒格點(diǎn)位置，O為倒格點(diǎn)。如何做反射球？ 設(shè)入射線沿CO方向，取線段CO=2/,其中是所用X射線的波長，再以C為中心，以2

37、/ 為半徑所做的球就是反射球。 O、P、Q是反射球上的倒格點(diǎn)，CO是X射線入射方向，則CP是以O(shè)P為倒格矢的一族晶面的反射方向OP間無倒格點(diǎn)，所以CP方向的反射是n=1的一級(jí)衍射。 而OQ連線上還有一個(gè)個(gè)點(diǎn)，所以CQ方向的反射是二級(jí)衍射。晶體衍射的幾種方法： 1.勞厄法 a、單晶體不動(dòng)，入射光方向不變。 b、X射線連續(xù)譜，波長在min-max間變化，反射球半徑2/ min-2/ max。 在紅色區(qū)域的倒格點(diǎn)和各球心的連線都表示可以產(chǎn)生反射的方向（衍射極大）。 單色波長的入射線，晶體不動(dòng)時(shí)，滿足衍射條件的衍射線甚少，不足以分析晶體結(jié)構(gòu)。一般可采用以下辦法獲得足夠的衍射斑點(diǎn)或條紋。 2.轉(zhuǎn)動(dòng)單晶法

38、（k0大小不變，方向變） a、X射線是單色的； b、晶體轉(zhuǎn)動(dòng)。（改變k0的方向） c、反射球只有一個(gè)。 晶體轉(zhuǎn)動(dòng)， 倒格子空間和反射球相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)， 倒格點(diǎn)落在反射球面上時(shí)就產(chǎn)生某一可能的反射。 3.粉末法（或德拜法） a、研究對(duì)象為多晶體； b、采用單色的入射線且晶面固定不動(dòng)。 c、多晶體中微晶體相互之間的排列雜亂無章，同一族晶面的取向多種多樣，反射條件容易滿足。1.5 晶體的結(jié)合 晶體的結(jié)合可以概括為四種基本結(jié)合形式：離子性結(jié)合、共價(jià)結(jié)合、金屬性結(jié)合和范德華結(jié)合。 實(shí)際晶體的結(jié)合是以這四種基本結(jié)合為基礎(chǔ)，并具有一定的復(fù)雜性。不僅一個(gè)晶體可以有幾種結(jié)合形式，而實(shí)際晶體的結(jié)合可以具有兩種結(jié)合之間的

39、過渡性。1.5.1 離子性結(jié)合 元素周期表中第族堿金屬元素Li、Na、K、Rb、Cs與第族元素F、Cl、Br、I化合物（如NaCl、CsCl）所組成的晶體是典型的離子晶體。 離子晶體結(jié)合的基本特點(diǎn) a、離子晶體的模型：把正、負(fù)離子作為一個(gè)鋼球來處理 b、離子晶體的結(jié)合力：正負(fù)離子間靠庫侖吸引力作用而相互靠近，兩個(gè)離子的閉合殼層的電子云的交疊會(huì)產(chǎn)生強(qiáng)大的排斥力，當(dāng)吸引和排斥相互平衡，形成穩(wěn)定的離子晶體。 c、一種離子的最近鄰離子為異性離子 d、以離子鍵結(jié)合的晶體稱為離子晶體或極性晶體。1.5.2 共價(jià)結(jié)合 共價(jià)鍵：共價(jià)晶體中相鄰原子各出一個(gè)價(jià)電子形成自旋相反的共用電子對(duì)，這樣的原子鍵合稱為共價(jià)鍵

40、。本質(zhì)就是共用電子對(duì)。 共價(jià)鍵的兩個(gè)特點(diǎn)：飽和性、方向性。方向性：通常在價(jià)電子電荷密度最大的方向上形成共 價(jià)鍵。飽和性：一個(gè)原子只能形成一定數(shù)目的共價(jià)鍵。形成 的共價(jià)鍵的數(shù)目具有最大值，決定于它所含 有的未成對(duì)電子數(shù)（單重態(tài)，三重態(tài)）。 金剛石中的共價(jià)鍵 金剛石中的碳原子共有四個(gè)價(jià)電子，一個(gè)碳原子可以和鄰近的四個(gè)碳原子形成四個(gè)共價(jià)鍵，他們處在四面體的頂角方向。1.5.3 金屬性結(jié)合 a、金屬性結(jié)合的基本特點(diǎn)是電子云的“共有化” b、電子共有化：是指在結(jié)合成晶體時(shí)，原來屬于各原子的價(jià)電子不再束縛在原子上，而轉(zhuǎn)變?yōu)樵谡麄€(gè)晶體中運(yùn)動(dòng)，它們的波函數(shù)遍及整個(gè)晶體。 c、晶體的結(jié)合主要靠負(fù)電子云和正離子實(shí)

41、之間的庫侖相互作用。 d、體積越小負(fù)電子云越密集，庫侖相互作用能越低，從而把原子聚合起來。晶體的平衡時(shí)靠一定的排斥作用和庫侖吸引作用相抵造成的。 a、體積縮小時(shí)，共有化電子密度增加的同時(shí)，它們的動(dòng)能增加。 b、當(dāng)離子實(shí)相互接近時(shí)到它們的電子云發(fā)生顯著重疊時(shí)，使電子云密度顯著增加，從而使動(dòng)能增加，表現(xiàn)為強(qiáng)烈的排斥作用。 排斥作用的來源： 金屬鍵的基本特性： 通過共有化電子和離子實(shí)之間的相互作用而成鍵；沒有明顯方向性和飽和性。對(duì)晶格中原子排列形式?jīng)]有特殊要求，金屬結(jié)合可以說首先是一種體積效應(yīng)，原子越湊越緊，庫侖能越低 金屬晶體的基本特性： 按密堆積規(guī)則或面心立方排列，配位數(shù)高，結(jié)合牢固，高硬度，高

42、熔點(diǎn)，密度大，韌性（延展性）大，導(dǎo)電和導(dǎo)熱性能突出。1.5.4 范德華結(jié)合 通過分子間作用力（分子鍵）成鍵；通過電偶極矩（極性分子之間），誘導(dǎo)偶極矩（極性分子和非極性分子之間），瞬時(shí)偶極矩（非極性分子之間）之間的相互作用而結(jié)合，沒有方向性和飽和性。 分子晶體的基本特性： 結(jié)合力弱，熔點(diǎn)低，硬度小。（有機(jī)化合物晶體和惰性晶體）。+-e+-e+-e+-e分子中瞬間電偶極矩的產(chǎn)生第二章 晶格振動(dòng)和晶體的熱學(xué)性質(zhì) 在一般溫度下，晶體內(nèi)的粒子在各自平衡位置附近振動(dòng)。由于粒子間存在著相互作用力，因此，各粒子的振動(dòng)相互關(guān)聯(lián)。 當(dāng)振動(dòng)很微弱時(shí)，粒子間非諧的相互作用可以忽略，可近似地用簡諧振動(dòng)來處理，此時(shí)這些振

43、動(dòng)模式是相互獨(dú)立的。 晶格周期性條件決定了模式所取的能量值是分立的。這些獨(dú)立的、分立的振動(dòng)模式，可以用一系列獨(dú)立的簡諧振子聲子來描述。這樣，晶格振動(dòng)的總體就可以看作是聲子的系綜。 晶格振動(dòng)同晶體的許多宏觀熱學(xué)性質(zhì)，如固體的比熱、熱膨脹、熱導(dǎo)等問題有密切的聯(lián)系，對(duì)晶體的電學(xué)、光學(xué)性質(zhì)也有很大的影響。 在研究晶體的光學(xué)、電學(xué)等宏觀性質(zhì)時(shí)，由于晶格振動(dòng)對(duì)光子、電子和中子等都有散射作用，而引入聲子概念可以把上述散射當(dāng)作聲子與光子、電子和中子的相互碰撞來處理。所以，在研究與晶格振動(dòng)有關(guān)的各種物理問題時(shí)，就變的非常形象直觀。2.1 晶格振動(dòng)和聲子 首先考慮一維晶格的振動(dòng)，然后把一些主要結(jié)論和方法推廣到三維

44、晶格振動(dòng)的分析和研究中去。 2.1.1 一維原子晶格的振動(dòng) 1.運(yùn)動(dòng)方程 由一系列質(zhì)量為 m的原子構(gòu)成的一維原子鏈，如圖所示，其平衡時(shí)原子間距為a。表示第n個(gè)原子 的位移，第n個(gè)原子和第n+1個(gè)原子的相對(duì)位移為 設(shè)在平衡位置 在平衡位置附近用泰勒級(jí)數(shù)展開，可得 時(shí)，兩個(gè)原子間的相互作用勢能為 產(chǎn)生相對(duì)位移后，相互作用勢能變成 式中第一項(xiàng)是常數(shù)，第二項(xiàng)為零（在平衡時(shí)勢能取極小值）。 當(dāng)振動(dòng)很微弱時(shí)，第n+1個(gè)原子對(duì)第n個(gè)原子的恢復(fù)力近似為這一近似成為簡諧近似，式中稱為恢復(fù)力常數(shù)，或耦合常數(shù)。 除第n+1個(gè)原子外，原子n還受到第n-1個(gè)原子的作用，其表達(dá)式為 若僅考慮相鄰原子的相互作用，則可以獲得

45、第 n個(gè)原子所受到的總作用力，即第n個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)方程可以寫成 對(duì)每一個(gè)原子，都有一個(gè)類似上式的運(yùn)動(dòng)方程，方程的數(shù)目和原子數(shù)相同。 格點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程的解可以寫成式中qna表示第 n個(gè)原子振動(dòng)的位相因子。 當(dāng)?shù)趍個(gè)和第n個(gè)原子的位相差等于2的整數(shù)倍時(shí)，有 即當(dāng)?shù)趍個(gè)原子和第n個(gè)原子的距離滿足時(shí)，原子因振動(dòng)而產(chǎn)生的位移相等。 也就是說，原子震動(dòng)隨空間呈周期性變化，空間周期=2/q 2.格波 晶體中所有原子共同參與的同一種頻率的振動(dòng)，不同原子的振動(dòng)位相隨空間呈周期性變化，這種振動(dòng)以波的形式在整個(gè)晶體中傳播，稱為格波。 這里的格波顯然是平面簡諧波，如圖所示。 格波的波長為 格波的波矢為n是沿格波傳播方向的單

46、位矢量。 把上述解代入運(yùn)動(dòng)方程組中，可得 即 如圖所示，上式給出了q和的色散關(guān)系，它說明格波具有簡正模式。 3. 色散關(guān)系 波矢具有簡約的性質(zhì)，可將波矢限于一個(gè)周期范圍。一維晶格點(diǎn)陣的第一布里淵區(qū) 4布里淵區(qū) 從倒格子點(diǎn)陣的原點(diǎn)出發(fā)，作出它最近鄰點(diǎn)的倒格子點(diǎn)陣矢量，并作出每個(gè)矢量的垂直平分面，所圍成的具有最小體積的區(qū)域，稱為第一布里淵區(qū)，圖所示。 布里淵區(qū)的邊界由倒格矢的垂直平分面構(gòu)成。 按照上述方法，同樣可以作出第二、第三、.布里淵區(qū)。 第一布里淵區(qū)就是倒格子原胞，其體積是一個(gè)倒格點(diǎn)所占的體積，與倒格子原胞的體積相等，即 2.1.2 周期性邊界條件 在前面的討論中沒有考慮邊界問題，認(rèn)為一維晶

47、體是無限的。但實(shí)際晶體總是有限的，總存在邊界，邊界原子所處的情況與體內(nèi)原子原子不同，相應(yīng)的振動(dòng)狀態(tài)也與體內(nèi)原子不同。 設(shè)想一個(gè)有限晶體的長度為Na，對(duì)于一維有限的簡單格子，第一個(gè)原胞的原子核第N+1個(gè)原胞原子的振動(dòng)情況相同，即 其中： 因此：要想上式成立，必須有qNa=2l（l為整數(shù)），也即q=2l/(Na)，l為整數(shù) 即描寫晶格振動(dòng)狀態(tài)的波矢q只能取一些分立的值?？蓪限于簡約區(qū)，即 ，所以l限于 ，由此可知，l只能取N個(gè)不同的值，q也只能取N個(gè)不同的值，這里N原胞的數(shù)目。 只要晶體大小是有限的，則波矢的取值就不是連續(xù)的。波矢取值只能與宏觀參量L=Na（L是晶體的長度）有關(guān)。晶格振動(dòng)波矢的數(shù)

48、目=晶體原胞數(shù) 2.1.3 晶格振動(dòng)量子化 聲子經(jīng)典力學(xué)中，一維諧振子的勢能為：動(dòng)能為：總能量為：力學(xué)量連續(xù)取值 在量子力學(xué)中，力學(xué)量用算符表示，能量算符即哈密頓算符。解薛定諤方程可得到能量的本征值：（n=0,1,2.）即能量只能取一些分立值。 對(duì)于一維簡單格子的情況，只考慮最緊鄰粒子間的相互作用，則晶體的勢能為：動(dòng)能為： 勢能函數(shù)包含有依賴于兩原子坐標(biāo)的交叉項(xiàng)，在處理多自由度的振動(dòng)問題時(shí)，往往引入新的坐標(biāo)-正則坐標(biāo)：它與原坐標(biāo)的關(guān)系：哈密頓量可以消去交叉項(xiàng)：該坐標(biāo)體系下的總能量： 以上結(jié)果說明：N個(gè)原子的集體振動(dòng)可轉(zhuǎn)化為N 個(gè)獨(dú)立的諧振子，諧振子的振動(dòng)頻率就是晶格的振動(dòng)頻率。 可以用獨(dú)立簡諧

49、貞子的振動(dòng)來表述格波的獨(dú)立模式，這就是聲子的概念由來。 聲子是晶格振動(dòng)中的簡諧振子的能量量子，聲子具有能量 、動(dòng)量 。 聲子只是反應(yīng)晶體原子集體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的激發(fā)單元，它不能脫離固體而單獨(dú)存在，不是一種粒子，是一種準(zhǔn)粒子。 引入聲子概念，可使分析固體中的一系列微觀過程更加形象化。 例如： 格波在晶體中傳播受到散射的過程可以理解為聲子同晶體中的原子的碰撞。 導(dǎo)電過程中電子遭受格波的散射，可以看作電子與聲子之間的碰撞。 光在晶體中的散射，很大程度上也可以看作是由于光子與聲子的相互作用乃至強(qiáng)烈的耦合。光電熱 2.2.1 一維雙原子晶格的振動(dòng)2.2 聲學(xué)波與光學(xué)波 設(shè)相鄰兩個(gè)不同原子構(gòu)成一個(gè)分子，分子內(nèi)兩

50、 原子平衡位置的間距為b，恢復(fù)力常數(shù)為1 ；兩分子間兩原子對(duì)應(yīng)的恢復(fù)力常數(shù)為2 。質(zhì)量為 m 的原子位于.2n-1，2n+1，2n+3.各點(diǎn)，質(zhì)量為 M 的原子位于.2n-2，2n，2n+1.各點(diǎn)。 考慮由質(zhì)量分別為M和m的兩種不同原子所構(gòu)成的一維復(fù)式格子，如圖所示。 ABba 若只考慮相鄰原子的相互作用，則第 2n+1 個(gè)原子所受的恢復(fù)力為 第2n個(gè)原子所受恢復(fù)力為 ABba2n-1 2n 2n+1 2n+2相應(yīng)的動(dòng)力學(xué)方程為 其解為 相應(yīng)的動(dòng)力學(xué)方程為 其解為 上式代表角頻率為 的簡諧振動(dòng)。其它各點(diǎn)的位移按下列原則得出： * 同種原子周圍情況都相同，其振幅相同；原子不同，其振幅不同。 *

51、相隔一個(gè)晶格常數(shù)a 的同種原子，位相差為qn。 把上式代入動(dòng)力學(xué)方程，整理后得 若A、B 有非零解，則其系數(shù)行列式必零，即 由此可以解得 上式表明，對(duì)一維復(fù)式格子，可以存在兩種獨(dú)立的格波，這兩種不同的格波各有自己的色散關(guān)系，即： 和 顯然，復(fù)式格子的振動(dòng)頻率在波矢空間內(nèi)具有周期性，即 實(shí)際上，當(dāng)波矢增加2 /a的整數(shù)倍時(shí)，原子位移和色散關(guān)系不變。 對(duì)一維復(fù)式格子，如果其晶格常數(shù)為a，則q值也限制在（-/a，/a），即第一布里淵區(qū)內(nèi)。 因?yàn)閝a介于（-，），所以有 和 顯然， 的最小值比 的最大值還大，即 支格波頻率總比 的頻率低。 實(shí)際上， 支的格波可以用光來激發(fā)，所以常稱為光頻支格波，簡稱為

52、光學(xué)波。 而 支的格波常稱為聲頻支格波，簡稱聲學(xué)波。 現(xiàn)在，由于高頻超聲波技術(shù)的發(fā)展，聲學(xué)波也可以用超聲波來激發(fā)。 2.2.2 聲學(xué)波和光學(xué)波的特點(diǎn) 下面討論復(fù)式格子中兩支格波的色散關(guān)系。* 聲學(xué)波的色散關(guān)系 因?yàn)?令由 取前兩項(xiàng)，即得 該式與一維布喇菲格子中的色散關(guān)系在形式上是相同的，也具有如圖所示的特征。 上述結(jié)果說明：由完全相同原子所組成的布喇菲格子只有聲學(xué)波。 * 光學(xué)波的色散關(guān)系 因?yàn)?近似得： 光學(xué)波的頻率具有最大值，即 式中=mM/(m+M)是兩種原子的折合質(zhì)量。 這時(shí)光學(xué)波頻率則為最小。 （1）當(dāng)取 綜合上述的討論結(jié)果，歸納如下： 上述結(jié)論表明：聲學(xué)波的取值可以無限低。 時(shí)，聲

53、學(xué)波的頻率有最大值，即 ，聲學(xué)波的頻率有最小值。 （2）當(dāng) 時(shí)，光學(xué)波的頻率有最大值，為 當(dāng)取 時(shí)，光學(xué)波的頻率有最小值，為 一維雙原子復(fù)式格子中，聲學(xué)波與光學(xué)波的色散曲線如圖所示。 * 相鄰兩種原子的振幅之比（1） 關(guān)于聲學(xué)波 相鄰兩種不同原子的振幅都有相同的正號(hào)或負(fù)號(hào)，即對(duì)于聲學(xué)波，相鄰原子都是沿著一個(gè)方向振動(dòng)的。 于是原子的位移變成 對(duì)長聲學(xué)波，原胞內(nèi)不同原子以相同的振幅和位相作整體運(yùn)動(dòng)，其振動(dòng)概況如圖所示。 長聲學(xué)波描述的是原胞的剛性運(yùn)動(dòng)。即：長聲學(xué)波代表了原胞質(zhì)心的振動(dòng)。（2）關(guān)于光學(xué)波，相鄰兩種原子振幅之比為 對(duì)于長光學(xué)波，有于是有 即得 對(duì)長光學(xué)波，相鄰兩種不同原子的振動(dòng)方向相反

54、，原胞中不同原子作相對(duì)振動(dòng)，質(zhì)量大的振幅小，質(zhì)量小的振幅大，原胞的質(zhì)心保持不動(dòng)。即，長光學(xué)波是保持原胞質(zhì)心不動(dòng)的一種振動(dòng)模式。 光學(xué)波代表原胞中兩個(gè)原子的相對(duì)振動(dòng)。 （3）玻恩卡門邊界條件 實(shí)際晶體總是有限的，因此存在著邊界對(duì)內(nèi)部原子振動(dòng)狀態(tài)的影響。 設(shè)在一長為Na的有限晶體邊界之外，仍然有無窮多個(gè)相同晶體與其連結(jié)，從而形成無限長的線狀晶格，且各塊晶體內(nèi)相對(duì)應(yīng)原子的運(yùn)動(dòng)情況相同，即第j 個(gè)原子和第tN+j 個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)情況相同，故有 由于原子間相互作用是短程的，在有限晶體中只有邊界上極少數(shù)原子的運(yùn)動(dòng)才受到相鄰假想晶體的影響，而內(nèi)部絕大部分原子的運(yùn)動(dòng)，實(shí)際上不會(huì)受到這些假想晶體的影響。 所以有

55、因?yàn)?顯然，只有 時(shí)，上式才成立。 又因?yàn)?所以l 的取值范圍為由此可以確定，可能的取值為 這說明，描述晶格振動(dòng)的波矢q 只能取一些分立的值。 由于每個(gè)q對(duì)應(yīng)一個(gè)獨(dú)立的振動(dòng)模式，因此，一維布喇菲格子的獨(dú)立振動(dòng)模式數(shù)等于其原胞的數(shù)目。 進(jìn)一步的研究發(fā)現(xiàn)：晶格獨(dú)立振動(dòng)狀態(tài)數(shù)（波矢q的數(shù)目）等于晶格的自由度數(shù)。 在波矢空間，一維雙原子復(fù)式格子的每一個(gè)可能 q值有兩個(gè)不同的頻率，一個(gè)是光學(xué)波角頻率，另一個(gè)是聲學(xué)波角頻率。對(duì)于一維雙原子的復(fù)式格子，角頻率數(shù)為2N，格波數(shù)也為2N。于是得到結(jié)論： * 晶格振動(dòng)波矢的數(shù)目晶體的原胞數(shù)；* 晶格振動(dòng)頻率（模式）的數(shù)目=晶體的自由度數(shù)。2.3 格波與彈性波的關(guān)系

56、（長波近似） 下面的計(jì)算中，近似認(rèn)為兩種不同的原子恢復(fù)力常數(shù)相同，均為。則雙原子構(gòu)成的一維復(fù)式格子的聲學(xué)波的角頻率與波矢q的關(guān)系可以簡化為：下面主要討論聲學(xué)波： 當(dāng)波長很長時(shí)，即q很小時(shí)，長聲學(xué)波的角頻率與波矢q的關(guān)系簡化為：長聲學(xué)波的波速vp表示為： 從角頻率的角度看，長聲學(xué)波的角頻率與波矢為線性關(guān)系，這一特征與晶體中的彈性波完全一致。 實(shí)際上，由于長聲學(xué)波的波長比原細(xì)胞線度大得多，半個(gè)波長內(nèi)包含很多原胞，這些原胞整體的沿同一個(gè)方向運(yùn)動(dòng)，因此晶格可以近似的看成連續(xù)介質(zhì)，而長聲學(xué)波也就可以近似的被認(rèn)為是彈性波。 當(dāng)q趨于零時(shí)，即對(duì)長聲學(xué)波，相鄰原胞中原子振動(dòng)的位相差趨近于零，振幅也趨近于相等。

57、從波速的角度看：下面計(jì)算彈性波的波速 設(shè)有一維的連續(xù)介質(zhì)，x點(diǎn)的位移為（x），（x+dx）點(diǎn)的位移為（x+dx），連續(xù)介質(zhì)因位移引起的形變?yōu)椋?因形變而產(chǎn)生的恢復(fù)力為，c為介質(zhì)的彈性模量： 作用在長度為dx的介質(zhì)上的運(yùn)動(dòng)方程為：即：改為偏微商的符號(hào)， 其解為：由此得出關(guān)系：彈性波的傳播相速度：對(duì)于一維復(fù)式格子，其線密度為對(duì)于一維復(fù)式格子，在簡單情況中，恢復(fù)力為：這里的c相當(dāng)于楊氏模量。而第m+1個(gè)原子對(duì)第m個(gè)原子產(chǎn)生的恢復(fù)力為：兩式比較可得：由此彈性波的相速度為：彈性波與長聲波的相速度完全相等。晶格的長聲波可以看做連續(xù)介質(zhì)2.4 聲子譜的測量方法 聲子譜：晶格振動(dòng)的頻率和波矢間的關(guān)系，又叫晶格

58、振動(dòng)的色散關(guān)系或晶格振動(dòng)譜。2.4 聲子譜的測量方法 晶格振動(dòng)的頻率 與波矢 之間的關(guān)系稱為格波的色散關(guān)系，也稱為晶格振動(dòng)譜或聲子譜。 聲子譜的測量方法主要通過中子、光子、X射線與晶格的非彈性散射；而熱中子的非彈性散射是最常用的方法，因?yàn)闊嶂凶拥哪芰亢蛣?dòng)量與聲子的產(chǎn)生或湮滅所需要的對(duì)應(yīng)值在同一數(shù)量級(jí)，所以在散射時(shí)，入射中子的能量與動(dòng)量有顯著變化。 把晶格振動(dòng)用準(zhǔn)粒子-聲子來描述，外部粒子和晶格相互作用后 的能量和動(dòng)量的變化傳遞給聲子，則外部粒子和聲子之間滿足能量和動(dòng)量守恒（下面為簡單，只考慮一個(gè)聲子的情況）。 光子射入晶格能夠與晶格振動(dòng)發(fā)生相互作用，這種相互作用會(huì)使晶體的晶格振動(dòng)發(fā)生相應(yīng)的變化

59、，這種相互作用可以理解為光子受到聲子的非彈性散射。 1.中子的非彈性散射原理：中子與晶體的相互作用中子與晶體中聲子的相互作用中子吸收或發(fā)射聲子非彈性散射散射過程滿足能量守恒和動(dòng)量守恒：入射中子流：動(dòng)量能量從晶體中流出的中子流：Mn為中子質(zhì)量碰撞過程滿足動(dòng)量守恒和能量守恒：能量守恒：動(dòng)量守恒：加號(hào)表示中子吸收了一個(gè)聲子，減號(hào)表示中子放出了一個(gè)聲子。頻率：波矢：實(shí)驗(yàn)中，測出入射方位上的散射中子能量與入射中子能量差，并根據(jù)散射中子束及入射中子束的幾何關(guān)系求出 ，就可決定聲子的振動(dòng)譜。 2.光的散射和X-射線散射光的散射：光子與晶體的相互作用光子與晶體中聲子的相互作用光子子吸收或發(fā)射聲子非彈性散射散射

60、過程滿足能量守恒和動(dòng)量守恒：動(dòng)量守恒：能量守恒：加號(hào)表示中子吸收了一個(gè)聲子，減號(hào)表示中子放出了一個(gè)聲子。所以： 測出光子散射前后的頻率和波矢，就可以算出與光子作用的聲子的頻率與波矢。 可見光范圍，波矢為105cm-1的量級(jí)，故相互作用的聲子的波矢也在105cm-1的量級(jí)，只是布里淵區(qū)中心附近很小一部分區(qū)域內(nèi)的聲子，即長波聲子。（1）布里淵散射：光子與長聲學(xué)波聲子的相互作用；（2）拉曼散射：光子與光學(xué)波聲子的相互作用。X-射線散射： 為了研究整個(gè)波長范圍內(nèi)的聲子振動(dòng)譜，要求光子具有較大的波矢，也就是要求光的波長比較小。而X光的波矢與整個(gè)布里淵區(qū)的范圍相當(dāng)，因此常利用X光的非彈性散射來研究聲子的振