高中數(shù)學(xué)題型全面歸納（學(xué)生版）：12.1計數(shù)原理與簡單排列組合問題49

1、第十二章 計數(shù)原理本章知識結(jié)構(gòu)圖第一節(jié) 計數(shù)原理與簡單排列組合問題考綱解讀1.理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理.2.會用分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理分析和解決一些簡單的實際問題.3.理解排列、組合的概念.4.能用計數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)、組合數(shù)公式.命題趨勢探究1.本節(jié)為高考必考內(nèi)容，一般有12道選擇題或填空題.2.題目主要以實際應(yīng)用題形式出現(xiàn).3.試題的解法具有多樣性，一般根據(jù)計數(shù)重復(fù)或遺漏來設(shè)計錯誤選項，在解答選擇題時可通過正向（分類相加）和反向（總數(shù)減去對立數(shù)）互相檢驗，也可以通過排除法篩選正確選項.知識點精講基本概念1.分類加法計數(shù)原理 eq oac(,1)有n類方法 完成一件事

2、 eq oac(,2)任兩類無公共方法（互斥） 共有N= eq oac(,3)每類中每法可單獨做好這件事 種不同方法.如圖12-1所示.圖12-12.分步乘法計數(shù)原理 eq oac(,1)必須走完n步，才能完成任務(wù) 完成一件事 eq oac(,2)前一步怎么走對后一步怎么 共有N 走無影響（獨立） 種不同方法.如圖12-2所示.注圖12-2兩個原理及其區(qū)別.分類加法計數(shù)原理和“分類”有關(guān)，如果完成某件事情有n類辦法，這n類辦法之間是互斥的，那么求完成這件事情的方法總數(shù)時，就用分類加法計數(shù)原理.分步乘法計數(shù)原理和“分步”有關(guān)，是針對“分步完成”的問題.如果完成某件事情有n個步驟，而且這幾個步驟缺

3、一不可，且互不影響（獨立），當且僅當依次完成這n個步驟后，這件事情才算完成，那么求完成這件事情的方法總數(shù)時，就用分步乘法計數(shù)原理.當然，在解決實際問題時，并不一定是單一應(yīng)用分類計數(shù)原理或分步計數(shù)原理，有時可能同時用到兩個計數(shù)原理.即分類時，每類的方法可能運用分步完成；而分步后，每步的方法數(shù)可能會采取分類的思想求方法數(shù).對于同一問題，我們可以從不同的角度去處理，從而得到不同的解法（但方法數(shù)相同），這也是檢驗排列組合問題的很好方法.3.排列與排列數(shù)從n個不同元素中取出m(mn)個（不同）元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.從n個不同元素中選取m個元素(nm)的

4、排列個數(shù)共有 . (m個連續(xù)正整數(shù)之積，n為最大數(shù)).注規(guī)定.排列數(shù)公式的兩種不同表達形式本質(zhì)是一樣的，但作用略有不同，常用于具體數(shù)字計算；而在進行含字母算式化簡或證明時，多用.可重排列與無重排列的區(qū)別.例如：用1，2，3，4，5這五個自然數(shù)，可排成有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)5555=54無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)5432=區(qū)別：不可重復(fù)排列：用過的數(shù)字不可再用，用一個少一個.可重復(fù)排列：用過的數(shù)字還可再用，每次可用數(shù)字不減少。再例如：4封不同的信，全部投入5個信箱. eq oac(,1)任意投（投過的信箱可再投入）5555=54. eq oac(,2)每箱至多一封信（投過的信箱不可再投入）5432=.4.組

5、合與組合數(shù)從n個不同元素中取出m(mn)個(不同)元素，并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)共有 .注同樣，公式常用于具體數(shù)字計算，常用于含字母算式的化簡或證明.（1）排列和組合的區(qū)別.組合：取出的元素地位平等，沒有不同去向和分工.排列：取出的元素地位不同，去向、分工或職位不同.注排列、組合都是研究事物在某種給定的模式下所有可能的配置數(shù)目問題，它們之間的主要區(qū)別在于是否要考慮選出元素的先后順序，不需要考慮順序的是組合問題，需要考慮順序的是排列問題.排列是在組合的基礎(chǔ)上對入選的元素進行排隊，因此，分析解決排列組合綜合問題的基本思維是“先組合，

6、后排列”.例如：從10個人中抽出4人參加某項活動有 種方案；從10個人中抽出4人分別參加4項活動有 種方案.(2)一切排列數(shù)、組合數(shù)、階乘及它們展開式的因數(shù)都是正整數(shù).常見的有0！=1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720.，.(3)公式（性質(zhì)）. eq oac(,1). eq oac(,2)，如. eq oac(,3)，如（口訣：相鄰組合數(shù)相加，加一元（nn+1）取大（m+1m，取m+1）. eq oac(,4).題型歸納及思路提示題型161 分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理思路提示要明確完成一件事所包含的內(nèi)容是如何進行的，若需分類按加法數(shù)原理，若需分步按乘法計數(shù)原理.

7、分類時要做到“不重不漏”，分步時要做到“步驟完整”.有些計數(shù)問題既需要分類，又需要分步，此時要綜合運用兩個原理.例12.1 現(xiàn)有3名老師，8名男生和5名女生共16人，有一項活動需派人參加.(1)若只需1人參加，有多少種不同選法？(2)若需老師，男生，女生各1人參加，有多少種不同選法？(3)若需1名老師和1名學(xué)生參加，有多少種不同選法？變式1 有5張卡片，正反面分別寫有數(shù)字0與1，2與3，4與5，6與7，8與9，現(xiàn)從中任取三張，排成一列，問共可擺出 個不同的三位數(shù).變式2 晚會原有節(jié)目單由7個節(jié)目排成，現(xiàn)要新添3個不同的節(jié)目，且不改變原有節(jié)目的相對順序，則這3個節(jié)目有多少種不同的安排方法？例12

8、.2 (1)若8名學(xué)生爭奪3項體育比賽的冠軍（每名學(xué)生參數(shù)項目不限），則冠軍獲得者有 種不同情況（每個項目沒有并列冠軍）.(2)8名學(xué)生從3項體育項目中選擇參數(shù)，若每一名學(xué)生只能參加一項，則有 種不同的參賽方法.變式1 將3個信封投到4個郵箱，最多的投法有 種.變式2 現(xiàn)有6名同學(xué)聽取同時進行的5個課外知識講座，每個同學(xué)可自由選擇其中一個講座，不同的選法有( )種.A. 56 B. 65C. D. 65432變式3 已知集合A=1,2,3，B=1,2,3,4.(1)映射f: AB共有多少個？(2)映射g: BA共有多少個？例12.3 同室4人各寫一張賀卡，先集中起來，然后每人從中拿出一張別人送

9、出的賀卡，則4張賀卡的不同的分配方式有（ ）.A. 6種 B. 9種 C. 11種 D. 23種變式1 （2017浙江）從6男2女共8名學(xué)生中選出隊長1人，副隊長1人，普通隊員2人組成4人服務(wù)隊，要求服務(wù)隊中至少有1名女生，共有_種不同的選法（用數(shù)字作答） 變式2 3個人踢毽子，互相傳遞，每人每次只能踢一下，由甲開始踢，經(jīng)過5次傳遞后，毽子又被踢回給甲，則不同的傳遞方式共有（ ）.A. 6種 B. 8種 C. 10種 D. 16種例12.4 某外語組有10人，每人至少會英語、法語中的一門.其中7人會英語，5人會法語.從中選擇會英語和法語的各一人派往兩地參加會議，有多少種不同的方法？變式1 用三

10、種顏色染如圖12-4-1所示的矩形塊，要求每塊染一種顏色且相鄰不同色.(1)共有多少方法？(2)每種顏色染兩塊有多少種方法？圖12-4-1變式2 （2016年全國II高考）如圖12-4-2，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為（ ）（A）24 （B）18 （C）12 （D）9圖12-4-2題型162 排列數(shù)與組合數(shù)的推導(dǎo)、化簡和計算思路提示盡量用性質(zhì)計算；推導(dǎo)、證明和化簡約分用階乘形式，計算用乘積形式.例12.5 (1)證明：.(2) 已知，且.證明： eq oac(,1) eq oac(,2) eq oa

11、c(,3) eq oac(,4)解析 (1) 為從n個（nN*）不同元素中取出m（mn, mN*）個（不同）元素，按照一定順序排成一列的不同排列的個數(shù)（即排列數(shù)）.如表12-1所示，需要m步完成排列任務(wù).表12-1位置1位置2位置mn種方法n-1種方法n-m+1種方法第一步（為位置1選擇一個元素）有n種選法.第二步（為位置2選擇一個元素）有n-1種選法.第m步（為位置m選擇一個元素）有n-m+1種選法.依分步計數(shù)原理，得.(2) eq oac(,1) 為從n個不同元素中任取m個（不同）元素并成一組的不同組合的個數(shù)（即組合數(shù)），當mN*，mn時，從n個不同元素中取m個（不同）元素按照一定的順序排

12、成一列，可以分成兩步完成，第一步從n個不同元素中任取m個元素并成一組，第二步把取出的m個元素按照一定的順序排成一列，依分步乘法原理得.即，又，故.當m=0，.，也成立. eq oac(,2)故. eq oac(,3). eq oac(,4)由，則，依此類推，故.評注 題目 eq oac(,4)中的求和應(yīng)用，如(i) (ii).變式1 組合數(shù) 恒等于( ).A. B. C. D. 變式2 解方程 .例12.6 (1)乘積 可表示為( ).A. B. C. D. (2)式子 可表示為( ).A. B. C. D. 變式1市內(nèi)某公共汽車站有6個候車位(成一排)，現(xiàn)有3名乘客隨便坐在某個座位上候車，則

13、恰好有2個連續(xù)空座位的候車方式的種數(shù)為()A48 B54 C72 D84題型163 計數(shù)原理與排列組合問題的結(jié)合思路提示要注意可重排列與不可重排列的區(qū)別；選擇適當?shù)慕忸}策略，即加法與減法；應(yīng)注意不重不漏.例12.7 如圖12-6所示，電路中共有13個開關(guān)（電阻略），每個開關(guān)可任選“開”或“關(guān)”一種狀態(tài)，且相互獨立.圖12-6(1)燈亮，有多少種整體狀況；(2)燈滅，有多少種整體狀況.變式1 直線方程Ax+By=0，從1,2,3,4,5這五個數(shù)中每次取兩個不同的數(shù)作A和B，共可確定（ ）條直線.A. 20 B. 19 C. 18 D. 16變式2 一個n棱錐的所有頂點共可確定 條直線，這些直線可

14、確定 對異面直線.例12.8 如圖12-7所示，有4種不同顏色供選，要求A,B,C,D,E每塊一種顏色，相鄰兩塊不同色，共有多少種染色方法？變式1 如圖12-9所示，用4種不同顏色給圖中A,B,C,D,E,F共6個點染色，要求每個點染一種顏色，且圖中每條線段的兩個端點不同色，則不同的染色方法共有( )種.A. 288 B. 264 C. 240 D. 168變式2 用4種不同顏色為正方體的六個面著色，要求有公共棱的兩個面不同色，則共有( )種不同的著色方法.A. 24 B. 48 C. 72 D. 96變式3 用紅、黃、藍三色之一去涂如圖12-10所示的標號19的9個小正方形，使任意有公共邊的

15、小正方形不同色，且3,5,7的方塊同色，則共有 種不同涂色方法. 圖12-9 圖12-10變式4 在五邊形ABCDE中，五個頂點各染紅、黃、綠三色之一，相鄰頂點不同色，共有種不同_染法.例12.9 某市汽車牌照前面兩個英文字母（不可重復(fù)）后面四個數(shù)字（可重復(fù)）組成，最多有多少個牌照？變式1 某通信公司推出一組手機號碼，號碼的前7位數(shù)固定，從到共10000個號碼。公司規(guī)定：凡卡號的后4位帶有數(shù)字4或7的一律作為優(yōu)惠卡，則這組號碼中優(yōu)惠卡有（ ）個. A.2000 B.4096 C.5904 D.8320變式2 用數(shù)字這4個數(shù)字組成的四位數(shù)中有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有（ ）個.A.192 B.182 C

16、.174 D.274變式3 用數(shù)字2,3組成四位數(shù)，且數(shù)字2,3至少都出現(xiàn)一次，這樣的四位數(shù)共有_個（用數(shù)字作答）.例12.10 設(shè)集合，選擇的兩個非空子集與，要使中最小的元素大于中的最大元素，則與的不同的選擇方法共有（ ）種. A.50 B.49 C.48 D.47變式1 ，是的兩個子集，中有個元素，中至少有兩個元素，且中所有的元素不大于中的最小元素，這樣的有_組.變式2 ，從中取出4個不同的子集，滿足條件： = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 其中必有和； = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 4個子集中的任意兩個子集與，必有或.則4個子集共有_種選法.例12.11

17、用填如圖12-11所示的“九宮圖”，每格一數(shù)，不同格不同數(shù)，其中“”，34圖12-11“”已填好，要求每行從左至右，每列從上到下都遞增，共有_種不同填格法.126347589圖12-12 變式1 在1,2,3,4,5的排列中滿足，排列有（ ）個. A.10 B.12 C.14 D.16變式2 用4個數(shù)字（只含0和1）排成一個四位數(shù)字表示一個信息，則與信息0110至多有兩個對應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息有（ ）個. A.10 B.11 C.12 D.15最有效訓(xùn)練題49（限時30分鐘）1.3封不同的信任意投入4個不同的信箱，隨意投的投法數(shù)和每箱至多1信的投法數(shù)依次為（ ）. A. B. C. D.2.從0,2中選一個數(shù)字，從1,3,5中選兩個數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為（ ）. A.24 B.18 C.12 D.6 3. （2017新課標理）安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，則不同的安排方式共有A12種B18種C24種D36種4. 如圖12-13所示，一個環(huán)形花壇，分為四塊，現(xiàn)有4種不同的花供選擇，要求在每塊里種一種花，且相鄰兩塊種不同的花，則不同種法共有（ ）種. A.96 B.84 C.60 D.485.有五張卡片，它的正反面分別寫0與1，2與3，4與5，6與7，8與9，將它們?nèi)我馊龔埐⑴欧旁谝?/p>