教學(xué)配套課件：計量經(jīng)濟(jì)學(xué)(第二版)

1、計量經(jīng)濟(jì)學(xué)第一章 概率論基礎(chǔ) 一、隨機(jī)現(xiàn)象、隨機(jī)試驗和隨機(jī)事件 1.統(tǒng)計規(guī)律性、隨機(jī)現(xiàn)象、隨機(jī)試驗 確定性現(xiàn)象 有一類現(xiàn)象，在一定條件下必然發(fā) 生。這類現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象。不確定現(xiàn)象 有一類現(xiàn)象，在一定條件下不一定發(fā)生。 這類現(xiàn)象稱為不確定性現(xiàn)象A. 統(tǒng)計規(guī)律性 統(tǒng)計規(guī)律性 在一定條件下，不確定現(xiàn)象可能出現(xiàn),可 能不出現(xiàn)，但在大量的重復(fù)試驗中,它按照一 定的規(guī)律分布。這種在大量重復(fù)試驗或觀察 中所顯現(xiàn)出的固有規(guī)律性，稱為統(tǒng)計規(guī)律。 B隨機(jī)現(xiàn)象 在個別試驗中其結(jié)果顯出不確定性，但大量重復(fù)試驗中其結(jié)果又具有統(tǒng)計規(guī)律性的現(xiàn)象，稱為隨機(jī)現(xiàn)象。 在相同條件下試驗可以重復(fù)進(jìn)行。在每次試驗之前不能準(zhǔn)確地預(yù)言

2、該次試驗將 出現(xiàn)哪一種結(jié)果。C隨機(jī)試驗一般用E表示隨機(jī)試驗每次試驗的結(jié)果具有多種可能性，而且在試驗 之前可以明確試驗的所有可能結(jié)果。 2. 隨機(jī)事件 A. 樣本空間、樣本點 樣本空間 將隨機(jī)試驗的所有可能結(jié)果組成的集合稱為的樣本空間，記為 樣本點 樣本空間中的元素，即試驗E的每個結(jié)果，稱為樣本點。 隨機(jī)試驗E的樣本空間的子集稱為隨機(jī)事件， 簡稱為事件。基本事件 由一個樣本點組成的單點集，稱為基本事件。 B.隨機(jī)事件、基本事件必然事件 在每次試驗中它總是發(fā)生，稱它為必然事件。不可能事件 在每次試驗中都不會發(fā)生，稱之為不可能事件。隨機(jī)事件C事件間的關(guān)系及事件的運(yùn)算 1. 事件包含。若事件A發(fā)生必然

3、導(dǎo)致事件B 發(fā)生, 則稱事件B包含事件A。 2. 事件和。3.事件積。 稱為事件A與事件B的積事件 稱事件A與事件B的和事件4.事件 稱為A事件和B事件的差事件 則稱事件A與事件B是互不相容事件， 或互斥事件，也就是事件A和事件B不能同時發(fā)生。 5.若 6.若 且 則稱事件A與事件B是互為逆事件，也稱事件A與事件B互為對立事件。 D. 隨機(jī)事件運(yùn)算法則設(shè)A、B、C 為事件 交換律： 結(jié)合律： 分配律：德.摩根定律： 二、隨機(jī)事件的頻率與概率 1. 隨機(jī)事件的頻率A.隨機(jī)事件頻率的一般定義在相同的條件下，進(jìn)行了n次試驗，在試驗中，事件A發(fā)生的次數(shù)記為nA,稱為事件A發(fā)生的頻數(shù). nA /n 稱為

4、事件A發(fā)生的頻率，并記成fn(A)B頻率的基本性質(zhì)： 01.2. 是兩兩不相容的事件，則 3. 2. 隨機(jī)事件的概率 （1）概率的定義如果集合函數(shù)P(A)滿足下列條件：1.對于每個事件A，有 3.設(shè)是兩兩不相容的事件，即對于則有：A.隨機(jī)事件概率的一般定義2.則稱P（A）為事件A的概率此式稱為概率的可列可加性(2)概率的性質(zhì) 12 3 更有 ，則有若 是兩兩不相容的事件，則有 若5 對于任意的事件A、B，有 此性質(zhì)推廣到任意的n個事件 之和，則有：4 B.隨機(jī)事件古典概型（1）古典概型的定義 若試驗具有如下特點：a. 試驗的樣本空間的元素只有有限個；b. 試驗中每個基本事件發(fā)生的可能性相同，

5、C. 條件概率、隨機(jī)事件的獨立性1條件概率 設(shè)A、B是兩個事件，且 稱為事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率。 2乘法定理 設(shè)則有 一般情況下，設(shè) 為n個事件,且 則有 3事件的獨立性 設(shè)A、B是兩個事件,如果等式 成立，則稱事件A、B為相互獨立的事件 D全概公式、貝葉斯（Bayes）公式（1）全概公式設(shè)E的樣本空間為，A為E的一個事件， 為的一個劃分 則 設(shè)E的樣本空間為，A為E的一個事件， 為的一個劃分 則 （2）貝葉斯（Bayes）公式三、 隨機(jī)變量 1隨機(jī)變量的定義2分布函數(shù) 設(shè) X是一個隨機(jī)變量，x是任意實數(shù)，稱為X的分布函數(shù) 函數(shù)如果對于每一個 ,有一個實數(shù) 與之對應(yīng),這樣就得到

6、一個定義在上的單實值 ,稱它為隨機(jī)變量. 函數(shù)3離散型隨機(jī)變量、連續(xù)型隨機(jī)變量 A離散型隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X所有可能的取值為 X取各個可能值的概率 ,即事件的概率，為上式為離散型隨機(jī)變量X的概率分布或分布律 B. 連續(xù)型隨機(jī)變量 對于隨機(jī)變量X的分布函數(shù) F(x），若存在非負(fù)函數(shù)f（x），使對于任意實數(shù)x，有則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其中函數(shù)f（x）稱為X的概率密度函數(shù)，簡稱為概率密度。C. 均勻分布、正態(tài)隨機(jī)變量4 二維隨機(jī)變量 A聯(lián)合分布函數(shù)設(shè)E是一個隨機(jī)試驗，它的樣本空間是設(shè) X和Y是定義在上的隨機(jī)變量，由它們構(gòu)成的一個向量(X,Y)，叫做二維隨機(jī)向量或二維隨機(jī)變量。 設(shè)(X,Y)是二維隨

7、機(jī)變量，對于任意實數(shù)(x,y)，二元函數(shù) 稱為二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)，或稱為隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)。=W（1）二維離散型的隨機(jī)變量 如果二維隨機(jī)變量(X,Y)所有可能取的值是有限個或可數(shù)無限個，則稱(X,Y)是離散型的隨機(jī)變量。如果存在非負(fù)的二元函數(shù)f(x,y)使對于任意x和y則稱(X,Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，函數(shù)f(x,y)聯(lián)合概率密度，或稱為隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率密度。有連續(xù)型隨機(jī)變量的邊際分布： 離散型隨機(jī)變量的邊際分布： B 邊際分布 由(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)確定： C. 條件分布、隨機(jī)變量的獨立性（一）條件分布 （1）離散型 (X,Y)是二維離散型隨

8、機(jī)變量，對于固定的j， ，則為在Y=yi條件下隨機(jī)變量Y的條件分布律 若為在X=xi條件下隨機(jī)變量Y的條件分布律 (2)連續(xù)型 設(shè) (X,Y)的分布函數(shù)為F(x,y)， 概率密度為f(x,y)。同樣對于固定的i，若，則則稱 為在條件Y=y下X的條件分布函數(shù)為Y=y條件下X的條件概率密度。 若在點(x,y)處f(x,y)連續(xù), 邊際概率密度f Y (y)連續(xù)，且若邊際概率密度fx(x)連續(xù)，且則為在條件X=x下Y的條件分布函數(shù)，為X=x下Y的條件概率密度 （二） 隨機(jī)變量的相互獨立性 設(shè) F(x,y)及Fx(x), Fy(y)分別是二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)及邊際分布函數(shù)。 若對所有x,y

9、有 則稱隨機(jī)變量X和Y是相互獨立的 隨機(jī)變量常用的數(shù)字特征有：數(shù)學(xué)期望，方差，相關(guān)系數(shù)。四、 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 若級數(shù)絕對收斂，則稱級數(shù) 的值為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望即 記為EX，A定義(1) 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望設(shè) 離散型隨機(jī)變量X的分布律為： 1.數(shù)學(xué)期望則稱積分 記為EX，若積分絕對收斂的值為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望 （2）連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 設(shè) 連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為 f(x)即：a) d) 若X,Y相互獨立，則期望的性質(zhì)及其應(yīng)用 （1）期望的性質(zhì) 設(shè)X,Y的數(shù)學(xué)期望存在，C為常數(shù)，則：b)c) （2） 數(shù)學(xué)期望在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用(例) C. 條件期望（1）定義引入條件數(shù)學(xué)

10、期望的定義：稱E(Yx)為X=x條件下，Y的條件期望,又記若 我們在前面已經(jīng)定義在條件X=x下，隨機(jī)變量Y的條件概率密度函數(shù)存在 若(x,y)為離散型隨機(jī)變量則條件期望分別由下式給出： 稱E(Xy)為Y=y條件下，X的條件數(shù)學(xué)期望。(2)離散型隨機(jī)變量的條件期望記則為標(biāo)準(zhǔn)差或均方差。 2. 方差 A定義 方差記為 DX 或 Var(x)稱在經(jīng)濟(jì)研究中常常把它作為衡量一個經(jīng)濟(jì)行為風(fēng)險大小的標(biāo)準(zhǔn)。方差是刻畫一個隨機(jī)變量偏離它的均值大小的一個量。B方差的性質(zhì)a）d）DX=0的充要條件是X以概率1取常數(shù)C，即b)c）設(shè)X,Y相互獨立，則C契比雪夫不等式 這一不等式稱為契比雪夫不等式(chebyshev

11、)。成立。設(shè)隨機(jī)變量X具有限的 數(shù)學(xué)期望 EX = , 不等式 和方差 DX=2 , 則對任意的正數(shù)D 隨機(jī)變量的變異系數(shù) 如果 EX0，定義函數(shù) 則稱V(X)為隨機(jī)變量X的變異系數(shù) E幾種主要隨機(jī)變量的分布及其數(shù)字特征 (1) 兩點分布(2) 二項分布 稱X為服從參數(shù)為n,p的二項分布。(3) Poisson分布 (4) 正態(tài)分布和對數(shù)正態(tài)若隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為： 則稱X服從正態(tài)分布，記為： 若隨機(jī)變量的概率密度為則稱X服從對數(shù)正態(tài)分布。 (5) 分布和指數(shù)分布 3 協(xié)方差及相關(guān)系數(shù) A協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)的定義 設(shè)X,Y為兩個隨機(jī)變量它們之間的相互關(guān)系用它們 之間的相關(guān)系數(shù)來描述 稱為隨

12、機(jī)變量X,Y的協(xié)方差，記為:即 稱為隨機(jī)變量X,Y的相關(guān)系數(shù) C. 相關(guān)系數(shù)性質(zhì) 的充要條件是，存在常數(shù)a,b使(2)(1)當(dāng)時，X與Y之間以概率1存在線性關(guān)系。 B 協(xié)方差的性質(zhì)即A. k階原點矩定義存在，稱它為X的k階原點矩。B. k階中心矩 存在，則稱它為X的k階中心矩。4. 隨機(jī)變量的矩設(shè) X和Y是隨機(jī)變量，若若C. k+L階混合矩 存在，稱它為X和Y的k+L階混合矩。D. k+L階混合中心矩 存在，稱它為X和Y的k+L階混合中心矩。若若n維隨機(jī)變量的協(xié)方差矩陣設(shè)n維隨機(jī)變量（X1 X2 Xn）的二階混合中心矩都存在，則稱矩陣為n維隨機(jī)變量（X1 ,X2 Xn）的協(xié)方差矩陣。 因而上述

13、矩陣是一個對稱矩陣,一般假定C為正定的. 由于五、n維正態(tài)變量具有以下三條重要性質(zhì)(證明略） 1. n維隨機(jī)變量（X1 X2Xn）服從n維正態(tài)分布 的充要條件是X1 X2 Xn的任意的線性組合 服從一維正態(tài)分布。2. 若（X1 ,X2 ,Xn）服從n維正態(tài)分布 設(shè) Y1,Y2 ,Yk是Xj(j=1,2,n)的線性函數(shù)， 則 Y1 , Y2,Yk也服從多維正態(tài)分布。這一性質(zhì)稱為 正態(tài)變量的線性變換不變性設(shè)（X 1 ,X 2,X n）服從n維正態(tài)分布，則 “X1, X 2, ,X n相互獨立” 與 “X 1, X 2, ,X n 兩兩 不相關(guān)”是等價的六大數(shù)定律、中心極限定理 1大數(shù)定律 設(shè)X1

14、X2 Xn,., 是相互獨立，且具有相同分布 的隨機(jī)變量。 前n個隨機(jī)變量的算術(shù)平均值記為則對任意的 0，有稱該隨機(jī)序列服從大數(shù)定律。 它在理論上表明了當(dāng)試驗次數(shù)很大,以頻率代替概率的合理性設(shè)它們的數(shù)學(xué)期望為方差為2中心極限定理 定理 設(shè)隨機(jī)變量X1 ,X2 , , Xn ,相互獨立，且 服從同一分布，并具有有限的數(shù)學(xué)期望和方差：則對一切實數(shù)都有 第一章小結(jié) 本章簡要地介紹了概率論的基本概念、基本定理和公式。主要內(nèi)容包括： 一、隨機(jī)現(xiàn)象、隨即試驗、樣本空間、隨機(jī)事件及其關(guān)系，隨機(jī)事件的運(yùn)算法則，事件的概率與頻率，古典概型，乘法公式、全概公式和逆概公式，隨機(jī)事件的獨立性。 二、在介紹以上基本內(nèi)容

15、之后，本章還介紹了一維隨機(jī)變量，二維隨機(jī)變量以及它們的分布函數(shù)，還分別介紹了離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量，條件分布，邊際分布和隨機(jī)變量的獨立性。 三、這一章的第三部分介紹的內(nèi)容為隨機(jī)變量的數(shù)字特征。主要內(nèi)容有：隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、條件數(shù)學(xué)期望及它們的性質(zhì)，隨機(jī)變量的方差及其性質(zhì)。在這同時還介紹了隨機(jī)變量的數(shù)字特征和變異系數(shù)，切比雪夫不等式等。 五、這一章最后介紹了n維正態(tài)分布隨機(jī)向量的性質(zhì)、大數(shù)定律以及隨機(jī)事件發(fā)生的頻率與概率之間的關(guān)系，中心極限定理。 四、本章第四部分內(nèi)容包括隨機(jī)變量的協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)、隨機(jī)變量各階矩概念及其隨機(jī)向量的矩陣表示方法。 本章要點1. 隨機(jī)事件、隨機(jī)事件的概率2

16、. 條件概率、全概率公式、貝葉斯公式3. 隨機(jī)變量及其分布，多維隨機(jī)變量及其分布，條件分 布4. 隨機(jī)變量的數(shù)字特征期望和方差、協(xié)方差、相關(guān) 系數(shù)5. 條件期望、切比雪夫不等式6. 多元正態(tài)分布隨機(jī)變量的性質(zhì)7. 大數(shù)定律及中心極限定理8. 隨機(jī)變量矩的概念第二章 矩陣代數(shù) 矩陣是數(shù)學(xué)中一個極其重要的、應(yīng)用廣泛的概念,它是線性代數(shù)的一個重要研究對象,也是研究線性方程組解結(jié)構(gòu)的主要工具。 在計量經(jīng)濟(jì)學(xué)研究中，它也占有非常特殊的地位,應(yīng)用矩陣代數(shù)理論有時可使計量經(jīng)濟(jì)學(xué)問題表述簡潔明了,尤其重要的是許多表面上看起來不相同的、較為復(fù)雜的結(jié)果,在實際上具有同樣的結(jié)構(gòu)，而且相對簡單。 為了更好地理解本書后

17、面的一些內(nèi)容,在這一章介紹有關(guān)矩陣代數(shù)的內(nèi)容,這些內(nèi)容包括矩陣的定義,矩陣的運(yùn)算，矩陣的逆，線性方程組的解，矩陣的特征根和特征向量，線性交換，正交變換等基本概念和結(jié)論。一、矩陣的定義第一節(jié)矩陣及其運(yùn)算 矩陣是一些符號（數(shù)）的排列,一般用大寫字母A，B，C，表示，如：其中：元素aij的下標(biāo)i表示這個元素在矩陣中的第i行,j表示這個元素在矩陣中的第j列,k表示矩陣A中有行k,n表示矩陣A中有n列。矩陣A中,當(dāng)n=k時,稱A為方陣；當(dāng) aij=aji時,稱A為對稱陣 當(dāng)ij時，aij=0,或當(dāng)ji時aij=0,則A分別稱為下三角陣和上三角陣。當(dāng)ij時,aij=0 ,則稱A為對角陣； 特別地,當(dāng)ij時

18、,aij=o,當(dāng)ij時,aij=1,則稱A為單位陣， 記為I或E。設(shè) 。如果m=k，n=L，且 aij=bij 對一切i=1,2,j=1,2,n都成立，則稱A=B，即矩陣A與矩陣B相等。二、矩陣的運(yùn)算（一）加法 (二)零矩陣、負(fù)矩陣及矩陣的減法1零矩陣。矩陣中元素全為零的矩陣稱為零矩陣。定義2.1 設(shè) 是兩個sn階 矩陣,則 矩陣稱為矩陣A與B之和。2負(fù)矩陣。矩陣3矩陣的減法。矩陣的減法定義為： A-B=A+(-B) A+(-A)=0稱為矩陣A的負(fù)矩陣，記為-A。顯然有 (三)矩陣乘法稱為矩陣與數(shù)k的數(shù)量乘積，記為kA。（四）矩陣的數(shù)量乘法定義2.3 矩陣 (五）矩陣的轉(zhuǎn)置定義2.4 設(shè) 所謂

19、A的轉(zhuǎn)置就是指矩陣顯然，sn階矩陣的轉(zhuǎn)置就是ns階矩陣。定義2.5 n階方陣A稱為可逆的，如果有n階方陣B，使得AB=BA=E 這里E是n階單位矩陣, 矩陣B稱為A的逆矩陣。記為A-1 2逆矩陣的求法。逆矩陣的求法一般有三種方法：（1）行變換法 求A-1。設(shè)六、矩陣的逆將單位矩陣與A矩陣并排構(gòu)成一個新矩陣，把第一行與第二行互換，使矩陣第一行的第一個元素為非零元素。 將第一行元素乘-2加到第三行，使得第三行第一個元素為零。第二行元素乘3加到第三行；第三行乘1加到第二行，使第二行第三個元素為0。第三行乘2加到第一行使第一行第三個元素為0。第二行乘-1加到第一行，使第一行第二個元素為0。第三行乘以-

20、12，使第三行第三個元素為1。（2）列變換。同樣以例子說明此方法： 設(shè)求A-1。（3）代數(shù)余子式法。a逆序、逆序數(shù)定義2.6 在一個排列中，如果一對數(shù)的前后位置與大小 順序相反,即前面的數(shù)大于后面的數(shù)，那么它們就稱 為一個逆序，一個排列中逆序的總數(shù)就稱為這個排列 的逆序數(shù)。定義2.7 逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列，逆序數(shù)為 奇數(shù)的排列稱為奇排列。 b行列式的計算設(shè)方矩陣它所對應(yīng)的n階行列式定義為：等于所有取自不同行不同列的n個元素的乘積的代數(shù)和 c代數(shù)余子式定義2.8 在矩陣中劃去元素aij所在的第i行與第j列,剩下的（n-1）個元素按原來的排法構(gòu)成一個n-1階的行列式 稱為元素aij的余子式

21、，記為Mij，稱 Aij=(-1)i+j Mij為元素aij的代數(shù)余子式d矩陣A的逆矩陣A的逆可表示為：其中 (4)逆矩陣的性質(zhì)如果矩陣A，B可逆，則 與AB也可逆，且第二節(jié) 線性方程組一、線性相關(guān)與線性無關(guān)（一）線性相關(guān)、線性無關(guān)定義2.9 向量稱為向量組1,2s的一個線性組合， 如果存在k1,k2ks，使得當(dāng)向量是向量組1,2s的一個線性組合時，也稱可以由向量組1,2s線性表出。定義2.10 如果向量組1,2, s， （s2）中有一向量可以經(jīng)其余向量線性表出，則向量組1,2, s, 稱為線性相關(guān)的。定義2.11 一向量組的一個部分向量組稱為一個極大線性無關(guān)組，如果這個部分向量組是線性無關(guān)的

22、，并且從這個向量組中任意添一個向量（如果還有的話），所得的部分向量組線性相關(guān)。定義2.12 向量組的極大線性無關(guān)組所含向量的個數(shù)稱為這個向量組的秩.（二）矩陣的秩1、矩陣的行秩與列秩 定義2.13 所謂矩陣的行秩就是指矩陣的行向量組的秩；矩陣的列秩就是矩陣的列向量組的秩。2、矩陣秩的判別定理2.2 一個矩陣的秩為r的充分必要條件為矩陣中一個r階子式不為零，同時所有（r+1）階子式全為零。 定理2.1 矩陣的行秩與列秩相等。 定義2.14 在一個n階的行列式D中，任意選 k行k列，位于這些行和列的交點上的 k2個元素按照原來的位置組成一個k階行列式M，稱為行列式D的一個 k階子式，在D中劃去這k

23、行k列之后，余下的元素按照原來的位置，組成的 （n-k）階行列式稱為k階子式M的余子式。二、線性方程組（一） 一般線性方程一般線性方程是指形式為的方程組（二）線性方程組有解判別定理引入向量 于是線性方程組 可改寫成向量方程 線性方程組有解判別定理 線性方程組 有解的充分必要條件為它的系數(shù)矩陣與增廣矩陣有相同的秩。（三）線性方程組解的結(jié)構(gòu)1. 齊次線性方程組當(dāng)b=0時，則上述方程稱為齊次線性方程組。齊次線性方程組有下列兩個性質(zhì)： （1） 兩個解的和還是方程組的解（2）一個解的倍數(shù)還是方程組的解2. 線性方程組(1) 線性方程組的任意兩個解之差，就是對應(yīng)的齊次線性方程組的解。(2)上述線性方程組的

24、解與它對應(yīng)的齊次線性方程組解 之和仍然是上述線性方程組的解。(3）如果0是上述線性方程組的解，則上述方程組的任 一解都可表示成 其中是齊次線性方程組的一個解 (4）線性方程組（5）當(dāng)s=n時，方程組（2.11）有唯一解的充分必要 條件是系數(shù)矩陣可逆。有解的條件下，解唯一的充分必要條件是對應(yīng)的齊次線性方程組只有零解. （四）最小二乘解1、 向量到子空間的距離定義2.16 設(shè)v是一個非空集合,P是一個數(shù)域。在集合V的元素之間定義了一種代數(shù)運(yùn)算，叫做加法, 就是說，給出一個法則，對于V中任意兩個元素與，在V中都有唯一的一個元素與它們對應(yīng)，稱為與的和，記為 =+ 。在數(shù)域P與集合V的元素之間還定義了一

25、個運(yùn)算，叫做數(shù)量乘法；就是說，對于數(shù)域P中任一數(shù)k與V中任一元素,在V中都有唯一的一個元素與它們對應(yīng)，稱為k與的數(shù)量乘積，記為=k,如果加法與數(shù)量乘法滿足下述規(guī)則，那么V 稱為數(shù)域P上的線性空間。定義 2.17 設(shè)V是實數(shù)域R上的一個線性空間，在V上定義了一個二元函數(shù),稱為內(nèi)積，記作(,) ,它是有以下性質(zhì)：這里，,是V中任一的向量，k是任一實數(shù)。這樣的線性空間V稱為歐幾里德空間。當(dāng)且僅當(dāng)=0時，(,)=0(1)(2)(3)(4)定義2.18 長度-稱為向量和的距離 記為的d(,)。 距離滿足三條基本性質(zhì)：并且當(dāng)且=僅當(dāng)時等號才成立； (三角不等式)。 a.b.c.一個點到一個平面（或一條直線

26、）上所有點的距離以垂線為最短 1. 最小二乘問題。線性方程組可能無解。即任何一組數(shù)x1,x2,.,xs都可能使不等于零，我們設(shè)法找 使得上式最小。這樣的稱 為方程組的最小二乘解。這種問題就叫最小二乘法問題。第三節(jié) 二次型與正交變換一、二次型及正交變換定義2.19 設(shè)P是一個數(shù)域，一個系數(shù)在數(shù)域P中的二 次齊次多項式 定義2.20 設(shè)x1,x2,.,xn, y1,y2,.,yn是兩組變量，系數(shù)在數(shù)域P中的一組關(guān)系式稱為由y1,y2,.,ys到x1,x2,.,xs的一個線性變換，如果對應(yīng)的系數(shù)行列式則稱上式線性變換是非退化的 二、二次型及線性變換的矩陣表示（一）二次型的矩陣表示（二）線性變換的矩陣

27、表示（三）二次型的關(guān)系四）二次型的類型三、特征根與正交變換（一）特征根定義2.23 設(shè)A是一個線性變換，如果對于數(shù)0，存在 一個非零向量X（實際上一個向量的坐標(biāo)）， 使得AX=0X， 則稱0為A的一個特征值,而X成為A的屬于特征值0的一個特征向量。定義2.24 設(shè)A是一個n階矩陣，是一個參數(shù)，矩陣E-A 行列式稱為A的特征多項式，E-A=0的解就是A的特征根。（二）特征向量求特征向量的一般步驟：1. 求A的特征多項式E-A=0的全部根；2. 把所求的特征值逐個代入方程組對每一個特征根，解以上方程,求出一組基礎(chǔ)解系, 它們就是屬于這個特征值的k個線性無關(guān)特征向量的坐標(biāo)。這樣就求出了屬于每個特征值

28、的全部線性無關(guān)的特征向量。四、二次型的正交變換定義2.25 如果向量、的內(nèi)積為0，即(,)=0 ， 則稱、 為正交或垂直，記為。 定義2.26 一組非零向量，如果它們兩兩正交，就稱它為 一正交向量組。 定義2.27 n階實數(shù)矩陣A稱為正交矩陣，如果 定理2.4 對于任意一個n階實對稱矩陣A，都存在一個n階 正交矩陣Q，使成為對角型。定理2.5 任意一個實二次型 都可以經(jīng)過正交的線性變換成平方和，其中平方項的系數(shù)就是矩陣A的特征多項式全部的根。如本章小結(jié) 矩陣代數(shù)是線性代數(shù)中的一個重要研究對象，它在計量經(jīng)濟(jì)學(xué)研究中占據(jù)非常重要的地位。 本章從矩陣代數(shù)的基本內(nèi)容入手，系統(tǒng)地、簡明扼要地介紹了矩陣代

29、數(shù)的主要內(nèi)容。 這一章分成三節(jié): 第一節(jié)包括矩陣的定義，矩陣運(yùn)算的定義，以及逆矩陣的概念，并介紹了求逆矩陣的三種常用方法：行變換法，列變換法，代數(shù)余子式法，同時也介紹了行列式的計算方法。 第二節(jié)，介紹了向量的線性相關(guān)和線性無關(guān)的概念，矩陣的秩和余子式的概念，在這同時還介紹了矩陣秩的辨別方法。這一節(jié)的第二部分討論了線性方程的一般理論。 從介紹齊次線性方程組基礎(chǔ)解系開始，討論方程組解的結(jié)構(gòu)理論，方程組有無解的判別定理。最后還介紹了最小二乘法的思想及其所滿足的代數(shù)條件，同時也給了最小二乘解的存在唯一性條件。 第三節(jié)介紹二次型和正交變換。這一節(jié)首先介紹二次型及線性變換的定義和它們的矩陣表示方法。在這同

30、時還介紹了矩陣合同的概念，正定二次型，半正定、負(fù)定、半負(fù)定、不定型的有關(guān)定義。這一節(jié)的最后,討論了線性變換的特征根和特征向量，把對二次型的討論進(jìn)一步引向深入，給出了有關(guān)二次型的主要定理，并用例子說明如何尋找一個二次型的正交變換，使二次型矩陣與一個對角矩陣合同，而對角線上的元素是該矩陣的特征根。本章要點1.矩陣加法、乘法的規(guī)則。2.矩陣逆的求法。3.矩陣對應(yīng)的行列式計算方法。4.一個數(shù)列逆序的概念。5.向量組的線性相關(guān)和線性無關(guān)。6.齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)。7.非齊次線性方程組的表示法。8.線性方程組有解的充分必要條件。9.矩陣的秩。10.最小二乘解的概念及幾何意義。11.二次型的定義、正定、負(fù)

31、定、不定的二次型。12.正交變換。13.特征值、特征向量。14.二次型變換成對角型的方法。第三章 數(shù)據(jù)分析方法與參數(shù)統(tǒng)計推斷在計量經(jīng)濟(jì)分析推斷中，其主要是根據(jù)觀察到的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，然后做出判斷。因此，根據(jù)觀察到的數(shù)據(jù)探討對某些參數(shù)的估計方法是計量經(jīng)濟(jì)學(xué)中的主要內(nèi)容之一。在介紹常用的一些估計方法及評價估計標(biāo)準(zhǔn)之前，我們先介紹一些常用的數(shù)據(jù)的平滑技術(shù)： 第一節(jié) 數(shù)據(jù)的分析方法一、算術(shù)平均（arithmetic mean） 二、加權(quán)算術(shù)平均法（weighted arithmetic mean） 三、幾何平均法（geometric mean） 四、移動平均法 1、算術(shù)移動平均法 2. 移動幾何平均法香

32、港股票價格指數(shù)與3年移動平均附加例1圖百貨店銷售額原數(shù)列與中心化4項移動平均附加例2 圖日元 3. k的選擇 在時間序列的估計中，應(yīng)用移動平均法時，觀察值得到平滑，移動平均數(shù)的變化趨勢也同樣被平滑，以消除原時間序列的不規(guī)則變動和周期變動，其平滑程度取決于k，當(dāng)k較大時，靈敏度較差，有顯著的滯后現(xiàn)象發(fā)生；當(dāng)k值較小時，預(yù)測結(jié)果可以靈敏地反映出時間序列的變化趨勢。但是當(dāng)k過小時，又達(dá)不到消除不規(guī)則變動和周期性變動的目的，另外還可能因為隨機(jī)干擾反映過快而造成錯覺，一般是利用不同的k，對估計對象進(jìn)行實際試驗，從中選擇最佳的k。五、指數(shù)平滑法 第二節(jié) 抽樣分布一、總體的分布 對任意的實數(shù)集合S，令P(S

33、)為屬于S 的個體在總體中所占的比率。 當(dāng)S確定后，P(S)也就唯一的確定，稱這個對應(yīng)的關(guān)系為總體的分布。因此可用一個隨機(jī)變量X來表示總體, X的分布就是總體的分布。分布函數(shù)記為F(x), 概率密度記為f(x)?？傮w、個體 定義3.1 簡單隨機(jī)樣本 設(shè) X為具有分布函數(shù)F(x)的隨機(jī)變量。若 X 1 X 2 X n 為具有同一分布函數(shù)F(x)的相互獨立的隨機(jī)變量，則稱X 1 X 2 X n 為從總體X得到的容量為n簡單隨機(jī)樣本，簡稱樣本。它們的觀測值x 1x 2x n為樣本觀測值。 設(shè) X 1,X 2 , X n為是來自總體X的樣本，g(X 1 ,X 2 Xn）是X 1,X 2 , X n 的

34、函數(shù)， 若g是連續(xù)函數(shù)且g中不含任何未知參數(shù)， 則稱g(X 1, X 2 X n）是一統(tǒng)計量。定義3.2 統(tǒng)計量 二、樣本的矩估計樣本平均值樣本方差樣本標(biāo)準(zhǔn)差樣本k階（原點）矩樣本k階中心矩OLS條件: 設(shè) 是一個隨機(jī)序列, 相同方差且互不相關(guān),將這種不相關(guān)稱作無序列相關(guān)。這三種特征稱作最小平方條件(OLS條件) 。具有相同的期望值,三、正態(tài)總體的幾個常用統(tǒng)計量統(tǒng)計量是樣本的函數(shù)，它是一個隨機(jī)變量。統(tǒng)計量的分布稱為抽樣分布。（一） 2分布 A. 2 統(tǒng)計量 C上分位點對于給定的正數(shù)， 稱滿足條件 分布的概率密度： B.的為上分位點（二）t分布At統(tǒng)計量：Bt(n) 分布的概率密度函數(shù) C上分位

35、點（三） F分布 AF統(tǒng)計量BF(n1 n 2)的分布的概率密度C上分位點及其性質(zhì)：（1）上分位點的定義（2）F分布的上分位點有如下的性質(zhì)四、正態(tài)總體的樣本均值與樣本方差的分布 ：方差存在）的均值為，方差為2，X 1 ，X 2 ，Xn設(shè) 令 于是，對于正態(tài)總體的 命題3.1設(shè)總體X（不管服從什么分布，只要均值和是X的一個樣本，則總有有 定理3.1 設(shè) 是總體 的樣本, 分別是樣本均值和樣本方差，則有2).與S2獨立 定理 3.2 設(shè) 是總體 的樣本, 分別是樣本均值和樣本方差，則有 定理 3.3 第三節(jié) 參數(shù)的統(tǒng)計推斷一、參數(shù)的估計（一）、估計量的選擇標(biāo)準(zhǔn)（1）無系統(tǒng)誤差 （2）在一切無系統(tǒng)誤

36、差的估計量中，應(yīng)該選擇取值最集 中的估計量.（3）當(dāng)樣本容量n無限增大時，它的值趨于穩(wěn)定在參數(shù) 的真值附近. 我們選擇估計量的原則是：在一切可能的估計量中選擇具有無偏性（或相合性）和最小方差的估計量。一般估計量的相合性是大數(shù)定律的推論，無偏性和最小方差性的要求，無論在理論上還是從實際應(yīng)用的觀點來說都是合理的。因此，選擇最優(yōu)估計量的問題就集中到在一切無偏估計中選擇具有最小方差的無偏估計的問題上，最小方差無偏估計又叫最優(yōu)無偏估計。（二）矩估計法 （三）極大似然估計法（四）貝葉斯估計與極大極小估計1. 決策論的基本概念 2極大極小估計3貝葉斯估計 （一）假設(shè)檢驗的基本思想假設(shè)檢驗有參數(shù)假設(shè)檢驗和非參

37、數(shù)假設(shè)檢驗之分。假設(shè)檢驗就是通過樣本獲取數(shù)據(jù)對所提出的假設(shè)作出判斷：是接受、還是拒絕原假設(shè)。1假設(shè)檢驗的兩類錯誤假設(shè)檢驗的推斷只用一個樣本觀察值作為判斷的依據(jù)，因此將產(chǎn)生以下兩個問題： 1.) 當(dāng) H0 為真時,仍可能做出拒絕H0的判斷, 稱為犯第一類錯誤.（這種可能性是無法消除的） 2.) 當(dāng)H1為真時仍有可能接受H0 ,稱為犯第二類錯誤. 二、 假設(shè)檢驗顯著性檢驗 ：一般來說，控制犯第一類錯誤的概率，使它小于或等 , 通常取0.1，0.05，0.01等值。這種只對犯第一 類錯誤的概率加以控制，而不考慮犯第二類錯誤的概率檢驗問題，稱為顯著性檢驗問題。 2. K值的確定給出一個較小的數(shù)，使犯第

38、一類錯誤的概率不超過，即使得 P拒絕為真數(shù)k是檢驗上述假設(shè)的一個門檻。如果：與 0的差異是顯著的，這時拒絕H0 則稱反之，如果：與 0的差異是不顯著的，這時接受H0 則稱數(shù)稱為顯著性水平。顯著差異的判斷是在顯著性水平下做出的。F. 顯著性水平、檢驗統(tǒng)計量稱為檢驗統(tǒng)計量。統(tǒng)計量上面關(guān)于 與 0有無(二) 雙邊檢驗在顯著性水平下，假設(shè)檢驗H 0稱為原假設(shè)或零假設(shè) H 1稱為備擇假設(shè)。 拒絕域 為臨界點 (三) 單邊假設(shè)檢驗 1. 單邊假設(shè)檢驗的思想我們需要檢驗假設(shè) 2. 單邊檢驗拒絕域的確定拒絕域為： 左邊檢驗問題拒絕域形式為 (四) 參數(shù)假設(shè)檢驗問題的步驟1.根據(jù)實際問題的要求， 提出原假設(shè)H

39、0及備擇假設(shè)H1 ；2.給定顯著性水平及樣本容量n；3.確定檢驗統(tǒng)計量以及拒絕域的形式；4.按P拒絕H0 |H0為真=求出拒絕域；5.取樣，根據(jù)樣本觀測值確定接受還是拒絕H0 ;(五) 正態(tài)總體均值假設(shè)檢驗的進(jìn)一步討論1 2已知，關(guān)于的檢驗(1) U檢驗利用在H 0為真時,總體服從N(0,1)分布的統(tǒng)計量來確定拒絕域的，這種檢驗方法常稱為u檢驗法。(2) 原假設(shè)為不等式情形需要檢驗的問題寫成以下的形式， 取顯著性水平為，現(xiàn)在要求檢驗問題(3.3.24)的拒絕域。 (3.3.24)從而得檢驗問題 (3.3.24) 的拒絕域為這與前面得到的檢驗問題的拒絕域是一致的。比較正態(tài)總體 對均值兩種檢驗問題

40、和 我們看到盡管兩者原假設(shè)H0的形式不同， 實際意義也不一樣，但對于相同的顯著性水平， 它們的拒絕域是相同的 在方差2 已知時2 2未知，關(guān)于的檢驗（t檢驗）檢驗問題的拒絕域（顯著性水平為）采用作為檢驗統(tǒng)計量。 拒絕域的形式為：上述利用t 統(tǒng)計量得出的檢驗法則稱為t 檢驗法 第四節(jié) 方差分析方法 一、單因素試驗概念1因素 在試驗中，考察的指標(biāo)稱為試驗指標(biāo)。影響試驗指標(biāo)的條件稱為因素。因素可分為兩類， 一類是人們可以控制的（可控因素）； 一類是人們不能控制的。2. 水平 因素所處的狀態(tài)，稱為該因素的水平。如果一次試驗中只有一個因素在改變，稱為單因素試驗； 如果多于一個因素在改變的試驗稱為多因素試

41、驗。 二、方差分析方法（試驗數(shù)據(jù)的分析方法）將各個總體的均值依次記為 需要檢驗假設(shè)： 不全相等，設(shè)因素A有S個水平 在水平A j (j=1,2,s)下，進(jìn)行nj次獨立試驗，得到如表中所給出的結(jié)果。例3-18例3-19(一) 基本假定及模型設(shè)各個水平 下的樣本 來自同方差 2 ，均值分別為 的正態(tài)總體 且設(shè)不同水平A j下的樣本之間相互獨立。, j與2未知。各 ij獨立 其中 j與2均為未知參數(shù)，稱（3.4.1）式為單因素試驗方差分析的數(shù)學(xué)模型(3.4.1)(二) 方差分析的任務(wù) 1. 檢驗s個總體 的均值是否相等，即檢驗假設(shè)不全相等 2. 作出未知參數(shù) 三、平方和的分解引入總平方和其中 分解成

42、為： 其中 四、 的統(tǒng)計特性 且當(dāng)H 0為真時 五、假設(shè)檢驗問題的拒絕域拒絕域具有形式拒絕域為六、未知參數(shù)的估計第四章 一元線性回歸一、 回歸分析1. 確定性關(guān)系2. 相關(guān)關(guān)系3. 回歸分析4. 回歸分析的類型一元線性回歸分析 一元非線性回歸分析 二元或多元回歸線性(非線性)分析 第一節(jié) 一元線性回歸分析 二、 一元線性回歸分析一元回歸考慮的只是兩個變量之間的關(guān)系其中是一個隨機(jī)變量，它服從正態(tài)分布 有時也稱它為噪聲或隨機(jī)干擾項, f(x)是x的函數(shù)， 當(dāng)f(x)是x的線性函數(shù)時，(一) 線性回歸方程通過一組 的觀察值來確定 y與x的（線性）經(jīng)驗關(guān)系表達(dá)式。就是本節(jié)所要研究的線性回歸設(shè)的內(nèi)容。

43、例4-1 假設(shè)某地區(qū)職工平均消費水平和平均收入如表4-1所示：年份平均消費支出（y）平均收入（x）年份平均消費支出（y）平均收入（x）199325.1030.00199947.1065.20199427.3035.00200053.8070.00199535.5041.20200155.5080.00199633.2051.30200266.1092.10199737.0055.20200375.00102.00199845.1060.40200480.00120.30表4-1 在平面上選定一直角坐標(biāo)系，把這12對數(shù)據(jù)相應(yīng)的點畫在坐標(biāo)系上，就可以得到散點圖。 從圖上可以看出，這些點大致分布在某

44、一條直線的兩側(cè)，平均收入與平均消費水平之間大體上成線性關(guān)系。如果配以一條直線，則可寫成： y上方加記號“”，這是為了區(qū)別于的實際值， 是由經(jīng)驗公式得到的得y估計值。如果 a和b確定了, Y和X關(guān)系式就確定了 (二) a 和b 的最小二乘估計 在散點圖上隨便畫一條直線，這條直線在y軸上的截距就是所求的a，直線的斜率就是所求的b. 把這條直線作為y與x的關(guān)系式的估計，它的準(zhǔn)確度如何?用什么標(biāo)準(zhǔn)來衡量一條直線作為Y與X關(guān)系式效果是好的? 用所找的直線，最“接近”于這12個點作為衡量所找的直線好壞的標(biāo)準(zhǔn)，那怎樣才能找到的直線與12個點最接近呢？通用的作法就是最小二乘法。實際觀測值與 的差異：取平方得到

45、把所有觀測值 與 差異的平方加總 這個量反映了直線與各點之間總的偏離程度，它隨著不同的直線而變化的。也就是隨著a和b的不同而不同，所以它是a、b的二元函數(shù)， 記為： 要找到兩個數(shù) 和 ，使二元函數(shù)在 在 ， 處達(dá)到最小, 即總的偏離程度最小。 （1）（2）根據(jù)例題4-1給定的12對數(shù)據(jù) 其中常數(shù)項表明當(dāng)收入為零時的必要消費；而系數(shù)0.65表明收入每增加一個單位，消費平均增加0.65個單位。a=4.93b=0.65 例4-2 假設(shè)某國的貨幣供應(yīng)量與國民收入的歷史數(shù)據(jù)如表4-2所示：年份貨幣供應(yīng)量(x)國民收入(y)年份貨幣供應(yīng)量(x)國民收入(y)199320501999428419942555

46、200046901995326020014897199636702002501001997337220035211219984077200456117表4-2所求的回歸方程為:（三）一元線性回歸分析的假設(shè)條件假設(shè)1 隨機(jī)誤差項服從均值為0,方差為的正態(tài)分布。 假設(shè)2 隨機(jī)誤差項兩兩不相關(guān) 假設(shè)3 隨機(jī)誤差項與解釋變量X之間不相關(guān) 回歸線斜率的值為1.9927，表示貨幣供應(yīng)量每增加1個單位，國民收入就增加1.9227個單位。 第二節(jié) 線性回歸的方差分析1. 總的平方和分解其中 對 進(jìn)行分解 是回歸值 與y的觀測值的平均 之差的平方和。其中 一、數(shù)值分析它反映了由于x與y之間存在線性相關(guān)關(guān)系而引起

47、的回歸值的分散程度，我們稱之為回歸平方和。 而稱為剩余平方和，它反映了觀測值y 偏離回歸直線的程度，這種偏離是由于觀測誤差等隨機(jī)因素所引起的。 這樣通過平方和的分解把引起數(shù)據(jù)yi波動的兩種原因在數(shù)值上基本上分開了。二、 線性回歸方程的顯著性檢驗統(tǒng)計量檢驗假設(shè) 是否成立。 如果假設(shè)H0 成立， 則統(tǒng)計量 服從自由度為n-1的x 2分布 可以證明：服從自由度為 (1, n-2) 的F分布。對于給定的顯著性水平，可以由附表5查得F的臨界值F ,如果 則拒絕假設(shè)H 0 ，即認(rèn)為x與y之間的線性關(guān)系顯著。 反之，如果 則接受假設(shè)H0，即認(rèn)為y與x之間不存在線性相關(guān)關(guān)系。 若存在線性相關(guān)關(guān)系時，回歸效果顯

48、著，反之回歸效果不顯著。三、方差分析表 的計算公式(一)(二) 方差分析表 (見教材)例4-3第三節(jié) t檢驗（直接檢驗法）一、 檢驗假設(shè)t 檢驗統(tǒng)計量的構(gòu)造： 當(dāng) ，此時 且 即得 H0的拒絕域為： 二、檢驗統(tǒng)計量三、線性回歸效果不顯著的原因（一） 影響y取值的，除x外,還有其他不可忽略的因素。（二） y與x的關(guān)系不是線性的，而存在著其他關(guān)系。 （三） y與x不存在關(guān)系。例4-4 例4-2的分析樣本的相關(guān)系數(shù)第四節(jié) 相關(guān)系數(shù)及其顯著性檢驗 x 和 y 的相關(guān)系數(shù)是 xy ，要檢驗它們之間線性相關(guān)是否顯著，可以對下列假設(shè)進(jìn)行檢驗： 1線性回歸方程的相關(guān)系數(shù)顯著性檢驗 為了檢驗這個假設(shè), 用 xy

49、 的估計值，樣本的相關(guān)系數(shù) r來構(gòu)造一個檢驗統(tǒng)計量 一、由t分布確定的拒絕域(1) 用樣本觀測數(shù)據(jù)計算樣本相關(guān)系數(shù)rxy (2) 計算統(tǒng)計量(3) 對給定的以及自由度(n-2)，查t分布表得到 使 2. 線性相關(guān)的顯著性檢驗步驟如下：（4）若 則否定假設(shè) H0，即x與y的線性相關(guān)關(guān)系顯著 若 則假設(shè) H0成立 ，說明x與y之間不存在線性相關(guān)，這時，所求的回歸方程沒有意義。 例4-5 利用t分布來檢驗，由例4-3中算出的相關(guān)系數(shù)的顯著性。為了檢驗方便，也可以由t與相關(guān)系數(shù)的關(guān)系式解出 得 對給定不同的顯著水平及不同的自由度，由t分布表按上式關(guān)系式求得對應(yīng)的樣本相關(guān)系數(shù) rxy的臨界值，再由這些臨

50、界值制成相關(guān)系數(shù)檢驗表 。二、相關(guān)系數(shù)表的構(gòu)成及應(yīng)用 例4-6 求商品的需求量同商品自身的價格的關(guān)系式（假定其他變量固定不變）。一、 系數(shù)b的置信區(qū)間。 對系數(shù)b作區(qū)間估計。事實上，可由(4.3.3)式得到b的置信度為1-的置信區(qū)間為 ：二、 預(yù)測回歸方程的一個重要應(yīng)用是，對于給定的點 可以以一定的置信度預(yù)測對應(yīng)的的觀測值的取值范圍，即所謂預(yù)測區(qū)間。第五節(jié) 回歸分析的其它問題對于給定的置信度1-，有 區(qū)間稱為y0的置信度為1-的預(yù)測區(qū)間。（1）置信度為0.95的預(yù)測區(qū)間近似地為 （2）置信度為0.997的預(yù)測區(qū)間近似地為 例4-7 續(xù)例4-2，求x=45時，y的預(yù)測區(qū)間 三、控制 控制是預(yù)測的

51、反問題，即要求觀察值y在某區(qū)間 內(nèi)取值時，問x應(yīng)控制在什么范圍？的預(yù)測區(qū)間 （3）第五章 多元線性回歸第一節(jié) 經(jīng)典多元線性回歸模型的概念一、回歸模型二、多元線性回歸模型三、線性回歸模型的假設(shè)條件（一）關(guān)于矩陣的X假定（二）關(guān)于隨機(jī)擾動項的假定第二節(jié) 最小平方估計一、 關(guān)于矩陣的微分運(yùn)算的一些性質(zhì)二、的估計三、2的估計例5-1例5-2第三節(jié) 估計量的性質(zhì)一、 的性質(zhì)（二）無偏性（三） 的協(xié)方差陣（四）最小方差性（一）線性性（五）關(guān)于概率極限的幾點注釋1. 概率極限的概念2.概率極限的運(yùn)算3.概率極限存在的一個充分條件 4.多維情形 5.經(jīng)典線性模型的性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)2性質(zhì)3經(jīng)典線性模型還有如下的一

52、致性。二、 的性質(zhì)（一）無偏性（二）一致性 三、 和 分布（一） 的分布（二）有關(guān) 的分布第六章 虛擬變量的回歸 虛擬變量(Dummy Variable)，又稱名義變量。 另外還有一些名稱是： 指標(biāo)變量(Indicator Variable) 、 二值變量(Binary Variable) 、定性變量(Qualitative Variable) 和二分變量(Dichotomous Variable)。 這些都指的是一個取值為0或1的變量。第一節(jié) 虛擬變量一、 作為解釋變量的虛擬變量對于線性回歸模型其中 在回歸分析中，被解釋變量不僅常受一些在尺度上明確量化好的解釋變量的影響，而且還受實質(zhì)上是定性

53、性質(zhì)的變量的影響。 在這種情況下，不能簡單地用最小二乘法進(jìn)行參數(shù)估計，需要另一些模型來研究。 當(dāng)D作為被解釋變量時，我們就可以對以下線性回歸模型進(jìn)行分析： 二、 作為被解釋變量的虛擬變量 虛擬變量不僅可作為解釋變量，它也可作為被解釋變量，例如銀行研究是否給企業(yè)貸款，結(jié)果只有兩個：貸或不貸。 三、虛擬變量模型的類型和解釋變量個數(shù)的選擇（一）含虛擬變量回歸模型的分類1ANOVA模型 一個回歸模型可以只含有虛擬變量或定性的解釋變量, 這一類模型稱為方差分析（Analysis-of-variance,簡記為ANOVA）模型。2ANCOVA模型 兼含有定量和定性解釋變量的回歸模型叫做協(xié)方差分析 (Ana

54、lysis-of-covariance,簡記ANCOA)模型。例6-2（二）虛擬變量個數(shù)的選取規(guī)則1. (虛擬變量個數(shù)的選取)問題的提出 2. 虛擬變量個數(shù)的選取 一般的規(guī)則是： 如果一個定性變量有m個類別，則只需引入m-1個虛擬變量。 例子: 為了區(qū)分兩個類別：男性和女性，我們只需引進(jìn)了一個虛擬變量D。 解決多重共線性問題的方法有各種各樣,最簡單的方法就是當(dāng)定性變量有兩個分類或兩個水平時，僅用一個虛擬變量 。3. 虛擬變量有關(guān)名詞的定義 (1) 基底 虛擬變量被賦予零值的那個組別、類別或級別常被喻為是基底（base）、基準(zhǔn)（benchmark）、對比(comparison)、參考(refer

55、ence)或省略(omitted)類。 共同的截距項就是基底類的截距 (2) 級差截距系數(shù) 附著于虛擬變量Di ,的系數(shù) 稱為級差截距系數(shù)（differential intercept coefficient） 四、 一個定量變量和一個多分定性變量的回歸 在橫截面數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，做個人保健支出對個人收入和教育水平的回歸,考慮三個互相排斥的教育水平：低于中學(xué)、中學(xué)和大學(xué) 。 按照虛擬變量的個數(shù)比變量分類數(shù)少一的規(guī)則，我們需要引進(jìn)兩個虛擬變量，以處理教育的三個水平。 其中，表示保健年度支出，表示年度收入 ， 五、 一個定量變量和多個定性變量的回歸(一) 一個定量變量和兩個定性變量的回歸(二) 一個定

56、量變量和多個定性變量的回歸 虛擬變量的方法易于推廣，以便處理多于一個定性變量的情況。在學(xué)院教授的薪金回歸模型（6.1.4）中，除了教齡和性別之外，如果膚色也是一個重要的薪金決定因素。則模型需要改為（6.1.14）。 多個定量變量和多個定性變量的回歸與一個定量變量和兩個定性變量的回歸沒有本質(zhì)的區(qū)別，這里只給出一個例子加以說明。例6-3第二節(jié) 虛擬變量的應(yīng)用一、 應(yīng)用虛擬變量改變回歸直線的截距二、應(yīng)用虛擬變量改變回歸直線的斜率三、分段線性回歸 圖62表示兩種情況下，中國通貨膨脹率的變化的情況。 我們?nèi)匀谎芯客ㄘ浥蛎浡屎蛧窨偖a(chǎn)值增長率之間的相互關(guān)系，這一回假設(shè)1998年與普通年份的預(yù)期基點相同，但

57、變化幅度不同，也就是斜率不同。 虛擬變量的另一個用途，可以從圖6-4看出。 例6-4 四、 檢驗回歸模型結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性 一般情況兩個或兩個以上回歸方程的差異在于 截矩，也許在于斜率或者兩者都有。 設(shè)重建時期收入與儲蓄的理論模型為： 設(shè)重建后時期收入與儲蓄的理論模型為： （一）回歸模型的結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性問題的提出1、 和 就是說兩個回歸相同(重合回歸 Coincident regression） 2、但 就是說兩個回歸的差異僅在于位置即截距的不同(平行回歸parallel regression） 回歸模型（6.2.4），（6.2.5）代表以下四種可能情形 3、 但 就是說，兩個回歸的截距相同但斜率相異

58、（匯合回歸 Concurrent regression）。4、 且 就是說，兩個回歸完全不同（相異回歸 Dissimilar regression）。 圖6-6 給出了所有這些可能的情形 鄒檢驗的基本假設(shè)：(a) 和（b） 和 是獨立分布（相互獨立的） 鄒檢驗按下列步驟進(jìn)行 （二）傳統(tǒng)判別結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性方法存在的缺陷步驟1：合并全部n1和n2次觀測值，用以估計模型中的參數(shù)（即 將（6.2.4），（6.2.5）合并）步驟2：分別估計（6.2.4）和（6.2.5）中的參數(shù) 即分別求出模型（6.2.4），（6.2.5）的線性回歸方程），并求得它們的殘差平方和，且分別記為 和 步驟3：求出服從自由度為（）

59、的分布。 步驟4： 在鄒檢驗的基本假設(shè)下，可以證明： 服從自由度為： 的F分布。 固定資產(chǎn)投資與GDP的例子步驟1： 步驟2，緊縮政策前、緊縮政策后步驟3： 步驟4：(三) 虛擬變量法比較兩個回歸方程的結(jié)構(gòu)注意： (1) 按相加性（additive）形式，將虛擬變量引入 能使我們區(qū)分兩個時期的截距。 （2）按乘積性（multiplicative）形式，將虛擬 變量 引入能使我們區(qū)分兩個時期的級差系數(shù) 通過虛擬變量的使用可大大簡化上面介紹的鄒檢驗步驟。雖然在任一種情況下應(yīng)用鄒檢驗和應(yīng)用虛擬變量檢驗法得到的一般結(jié)論都一樣的，但虛擬變量法有些優(yōu)越性 虛擬變量技術(shù)比鄒檢驗優(yōu)越： 1 我們只需求出單一的

60、回歸方程（6.2.9），兩個時期的回歸方程可由取D的不同值而 得到。 2 所求的單一的回歸方程（6.2.9），可用做各種假設(shè)檢驗。比方說,對級差系數(shù) 作假設(shè)檢驗: 若接受 ，就可接受兩個回歸方程有相同截距的假設(shè)。否則，則認(rèn)為兩個回歸方程有不同的截距。類似地，對級差斜率系數(shù) 作假設(shè)檢驗： ，若接受 ，則我們認(rèn)為兩個回歸方程有相同的斜率；若拒絕 ，則我們就不能接受兩個回歸方程有相同斜率的假設(shè)。整個回歸方程結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性的檢驗，可用F檢驗來判斷 3. 鄒檢驗沒有明白地告訴我們 哪一個系數(shù)、 截距或斜率在這兩個時期相異； 或者兩個 系數(shù)均相異。 虛擬變量法有著明顯的優(yōu)勢，因為它不僅告訴我們兩個回歸是否有