[經(jīng)濟(jì)學(xué)]非線性動(dòng)力學(xué)渾沌課件

1、非線性動(dòng)力學(xué)渾沌與因果律 劉華杰北京大學(xué)哲學(xué)系 0引子：“非”字當(dāng)頭的科學(xué) 非標(biāo)準(zhǔn)分析非牛頓流體力學(xué)非史密斯地層學(xué)非平衡統(tǒng)計(jì)力學(xué)非線性科學(xué)非線性vs線性 數(shù)學(xué)家烏拉姆說(shuō)：非“大象”動(dòng)物渾沌出自非線性系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)（nonlinear dynamics）渾沌(chaos)Chaos詞源簡(jiǎn)述神譜中的卡俄斯莊子中的渾沌意義與指稱：古代近代現(xiàn)代：普里高津的兩種用法1非線性動(dòng)力學(xué)E.A.Jackson的書(shū)：In the beginning 1.1 there was Poincare龐加萊（彭加勒） (模仿圣經(jīng)開(kāi)頭一句) If modern nonlinear dynamics has a fathe

2、r, it is Henri Poincare(1854-1912)奧斯卡國(guó)王的獎(jiǎng)N體問(wèn)題全局通解1889年1月21日獲獎(jiǎng)1890龐加萊158頁(yè)變到270頁(yè)的長(zhǎng)文發(fā)表于數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)。拓樸學(xué)，分岔理論，遍歷理論，同宿軌道天體力學(xué)的新方法三卷本但龐加萊并不為同時(shí)代人所理解，他與三次科學(xué)革命的接觸！伯克霍夫,莫爾斯,李特爾伍德,斯梅爾3二十世紀(jì)60年代的兩個(gè)突破保守系統(tǒng)：KAM定理 Kolmogorov-Arnold-Moser, 333階導(dǎo)數(shù),阿諾德擴(kuò)散，標(biāo)準(zhǔn)映射, 耗散系統(tǒng)：洛侖茲(E.Lorenz)微分方程,10年后才為人所知 一維非線性映射，杜芬方程，范德坡方程以上研究都發(fā)現(xiàn)了chaosLore

3、nz 方程(1963)Lorenz系統(tǒng)相空間幾何示意圖(I)Lorenz系統(tǒng)相空間幾何示意圖(2)渾沌故事多1963,1972-73,74,75, Lorenz-Feller-Jorke-Li-Robert May1975年12月美國(guó)數(shù)學(xué)月刊“周期三則渾沌”，經(jīng)典論文洛侖茲，上田與導(dǎo)師林千博“渾沌與流行的樂(lè)觀主義背道而馳”。Duffing振子與Ueda吸引子Chihiro Hayashi, Yoshisuke Ueda上田吸引子Y. UedaAttractor1970-1980年代一維非線性麻雀源于實(shí)際的種群生態(tài)學(xué)問(wèn)題非線性映射的數(shù)學(xué)分析：符號(hào)動(dòng)力學(xué)（起源更早，MSS，DGP）麻雀雖小。Fei

4、genbaum常數(shù) Li-Yorke定理：假設(shè)f是從實(shí)數(shù)空間R到實(shí)數(shù)空間R的連續(xù)函數(shù)，同時(shí)假設(shè)f有一個(gè)周期3點(diǎn)，則存在一個(gè)不可數(shù)的子集S，對(duì)于S中的任何兩點(diǎn)x， y，有 一維邏輯斯蒂映射Logistic 映射0參數(shù)空間相空間準(zhǔn)備放大此部分Logistic映射伯努力移位映射(Bernoulli shift)展示對(duì)初始條件的敏感依賴性(SDI) （以下?lián)煺招?984，1992）福特教授，渾沌福音傳教士，組織科莫會(huì)議。普里高津，郝柏林R.May, Jeff Xia(夏志宏),G+P算法，渾沌控制，圣菲研究所4渾沌淘金熱（1980年代后）概念小結(jié)：“中央之帝”為ChaosThere are sys

5、tems whose trajectories do not monotonically approximate any ideal state. They are sensitive dependence to initial conditions.渾沌軌道在相空間中：回復(fù)而不殆，周行而不閉。渾沌軌道在軌道意義上不穩(wěn)定，在結(jié)構(gòu)意義上可以穩(wěn)定：局部上總也安頓不下，整體上又跑不掉。5渾沌哲學(xué)之一:因果性或者分離規(guī)則（MP）Hi: “I have found that such an object ( 物象)has always been attended with such an effect,

6、”Hii: “I foresee that other objects which are in appearance similar will be attended with similar effects.”“These two propositions are far from being the same.” (Hume，An Inquiry Concerning Human Understanding, The Library of Liberal Arts, Bobbs-Merrill, 1955, p.48) 休謨認(rèn)為，由Hi不可能必然地得到Hii。那么Hi？Hii？要加點(diǎn)兒什

7、么？要補(bǔ)充什么條件？自然的均一性、歸納原理？聯(lián)想律？休謨論因果性休謨談到了兩種相似性初始條件的相似性，這屬于測(cè)量問(wèn)題，與經(jīng)驗(yàn)論的假設(shè)有部分關(guān)系。條件句蘊(yùn)涵關(guān)系的相似性，這才涉及因果必然性的問(wèn)題、歸納推理可靠性的問(wèn)題。兩種相似性的澄清Hiii：此一原因必導(dǎo)致此一結(jié)果（AB）Hiv：相似的原因?qū)е孪嗨频慕Y(jié)果（A+AB+B）前一種相似性用“”刻畫(huà)，后一種相似性用“”刻畫(huà)。Hi？Hii或者Hiii ？ Hiv分離規(guī)則MP的地位與性質(zhì)邏輯學(xué)的基石之一Modus ponens： （1）若 A 則 B （2）已知A （3）所以 B從卡羅爾悖論到MP的可操作性演繹邏輯與歸納邏輯不對(duì)稱性的恢復(fù)麥克斯韋（1831

8、1879）于1873說(shuō)：“從同樣的前件得出同樣的后件，這是一個(gè)形而上學(xué)教條。沒(méi)有人能否定這一點(diǎn)。但是，實(shí)質(zhì)上它并無(wú)很大用處，在這個(gè)世界上，同樣的前件從不再出現(xiàn)，任何事物也不發(fā)生兩次，物理學(xué)公設(shè)與此有類似之處：從類似的前提得出類似的結(jié)果。然而，在這里我們從相同過(guò)渡到了相似，從絕對(duì)的精確性過(guò)渡到了多少有些粗糙的近似。對(duì)于某些類現(xiàn)象，數(shù)據(jù)中小的誤差在結(jié)果中只引起小的誤差。在這些情形中，事件的進(jìn)程是穩(wěn)定的。也可以出現(xiàn)不穩(wěn)定性，隨著變量數(shù)目的增加，這些情形的數(shù)量以極快速的方式增長(zhǎng)?！?麥克斯韋還說(shuō)：“若事物之狀況使得當(dāng)前狀態(tài)(state)的無(wú)窮小的改變，對(duì)某個(gè)未來(lái)時(shí)間的狀態(tài)將只改變一個(gè)無(wú)窮小量，那么，此

9、系統(tǒng)的態(tài)勢(shì)（condition）,無(wú)論是靜止還是處于運(yùn)動(dòng)中，都稱作穩(wěn)定的。若當(dāng)前狀態(tài)的一種無(wú)窮小的改變，在有窮時(shí)間內(nèi)可以引起系統(tǒng)狀態(tài)的一種有窮的差別，則系統(tǒng)的狀態(tài)稱作不穩(wěn)定的?，F(xiàn)已明確，不穩(wěn)定態(tài)勢(shì)的存在性，使得對(duì)未來(lái)事件的預(yù)測(cè)變得不可能，如果我們對(duì)目前狀態(tài)的知識(shí)只是近似的而非精確的?！?布里淵(L.Brillouin）1964年說(shuō)：“翻開(kāi)一本純數(shù)學(xué)書(shū)，看一個(gè)定理，總會(huì)見(jiàn)到這樣的敘述：給定某些條件A、B、C,假定它們被確切地滿足，則可以嚴(yán)格證明結(jié)論Q正確。物理學(xué)家不禁要問(wèn)，我們?cè)趺粗罈l件A、B、C已被確切地滿足？”“我們所知道的唯一東西是，A、B、C可以在一定范圍內(nèi)被近似地滿足。那么，定理證明

10、了什么呢？或者A、B、C的很小的誤差可以導(dǎo)致結(jié)果Q的很小的偏差；或者不然，可能完全破壞了Q?！狈€(wěn)定性條件？無(wú)論是麥克斯韋、龐加萊還是布里淵，都遠(yuǎn)遠(yuǎn)走在時(shí)代的前列（約超前5080年）。渾沌系統(tǒng)對(duì)初始條件具有敏感依賴性，不滿足穩(wěn)定性假設(shè)，因而對(duì)于這樣的系統(tǒng)，由Hiii無(wú)法得到Hiv。這里非常重要的一點(diǎn)是，初條件的行為具有奇異性，不具有“單調(diào)性” 。打個(gè)比方，由北京天安門前的國(guó)旗桿處出發(fā)，到達(dá)上海浦東的東方明珠塔這個(gè)目標(biāo)。朱照宣,1987年,牛頓原理三百年祭“原理發(fā)表以來(lái)的三百年，牛頓力學(xué)經(jīng)歷了兩個(gè)階段。前280年是一階段。那時(shí)認(rèn)為由運(yùn)動(dòng)微分方程所確定的動(dòng)態(tài)總是確定性的。后20年則是另一個(gè)階段。以卡

11、姆定理(KAM)為代表的渾沌理論提示了決定論和隨機(jī)論之間、牛頓力學(xué)和統(tǒng)計(jì)力學(xué)之間沒(méi)有不可逾越的界線。 不僅大量粒子的系統(tǒng)要用統(tǒng)計(jì)力學(xué)，兩個(gè)自由度的保守系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)也得用統(tǒng)計(jì)力學(xué)，連擲骰子本身也既是決定論的又是概率論的。它從根本上為牛頓力學(xué)摘除了機(jī)械論的帽子?！?朱照宣 1987, 第1-2頁(yè)) 費(fèi)格爾 （Herbert Feigl,1902-1988）說(shuō)“A causes B” or “A is the cause of B” means that wherever and whenever A occurs it is followed (or attended) by B. Since a p

12、recise repetition of A may not be feasible (or discoverable), a less stringent formulation would use something like a mathematical limit process: The more the actual condition A approximates the conceived (ideal) condition A, the more actual effect B will approximate the (ideal) effect B. (H.Feigl,

13、Notes on Causality, in Readings in the Philosophy of Science, 1953, pp.408-418.)續(xù)Herbert Feigl漢語(yǔ)大意為：“A引起B(yǎng)”或“A是B的原因”意味著，B總是跟隨A。由于精確重復(fù)A不可能實(shí)現(xiàn)或不可測(cè)量，就要用到一種不太嚴(yán)格的類似數(shù)學(xué)極限過(guò)程的形式：實(shí)際條件A越趨近于給定理想條件A，實(shí)際的結(jié)果B 就將越趨近于理想的結(jié)果B。評(píng)：但是，極限可能不存在！可能不存在單調(diào)的趨近過(guò)程（參見(jiàn)Li-Yorke定理）但是科學(xué)哲學(xué)家迪昂和波普爾是知道動(dòng)力學(xué)不穩(wěn)定性帶來(lái)的問(wèn)題的。6討論因果性的必然性問(wèn)題，不是一個(gè)純邏輯學(xué)問(wèn)題，不可能

14、只通過(guò)邏輯論證得到徹底解決。的確，是人的活動(dòng)奠定了因果性的基礎(chǔ)。因果律天然具有任意性、模糊性。它也不是在經(jīng)驗(yàn)論框架內(nèi)可以解決的。休謨采用懷疑論與人性論的雙重標(biāo)準(zhǔn)?？档掠孟忍炀C合真理“解決”了此問(wèn)題，但是與自然科學(xué)不符！設(shè)想的必然性在哪里？必然性、偶然性等都只是人類建構(gòu)的觀念，用來(lái)模擬自然過(guò)程，自然過(guò)程沒(méi)有必要一定要符合人的此類模擬。人的認(rèn)識(shí)介于偶然與必然兩極中間的廣闊地帶。模型與實(shí)在的相似性是自然科學(xué)成功的一個(gè)關(guān)鍵，但模型是可錯(cuò)的，所以科學(xué)也是可錯(cuò)的。自然科學(xué)理論沒(méi)有（邏輯）必然性。任何一種好的科學(xué)理論也只是暫時(shí)合理的。Chaos對(duì)于認(rèn)識(shí)增加了什么？在自然科學(xué)層面，chaos告訴我們，簡(jiǎn)單的非線性作用也能導(dǎo)致復(fù)雜的結(jié)果；復(fù)雜結(jié)果的原因也可能是簡(jiǎn)單的。休謨的懷疑是千真萬(wàn)確的，發(fā)展科學(xué)，就是要尋找各種各樣具體的穩(wěn)定性、對(duì)稱性、不變性、規(guī)律、均一性、可預(yù)測(cè)性等等。對(duì)于Hume舉的那個(gè)具體例子，科學(xué)家要針對(duì)不同的系統(tǒng)，找出Hume-Maxwell-Duhem-Brillouin條件，才能保證操作性因果律的實(shí)現(xiàn)。此條件在不同的前提假定下有不同的提法。 置因果律于何地？操作性因果律有時(shí)無(wú)法實(shí)現(xiàn)，由此仍然不能得出拋棄因果律的強(qiáng)結(jié)論，實(shí)際也沒(méi)必要。即使考慮量子現(xiàn)象，也沒(méi)有必